Signal- och bildbehandling TSEA70

Transkript

1 Tentamen i Signal- och bildbehandling TSEA70 Tid: kl. -8 Lokaler: G, G Ansvarig lärare: Maria Magnusson Seger besöker lokalen kl. 5 och 7. tel Hjälpmedel: Räknedosa, OH-film, medskickad formelsamling och följande tabeller: Söderkvist: Formler och tabeller, Beta, Physics Handbook, TEFYMA Betygsskala: 5-5 poäng betyg - poäng betyg 7-0 poäng betyg 5 Betygslista: Anslås senast /

2 Denna sida ska vara blank

3 Rotation och interpolation (p) a) Bilden f(x, y) ska roteras moturs 0. Beräkna värdet på pixeln markerad med frågetecken (?) i utbilden g(x, y). Värdet ska erhållas med närmsta granne interpolation. (p) ? Inbild f(x,y) Utbild g(x,y) b) Beräkna i stället värdet med bilinjär interpolation. Interpolationskärnan är då Λ(x) Λ(y) där x +, x 0, Λ(x) = x +, 0 x, 0, annars. (p) Ledning: Sampling (5p) Λ(0.) Λ(0.) = 0. Λ(0.) Λ(0.) = Λ(0.) Λ(0.) = Λ(0.) Λ(0.) = 0. I systemet i figuren nedan multipliceras två funktioner x(t) och x(t) och produkten y(t) samplas till ys(t) med impulståget T III t T = k δ(t kt) x(t) och x(t) är bandbegränsade till W och W, dvs X(f) =0, f W X(f) =0, f W

4 Bestäm det maximala samplingsavståndet T sådant att y(t) kan erhållas ur ys(t) mha ett idealt lågpassfilter. x(t) x(t) y(t) (/T)III(t/T) ys(t) X(f) X(f) f W W W W f Kontinuerlig faltning (7p) Filtret y(t) fås genom att falta ihop st rektangelpulser. Det används ibland som interpolationsfilter. Bestäm faltningen y(t) =(h h h)(t) där h(t) =Π(t) dvs h(t) =Π(t) = Ange också bredden och höjden av y(t)! {, t, 0, t >, Fourierserie (7p) a) Bestäm fourierserieutvecklingen för trekantvågen nedan, dvs x(t) =A 0 + (5p) A n cos (nω 0 t)+ B n sin (nω 0 t) n= n= x(t) To/ t

5 Ledning: A 0 = T0 / x(t) dt T 0 T 0 / A n = T0 / x(t)cos(nω 0 t) dt T 0 T 0 / B n = T0 / x(t)sin(nω 0 t) dt T 0 ω 0 =π/t 0 T 0 / b) Se figuren nedan. Signalen x(t) passerar ett smalt filter h(t) vars utseende i fourierdomänen syns till höger i figuren. Bestäm utsignalen y(t)! (p) H( ω) x(t) h(t) y(t) ωο ωο ω 5 Fouriertransform (p+p) a) Bestäm fouriertransformen för trekantvågen x(t) i föregående uppgift. (p) Ledning: Eftersom trekantvågen inte är absolutintegrerbar är det svårt att beräkna dess fouriertransform mha integralkalkyl. Vi får därför lita på tabeller och teorem som andra har beräknat åt oss. Tänk på att triangelvågen kan ses som en faltning mellan en triangelpuls Λ(t/T 0 ) och ett impulståg. Tänk också på att ω 0 =π/t 0. b) Se figuren nedan. Signalen x(t) passerar ett smalt filter h(t) vars utseende i fourierdomänen syns till höger i figuren. Bestäm utsignalen y(t)! (p) x(t) h(t) y(t) ωο H( ω) ωο ωο ω Extrauppgift) För er som har gjort både denna och föregående uppgift: Betrakta svaren i b)-uppgifterna. Likheter? Skillnader? Slutsats? (p) 5

6 Tidsdiskret system (7p) Betrakta nedanstående tidsdiskreta och kausala LTI-system x[n] h[n] y[n] g[n] f[n] Systemet beskrivs av följande differensekvationer a) Bestäm impulssvaret h[n]. (p) b) Bestäm impulssvaret g[n]. (p) y[n] ay[n ] = x[n] f[n] af[n ] = ay[n ] c) Bestäm impulssvaret (h g)[n] för hela systemet. Erhåll lösningen mha z- transformering. Beräkningarna måste kunna följas. (p) d) Bestäm impulssvaret (h g)[n] för hela systemet. Erhåll lösningen mha faltning mellan h[n] och g[n]. Beräkningarna måste kunna följas. (p) e) För vilka värden på a är systemet stabilt? (p) 7 Diskreta D-filter (7p) Lokal tröskelsättning kan användas då ljusstyrkan varierar långsamt över en bild. Lokal tröskelsättning innebär att bilden först förbehandlas på ett speciellt sätt innan den egentliga tröskelsättningen sker. Betrakta nedanstående bild f och filter g. Notera att ljusstyrkan varierar långsamt över bilden och i mitten finns ett litet objekt. Notera vidare att filtret bör vara större i praktiken, men det blir så jobbigt att räkna på. a) Utför beräkningen res =f f g/9 innanför den streckade ramen. (p) b) Utför beräkningen res =f median(f,g) innanför den streckade ramen. (p) c) Vilket resultat är bäst? Resultatet i a) eller i b)? Motivera! (p) d) En fördel med faltning är att det är mindre beräkningskrävande än medianfiltrering. Hur många MULT, ADD, SUB och DIV kräver f g/9? Antag att bildstorleken på f är 5 5. (p)

7 del av f: g: Binär bildbehandling (9p) a) Nedanstående figur till vänster visar en binärbild av celler. På denna bild vill man utföra diverse mätningar, men först vill man snygga till cellerna så att de ser ut som i figuren nedan till höger. Man vill alltstå eliminera utskott och hål. Berätta hur man erhåller figuren till höger. Vilka operationer behöver man använda? Vilka strukturelement behöver man använda? Hur många gånger behöver man göra operationerna? Antag att avstånden d och d är maximalt pixlar. Antag vidare att avståndet d mellan cellerna är minimalt pixlar. (p) d d d b) Nedanstående figur till vänster visar en tröskelsatt bild av en fiber tunnad till ett 8-konnektivt skelett. b) Redovisa det strukturelement som detekterar ändpunkter av typen A i ett 8-konnektivt skelett. (p) b) En operatör pekar på ändpunkten A. Generera en 8-konnektiv (d (8) )avståndskarta utgående från denna punkt. Bakgrunden ska betraktas som ett hinder. (p) b) Operatören pekar nu på ändpunkten B. Han vill mäta längden av fibern från A till B. Som ett mellansteg beräknas figuren nedan i mitten. Hur görs detta? Ledning: Tänk på labyrinten i laboration. (p) 7

8 b) Skelettet på fibern kan sedan följas och ett approximativt mått på fiberns längd kan erhållas genom att summera raka och sneda steg. Raka steg ger längden och sneda steg ger längden. Se exemplet nedan till höger som ger längden Vad blir längden av din fiber med denna metod? (p) A B 9 TB (p) Tekniska Biologen och fjärdeårsstudenten Tina Bergkvist brukar kallas TB på grund av sina tre husdjur, undulaterna Tek, Bio och Trean. Hon har just läst Transformteori. Hon kände att hon ville lära sig ämnet grundligare än hon fick i Signaloch Bildbehandlingskursen. Numera är nedanstående bevis mycket enkelt för henne att lösa. Men redan nu i trean, med viss möda, bör ni kunna utföra nedanstående bevis. Jean Baptiste Joseph Fourier visade att en periodisk funktion med grundvinkelfrekvensen ω 0 kan skrivas Visa att x(t) =A 0 + A n cos (nω 0 t)+ n= B n sin (nω 0 t). n= A n = T0 / x(t)cos(nω 0 t) dt. T 0 T 0 / Ledning: Som deluppgift (ger poäng) kan det vara lämpligt att visa att cos (nω 0 t) och sin (mω 0 t) är ortogonala om n och m är heltal, samt att cos (nω 0 t) och cos (mω 0 t) är ortogonala om n och m är olika heltal. Två funktioner är ortogonala i ett visst intervall om integralen över deras produkt är noll. Låt intervallets längd vara T 0 =π/ω 0. 8