Mer om Fourierserier. Fouriertransform LCB vt 2012
|
|
- Stig Hansson
- för 6 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Mer om Fourierserier. Fouriertransform LCB vt 22. Exponentiella Fourierserier Vi ska i detta avsnitt se hur periodiska funktioner kan framställas i serieform med användning av den komplexa exponentialfunktionen. Sådana serier är att föredra framför de trigonometriska Fourierserierna i många tillämpningar, exempelvis signalanalys. Vår utgångspunkt är formlerna e ix = cosx+isinx, e ix = cosx isinx. (Här är x ett reellt tal och i är den imaginära enheten.) Den första formeln är definitionen av e ix, den andra följer ur den första genom att byta x mot x. Genom addition respektive subtraktion av dessa formler får vi Eulers formler () cosx = eix +e ix 2, sinx = eix e ix. 2i Låt f vara en funktion med perioden T, och sätt som vanligt Ω = T (vinkelfrekvensen). Med f förknippar vi den trigonometriska Fourierserien a 2 + a k coskωx+ k= b k sinkωx. Om vi i denna ersätter alla cosinus- och sinusfunktioner med deras uttryck i Eulers formler () får vi en serie på formen k= (2) k= c k e ikωx. Observera att i (2) förekommer såväl positiva som negativa index k. Naturligtvis är c = a. Räkningarna är formella; vi diskuterar inte frågan om konvergens av 2 serierna just nu. Koefficienterna c k i (2) kan naturligtvis uttryckas i a k och b k, men vi avstår från att ge formlerna. I stället ska vi finna ett uttryck för c k direkt från funktionen f. Vi erinrar om att en komplexvärd funktion deriveras genom att man deriverar real- och imaginärdelarna var för sig. I envariabelanalysen visas att d dx eiαx = iαe iαx. Vi kan också integrera komplexvärda funktioner. Följande integral är viktig längre fram. Om l är ett heltal, l, är (3) [ e e ilωx ilωx dx = ilω ] T/2 = eilπ e ilπ ilω = eilωt/2 e ilωt/2 ilω = ( )l ( ) l ilω =. =
2 Då l = får vi e ix dx = dx = T. Antag nu att f är en periodisk funktion med period T, sådan att f(x) = k= c k e ikωx. Multiplicera denna likhet med e inωx och integrera över en hel period. Då får vi f(x)e inωx dx = k= c k e i(k n)ωx dx. (Det är inte alls säkert att man får integrera en serie term för term, men vi antar att det går bra här.) Med användning av integralen (3) finner vi att alla termer utom den där k = n blir noll. Termen då k = n återstår och ger varav (4) c n = T f(x)e inωx dx = c n T, f(x)e inωx dx, n =,±,±2,.... Oavsett om ovanstående formella räkningar är legitima eller inte kan vi göra följande definition. Definition. För en periodisk funktion f kallar vi talen c n i (4) för Fourierkoefficienterna för f, och serien (2), med c k definierade av (4), för (den exponentiella) Fourierserien för f. Anmärkning. Integranden i (4) har perioden T. Man kan därför välja att integrera över vilket som helst annat intervall av längd T, exempelvis mellan och T. Lägg märke till att definitionen inte säger något alls om huruvida Fourierserien konvergerar, eller om vad dess summa blir om den konvergerar. I själva verket har vi inte ens preciserat vad som menas med att en serie som (2), från till, är konvergent. Vi börjar med att göra det: serien (2) kallas konvergent om gränsvärdet lim N N k= N c k e ikωx existerar. Observera symmetrin i summationsgränserna. Gränsvärdet kallar vi seriens summa. Nu kan vi formulera Fouriers sats för exponentiella Fourierserier. Sats. Antag att f är en styckvis glatt funktion med period T. Då gäller att Fourierserien (2) är konvergent för varje punkt x i vilken f är kontinuerlig, och att dess summa är f(x). 2
3 Till skillnad mot trigonometriska Fourierserier gör vi inget uttalande för punkter där f är diskontinuerlig. Vi avstår från att bevisa satsen. Exempel. Låt f vara den -periodiska funktion som definieras av att { då π < x f(x) = x då < x π. I detta fall är T = och Ω =. π π π 3π 4π 5π x Vi beräknar Fourierkoefficienterna för denna funktion enligt formel (4). För n får vi genom partialintegration c n = π xe inx dx = [ x ] π in e inx π in e inx dx = Då n = får vi = 2in e inπ [ ] π (in) 2 e inx Fourierserien för f är således c = π xdx = [ x 2 2 π 4 + n = i 2n ( )n + n 2 (( )n ). ] π = π 4. ( ) i 2n ( )n + ( )n e inx. n 2 Funktionen f är kontinuerlig för alla x som inte är av formen π+m, m heltal. Därför är Fourierserien enligt sats konvergent för dessa x med summan f(x). Sätter vi speciellt x = får vi = f() = π 4 +i n ( ) n 2n + n ( ) n n 2. Delar vi upp den första serien här i två delar med positiva respektive negativa index ser vi att termerna parvis tar ut varandra, så att summan är. I den andra serien är termer med positiva och negativa index parvis lika; dessutom är termer med jämna index lika med noll. Vi har alltså att = π 4 +2 n udda, n> 2 n 2. Detta följer också av att denna term innehåller i och måste försvinna; slutresultatet måste ju bli reellt. 3
4 Detta resultat kan omformas till j= (2j ) 2 = π2 8. Vi erinrar om att vi i annat sammanhang har funnit att Exempel 2. Funktionen f(x) = sin x har Fourierserien k= k 2 = π2 6. f(x) = 2i eix 2i e ix enligt en av Eulers formler (). Denna funktion f har alltså Fourierkoefficienterna c = 2i, c = 2i och c n = för övrigt. (En konsekvens av härledningen av formel (4) är ju att Fourierkoefficienterna för en funktion är entydigt bestämda.) För funktionen sin 3 x gäller enligt binomialsatsen sin 3 x = 8i ei3x + 3 8i eix 3 8i e ix + 8i e i3x, som tydligen är Fourierserien för denna funktion. Som vi ser av exemplen är Fourierkoefficienterna c n normalt inte reella tal. Men för en reellvärd funktion f följer av definitionen (4) att de är parvis komplexkonjugerade: c n = c n. Fourierkoefficienterna kan ges tolkning av amplituden för de enskilda harmoniska svängningarna i f. Vi vill inte undanhålla läsaren följande vackra sats, känd som Parsevals formel. Vi bevisar den inte. Sats 2. För Fourierkoefficienterna till funktionen f gäller (5) n= c n 2 = T f(x) 2 dx. Integralen i högerledet har i en del tillämpningar en tolkning som energi eller effekt. I summan i vänsterledet har denna alltså delats upp på de enskilda frekvenserna. 2. Orientering om Fouriertransform Fourierserien uttrycker en periodisk funktion som en serie där termerna är komplexa exponentialfunktioner. Vi ska nu se att det för många icke-periodiska funktioner finns en motsvarighet, där serien ( summan ) ersätts av en integral. De räkningar vi gör är formella, och syftar bara till att göra de erhållna formlerna nedan plausibla. 4
5 Låt f beteckna en funktion definierad på hela reella axeln. Beteckna med f T den funktion som överensstämmer med f i intervallet från till T/2, och som för övrigt fortsättes periodiskt. Så småningom ska vi låta T. Fourierkoefficienterna för f T ges av (4). Vi sätter in dessa i Fourierserien för f T och får ( ) T/2 f T (x) = c n e inωx = f T (y)e inωy dy e inωx. T n= n= Här är T = Ω. Sätt ξ n = nω. Då är differensen ξ mellan två konsekutiva ξ lika med Ω. Vi har alltså f T (x) = n= ( ) T/2 f(y)e iξny dy e iξnx ξ. För fixt x är f T (x) = f(x) bara T är tillräckligt stort. I högerledet står en summa svarande mot en indelning av reella axeln, vars finhet ξ går mot då T. 2 Det är alltså inte orimligt att vi vid gränsövergång får resultatet (6) (7) f(x) = Mot denna bakgrund sätter vi f(ξ) = ( f(y)e iξy dy f(x)e iξx dx, ) e iξx dξ. ξ R (vi har bytt integrationsvariabeln y mot x). Då får (6) utseendet (8) f(x) = Notera de formella likheterna mellan (7) och (8). f(ξ)e ixξ dξ, x R. Definition 2. Funktionen f i (7) kallas för Fouriertransformen av f. En vanlig beteckning för f är Ff. Formel (8) är känd under namnet Fouriers inversionsformel. Det förekommer varianter av definitionen där uppenbarar sig på andra ställen än här. Exempel 3. Sätt f(x) = Denna funktion har Fouriertransformen med f() = 2L. f(ξ) = L L { då L < x < L då x > L. e iξx dx = e ilξ e ilξ iξ = 2sinLξ, ξ, ξ 2 Vi kunde tänkt på den som en Riemannsumma om det hade rört sig om en ändlig summa och ett ändligt intervall. 5
6 Exempel 4. Låt a vara ett positivt reellt tal och sätt { e ax då x > f(x) = då x <. Då är f(ξ) = e ax e iξx dx = [ e e (iξ+a)x (iξ+a)x dx = (iξ +a) Att vi får i den övre integrationsgränsen beror på att e (iξ+a)x = e iξx e ax = e ax då X. ] x= = a+iξ, ξ R. Som framgår av exempel 4 kan f(ξ) vara komplexvärd även om f själv är reellvärd. Så är det normalt. I inversionsformeln (8) får man vara beredd att integrera komplexvärda funktioner. Det faktum att integralerna i (7) och (8) är generaliserade gör att konvergensfrågor måste beaktas. Det är en delikat fråga, som vi inte går in på här, vilka funktioner som har en Fouriertransform. Vi går heller inte närmare in på egenskaperna hos f, men vi kan konstatera att den har en Fouriertransform (som är mycket lik f) enligt inversionsformeln. För användning i tillämpningarna finns det omfattande tabeller över Fouriertransformer av diverse funktioner. Vi har gett två exempel på transformer ovan. Fouriertransform kan också hanteras av formelmanipulerande språk som Maple. Det finns också räkneregler för Fouriertransform. Vi illustrerar två i nästa sats. De visar hur Fouriertransform påverkas av derivation. För övrigt hänvisas till annan litteratur. Sats 3. Följande räkneregler gäller: : Fouriertransformen av f (x) är iξ f(ξ). 2 : d dξ f(ξ) är lika med Fouriertransformen av ixf(x). Bevis. Den första regeln bevisas genom att man partialintegrerar i definitionen (7). [ ] f (x)e iξx dx = f(x)e iξx f(x)( iξ)e iξx dx = iξ f(x)e iξx dx. Vi antar att f avtar så pass snabbt i ± att de utintegrerade termerna blir noll. (Som vanligt är det fråga om formella räkningar; vi diskuterar inte konvergensfrågor.) Den andra regeln får man genom att derivera under integraltecknet i (7). För en periodisk funktion tolkar vi ju Fourierkoefficienterna som amplituden av de harmoniska svängningar som funktionen är uppbyggd av. De frekvenser som förekommer är alla multiplar av en viss minsta frekvens. Man brukar säga att en periodisk funktion innehåller ett diskret spektrum av frekvenser. Ibland, som i exempel 2, är det ändligt många. 6
7 I det icke-periodiska fallet tolkar man på samma sätt f(ξ) som amplituden av frekvensen ξ. Inversionsformeln (8) visar, i analogi med Fourierserier, hur f byggs upp av harmoniska svängningar med olika frekvenser. Men nu har vi ett kontinuerligt spektrum av frekvenser. Dessa tolkningar är viktiga när Fouriertransformen förekommer i signalanalys, optik, akustik,.... Men Fouriertransform förekommer i många andra tillämpningar. Vi ska strax ge ett exempel på hur den kan användas för att lösa en partiell differentialekvation. Motsvarigheten till Parsevals formel (5) i det icke-periodiska fallet är f(ξ) 2 dξ = f(x) 2 dx. Till sist vill vi nämna en för tillämpningarna viktig sak. Det finns en mycket effektiv algoritm för numerisk beräkning av Fouriertransform, den snabba Fouriertransformen (FFT, Fast Fourier Transform). 3. Fouriertransform och PDE; ett exempel Fouriertransform är bland annat ett hjälpmedel för att lösa differentialekvationer. Som exempel studerar vi ett endimensionellt diffusionsproblem. Ett (oändligt) långt rör längs x-axeln är fyllt med rent vatten. Vid tiden t = injiceras ett diffunderande giftigt ämne i punkten x =. Bestäm det fortsatta diffusionsförloppet. Låt u(x, t) beteckna koncentrationen av det diffunderande ämnet i punkten x vid tiden t. Den matematiska modell som används för att beskriva diffusionen ges av den partiella differentialekvationen (9) u u t D 2 2 x =, där D är en materialkonstant. Begynnelsevillkoret modelleras bäst med en deltafunktion 3 : () u(x,) = δ(x), x R. (Med lämpliga enheter kan vi välja koefficienten framför δ(x) till.) Funktionen u är definierad för alla reella x, och vi har inga randvillkor i vanlig mening. Men vi lägger på u kravet att funktionen ska uppföra sig så i ± att den har en Fouriertransform med avseende på x (för alla t > ). Vi betecknar denna med U(ξ,t). Med andra ord har vi satt () U(ξ,t) = u(x,t)e iξx dx, ξ R, t >. Vi tar nu Fouriertransformen på alla termer i (9). Transformen av u U blir t t, ty vi kan derivera med avseende på t under integraltecknet i (). För andraderivatan 3 Deltafunktioner förklaras i annat sammanhang. 7
8 med avseende på x använder vi den första regeln i sats 3 två gånger, varvid resultatet blir (iξ) 2 U(ξ,t). Den transformerade ekvation (9) blir alltså U (2) t (ξ,t)+dξ2 U(ξ,t) =, ξ R, t >. Vi transformerar också begynnelsevillkoret (): (3) U(ξ,) = δ(ξ) = δ(x)e iξx dx = δ(x) dx = för alla ξ. Ekvationerna (2) och (3) utgör ett begynnelsevärdesproblem för funktionen U(ξ,t), där bara derivator med avseende på t förekommer. Det kan lösas med metoder för ordinära differentialekvationer. En integrerande faktor i (2) är e Dξ2t. Vi multiplicerar med denna och får ( U(ξ,t)e Dξ2 t ) = U(ξ,t)e Dξ2t = C(ξ). t Observera att integrationskonstanten beror på ξ. Det följer nu att U(ξ,t) = C(ξ)e Dξ2t, ξ R, t >. Vi sätter t =, använder (3) och finner att C(ξ) = för alla ξ. Därmed är (4) U(ξ,t) = e Dξ2t, ξ R, t >. Nu återstår problemet att finna den funktion u(x, t) vars Fouriertransform vi beräknat i (4) (inverstransformering). Vi går till en tabell över Fouriertransformer (eller Maple) och finner u(x,t) = 4πDt e x2 /4Dt, x R, t >. Figuren visar funktionen u(x, t) som funktion av x för t =.5,.5,,.5, 2. t =.5 t =.5 t = 2 8 x
Fourierserier: att bryta ner periodiska förlopp
Analys 36 En webbaserad analyskurs Funktionsutvecklingar Fourierserier: att bryta ner periodiska förlopp Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Fourierserier: att bryta ner periodiska
Instuderingsfrågor i Funktionsteori
Instuderingsfrågor i Funktionsteori Anvisningar. Avsikten med dessa instuderingsfrågor är att ge Dig möjlighet att fortlöpande kontrollera att Du någorlunda behärskar kursens teori. Om Du märker att Du
Lösningar till tentamen i Transformmetoder okt 2007
Lösningar till tentamen i Transformmetoder okt 7. Låt Y (s beteckna Laplacetransformen till funktionen y. Laplacetransformering av den givna ekvationen ger: varav följer att. (a För s > a är Y (s + s Y
Transformer och differentialekvationer (MVE100)
Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet Matematik 25 januari 2011 Transformer och differentialekvationer (MVE100 Inledning Fouriertransformen Fouriertransform är en motsvarighet till Fourierserier
TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer
TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer Johan Thim 0 januari 207 Introduktion En differentialekvation (DE) i en variabel är en ekvation som innehåller både
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Transformmetoder, 5 hp gy, IT, W, X 2011-10-26 Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/11 2012. Här lär vi oss använda transformer för att
Euler-Mac Laurins summationsformel och Bernoulliska polynom
46 Euler-Mac Laurins summationsformel och Bernoulliska polynom Lars Hörmander Lunds Universitet Datorer gör det möjligt att genomföra räkningar som tidigare varit otänkbara, exempelvis att beräkna summan
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 211-1-18 DEL A 1. Låt x och y vara två tal vars summa är 6. Ange det minimala värdet som uttrycket 2x 2 + y 2 kan anta. Lösningsförslag. Eftersom vi
LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål
LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)
Om konvergens av serier
Om konvergens av serier Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I den här artikeln diskuteras några av de grundläggande satserna som hjälper oss att avgöra om en serie
Lösningsförslag till tentamen i SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 8 januari 2018
KTH, Matematik Maria Saprykina Lösningsförslag till tentamen i SF169, Differentialekvationer och Transformer II (del ) 8 januari 18 Tentamen består av sex uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra
Lösningsförslag envariabelanalys
Lösningsförslag envariabelanalys 09-06-05. Ekvationen är linjär och har det karakteristiska polynomet pr) = r 4 + r 3 + 5r = r r + r + 5) = r r + i)r + + i). Således ges lösningarna till den homogena ekvationen
k=0 kzk? (0.2) 2. Bestäm alla holomorfa funktioner f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) sådana att u(x, y) = x 2 2xy y 2. 1 t, 0 t 1, f(t) =
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Funktionsteori 5 9 kl 4 9 Hjälpmedel: Bifogat formelblad. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar. Skriv fullständiga meningar och
Tentamen i Envariabelanalys 2
Linköpings universitet Matematiska institutionen Kurskod: TATA42 Provkod: TEN Tentamen i Envariabelanalys 2 206 0 8, 4 9 Inga hjälpmedel. Lösningarna ska vara fullständiga, välmotiverade, ordentligt skrivna
Kryssproblem (redovisningsuppgifter).
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Transformmetoder, 5 hp ES, gyl, Q, W 212-1-29 Kryssproblem (redovisningsuppgifter). Till var och en av de tio lektionerna hör två problem som du ska
Om ortonormerade baser i oändligtdimensionella rum
Analys 360 En webbaserad analyskurs Funktionsutvecklingar Om ortonormerade baser i oändligtdimensionella rum Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Om ortonormerade baser i oändligtdimensionella
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e x2 /4 2) = 2) =
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 22-2- DEL A. Bestäm värdemängden till funktionen f(x) = xe x2 /4. Lösningsförslag. Standardgränsvärdet xe x, då x ger att lim f(x) = lim x x ± x ± e
= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant.
Lösningsförslag till Tentamen, SF1633, Differentialekvationer I den 19 december 216 kl 8: - 13: För godkänt (betyg E krävs tre godkända moduler från del I Varje moduluppgift består av tre frågor För att
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2012-10-17 DEL A 1. Visa att ekvationen x 3 12x + 1 = 0 har tre lösningar i intervallet 4 x 4. Motivera ordentligt! (4 p) Lösningsförslag. Vi skall
Lösningsförslag till tentamen i SF1683, Differentialekvationer och Transformmetoder (del 2) 4 april < f,g >=
KTH, Matematik Maria Saprykina Lösningsförslag till tentamen i SF683, Differentialekvationer och Transformmetoder (del 2) 4 april 28 Tentamen består av sex uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra
KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF1637.
KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF637. Måndagen den 7 oktober, kl 8-3. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att
Kontinuitet och gränsvärden
Kapitel Kontinuitet och gränsvärden.1 Introduktion till kontinuerliga funktioner Kapitlet börjar med allmänna definitioner. Därefter utvidgar vi successivt familjen av kontinuerliga funktioner, genom specifika
= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt.
Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I och SF637 Differentialekvationer och transformer III Lördagen den 4 februari, kl 4-9 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa
Lösningsförslag, Tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 2, för CTFYS2 och CMEDT3, SF1629, den 9 juni 2011, kl.
Lösningsförslag, Tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 2, för CTFYS2 och CMEDT3, SF629, den 9 juni 2, kl. 8: 3: Uppgift (av 8 (5 poäng. i. sant, ii. falskt, iii. falskt, iv. sant, v.
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 01-1-10 DEL A 1. Låt funktionen f ha definitionsmängden D f =]0, [ och ges av f(x) = e x 1 x. (a) Finn f:s invers f 1. ( p) (b) Finn inversens värdemängd
Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 10 januari 2017 kl. 14:00-19:00. a+bx e x 2 dx
KTH, Matematik Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 10 januari 2017 kl. 14:00-19:00 Tentamen består av åtta uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra poäng. Preliminära
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
8.4. Integration av trigonometriska uttryck
68 8 PRIMITIVA FUNKTIONER 8.4. Integration av trigonometriska uttryck Exempel 8.. Bestäm sin 3 x + cos x dx. Trigonometriska ettan tillsammans med ett variabelbyte ger sin 3 x cos + cos x dx = x ( cos
Rita även grafen till Fourierserien på intervallet [ 2π, 4π]. (5) 1 + cos(2t),
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 24-1-13, kl. 14. 19.. 5B122/2 Diff och Trans 2 del 2, för F, E, T. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg 3 krävs 18 poäng, medan
LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664
LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder för CFATE1 den 1 mars 214 kl 8.-1. 1. Bestäm värdemängden till funktionen f(x) = 2 arctan x + ln (1 + x 2 ), där
SAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1
SAMMANFATTNING TATA4 ENVARIABELANALYS LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, HT 04 Senast reviderad: 05-06-0 Författare: Viktor Cheng INNEHÅLLSFÖRTECKNING Diverse knep...3
Ht Läsanvisningar till Hilbertrum och partiella differentialekvationer. Del 1. Ur Anton, Rorres; Elementary Linear Algebra
Ht-2010 Umeå universitet Institutionen för matematik och matematisk statistik PAB Läsanvisningar till Hilbertrum och partiella differentialekvationer Del 1 Ur Anton, Rorres; Elementary Linear Algebra 10.1-10.
Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 11 april 2017 kl. 8:00-13:00
KTH, Matematik Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 11 april 2017 kl. 8:00-13:00 Tentamen består av åtta uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra poäng. Preliminära
Rita även upp grafen till Fourierseriens summa på intervallet [ 2π, 3π], samt ange summans värde i punkterna π, 0, π, 2π. (5) S(t) = c n e int,
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 003-08-5, kl. 14.00 19.00. 5B10/ Diff och Trans del, för F och T. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg 3) krävs 18 poäng, medan
Komplexa tal: Begrepp och definitioner
UPPSALA UNIVERSITET Baskurs i matematik, 5hp Matematiska institutionen Höstterminen 007 Erik Darpö Martin Herschend Komplexa tal: Begrepp och definitioner Komplexa tal uppstod ur det faktum att vissa andragradsekvationer,
Serier. egentligen är ett gränsvärde, inte en summa: s n, där s n =
Serier Serier eller oändliga summor har flyktigt behandlats redan i tidigare kurser. Vi ska nu gå igenom teorin på ett lite mer systematiskt sätt. I många fall spelar det ingen roll om termerna a k är
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är
FOURIERANALYS En kort introduktion
FOURIERAALYS En kort introduktion Kurt Hansson 2009 Innehåll 1 Signalanalys 2 2 Periodiska signaler 2 3 En komplex) skalärprodukt 4 4 Fourierkoefficienter 4 5 Sampling 5 5.1 Shannon s teorem.................................
BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM
BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM Större delen av de rekommenderade uppgifterna i boken är beräkningsuppgifter. Det är emellertid även viktigt att utveckla en begreppsmässig förståelse för materialet. Syftet med
gränsvärde existerar, vilket förefaller vara en naturlig definition (jämför med de generaliserade integralerna). I exemplet ovan ser vi att 3 = 3 n n
TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 5 mars 208 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje heltal
KRAMERS-KRONIGS DISPERSIONSRELATIONER
Bo E. Sernelius Kramers-Kronigs Dispersionsrelationer 33 KRAMERS-KRONIGS DISPERSIONSRELATIONER I detta kapitel diskuterar vi vad som händer om en pol finns på integrationskonturen och vi härleder Kramers-Kronigs
TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor )
TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 0 januari 207 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje
ÖVN 6 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF Nyckelord och innehåll. a n (x x 0 ) n.
ÖVN 6 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF683 HTTP://KARLJODIFFTRANS.WORDPRESS.COM KARL JONSSON Nyckelord och innehåll Potensserielösningar Analytiska funktioner Konvergensradie Rot- och
TATA42: Föreläsning 10 Serier ( generaliserade summor )
TATA42: Föreläsning 0 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 5 maj 205 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje heltal
DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2
DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt
x f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a
Elementa Årgång 50, 967 Årgång 50, 967 Första häftet 2603. Låt ξ, ξ 2,..., ξ n vara stokastiska variabler med väntevärden E[ξ i ], i =, 2,..., n. Visa att E[max(ξ, ξ 2,..., ξ n )] max(e[ξ ], E[ξ 2 ],...,
Transformmetoder. Kurslitteratur: Styf/Sollervall, Transformteori för ingenjörer, 3:e upplagan, Studentlitteratur
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Transformmetoder Kurslitteratur: Styf/Sollervall, Transformteori för ingenjörer, 3:e upplagan, Studentlitteratur AB. Kontakt: Föreläsare och kursansvarig:
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson, Sebastian Pöder
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson, Sebastian Pöder Tentamen ENVARIABELANALYS M 204-2-08 SVAR OCH ANVISNINGAR UPPGIFTER. e 3x2 lim = e x2 ( 3x 2 +...) = lim ( x 2 +...) = lim
Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Studietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU23
Studietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU23 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande
Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.
Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.1 Delkapitlet introducerar en del terminologi och beteckningar som används.
Repetitionsuppgifter
MVE5 H5 MATEMATIK Chalmers Repetitionsuppgifter Integraler och tillämpningar av integraler. (a) Beräkna (b) Avgör om den generaliserade integralen arctan(x) ( + x) dx. dx x x är konvergent eller divergent.
Blixtkurs i komplex integration
Blixtkurs i komplex integration Sven Spanne 8 oktober 996 Komplex integration Vad är en komplex kurvintegral? Antag att f z är en komplex funktion och att är en kurva i det komplexa talplanet. Man kan
ÖVN 11 & 12 DEL A - DIFFTRANS - DEL2 - SF Nyckelord och innehåll. Inofficiella mål
ÖVN 11 & 12 DEL A - DIFFTRANS - DEL2 - SF1683 HTTP://KARLJODIFFTRANS.WORDPRESS.COM KARL JONSSON Nyckelord och innehåll Komplexa vektorrum U och underrum V U. Linjära höljet: V = span(v 1, v 2,..., v N
MVE465. Innehållsförteckning
Lösningar på övningsuppgifter Detta dokument innehåller mina renskrivna lösningar på övningsuppgifter i kursen Linjär algebra och analys fortsättning (). Jag kan inte lova att samtliga lösningar är välformulerade
Tillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor
Tillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor Areaberäkningar En av huvudtillämpningar av integraler är areaberäkning. Nedan följer ett
x 2 = lim x 2 x 2 x 2 x 2 x x+2 (x + 3)(x + x + 2) = lim x 2 (x + 1)
Matematik Hjälpmedel: Inga Chalmers Tekniska Högskola Tentamen 5--7 kl. 4: 8: Telefonvakt: Samuel Bengmark ankn.: 7-87644 Betygsgränser :a poäng, 4:a poäng, 5:a 4 poäng, max: 5 poäng Tentamensgranskning
Fouriers metod, egenfunktionsutvecklingar.
Vårterminen 2002 KONTINUERLIGA SYSTEM, några viktiga begrepp och metoder i kap 3 och H (partiellt) Fouriers metod, egenfunktionsutvecklingar Värmeledning i en begränsad stav med variabelseparation Problem:
SF1625 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den 11 januari, 2014
SF65 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den januari, 04 Skrivtid: 9:00-4:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra
Kontinuerliga funktioner. Ytterligare en ekvivalent formulering av supremumaxiomet
Kontinuerliga funktioner. Ytterligare en ekvivalent formulering av supremumaxiomet är följande: SATS. (Intervallinkapslingssatsen) Låt I k = [a k, b k ], k = 1, 2,... vara en avtagande följd av slutna
SF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 18 Institutionen för matematik KTH 12 december 2017 Idag Talföljder Serier Jämförelse med integraler (Cauchy s integralkriterium) Andra konvergenskriterier (jämförelsekriterier) Mer i morgon
Partiella differentialekvationer och randvärdesproblem Separabla PDE Klassiska ekvationer och randvärdesproblem
Partiella differentialekvationer och randvärdesroblem. 12.1. Searabla PDE 12.2. Klassiska ekvationer och randvärdesroblem. 12.3. Värmeledningsekvationen. 12.4. Vågekvationen. 12.5. alace ekvation. Variabelsearation.
TNA003 Analys I för ED, MT, KTS
TNA003 Analys I för ED, MT, KTS Litteraturkommentarer till föreläsningarna VT1 2017 Sixten Nilsson TNA003 FÖ 1: Kap 3.1 3.2 Litteraturkommentarer 3.1 Gränsvärdesidén Skilj på de två typerna av gränsvärden.
8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM
94 8 EUKLIDISKA RUM 8. Euklidiska rum Definition 8.. En skalärprodukt på vektorrummet V är en funktion som till varje par av element u och v i V ordnar ett reellt tal u v eller u v med följande egenskaper:.
ANDREAS REJBRAND 2014-04-25 Matematik http://www.rejbrand.se. Numeriska serier. Andreas Rejbrand, april 2014 1/29
Numeriska serier Andreas Rejbrand, april 2014 1/29 1 Inledning Författarens erfarenhet säger att momentet med numeriska serier är ganska svårt för många studenter i inledande matematikkurser på högskolenivå.
Funktionsserier och potensserier. som gränsvärdet av partialsummorna s n (x) =
Funktionsserier och potensserier Viktiga exempel på funktionsföljder är funktionsserier. Summan s(x) av f k (x) definieras som gränsvärdet av partialsummorna s n (x) = n f k (x) för varje fixt x I. Serien
= 1, fallet x > 0 behandlas pga villkoret. x:x > 1
Lösningsförslag till tentamensskrivning i Diff & Trans I, 5B00 Torsdagen den 0 januari 00, kl 400-900 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och
Kursens Kortfrågor med Svar SF1602 Di. Int.
Kursens Kortfrågor med Svar SF62 Di. Int. Allmänt om kortfrågor: Kortfrågorna är ett viktigt sätt för er att engagera matematiken. De kommer att dyka upp på kontrollskrivningar. Syftet är att ni ska gå
Lineära system av differentialekvationer
Föreläsning 8 Lineära system av differentialekvationer 8.1 Aktuella avsnitt i läroboken (5.1) Matrices and Linear Systems. (5.2) The Eigenvalue Method for Homogeneous Systems. (5.3) Second-Order Systems
} + t { z t -1 - z t (16-8)t t = 4. d dt. (5 + t) da dt. {(5 + t)a} = 4(5 + t) + A = 4(5 + t),
Tentamensskrivning i Matematik IV, 5B110 Måndagen den 1 oktober 005, kl 1400-1900 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang är lätta
4x 2 dx = [polynomdivision] 2x x + 1 dx. (sin 2 (x) ) 2. = cos 2 (x) ) 2. t = cos(x),
Lunds Tekniska Högskola Matematik Helsingborg Lösningar Analys, FMAA5 9-8-9. a) e sinx) cosx) dx e sinx) + C. b) 4x dx polynomdivision] x + x + x + dx x x + ] ln x + + ) ln) + ) ln) ln). c) Trigonometriska
Högskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik
Högskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 2-5-5 kl 8.3-3.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 15-18, 30/11-12/
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Transformmetoder, 5 hp ES, gyl, Q, W 0-0-9 Sammanfattning av föreläsningarna 5-8, 30/ - / 0. Z-transformen ska avslutas och sedan blir det tentaförberedelser.
Oändligtdimensionella vektorrum
Oändligtdimensionella vektorrum Vi har i den här kursen huvudsakligen studerat ändligtdimensionella vektorrum. Dessa är mycket användbara objekt och matriskalkyl ger en bra metod att undersöka dom med.
1. (4p) Para ihop följande ekvationer med deras riktingsfält. 1. y = 2 + x y 2. y = 2y + x 2 e 2x 3. y = e x + 2y 4. y = 2 sin(x) y
1 Matematiska Institutionen, KTH Tentamen SF1633, Differentialekvationer I, den 18 december 2017 kl 08.00-13.00. Examinator: Pär Kurlberg. Betygsgränser: A: 85%. B: 75%. C: 65%. D: 55%. E: 45%. Fx: 42%.
e x x + lnx 5x 3 4e x (0.4) x 0 e 2x 1 a) lim (0.3) b) lim ( 1 ) k. (0.3) c) lim 2. a) Lös ekvationen e x = 0.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS B 00 0 kl 8 3 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. Lämna tydliga svar om så är
SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016
SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
TATA42: Föreläsning 8 Linjära differentialekvationer av högre ordning
TATA42: Föreläsning 8 Linjära differentialekvationer av högre ordning Johan Thim 23 april 2018 1 Differentialoperatorer För att underlätta notation och visa på underliggande struktur introducerar vi begreppet
ÖVN 2 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF1683. Inofficiella mål
ÖVN 2 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF1683 KARL JONSSON Nyckelord och innehåll Andra ordningens linjära differentialekvationer Homogena ekvationen Fundamental lösningsmängd, y 1 (t),
SF1625 Envariabelanalys
Kursmål och pluggtips Institutionen för matematik KTH Kursmål Kursmålen står på sidan Kursplan mm (länk i menyn). De anger vad man ska kunna för att bli godkänd på kursen. I den här pdf:en går jag igenom
Tentamen, Matematik påbyggnadskurs, 5B1304 fredag 20/ kl
Institutionen för Matematik KTH Mattias Dahl Tentamen, Matematik påbyggnadskurs, 5B134 fredag /8 4 kl. 14. 19. Lösningar 1. Lös differentialekvationen x 3 y + x y xy + y x 3 ln x, x >. Lösning: Motsvarande
Lösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018
Lösningsförslag, preinär version 0., 3 januari 08 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel
Lösning till tentamen i SF1633 Differentialekvationer I för BD, M och P, , kl
KTH Matematik Bengt Ek och Olle Stormark. Lösning till tentamen i SF633 Differentialekvationer I för BD, M och P, 008 0 6, kl. 4.00 9.00. Hjälpmedel: BETA. Uppgifterna 5 motsvarar kursens fem moduler.
Datorövning 2. - Tag med lärobok och övningshäfte till övningen. - Fyll före övningenen i svaren på frågorna på sidan 5 i denna handledning.
Kontinuerliga system vt 2015 Datorövning 2 Inledning Syftet med denna datorövning är att du med hjälp av Maple skall få ökad förståelse av vissa begrepp presenterade i kapitel H. Exempelvis behandlas skalärprodukt,
Lösningar av uppgifter hörande till övning nr 5.
Lösningar av uppgifter hörande till övning nr 5. H.7 a) Antag att p är ett polynom med grad p < n. Då kan p skrivas som en linjärkombination av ortogonalpolynomen p k, där k < n. Alltså är p c k p k, m
9.3. Egenvärdesproblem
9.3. Egenvärdesproblem Problem som innehåller en parameter men endast kan lösas för speciella värden av denna parameter kallas egenvärdesproblem. Vi skall här nöja oss med ett exempel på ett dylikt problem.
TATA 57/TATA80 18 augusti Lösningar 1) Lösning 1: Z-transformering av ekvationen (med hänsyn tagen till begynnelsevillkoren) ger.
TATA 57/TATA8 8 augusti 26. Lösningar ) Lösning : Z-transformering av ekvationen (med hänsyn tagen till begynnelsevillkoren) ger [ z + z ] Y (z) = z + z z 3 z 2 som i sin tur ger (efter ommöblering) Av
Enklare matematiska uppgifter
Elementa Årgång 49, 966 Årgång 49, 966 Första häftet 2555. Visa att 4 n + n + 8 ej kan vara primtal för något heltal n 0. 2556. Man vill göra en behållare utan lock, som rymmer m 3, i form av en rätvinklig
Tentamen i Matematisk analys MVE045, Lösningsförslag
Tentamen i Matematisk analys MVE5 26-8-23 Lösningsförslag Kl. 8.3 2.3. Tillåtna hjälpmedel: Mathematics handbook for science and engineering (BE- TA) eller CRC Standard Mathematical Tables. Indexeringar
Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg OvnTenta Matematik Skrivtid. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor. Skriv namn på
v0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik
v0., 08-03-3 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad.
5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004
KTH Matematik 5B4 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den oktober 4. Två av sidlängderna i en triangel är 8 m och m. En av vinklarna är 6. a) Bestäm alla möjliga värden för den tredje
Institutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1202/2 Diff och Trans 2 del 2, för F och T.
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 3-5-6, kl. 14. 19.. 5B1/ Diff och Trans del, för F och T. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg 3 krävs 18 poäng, medan för betyg
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 206-0- DEL A. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = x 2 arctan x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm de intervall där f är växande respektive
Kompletterande räkneuppgifter i Spektrala Transformer Komplex analys, sampling, kvantisering, serier och filter Laura Enflo & Giampiero Salvi
Kompletterande räkneuppgifter i Spektrala Transformer Komplex analys, sampling, kvantisering, serier och filter & Giampiero Salvi Komplex analys Om man endast använder den reella tallinjen är det inte
Kap. P. Detta kapitel utgör Inledande kurs i matematik. I kapitlet beskrivs vilka bakgrundskunskaper som förutsätts.
5B1103, Differential och integralkalkyl II, del 1. LÄSANVISNINGAR TILL R.A. ADAMS, CALCULUS, A COMPLETE COURSE, 4TH ED. OMFATTNING: kapitel 1.1 1.5, Appendix III, 2, 3.1 3.4, 3.5 till def. 13, 17.7 t.o.m.
Meningslöst nonsens. December 14, 2014
December 4, 204 Fråga. Hur visar man att sin(x) x tan(x)? Fråga. Hur visar man att sin(x) x tan(x)? Fråga 2. Hur visar man att a > lim n a n =? Fråga 2. Hur visar man att a > lim n a n =? Röd: Det är ett
Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.
Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Envariabelanalys, 0 p STS, X 00-0-7 Föreläsning, 7/0 00: Genomgånget på föreläsningarna - 5. Om kursen. Vi gick först igenom lite om kursen: Två redovisningsuppgifter
PRÖVNINGSANVISNINGAR
PRÖVNINGSANVISNINGAR Prövning i Matematik D Kurskod Ma 104 Gymnasiepoäng 100 Läromedel Prov Muntligt prov Inlämningsuppgift Kontakt med examinator Övrigt Valfri aktuell lärobok för kurs Matematik D t.ex.