Signal- och bildbehandling TSBB14

Transkript

1 Tentamen i Signal- och bildbehandling TSBB4 Tid: Lokaler: TER Ansvarig lärare: Maria Magnusson besöker lokalerna kl. 5.5 och 6.45 tel Hjälpmedel: Räknedosa, medskickad formelsamling, OH-film, sax och följande tabeller: Söderkvist: Formler och tabeller, Beta, Physics Handbook Uppgifter: Tentamen omfattar 7 st uppgifter Betygsskala: poäng betyg poäng betyg poäng betyg 5 Betygslista: Anslås senast 3/8

2 Kontinuerlig faltning (9p) a) Bestäm faltningen [h g](t) = där h(t) och g(t) ges av figuren nedan. (7p) h(t λ) g(λ) dλ, 2 h(t) 3 g(t) t 4 5 t b) Vilken regel är det som gäller mellan bredderna på ingångsfunktionerna h(t) och g(t) och resultatfunktionen [h g](t)? Stämmer denna regel för ditt resultat i a)-uppgiften? (2p) 2 Tidsdiskret system (p) Ett kausalt tidsdiskret system (ett digitalt filter) har överföringsfunktionen H(z) = z 2 z 2.8z +.8 a) Bestäm filtrets differensekvation! (I en differensekvation ingår x[ ]och y[ ], men inte h[ ].) (2p) b) Bestäm filtrets poler och nollställen och rita in dem i z-planet. Markera poler med kryss och nollställen med ringar. (2p) c) Bestäm överföringsfunktionen H Ω (Ω) = H(e jω ). (p) d) Bestäm överföringsfunktionen H Ω (Ω). (Inga j får ingå i ditt svar!) (2p) e) Skissa H Ω (Ω) mycket approximativt för π Ω π utgående från polnollställediagrammet i b)-uppgiften. Vilken typ av filter är detta, dvs LP, HP, BP eller BS? (3p) 2

3 3 Fourierserie (8p) Den periodiska signalen x(t) är illustrerad i figuren nedan. x(t) To= t Se figurer nedan. Signalen x(t) passerar ett lågpass-filter h(t) med fouriertransform H(ω) och gränsvinkelfrekvens ω g. Utsignalen betecknas y(t). H( ω) x(t) h(t) y(t) ω ωg b), c), d) a) Bestäm A, A n, och B n i fourierserieutvecklingen nedan, dvs Ledning: x(t) =A + A n cos(nω t)+ n= A = T /2 x(t) dt T T /2 B n sin(nω t). (5p) n= A n = 2 T /2 x(t)cos(nω t) dt T T /2 B n = 2 T /2 x(t)sin(nω t) dt T ω =2π/T T /2 Bestäm lämpliga gränsvinkelfrekvenser ω g på H(ω) om man vill att utsignalen y(t) ska se ut enligt figur b), c) eller d) nedan. (3p) 3

4 b).5.5 c).5.5 d) TB3 (9p) Matematikintresserade teknologen Tea Blomstrand, brukar numera kallas TB3 eftersom det bara tog 3 minuter för henne att utföra nedanstående bevis. Prova du också! (Det behöver inte gå lika fort!) a) Härled translationsteoremet: F [x(t a)] = e j2πa X(f). Det gäller att F [x(t)] = X(f). Ledning: Börja gärna så här F [x(t a)] = x(t a) e j2πft dt = {variabelbyte...} b) Härled skalningsteoremet: F [x(at)] = (/ a )X(f/ a ). Du anta att a är positivt. Det gäller att F [x(t)] = X(f). Ledning: Börja gärna så här F [x(at)] = x(at) e j2πft dt = {variabelbyte...} c) Givet en signal x(t). Vad blir resulatet av F [F [x(t)]], dvs två st framåttransformer? Ledning: Börja gärna så här F [F [x(t)]] = F [X(f)] = X(f) e j2πft dt =... 4

5 5 Fouriertransformen och dess teorem (7p) Här nedan ser du en testbild f(x, y) och absolutbeloppet av dess fouriertransform F (u, v). Dessutom visas en skalad och translaterad version av testbilden, g(x, y). f(x,y) F(u,v) g(x,y) a) Räkna ut fouriertransformen av ( x f(x, y) =Π ) Använd gärna tabellslagning! (3p) ( y Π. 2) b) Hur ser absolutbeloppet av fouriertransformen av g(x, y), dvs G(u, v), ut? Välj ett av nedanstående alternativ a) - f) och motivera ditt val med en kort redogörelse där orden translationsteoremet och skalningsteoremet ingår. (4p) a) G(u,v)? b) G(u,v)? c) G(u,v)? d) G(u,v)? e) G(u,v)? f) G(u,v)?

6 6 Bilder (9p) a) Nedan visas en bild f(x, y). f(x,y).5 Denna bild faltas med olika falningskärnor, A F, se nedan. A = /8, B = /8, C = /8, 2 D = - /8, E = A A, F = B B - -2 Resultatet blir 6 olika bilder. Para ihop bild-bild6 nedan med rätt faltningskärna A F! (6p) b) Nedan visas en bild g(x, y). Denna bild har erhållits genom användandet av 2 av bilderna bland bild-bild6. Vilka två bilder har använts och vilken formel har använts? (3p) g(x,y)

7 bild bild bild 3 bild bild 5 bild Binär bildbehandling (8p) Figurerna nedan beskriver hur man utgående från en böna med skaft (figur I) kan ta fram skelettet av skaftet (figur V) och därmed mäta dess längd. Rutor ska betraktas som pixlar med värde. Övriga pixlar har värde. Som hjälp har bönans ytterkontur ritats in punktstreckad i varje figur. a) Beskriv hur figur II kan erhållas ur figur I. (2p) b) Beskriv hur figur III erhålles. (2p) 7

8 c) Beskriv hur figur IV erhålles. (2p) d) Beskriv hur figur V erhålles. (2p) I) II) III) IV) V) I beskrivningarna ovan ska använda matchningskärnor/strukturelement anges. Välj bland A, B, C och D och roterade varianter nedan. Tänk på att pixelvis addition, subtraktion, multiplikation och invertering också är tillåtet. A: B: C: D: 8