Tentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.

Transkript

1 Institutionen för matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola Niklas Eriksen Tentamen i tmv6c och tmv5c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt Lösningar Lös initialvärdesproblemet x (t Ax(t för ( A, 5 givet att x( (, T. Lösning: Egenvärdena beräknas genom det(a λi λ 5 λ λ(5 λ + 6 λ 5λ + 6 (λ (λ. Egenvärdena är således och. Ekvationerna (A λiv för dessa värden löses av v (, T och v (, T. Den generella lösningen blir då För t fås ( x(t c ( ( c e t + c ( + c ( e t., som löses av c 5 och c. Problemet löses alltså av ( ( x(t 5 e t + e t.

2 . Beräkna längden av kurvan F (t (ln t, t, t för t e. Glöm inte kvadreringsregeln. Lösning: Båglängden kan beräknas av integralen (dx ( dy ( dz S + + dt, dt dt dt där (x, y, z F (t (ln t, t, t. Vi får e S t t + + t dt e ( t t + t dt e ( t + t dt t t [ ln t + t ] e t + e e.. Ljudnivån stiger under tentan i Vågrörelselära och på din medhavda ljudmätare (på den tentan är alla hjälpmedel tillåtna mäter du nivån till 8 db. Genom att sträcka ut mätare en meter åt öster (höger minskar ljudnivån med db och en meter norrut (framåt minskar ljudnivån med,5 db. I vilken riktning växer ljudnivån snabbast, hur snabbt växer ljudnivån i den riktningen och hur starkt är ljudet hos den person som sitter snett framför dig, två meter till vänster och sex meter framåt? I det senare fallet får du använda linjär approximation. Lösning: Om vi lägger x-axeln åt höger och y-axeln framåt får vi att ljudnivåns gradient är f (, /. Ljudnivån växer alltså snabbast i just denna riktning, med farten f + 9/ 5/. I en punkt (, 6 från din position kommer ljudnivån ges av 8 + (, / (, Bestäm det största och minsta värdet av f(x, y x y på området givet av y x och x y. Lösning: De två kurvorna y x och x y korsar varandra i lösningarna till båda dessa ekvationer. Vi får y x y, vilket ger y y y(y, som har de reella lösningarna y och y. För dessa värden får vi x y och x y.

3 I det inre av området måste ett eventuellt extremvärde antas i punkter där f. Vi får f (x, y, vilket ger x y. Denna punkt ligger på randen. Om vi parametriserar den nedre randkurvan, y x, får vi g (t f(t, t t t. Studium av derivatan ger g (t t t t( t, med nollställen i x t och x t ±. Återigen fås de två skärningspunkterna samt en punkt utanför området. Den övre randkurvan, x y, parametriseras till g (t f(t, t t t, vilket ger g (t 8t t t(t. Nollställena blir denna gång y t och y t ±/. De intressanta punkterna är således (,, (, och (/, /. Funktionsvärdena är f(,, f(, samt f(/, / /6 / /8. Minimum är därför /8 och maximum. 5. Beräkna eller D D x da (x y da över fyrhörningen med hörn i (,, (,, (, och (,. Lösning: För att kunna integrerar över detta område delar vi upp det i tre delar. Vi får x f(x, y da f(x, y dy dx D x yx/ (x+/ + + x yx/ (x+/ x yx f(x, y dy dx f(x, y dy dx. Sedan beräknar vi varje del för sig. Om vi väljer integranden f(x, y x får vi x x yx/ x dy dx x x ] [ x [xy] x x/ dx x dx,

4 och x x (x+/ yx (x+/ yx/ x dy dx Summan blir således 9/. x dy dx x x [ x [xy] (x+/ x/ dx x ( x x ] [ x [xy] (x+/ x dx 9 dx ( x + 9x dx + 9x ] Om vi väljer integranden f(x, y x y ser vi att den är udda kring linjen x y, och området är symmetriskt kring denna linje. Integralen blir således noll. 6. Beräkna K e z dv över kroppen K som ges av x + y z. Lösning: Vi integrerar med polära koordinater och får π e z dv e z r dz dr dθ K θ r zr π ( e e r r dr dθ θ r ( π π [ er er rer er ] π (e e + π. dr

5 7. Beräkna kurvintegralen y(y x dx + xy( + y dy, där är randen till den nedre halvan av enhetscirkelskivan, det vill säga x + y, y, genomlöpt medurs. Lösning: Kurvan är sluten och vi kan således använda Greens formel. Eftersom kurvan genomlöps i negativ led sätter vi till ett minustecken. Vi får y(y x dx + xy( + y dy ( (xy + xy (y x y da x +y,y x y ( y + y y + x da x +y,y π θπ π π r [ r sin θ (r sin θ + r r dr dθ ] + r [ cos θ + θ ] π π ( + π 8 π. 8. Beräkna flödet av F (x, y, z (x, y, z ut genom halvklotet x + y + z, z. Lösning: Vi använder Gauss sats och får F n ds F dv K K (x + y + z dv dθ K π π/ [ ρ 5 6π 5 θ ϕ ] 5 ρ ρ ρ sin ϕ dρ dϕ dθ [ cos ϕ] π/ 9π 5.

6 9. Antag att A är en symmetrisk matris som diagonaliseras A V DV T. Dess egenvärden betecknas λ λ λ n. (a Visa att om y V T x så gäller x T Ax y T Dy. (b Visa att y T Dy i λ iy i (c Visa att det minsta värde vi kan få på uttrycket y T Dy om y är λ. (d Visa att det minsta värde vi kan få på uttrycket x T Ax om x är λ. Lösning: (a Vi har y T Dy (V x T DV x x T V T DV x x T Ax. (b Multiplicerar vi y T D får vi (λ y, λ y,, λ n, y n och skalärprodukten mellan denna vektor och y ger sedan svaret. (c Vi har y T Dy i λ i y i i λ yi λ yi λ y λ. Vi kan alltså inte få något lägre värde. För y (,,, uppnås värdet λ. (d Eftersom V är ortogonal gäller y V x x. Därmed följer av ovanstående att x T Ax λ för x. Den vektor som svarar mot y (,,, är den egenvektor som hör till egenvärdet λ. Om vi kallar den v gäller v T Av v T λ v λ v λ.. Bestäm och klassificera samtliga lokala extremvärden till funktionen f(x, y x + y x xy y, samt det största värdet av funktionen längs den slutna kurvan x +y. Lösning: Eftersom funktionen är deriverbar överallt söker vi punkter där gradienten är noll. Vi får f (x x y, y x y, i 6

7 vilket ger x y med reella lösningar x y. Insatt i de ursprungliga ekvationerna ger detta x 8x x(x, med lösningar x och x ±. Det finns alltså tre kritiska punkter. Hessianen ges av ( A B H(x, y B C ( x y För (x, y (±, ± får vi AC B 6 8 > och A >, så där har vi minpunkter. För (x, y (, har vi AC B 6 6. Denna undersökning hjälper oss således inte där. Vi betraktar nu värdet i punkter nära origo. Antag att h, k är små och betrakta f( + h, + k h + k h hk k. Vi ser då att för h k gäller f(h, h h 8h h (h och för h k gäller f(h, h h. Origo är således en sadelpunkt. Längs kurvan g(x, y x + y får vi största värdet genom att betrakta Lagrangianen L(x, y, λ f(x, y+λg(x, y x +y x xy y +λ(x +y och finna nollställena för dess gradient. Vi få x x y + λx ; y x y + λy ; x + y. Den första ekvationen minus den andra blir (+λ(x y, vilket ger x y eller λ. Om vi har x y ger den tredje ekvationen x, vilket förenklas till x y ±. Om vi har λ förenklas den första ekvationen till (x + y, vilket ger x y. Den tredje ekvationen ger då x y ±. De intressanta punkterna är således ±(, och ±(,, med funktionsvärden f(±, ± och f(±, Det senare är det maximala värdet.. Betrakta vektorfältet F (x, y, z (yz, xz,. Beräkna arbetsintegralen F dr yz dx + xz dy, 7

8 där kurvan är skärningskurvan mellan ytorna z x + och z x + y. Betraktad ovanifrån genomlöps kurvan moturs. Lösning: Vi kan använda Stokes sats, som säger att F dr F n ds, D där ytan D har som rand. Normalen är upptåriktad om kurvan genomlöps moturs sett uppifrån. Här har vi (yz, xz, ( x, y, z. Skärningskurvan ges av x + z x + y, vilket ger x + y. Ytan S kan väljas på flera sätt, men någon av de givna ytorna verkar enklast. Väljer vi z x + får vi, med g(x, y, z z x att ( g n ds x, g y, g dx dy ( x,, dx dy. z Därmed har vi yz dx + xz dy x +y x +y x +y x +y ( x, y, z ( x,, dx dy x z dx dy x (x + dx dy dx dy π. 8