Fourierserier och ljudkompression

Transkript

1 Fourierserier och ljudkompression Joakim Roos 5 februari 215

2 Problemformulering Studera valfri låt!

3 Problemformulering Studera valfri låt! Exempelvis: Amplitud Tid (s)

4 Problemformulering Studera valfri låt! Exempelvis: (Psy - Gangnam Style) Amplitud Tid (s)

5 Problemformulering Inzoomning nära t = 1 s: Amplitud Tid (s)

8 Problemformulering Problem: Många datapunkter/funktionsvärden krävs för en hel låt.

9 Problemformulering Problem: Många datapunkter/funktionsvärden krävs för en hel låt. (Hela stycken i exemplet...)

10 Problemformulering Problem: Många datapunkter/funktionsvärden krävs för en hel låt. (Hela stycken i exemplet...) Kan vi finna ett sätt att minska denna datamängd utan att signalens utseende förändras för mycket?

11 Sinusfunktionen sin(t):

12 Sinusfunktionen sin(t): Periodisk funktion med period

13 Sinusfunktionen sin(2t): Periodisk funktion med period

14 Sinusfunktionen sin(3t): Periodisk funktion med period 2 /

15 Integrering Integralen av en funktion f = f (t) över ett intervall a apple t apple b skrivs Z b a f (t)dt och är lika med arean mellan funktionens graf och t-axeln, räknat så att area ovanför t-axeln bidrar positivt till integralens värde, och area under t-axeln bidrar negativt.

16 Integrering Exempel: Antag att en funktion f (t) harutseendet

17 Integrering Exempel: Antag att en funktion f (t) harutseendet Z b a f (t)dt = (blå area) (röd area)

18

19 Antag en given funktion f = f (t) definieradpåapple t apple.

20 Antag en given funktion f = f (t) definieradpåapple t apple. Idé: Använd funktionerna sin(t), sin(2t), sin(3t)... som byggstenar för att finna ett alternativt sätt att uttrycka f (t).

21 Antag en given funktion f = f (t) definieradpåapple t apple. Idé: Använd funktionerna sin(t), sin(2t), sin(3t)... som byggstenar för att finna ett alternativt sätt att uttrycka f (t). Vi vill försöka finna konstanter b 1, b 2, b 3,... så att

22 Antag en given funktion f = f (t) definieradpåapple t apple. Idé: Använd funktionerna sin(t), sin(2t), sin(3t)... som byggstenar för att finna ett alternativt sätt att uttrycka f (t). Vi vill försöka finna konstanter b 1, b 2, b 3,... så att f (t) =

23 Antag en given funktion f = f (t) definieradpåapple t apple. Idé: Använd funktionerna sin(t), sin(2t), sin(3t)... som byggstenar för att finna ett alternativt sätt att uttrycka f (t). Vi vill försöka finna konstanter b 1, b 2, b 3,... så att f (t) = b 1

24 Antag en given funktion f = f (t) definieradpåapple t apple. Idé: Använd funktionerna sin(t), sin(2t), sin(3t)... som byggstenar för att finna ett alternativt sätt att uttrycka f (t). Vi vill försöka finna konstanter b 1, b 2, b 3,... så att f (t) = b 1 sin(t)

25 Antag en given funktion f = f (t) definieradpåapple t apple. Idé: Använd funktionerna sin(t), sin(2t), sin(3t)... som byggstenar för att finna ett alternativt sätt att uttrycka f (t). Vi vill försöka finna konstanter b 1, b 2, b 3,... så att f (t) = b 1 sin(t) +

26 Antag en given funktion f = f (t) definieradpåapple t apple. Idé: Använd funktionerna sin(t), sin(2t), sin(3t)... som byggstenar för att finna ett alternativt sätt att uttrycka f (t). Vi vill försöka finna konstanter b 1, b 2, b 3,... så att f (t) = b 1 sin(t) + b 2

27 Antag en given funktion f = f (t) definieradpåapple t apple. Idé: Använd funktionerna sin(t), sin(2t), sin(3t)... som byggstenar för att finna ett alternativt sätt att uttrycka f (t). Vi vill försöka finna konstanter b 1, b 2, b 3,... så att f (t) = b 1 sin(t) + b 2 sin(2t)

28 Antag en given funktion f = f (t) definieradpåapple t apple. Idé: Använd funktionerna sin(t), sin(2t), sin(3t)... som byggstenar för att finna ett alternativt sätt att uttrycka f (t). Vi vill försöka finna konstanter b 1, b 2, b 3,... så att f (t) = b 1 sin(t) + b 2 sin(2t) + b 3 sin(3t)

29 Antag en given funktion f = f (t) definieradpåapple t apple. Idé: Använd funktionerna sin(t), sin(2t), sin(3t)... som byggstenar för att finna ett alternativt sätt att uttrycka f (t). Vi vill försöka finna konstanter b 1, b 2, b 3,... så att f (t) = b 1 sin(t) + b 2 sin(2t) + b 3 sin(3t) +...

30 Antag en given funktion f = f (t) definieradpåapple t apple. Idé: Använd funktionerna sin(t), sin(2t), sin(3t)... som byggstenar för att finna ett alternativt sätt att uttrycka f (t). Vi vill försöka finna konstanter b 1, b 2, b 3,... så att f (t) = b 1 sin(t) + b 2 sin(2t) + b 3 sin(3t) X = b n sin(nt) n=1

31 Antag en given funktion f = f (t) definieradpåapple t apple. Idé: Använd funktionerna sin(t), sin(2t), sin(3t)... som byggstenar för att finna ett alternativt sätt att uttrycka f (t). Vi vill försöka finna konstanter b 1, b 2, b 3,... så att f (t) = b 1 sin(t) + b 2 sin(2t) + b 3 sin(3t) +...! 1X NX = b n sin(nt) = lim b n sin(nt) n=1 N!1 n=1

32 Antag en given funktion f = f (t) definieradpåapple t apple. Idé: Använd funktionerna sin(t), sin(2t), sin(3t)... som byggstenar för att finna ett alternativt sätt att uttrycka f (t). Vi vill försöka finna konstanter b 1, b 2, b 3,... så att f (t) = b 1 sin(t) + b 2 sin(2t) + b 3 sin(3t) +...! 1X NX = b n sin(nt) = lim b n sin(nt) n=1 N!1 n=1 P 1 n=1 b n sin(nt) kallas då för en sinusserieutveckling av f (t).

33 Mer allmänt: en utveckling f (t) =a + 1X (a n cos(nt)+b n sin(nt)) n=1 kallas en Fourierserie för f (t). (Efter Jean-Baptiste Joseph Fourier, ) Konstanterna a n och b n kallas Fourierkoe cienter.

34 Vi kommer att anta att en funktion f (t) påapple t apple kan sinusserieutvecklas:

35 Vi kommer att anta att en funktion f (t) påapple t apple kan sinusserieutvecklas: f (t) = 1X b n sin(nt) n=1

36 Vi kommer att anta att en funktion f (t) påapple t apple kan sinusserieutvecklas: f (t) = 1X b n sin(nt) n=1 Detta gäller för väldigt många funktioner, men inte för alla.

37 Vi kommer att anta att en funktion f (t) påapple t apple kan sinusserieutvecklas: f (t) = 1X b n sin(nt) n=1 Detta gäller för väldigt många funktioner, men inte för alla. (Komplicerat...)

38 Vi kommer att anta att en funktion f (t) påapple t apple kan sinusserieutvecklas: f (t) = 1X b n sin(nt) n=1 Detta gäller för väldigt många funktioner, men inte för alla. (Komplicerat...) Men hur beräknar vi koe cienterna b n?

39 Låt m vara ett positivt heltal.

40 Låt m vara ett positivt heltal. Z f (t)sin(mt)dt =

41 Låt m vara ett positivt heltal. Z f (t)sin(mt)dt = Z! 1X b n sin(nt) sin(mt)dt n=1

42 Låt m vara ett positivt heltal. Z f (t)sin(mt)dt = = Z! 1X b n sin(nt) sin(mt)dt n=1 1X Z b n sin(nt)sin(mt)dt n=1

43 Låt m vara ett positivt heltal. Z f (t)sin(mt)dt = = Z! 1X b n sin(nt) sin(mt)dt n=1 1X Z b n sin(nt)sin(mt)dt n=1 Behöver alltså beräkna R sin(nt)sin(mt)dt.

44 Exempel: sin(t)sin(4t) påapple t apple :

45 Exempel: sin(t)sin(4t) påapple t apple : Ser att R sin(t)sin(4t)dt =.

46 Exempel: sin(2t)sin(3t) påapple t apple :

47 Exempel: sin(2t)sin(3t) påapple t apple : Ser återigen att R sin(2t)sin(3t)dt =.

48 Allmänt: man kan visa att R sin(nt)sin(mt)dt =alltid gäller om de positiva heltalen n och m ä r olika.

49 Allmänt: man kan visa att R sin(nt)sin(mt)dt =alltid gäller om de positiva heltalen n och m ä r olika. Om n och m istället är lika:

50 Allmänt: man kan visa att R sin(nt)sin(mt)dt =alltid gäller om de positiva heltalen n och m ä r olika. Om n och m istället är lika: Z sin(nt)sin(nt)dt

51 Allmänt: man kan visa att R sin(nt)sin(mt)dt =alltid gäller om de positiva heltalen n och m ä r olika. Om n och m istället är lika: Z sin(nt)sin(nt)dt = Z sin 2 (nt)dt

52 Allmänt: man kan visa att R sin(nt)sin(mt)dt =alltid gäller om de positiva heltalen n och m ä r olika. Om n och m istället är lika: Z sin(nt)sin(nt)dt = Z sin 2 (nt)dt =(...)

53 Allmänt: man kan visa att R sin(nt)sin(mt)dt =alltid gäller om de positiva heltalen n och m ä r olika. Om n och m istället är lika: Z sin(nt)sin(nt)dt = Z sin 2 (nt)dt =(...) = 2.

54 Alltså:

55 Alltså: Z om n 6= m, sin(nt)sin(mt)dt = 2 om n = m,

56 Alltså: vilket ger Z om n 6= m, sin(nt)sin(mt)dt = 2 om n = m,

57 Alltså: vilket ger Z om n 6= m, sin(nt)sin(mt)dt = 2 om n = m, Z f (t)sin(mt)dt

58 Alltså: vilket ger Z om n 6= m, sin(nt)sin(mt)dt = 2 om n = m, Z f (t)sin(mt)dt = 1X Z b n sin(nt)sin(mt)dt n=1

59 Alltså: vilket ger Z om n 6= m, sin(nt)sin(mt)dt = 2 om n = m, Z f (t)sin(mt)dt = 1X Z b n n=1 sin(nt)sin(mt)dt = b m 2

60 Alltså: vilket ger Z om n 6= m, sin(nt)sin(mt)dt = 2 om n = m, Z f (t)sin(mt)dt = 1X Z b n n=1 sin(nt)sin(mt)dt = b m 2

61 Alltså: vilket ger Z om n 6= m, sin(nt)sin(mt)dt = 2 om n = m, Z f (t)sin(mt)dt = 1X Z b n n=1 sin(nt)sin(mt)dt = b m 2 ) b m = 2 Z f (t)sin(mt)dt.

62 Beräkning av fourierkoe cienter Åter till exemplet vid start: Vi vill beräkna b 1.

63 Beräkning av fourierkoe cienter Vi justerar tidsaxeln för beräkning och integrerar produkten av f (t) med sin(t) över hela intervallet.

64 Beräkning av fourierkoe cienter Vi justerar tidsaxeln för beräkning och integrerar produkten av f (t) med sin(t) över hela intervallet.

65 Beräkning av fourierkoe cienter Vi justerar tidsaxeln för beräkning: ) b 1 = 2 R f (t)sin(t)dt.312

66 Beräkning av fourierkoe cienter Motsvarande för att beräkna b 2 : Integrerar produkten av f (t) med sin(2t) över hela intervallet.

67 Beräkning av fourierkoe cienter Motsvarande för att beräkna b 2 : Integrerar produkten av f (t) med sin(2t) över hela intervallet.

68 Beräkning av fourierkoe cienter Motsvarande för att beräkna b 2 : ) b 2 = 2 R f (t)sin(2t)dt.42

69 Beräkning av fourierkoe cienter Fortsätter på detta vis för att även få b 3.153, b 4.436, b etc.

70 Beräkning av fourierkoe cienter Fortsätter på detta vis för att även få b 3.153, b 4.436, b etc. Jämför nu f (t) och 1X b n sin(nt) n=1.312 sin(t)

71 Beräkning av fourierkoe cienter Fortsätter på detta vis för att även få b 3.153, b 4.436, b etc. Jämför nu f (t) och 3X b n sin(nt).312 sin(t).42 sin(2t)+.153 sin(3t) n=

72 Beräkning av fourierkoe cienter Fortsätter på detta vis för att även få b 3.153, b 4.436, b etc. Jämför nu f (t) och X b n sin(nt) n=

73 Beräkning av fourierkoe cienter Fortsätter på detta vis för att även få b 3.153, b 4.436, b etc. Jämför nu f (t) och X b n sin(nt) n=

74 Beräkning av fourierkoe cienter Fortsätter på detta vis för att även få b 3.153, b 4.436, b etc. Jämför nu f (t) och X1 n=1 b n sin(nt)

75 Beräkning av fourierkoe cienter Fortsätter på detta vis för att även få b 3.153, b 4.436, b etc. Jämför nu f (t) och X2 n=1 b n sin(nt)

76 Slutsats Vi tycks ha funnit ett sätt att gå från 44 st datapunkter till 1 st parametrar (b 1, b 2,...,b 1 ) per ms, samtidigt som signalen tycks behålla ungefär samma form.

77 Slutsats Vi tycks ha funnit ett sätt att gå från 44 st datapunkter till 1 st parametrar (b 1, b 2,...,b 1 ) per ms, samtidigt som signalen tycks behålla ungefär samma form. ( 75% mindre filstorlek!)