Ht Läsanvisningar till Hilbertrum och partiella differentialekvationer. Del 1. Ur Anton, Rorres; Elementary Linear Algebra

Transkript

1 Ht-2010 Umeå universitet Institutionen för matematik och matematisk statistik PAB Läsanvisningar till Hilbertrum och partiella differentialekvationer Del 1 Ur Anton, Rorres; Elementary Linear Algebra Repetera komplexa tal genom att räkna de utdelade övningarna och läs i boken om sådant som du glömt eller inte har räknat på tidigare Du skall känna till att A = ĀT. Lär dig vad som menas med unitär, hermitesk och normal matris. Läs om vad som menas med att en matris A är unitärt diagonaliserbar. Läs också och tänk efter vad satserna säger. Räkna sedan uppgifterna som getts på avsnittet. (Kapitel H börjar på sidan 24). Ur Sparr, Sparr; Kontinuerliga system H1. Studera definitionerna H1-H4 som repetition från Linjär algebra. Enda skillnaden är att skalärerna (d.v.s. de tal som man får multiplicera vektorer med) kan vara komplexa tal. Studera exempel H1 c). Läs om funktionsrum s Det sägs där att skall vara en sammanhängande delmängd av R n. Man kan lite löst säga att det betyder att inte består av flera separata delar. En sammanhängande mängd på tallinjen R är alltid ett intervall. Två godtyckliga punkter i en sammanhängande mängd kan alltid förbindas med en kontinuerlig kurva som ligger helt och hållet i. Lägg märke till beteckningarna C (), C k (), Cstv k (I), C k (I) och C stv k (I) och läs om vad de står för. H2. Det som här kallas pre-hilbertrum kallades i Anton, kap.6, inreproduktrum. Begreppet pre-hilbertrum förekommer emellertid i matematiken och då brukar man senare utveckla begreppet till det som kallas Hilbertrum. Så görs i den här läroboken också i kap. H6. Vi kommer i kursen att avvika lite från den beteckning som boken har för skalärprodukt och vår beteckning skiljer sig också från Antons sätt att skriva inre produkt. Anledningen är att vi väljer att anpassa oss till det inom fysiken vanliga skrivsättet u v. Av samma anledning håller vi oss till bokens regler (S1)-(S), se sid Regel (S1) säger att för fix vektor u är skalärprodukten en linjär funktion i det andra argumentet. Jämför detta med det som gäller för det första argumentet enligt (S1 ). I första argumentet blir skalärerna λ 1 och λ 2 konjugerade när man flyttar ut dem ur skalärprodukten. Den definition som Anton väljer, och som är vanlig inom matematiken, är den motsatta - inre produkten är enligt definitionen i kap. 10.5, sid. 547, istället linjär i första argumentet. Studera exempel H5 och lägg märke till vad som menas med en viktfunktion. I definition H.7 definieras normen av en vektor v med hjälp av skalärprodukten, v = u u. Läs (kursivt) det som står under definition H.8 om att det finns andra normer än de som ges av en skalärprodukt. Gemensamt är att de i någon mening mäter storleken på vektorerna i ett vektorrum, t.ex. funktioner i C([a, b]). Vanligt är att man vill mäta skillnaden mellan två funktioner, Hur mycket 1

2 avviker funktionen f från funktionen g? Det kan man då mäta med f g. Vad sedan detta betyder beror på hur man har definierat normen. Satserna H.1, H.2, H. är viktiga och ingår med bevis i kursen. Definition H.9 skall du kunna. Tänk igenom hur det ser ut om w 1. I de här anvisningarna används det vanligare skrivsättet L 2 () och L 2 (w, ) med tvåan upptill istället för som i boken L 2 () och L 2 (w, ). Du får välja vilket skrivsätt du vill, bokens eller anvisningarnas. OBS VIKTIGT! När det i övningar sägs att någonting skall beräknas eller undersökas i L 2 () eller L 2 (w, ) så skall du veta att det är den norm och motsvarande skalärprodukt som finns i definition H.9 som du skall använda. T.ex. om det gäller en beräkning i L 2 (r, (0, )) så är ( ) 1/2 viktfunktionen r och = (0, ), vilket betyder att normen av f blir f = f(r) 2 rdr och skalärprodukten av f och g blir f g = 0 f(r)g(r)rdr. H. Studera exemplen H.8 - H.9 som en förberedelse för sats H.4 som ingår med bevis i kursen. Sats H.5 (Bessels olikhet) följer omedelbart av sats H.4. Motivera! (Ledning, titta på (iii).) Studera exemplen H.10 och H.11. Speciellt hur man förvandlar problemen till beräkning av en projektion. Om du i H.11 funderar över det som står längst ner på sidan 266..skalärprodukten uttryckt som en matrisprodukt... så kan du titta i Anton, sid 176. H4. Du skall känna till och kunna använda Gram-Schmidts ortogonaliseringsmetod. Studera exempel H.12. H5. Du skall veta vad som menas med ortogonalpolynom. Titta på de fyra typerna av ortogonalpolynom som tas upp. Lägg märke till att det är olika viktfunktioner och olika definitionsintervall. Studera exempel H.14 som visar på ett vanligt sätt att resonera när man härleder egenskaper hos ortogonalpolynom. H6. När man säger att en följd av funktioner f n, n = 1, 2,... alla definierade på en mängd konvergerar mot en funktion f på så kan man mena olika saker. Man kan t.ex. mena att funktionerna konvergerar punktvis vilket betyder att lim f n(x) = f(x) för alla punkter x. I den här kursen menar vi oftast konvergens i norm vilket betyder att lim f n f = 0 d.v.s., ( 1/2 om vi använder normen i L 2 (), att lim f n (x) f(x) dx) 2 = 0. Läs igenom det som står ungefär mitt på sidan 275 om likformig konvergens och konvergens i norm. Lägg märke till att konvergens i norm inte behöver medföra punktvis konvergens. Lägg märke till definition H.10 av Fourierkoefficient med avseende på en ortogonal följd (ϕ k ) 1 där koefficienten c k(u) helt enkelt är projektionen av u på ϕ k. Definition H.11 av ortogonal bas och ortonormerad bas (OH-bas) skall du kunna liksom Sats H.8 (Parsevals formel), med bevis. I slutet av avsnittet kommer en förklaring av begreppet Hilbertrum. Läs (kursivt) anmärkningarna på sid H7. Det här avsnittet tas delvis upp på föreläsning men du kan nöja dig med att tänka igenom vad satserna H.9 och H.10 säger. Du skall känna till vad som menas med en tät delmängd till ett linjärt rum H samt innebörden av Lemma H.2 och Sats H.11. Läs gärna stencilen Om approximation av kontinuerliga funktioner som du finner på kurshemsidan. Den är tänkt att vara lite enklare än bokens framställning H8. Du skall känna till vad som menas med en begränsad operator, se nedtill på sid Läs exempel H.20. H9. Det här är ett viktigt avsnitt. Mycket av det som ingår kommer vi att ha användning av i kommande kapitel. Först behandlas fallet med ändligtdimensionella vektorrum, t.ex. C n och 0 2

3 operatorer som är n n matriser. Detta är i stort sett samma som behandlas i kapitel 10.6 i Anton; Elementary linear algebra. Du kan läsa igenom detta kursivt. Lägg märke till följande: [ ] [ ] [ ] [ ] a11 a Låt A = 12 A ā11 ā = 21 u1 v1 u = och v = a 21 a 22 ā 12 ā 22 u 2 v 2 då fås [ a11 a Av = 12 a 21 a 22 ] [ v1 v 2 ] [ a11 v = 1 + a 12 v 2 a 21 v 1 + a 22 v 2 ] [ ] [ ] [ ] A ā11 ā u = 21 u1 ā11 u = 1 + ā 21 u 2 ā 12 ā 22 u 2 ā 12 u 1 + ā 22 u 2 u Av = ū 1 (a 11 v 1 + a 12 v 2 ) + ū 2 (a 21 v 1 + a 22 v 2 ) = a 11 ū 1 v 1 + a 12 ū 1 v 2 + a 21 ū 2 v 1 + a 22 ū 2 v 2. A u v = (ā 11 u 1 + ā 21 u 2 )v 1 + (ā 12 u 1 + ā 22 u 2 )v 2 = (a 11 ū 1 + a 21 ū 2 )v 1 + (a 12 ū 1 + a 22 ū 2 )v 2 = = a 11 ū 1 v 1 + a 21 ū 2 v 1 + a 12 ū 1 v 2 + a 22 ū 2 v 2 = a 11 ū 1 v 1 + a 12 ū 1 v 2 + a 21 ū 2 v 1 + a 22 ū 2 v 2. Man ser alltså att u Av = A u v. Detta gäller allmänt. Om A = A, d.v.s. om A är symmetrisk eller hermitesk, så gäller u Av = Au v. I definition H.14, som du skall kunna, tas detta som allmän definition av att en operator på ett Hilbertrum är symmetrisk. Läs det som står längst ner på sidan 292 om definitionsmängd till en operator. Viktigt! En operator A är aldrig väldefinierad om man inte har angett definitionsmängden D A. Tänk på att alltid ha paret (A, D A ). Du skall också känna till vad som menas med positivt semidefinit och positivt definit operator. Sats H.12 är viktig och du skall kunna satsen med bevis. Studera exempel H.21 och exempel H.22. Där visas två typiska fall som du skall kunna genomföra räkningarna för. H10. Frivillig läsning. H11. Du skall känna till uttrycket för en Sturm-Liouvilleoperator och det allmänna uttrycket för hur D A kan se ut samt villkoren på p, q, w, α k, β k längst upp på sidan 0. Lägg märke till skrivsättet u n som betecknar riktningsderivatan av u i enhetsnormalen n s riktning. Detta går att förstå om man t.ex. har ett område i tre dimensioner och normalerna är givna på randen av området. För ett intervall [x 0, x 1 ] tolkar man detta som det visas på övre halvan på sid.0. Sats H.15 och H.16 skall du känna till. De är mycket användbara och vi kommer att hänvisa till dem ofta. För att kunna utnyttja satserna behöver man ibland kunna skriva om en given differentialekvation a(x)y + b(x)y + c(x)y = 0 på Sturm-Liouville form. Man kan bestämma uttrycken p(x), q(x) och w(x) på följande sätt: Vi får då 1 ( ( py ) ) + qy = p w w y p w y + q w y = ay + by + c = a = p w, b = p w, c = q w. b a = p /w p/w = p p = d (ln p) = ln p(x) = dx b(x) a(x) dx = p(x) = e R b(x) a(x) dx sedan får vi w(x) = p(x) och q(x) = c(x)p(x). a(x) Läs igenom exempel H.24 och H.25 som visar på flera fall där man tillämpar satserna. Mycket nyttig läsning! I många intressanta tillämpningar får man Sturm-Liouvilleoperatorer där p, q, w inte uppfyller alla villkoren överst på sidan 0 eller att man inte har ett slutet begränsat intervall [x 0, x 1 ]. Sådana operatorer brukar kallas singulära och blir lite besvärligare att arbeta med. Se exempel H.26 som tar upp några välkända sådana operatorer.

4 På sid. 11 definieras regulära Sturm-Liouvilleoperatorer i 2- och -dimensionellt område. Om man utnyttjar kända formler från kapitlet om vektoranalys i kursen Flervariabelanalys blir räkningarna snarast enklare i högre dimensioner än i det endimensionella fallet. Vad man behöver är två formler, Green I och Green II, se formelblad. Den som är intresserad kan läsa följande om Green I och Green II. Annars hoppa över avsnitt H.12 och gå vidare till H.1. Man kan härleda GI och GII med hjälp av divergenssatsen. F dv = F n ds. Här är integralen till vänster en volymsintegral om är en -dimensionell mängd. På höger sida är då integralen en ytintegral över randen till som betecknas där också enhetsnormalfältet n är definierat. Vektorfältet F antas definierat på hela och dess rand. Nu väljer vi en funktion v(x) och ett vektorfält w(x) = (w 1 (x), w 2 (x), w (x)) på samma område och använder divergenssatsen på vektorfältet F = vw. Då gäller div F = F (x) = så vi får x 1 (v(x)w 1 (x)) + x 2 (v(x)w 2 (x)) + x (v(x)w (x)) = = v(x) w 1 (x) + v(x) w 2 (x) + v(x) w (x + w 1(x) v(x) + w 2(x) v(x) + w (x) v(x = x 1 x 2 x x 1 x 2 x = grad(v) w + v div w = v w + v w. v w + v w dv = v w n ds Låt nu u(x) vara ytterligare en funktion på och välj w = grad u = u och utnyttja att w n = u n = u blir riktningsderivatan i riktning n, se Adams; avsnitt 12.7 om gradienter n och riktningsderivator. Vi använder också att u = 2 u x u 1 x u 2 x 2 = u där står för den s.k. Laplaceoperatorn, = 2 x x x 2. Alltså får vi ( v u + v u dv ) = v u n ds eller v u dv = Byter vi plats på u och v så har vi också u v dv = u v n ds Subtraherar vi nu dessa formler och utnyttjar att vänsterledet blir noll så kan vi efter omflyttningar skriva resultatet ( (u v v u) dv = u v n v u ) ds (Green II). n ( ) v u n ds v u dv (Green I) u v dv (Green I) Notera att formeln ( ) ovan efter omordning ger en slags partiell integration i högre dimension. v w dv = v w n ds v w dv H1. Studera detta avsnitt noga. Läs om stegen A-C, den s.k. Fouriers metod. Denna metod kommer att gå som en röd tråd genom hela kursen. 4

5 (Kapitel börjar på sidan 57.).1 Läs gärna igenom.1.1 om lösning av ett linjärt system av differentialekvationer. Det löses här med hjälp av separation av variabler. I.1.2 behandlas Fourierserier. Trigonometriska Fourierserier har du redan sett i föregående kurs. Det som är nytt är den exponentiella Fourierserien som du bör lägga på minnet. Studera dne s.k. Inversionsformeln upptill på sid. 61. Den säger att hyggliga funktioner faktiskt går att skriva som en summa av en Fourierserie. Observera att formeln skall vara på följande sätt (i min bok är det fel tecken i exponentialfunktionen) f(t 0 ) = c k (f)e ikt 0, k= T = 2π.2 Eftersom vi nu har läst om Fouriers metod i H.1 så är det onödigt att lägga ned tid på att utreda de olika fallen λ < 0, λ = 0 och λ > 0 som i exempel.2.1. Studera istället exempel.1 som visar hur man kan använda Fouriers metod. Utnyttja vad du vet om Sturm-Liouvilleoperatorer, exempel H.24 b), sid. 06 och Fouriers metod på exempel.2.2.studera också lösningen av vågekvationen i.2.. Det som står på sidan om vågor och svängningar är frivillig läsning. Studera Laplace ekvation i exempel.5. Lär dig att utnyttja de hyperboliska funktionerna istället för exponentialfunktioner när du skall lösa differentialekvationer. Om ω > 0 så har ekvationen y (t) + ω 2 y(t) = 0 allmän lösning y(t) = A cos(ωt) + B sin(ωt). På samma sätt har ekvationen y (t) ω 2 y(t) = 0 allmän lösning y(t) = A cosh(ωt) + B sinh(ωt). Lägg märke till symmetrin. Träna på att använda dessa exempel till att lösa de givna övningarna. Ur Boo; The Fourier transform 1. Du skall känna till hur Fouriertransformen definieras. Studera exemplen och lös övningarna. 2. Du skall kunna härleda property och 5. Du skall också känna till hur faltningen f g definieras. Lägg märke till att definitionen skiljer sig från den du sett i samband med Laplacetransformen. Skillnaden ligger i att funktionerna här är definierade på hela R medan de för Laplacetransformen var definierade för 0 < t <. Lär dig använda egenskaperna genom att lösa övningarna.. Du skall känna till inversionsformeln, d.v.s.theorem.1 och kunna använda den som i exempel.2. Träna på övningarna. 4. Du skall känna till theorem 4.2 (Plancherel s formula). 5. Du skall veta hur Fouriertransformen definieras i R n. Dessutom skall du känna till hur derivator transformeras. Satser med bevis Definitioner som skall kunnas Ur Sparr Ur Sparr H.1 (s.25) H.9 (s.257) H.2 (s.254) H.11 (s.276) H. (s.256) H.14 (s.29) H.4 (s.262) Ur Fourierkompendiet H.8 (s.277) Fouriertransformen i R (s.1) H.12 (s.29) Faltning, f g (s.5) Ur Fourierkompendiet Fouriertransformen i R n (s.10) property (s.4) property 5 (s.5) 5