Integranden blir. Flödet ges alltså av = 3

Transkript

1 Lektion 7, Flervariabelanals den 23 februari Använd Gauss sats för att beräkna flödet av ut ur sfären med ekvationen där a >. Flödet ut ur sfären ges av F e e + 2 e e + e a 2 F d, som enligt Gauss sats är lika med F d F d,, e ) ) d. ) e, 2 e, ) d 2 e ) + ) ) d Flödet ut ur sfären ges av Gauss sats ger att flödet är lika med F d F d F d.,, ) 3, 3 2, ) d 3 ) + 32 ) + ) ) d ) d ) d, där är klotet a 2 som innesluts av tan. Eftersom området är helt rotationssmmetriskt och integranden är inför vi sfäriska koordinater. Området beskrivs då som Integranden blir och volmelementet blir θ 2π, ϕ π, r a r 2, d r 2 sin ϕ dθ dϕ dr. Flödet ges alltså av Använd Gauss sats för att beräkna flödet av F 3 e e ) e 3 dθ π sin ϕ dϕ a 3 2π 2 5 a5 2 5 πa5. [ ] π [ ] r 4 dr 3 2π cos ϕ a 5 r5 ut ur sfären med ekvationen a 2 där a >.

2 6.4.8 Beräkna flödet av F 2 e + 2 e + 2 e där är projektionen av clindern av clindern på, -planet, d.v.s. : 2 + ) 2. ut ur randen till clindern , 4. Med kvadratkomplettering kan vi skriva clinderns ekvation i standardform ) 2. lindern har alltså mittpunkt i, ), ) och radie. I -led ligger clindern mellan och 4. Integralen över kan vi dela upp i tre termer 8 d d + 8 ) d d + 24 d d. Eftersom området är spegelsmmetrisk i -aeln och är en udda funktion är den första integralen lika med. I den andra integralen är en udda funktion kring linjen och spegelsmmetrisk i samma linje. en andra integralen är också den noll. en tredje integralen är 24 gånger områdets area, d.v.s. 24 π 2 24π. Flödet ut ur clindern är alltså 24π. linderns rand består av tre tstcken, dels clinderns mantelta, och dels de två cirkulära ändtorna. För att beräkna flödet måste vi därför dela upp flödesintegralen i tre integraler över respektive tstcke. Om vi däremot använder Gauss sats blir flödesintegralen en trippelintegral över hela clindern. Gauss sats ger F d F d 2, 2, 2) d 2 [ ] 2 + ) ,, ) 2, 2, 2 ) d 4 d d + + ) d d d 2 ) 4 + ) + 8 d d,

3 6.4.2 Bestäm flödet av F + ) e + + ) e ) e upp genom den del av sfären a 2 i första oktanten. Låt beteckna den del av sfären som ligger i första oktanten. Låt vidare, 2 och 3 beteckna de tre sidotor i koordinatplanen i första oktanten som begränsas av sfären. Alltså är + + 2) d d olm av πa3 6 πa3. F d 6 πa3 F d F d F d. 2 3 På de tre koordinatplantorna ges telementet och vektorfältet av : d,, ) d d F,, ),, 2) 2 : d,, ) d d F,, ),, 2 2 ) 3 : d,, ) d d F,, ), +, 2 ) 2 Tillsammans innesluter,, 2 och 3 en åttondel av ett klot med radie a. Flödet ut ur denna åttondel är enligt Gauss sats F d + F d + F d + F d 2 3 F d,, ) +, +, 2 2 ) d + ) + + ) + ) 2 2 ) d 3 i får F d 6 πa3,, 2),, ) d d,, 2 2 ),, ) d d 2, +, 2 ),, ) d d 3 6 πa3 2 d d d d d d 2 3 { polära koordinater i respektive plan } 6 πa3 2 π/2 cos θ dθ a r 2 dr + π/2 6 πa3 2 3 a3 + 3 a3 6 πa3 3 a3. cos θ dθ a r 2 dr

4 6.5.2 Beräkna d d + 2 d runt skärningskurvan mellan clindern 2 och clindern , som genomlöps moturs sett från en punkt högt belägen på -aeln. Linjeintegralen kan vi skriva som d d + 2 d i ska lösa uppgiften med två metoder. Metod eplicit uträkning),, 2 ) d, d, d) kärningskurvan uppfller båda tornas ekvationer F dr , ) 2. 2) Ekvation ) ger att kurvans - och -koordinater ligger på en cirkel med mittpunkt i origo och radie 2. i kan därför beskriva kurvans - och -koordinater med standardparametriseringen Linjeintegralen blir F dr 4 F rt) ) drt) 2 sin t 2 sin t) dt 2 cos t 2 cos t dt + 6 sin 4 t 8 sin t cos t dt sin 2 t + cos 2 t ) dt + 28 sin 5 t cos t dt [ ] 2π 4 2π sin6 t 8π + 8π. Metod 2 tokes sats) Enligt tokes sats har vi att F d F ) d, för alla tor som har som randkurva och med positivt orienterad relativt. I vårt fall kan vi välja tan som den del av 2 innanför clindern Ekvation 2) ger att 2 cos t, 2 sin t. 2 4 sin 2 t. Eftersom dessa uttrck för, och är 2π-periodiska i t har kurvan parameterformen rt) 2 cos t, 2 sin t, 4 sin 2 t) t 2π). Om vi låter t gå från till 2π så genomlöps kurvan i positiv riktning. i får F rt) ) t), t), t) 2) 2 sin t, 2 cos t, 6 sin 4 t ), drt) dr dt dt 2 sin t, 2 cos t, 8 sin t cos t ) dt.

5 å är e e e F 2 2 ), 2 +, ), +, ),, 2), ) d ±, ), d d ±, 2, ) d d. För att inducera en positiv orientering av randen ska vi välja minustecknet i d så att d pekar uppåt. i får att F dr F ) d,, 2), 2, ) d d 2 d d 2 area) 2 π 2 2 8π, där är tan :s projektion på, -planet, d.v.s. : Ytan är alltså den del av ellipsoiden med mittpunkt i,, ) och halvalar 6, 6 och 3 som har positiv -koordinat. Enligt tokes sats kan flödesintegralen i uppgiftsteten skrivas rot F d F dr, där är randkurvan till i planet, d.v.s ) Eftersom d är utåtriktad induceras en positiv riktning hos i, -planet. Kurvan, som är en cirkel med mittpunkt i origo och radie 2, kan därför skrivas i parameterformen Beräkna rot F d, där är tan ) 2 6,, d är riktad ut från, och F 3 cos ) e + 3 e e + e e. i skriver i standardform 6 ) ) ) 2,. rt) 2 cos t, 2 sin t, ) Längs kurvan ges vektorfältet och kurvelementet av i får t 2π). F rt) ) t) 3, t) 3, ) 8 sin 3 t, 8 cos 3 t, ), drt) ṙt) dt 2 sin t, 2 cos t, ) dt. rot F d F dr 8 sin 3 t, 8 cos 3 t, ) 2 sin t, 2 cos t, ) dt

6 6 4 8 sin 4 t + cos 4 t ) dt 6 4 cos 2t) cos 2t)2) dt cos 2 2t ) dt cos 4t)) dt cos 4t) dt { integral av cos över en hel period } 2 2π + 24π. i ska lösa uppgiften med två metoder. Metod bte av vektorfält) Först gör vi det obligatoriska testet om vektorfältet är konservativt. i har att 3 F 2,, ) Beräkna F dr runt kurvan rt) cos t e + sin t e + sin 2t e där F e 3 ) e + e + 3 ) e + e e. t 2π), inte är smmetrisk, så vektorfältet är inte konservativt. äremot ser vi att vektorfältet nästan är konservativt; det är bara inde, 2) och 2, ) som inte är lika. Om vi därför kompletterar F med vektorfältet G 3 2 e 3 2 e, d.v.s. betraktar vektorfältet H F + G, så får vi ett konservativt vektorfält eftersom 3 H 2 3 2,, ) Ledtråd: isa att ligger på tan 2. Låt oss först visa att kurvan verkligen är sluten och att parametriseringen genomlöper kurvan eakt ett varv. Eftersom r),, ) r2π) är kurvan sluten. Om vi betraktar nerprojicerad på, -planet, r, t) cos t e + sin t e så får vi enhetscirkeln genomlöpt ett varv i positiv riktning. arje, )- värde på antas alltså eakt en gång av parametriseringen, vilket visar att kurvan genomlöps eakt ett varv. å har vi alltså att F dr + G dr F dr H dr G dr. Fördelen med G jämfört med F är att G endast har polnomkomponenter som är enklare att integrera analtiskt. På kurvan är G rt) ) 3t) 2 t), 3t)t) 2, ) 3 cos 2 t sin t, 3 cos t sin 2 t, ), drt) ṙt) dt sin t, cos t, 2 cos 2t ) dt.

7 i får F dr G dr G rt) ) drt) 3 cos 2 t sin t, 3 cos t sin 2 t, ) sin t, cos t, 2 cos 2t) dt 3 cos 2 t sin 2 t 3 cos 2 t sin 2 t + ) dt cos 2 t sin 2 t dt 6 cos 2 2t) dt cos 2t cos 2t dt 2 2 ) dt + cos 4t 2 { integral av cos över en hel period } π 3 2 π. Metod 2 tokes sats) 3,, ) 2, 2, ) d d där är tans projektion på, -planet, d.v.s. enhetsdisken ) d d { polära koordinater } 3 dθ r 3 dr 3 2π π. Enligt tokes sats är linjeintegralen lika med F dr F ) d, där är en ta med som randkurva och d är riktad uppåt eftersom är positivt orienterad i, -planet. Kurvan befinner sig på tan 2 eftersom den uppfller tans ekvation vl t) sin 2t 2 cos t sin t 2t)t) hl. Ytan kan vi därför välja som det tstcke av 2 som begränsas av. i har då att d ± ), ), d d ± ) 2, 2, ) d d, e e e F,, ), e 3 e + 3 e och tokes sats ger F dr F ) d