Övning 6, FMM-Vektoranalys, SI1140

Transkript

1 Övning 6, FMM-ektoranalys, I114 ˆ 6. Beräkna integralen där A dr A x 2 ay + z) ) e x + y 2 az ) e y + z 2 ax + y) ) e z och är den kurva som utgör skärningslinjen mellan cylindern { x a) 2 + y 2 a 2 och sfären z x 2 + y 2 + z 2 R 2 R 2 > 4a 2). Omloppsriktningen är sådan att vid x är kurvans tangentvektor parallell med -e y. Kurvan är sluten och vi kan således använda tokes sats ty vektorfältet är definierat i hela R.Låt oss börja med att beräkna rotationen av A: A x y z,, a) x 2 ay + z) y 2 az z 2 ax + y) Den yta som uppfyller kan vi välja som mantelyta på kvarvarande cylinder samt botten på cylindern. På mantelytan är n x, y, ) och ger således inget bidrag till integralen. Enligt information om omloppsriktningen så är den moturs sett från positiva z-axeln mot origo och därav har vi på botten att ˆn,, 1) lutligen får vi: A dr A d a d πa ˆ 54. Ett vektorfält har potentialen φ x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2) 2. Genom vilken sluten yta är flödet av vektorfältet maximalt? Beräkna det maximala flödet.

2 i börjar med att bestämma vektorfältet genom att ta gradienten av φ. φ 2x 4x x 2 + y 2 + z 2), 2y 4y x 2 + y 2 + z 2), 2z 4z x 2 + y 2 + z 2)) Då vi söker en sluten yta kan vi använda Gauß sats ty vektorfältet är definierat i hela R. φ d φ d 6 12 x 2 + y 2 + z 2) 8x 2 8y 2 8z 2) d 6 2 x 2 + y 2 + z 2)) d Integralens maximala värde erhålls då integranden är positiv i ett så stort område som möjligt. åledes ges ytan vi söker av x 2 + y 2 + z 2, d.v.s. ett klot med radie. Integralens värde ges av: 6 2 x 2 + y 2 + z 2)) d 2π π dφ sin θdθ / 4π 6r 2 2r 4) dr 4π [ 2r 4r 5] / 4π 4π 24 24π 25 12π 125 / ) 6 2r 2 r 2 dr 2 ) 4 9 ˆ 47. Beräkna där fältet A är A d A x, y, z ) och är ytan som omsluter halvklotet { x 2 + y 2 + z 2 R 2 x + y Ytan är sluten och vi använder således Gauß sats ): A d A d Ad x 2 + y 2 + z 2) d π/4 π/4 π R dφ sin θdθ r 4 dr π 2 R5 5 6πR5 5

3 ˆ 11. a) isa med direkt beräkning att Gauß sats inte gäller för A 1 x, y, z) x 2 + y 2 + z 2 /2 ) där är sfärytan med radie R centrerad i origo som omsluter volymen. arför gäller inte satsen? b) Bekräfta med direkt integration att Gauß sats gäller för A i a) när är ytan 1 med radie R 1 samt ytan 2 med radie R 2 och är volymen mellan 1 och 2. c) ilket villkor måste ytan uppfylla för att Gauß sats skall vara uppfylld för A i a)? ˆ Lösning a): i börjar med att bestämma divergensen av A. A 1 x 2 + y 2 + z 2 ) /2 x2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 ) 5/2 Då divergensen är noll borde Gauß sats ge att ): A d Ad men direkt beräkning ger att: A d 1 R atsen gäller ej ty vektorfältet är singulärt i origo. ˆ Lösning b): Rd 4π Klotskalet innesluter ej origo och divergensen av A är noll i hela volymen och således ger Gauß sats att flödesintegralen är noll. En direkt beräkning ger: A d A d + 1 A d 2 1 R R1 1 d 1 1 R 1 R2 2 d 2 4π 4π 2 eftersom ˆn 1 e r och ˆn 2 e r wlog att R 1 R 2

4 ˆ Lösning c): Ytan måste vara enkelt sammanhängande och får ej omsluta origo där vektorfältet är singulärt. Kommentar: Om vi tillåter distributioner så kan vi uttrycka divergensen av A egentligt. A 4πδ r) 4πδx)δy)δz) varvid Gauß sats håller även för ytor som omsluter origo. Kuriosa: ektorfältet A är proportionellt mot det elektriska fältet för en punktladdning och ni kommer stöta på detta problem med tillämpningar i TET:en. ˆ 55. Beräkna för följande vektorfält och kurva : A dr ˆ Lösning c): c) A, x 2, z 2 ) och : gränskurvan till delen av ytan x 2 + y + z 4 1 som ligger i första oktanten, orienterad moturs sett mot origo. Kurvan är sluten och således kan vi använda tokes sats. i börjar med att beräkna rotationen av A: A x y z,, 2x) x 2 z 2 Nu använder vi maskinhantverk och parametriserar ytan naturligt med x och y enligt: rx, y) x, y, 1 x 2 y ) ) 1/4 Normalvektorn ges således av: n r x r y 1 x 2 1 x2 y ) /4 1 y2 1 4 x2 y ) /4 x 1 x 2 y ) /4 y 2, 1 x 2 y ) ) /4, 1, 2 4 vilken har korrekt riktning ty moturs orienterad sedd från origo. Gränserna för upprepad enkelintegration fås nu trivialt ur x 2 + y 1, ty vi har parametriserat m.a.p. x och y. i erhåller ) A dr A d 2 xd {.G.}

5 2 1 1 y ) 1/2 x dx dy 1 1 y ) dy [y y4 4 ] 1 4