22 Vektoranalys och flödesintegraler

Transkript

1 Nr, maj -5, Amelia ektoranalys och flödesintegraler. Mera om gradient ( ), divergens ( ) och rotation ( ) Notera att ett vektorfält är en funktion R 3 R 3 (fetstil F) medan ett skalärt fält är en funktion R 3 R (mager stil f). i rekaitulerar från förra avsnittet att om f är ett skalärt fält så kan gradienten skrivas grad f = f =(fx,f y,f ). Om F är ett vektorfält F(x, y, ) =(P, Q, R) så är divergensen och rotationen div F = F = P x + Q y + R rotf = F =(Ry Q,P Rx,Q x Py). i har alltså tre oerationer med symbolen =( x, y, ), nämligen (grad) (div) och (rot). Notera att gradienten verkar å ett skalärt fält men ger ett vektorfält. Divergensen verkar å ett vektorfält men ger ett skalärt fält. Rotationen verkar å ett vektorfält och ger ett vektorfält. Låt oss definiera C n (R k ) som mängden av alla vektorfält D F R 3 som har kontinuerliga artiella derivator u till och med n å någon öen delmängd D F R 3. Då kan vi säga samma sak som att : C n (R) C n (R 3 ) : C n (R 3 ) C n (R) : C n (R 3 ) C n (R 3 ). Exemel (6) Givet F(x, y, ) =(x 3 y 3, 3y, y ) ilka av följande uttryck har mening: a. grad div rot F b. grad rot div F c. div grad rot F d. div grad div F e. rot div grad F f. rot rot rot F? Beräkna de som har mening. Lösning: Med nabla ( ) kan dessa uttryck skrivas a. ( F) b. ( ( F)) c. ( ( F)) d. ( ( F)) e. ( ( F)) f. ( ( F)). i kommer att behöva F = (x 3 y 3, 3y, y )=3x F = ( y (y3 + 3 ) (3y), (x3 y 3 ) x (y3 + 3 ), x (3y) y (x3 y 3 )) = (3y 3y,, y ).

2 a. Är ( F) väldefinierat? Här är F en vektor så F har mening. Då är F ett skalärt fält så gradienten fungerar. Detta uttryck är väldefinierat. i får ( F) = ( (3y 3y,, y )) (++) = (,, ). b. Är ( ( F)) väldefinierat? Här är ( F) ett skalärt fält, men kan inte verka å ett sådant, så detta uttryck är inte väldefinierat. c. Är ( ( F)) väldefinierat? Här är ( F) en gradient av ett vektorfält, som inte har mening. d. Är ( ( F)) väldefinierat? Ja, här går vektorer och skalärer iho. i får ( ( F)) = (3x ) (6x,, 3+6) = 6+6 =. e. Är ( ( F)) väldefinierat? Nej, för F har inte mening. Oeratorn kan bara verka å ett skalärt fält. f. Är ( ( F)) väldefinierat? Ja, rotationen avbildar vektorfält å vektorfält, så den kan ureas. i åminner: F =(Ry Q,P Rx,Q x Py ). i får å F = (3y 3y,, y ), F = (3y 3y,, y ) = (y,, 6y +3). ( F) = (y,, 6y +3) = ( 6,, ). var: a.(,, ). b. Nej. c. Nej. d.. e. Nej. f. ( 6,, ).. Divergens som källstyrka arför är det rimligt att ufatta divergensen F som källstyrkan av F, alltså hur mycket som skaas i unkten (x, y, ), om F tolkas som ett massflöde? Detta var en motivation till Gauss sats, om än satsens bevis var något annat. Den bevisades ju genom att göra itererad integration ett steg i trielintegralen.

3 Men om vi tar en liten sfär ε (a) runt unkten a =(a,a,a 3 ) och studerar det totala utflödet från denna så är det totala utflödet F bnd. Enligt Gauss sats är detta lika med Z K ε (a) ε (a) Fdxdyd, om K ε (a) är klotet innanför ytan ε (a). Men om ε är liten och F är kontinuerlig så har vi Z Z Fdxdyd F(a) dxdyd. K ε(a) K ε(a) Integralkalkylens medelvärdessats säger att skillnaden mellan högerled och vänsterled går mot noll då ε. i har alltså F bnd ε (a) F(a) Z K ε (a). dxdyd Härifrån kan vi tolka divergensen F(a) som en källstyrka. Den är alltså nettoutflödet F bnd genom ytan (mängden som skaas) er (/) volymsenhet Z ( K ε (a) ε (a) dxdyd). Det är nettoutflödet å grund av att bn är utåtriktad normal..3 Lösta exemel med flödesintegraler Exemel (.7b) Beräkna flödesintegralen F bn ddär F(x, y, ) =(x 3 + y, y 3 +, 3 + x) och K är cylindern {x + y, } med utåtriktad normal. Lösning: i har tre begränsningsytor: cylinderns mantelyta, bottenyta och toyta. Eftersom fältet är deriverbart överallt och ytan är sluten och med utåtriktad normal kan Gauss sats kan användas så snart vektorfältets divergens är beräknad: F = (x 3 + y,y 3 +, 3 + x) = 3x +3y +3. 3

4 å vi får F bnd = {cylindriska koord} = Z Z Fdxdyd = 3(x + y + )dxdyd Z Z π Z = 3[ϕ] π Z 3(r + )rdrdϕd = {ϕ och -integration} [(r )] rdr = 6π[ r + r 6 ] =6π( + 6 ) = 6π 3+ = 5π. var: F bn d= 5π. Exemel 3 (.7b) Beräkna flödesintegralen F bn ddär F(x, y, ) =(xy, x, y) och K är araboloiden { x y }, med utåtriktad normal. Lösning: kärningen mellan araboloiden och xy-lanet ges av = x y, det är alltså en cirkel med radie x y Paraboloiden x y. i har F(x, y, ) = (xy, x, y) = y + y =.

5 Gauss sats ger då F bnd = {cylindriska koord.} = var: F bn d= π. = = Z Z Fdxdyd = ( )dxdyd Z Z π Z Z π Z Z π Z x +y ( d)rdrdϕ (x + y )rdrdϕ r 3 drdϕ = π[ r ] = π. Exemel Beräkna flödesintegralen K är konen x + y =, med nedåtriktad normal. Lösning: i har en kon med höjd F bn ddär F(x, y, ) = (y, x,) x +y och x y x +y Observera att flödet är uåt ( -komonenten nedåt så man kan vänta sig att integralen blir negativ. > ) ochnormalen 5

6 Divergensen är i detta fall (y, x, ) = x + y x = y x + y y x x + y + yx + xy + x + y 3 x + y 3 x + y x + y = x + y. Den är inte definierad i origo, så detta är en generaliserad ytintegral. Om vi betecknar konens cirkulära toyta med = {x + y, =} med normal (,, ), å får vi F bnd = F bnd F bnd + Z {Gauss sats} = r dxdyd F bnd. Cylindriska koordinater täcker volymen med gränserna r, ϕ π och r. i får Z r dxdyd = = π Z Z π Z Z = 6π. r r rdrdϕd ( r)dr =π(6 8) Gränsövergången i origo, där integralen är generaliserad, vållade inte några roblem. På har vi =, så vi får med olära koordinater å F bnd = var: F bnd = 6π. = Z Z π (y, x, ) (,, )dxdy x + y rdrdϕ =3π. r F bnd =6π 3π = 6π. 6