Integraler av vektorfalt. Exempel: En partikel ror sig langs en kurva r( ) under inverkan av en kraft F(r). Vi vill

Transkript

1 Forelasning 6/9 ntegraler av vektorfalt Linjeintegraler Exempel: En partikel ror sig langs en kurva r( ) under inverkan av en kraft F(r). i vill da berakna arbetet som kraften utovar pa partikeln. Mellan punkterna r och r +dr sa ar arbetet dw = F dr: () i kan da berakna arbetet langs hela kurvan genom att berakna integralen W = F dr: () Denna integral ar ett exempel pa en linjeintegral (kurvintegral). ur beraknar vi da en linjeintegral. Linjen langs vilken vi integrerar beskrivs av r( ), dar, det vill saga vi har en parameterframstallning for kurvan. Analogt med den vanliga formeln for variabelbyte ienintegral kan vi da skriva F dr = F dr d () d och efter att ha beraknat skalarprodukten har vi en helt vanlig integral. Lagg har marke till att dr=d ar en tangentvektor till kurvan. princip nns det oandligt manga parametriseringar till kurvan, och rent matematiskt spelar det ingen roll vilken man valjer, fast vissa parametriseringar ger snallare rakningar an andra! bland ar kurvan sluten, det vill saga kurvans start- och slutpunkt sammanfaller. Man skriver da integralen som Fdr: (4) Om Fdr = (5) for varje sluten kurva, sa sages faltet F vara konservativt. For ett konservativt falt F galler att givet en x startpunkt A och en x slutpunkt B, sa beror integralen Fdr (6) inte pa valet av kurvan mellan dessa punkter. Betrakta tva kurvor och mellan A och B. Da kan vi skapa en sluten kurva genom att forst folja kurvan fran A till B, och sedan kurvan baklanges, det vill saga i negativ riktning, tillbaka till A. ntegralen over maste da vara, fast den integralen kan vi ocksa skriva som Fdr = Fdr ; Fdr = (7) ty integralen byter tecken om vi foljer kurvan i fel riktning. Nu foljer det att Fdr = Fdr: (8) Det nns andra typer av linjeintegraler, till exempel dr (9)

2 dar ar ett skalart falt, och F dr: () Exempel: En elektron ror sig langs banan y = x fran ( ) till (L L =) under inverkan av en elektrostatisk kraft F = ee ^y. Berakna det arbete som kraften utfor pa elektronen. Losning : Arbetet ges avintegralen ee ^y dr () dar ar den kurva som elektronen foljer. i kan nu anvanda koordinaten x for att parametrisera var kurva ochskriver kurvan som r(x) =(x x =). Da galler att i kan nu berakna arbetet ur ee ^y dr = L dr dx = ee ^y dr dx dx = x L : () x ee dx = ee x L = ee L : () Losning : Elektrostatiska krafter ar konservativa, sa vikan ersatta kurvan med tva rata linjer, en som gar fran ( ) till (L ) och ar parallell med x-axeln, och enkurva som gar fran (L ) till (L L =) ochar parallell med y-axeln. Arbetet kan nu skrivas som ee ^y dr = ee ^y dr + ee ^y dr: (4) Eftersom kraften overallt ar ortogonal mot kurvan foljer att integralen langs med maste vara noll, sa det aterstar bara att berakna ee ^y dr = ee ^y ^ydr = ee dr: (5) Den sista integralen ger nu langden pa kurvan,vilken ar L =, sa arbetet blir till slut Ytintegraler ee L : (6) Exempel: En vatska med densiteten och hastigheten u strommar genom ett ror med tvarsnittsarean A. Flodet av vatska genom roret (det vill saga kg vatska som per sekund strommar genom roret ar da ua. ad hander da omvatskans hastighet u beror pa avstandet r fran rorets symmetriaxel? sa fall far vi deniera en odestathet u(r) sa att odet genom ett ytelement da blir u(r)da. Omvi tar da som en ring med centrum i symmetriaxeln och med en tjocklek dr sa ar da =rdr och det totala odet genom roret blir R u (r)da = u (r)dr (7) dar R ar rorets radie. For att nu ytterligare komplicera det hela och verkligen blanda in vektorerna sa antar vi att vatskan strommar genom en tvarsnittsarea da,vilken inte ar vinkelrat mot vatskans stromningshastighet u. i antar att vinkeln mellan normalvektorn n till ytan da och vatskans hastighet u ar. Da blir odet genom ytan da uda cos : (8)

3 Om vi nu valjer att deniera en vektor da for ett ytelement med storleken da och riktningen n, sa ser vi att vi kan skriva odet som u da (9) For resten av den har kursen kommer det ofta att vara lampligt att pa detta satt beskriva arean av ett ytelement som en vektor. En komplikation ar forstas att en yta i allmanhet har tva motsatta normalvektorer, och man maste darfor ange vilken riktning som ar positiv. Ytterligare en komplikation ar att det nns ytor for vilka maninte kan deniera normalvektorn pa ettkontinuerligt satt over hela ytan, till exempel Mobius-bandet. i skall inte befatta oss med sadana ytor har, utan begransa oss till orienterbara ytor, ytor som har en insida och en utsida. i kan nu skriva vatskeodet genom en godtycklig yta A som u da () vilket ar ett typiskt exempel pa en ytintegral. A Allmant skriver man ytintegraler over en yta (ofta anvander man i de har sammanhangen for att beteckna en yta) som F d: () For att skilja dessa integraler fran andra ytintegraler, som emellanat forekommer, kallar man dem for normalytintegraler. Om ytan ar sluten sa skriver man F d: () For slutna ytor denierar man den positiva riktningen som den som ges av en vektor som pekar ut fran den inneslutna volymen. Precis som man kan berakna linjeintegralerna genom att parametrisera linjen langs vilken man integrerar kan man berakna ytintegralerna genom att parametrisera ytan langs med vilken man integrerar. killnaden ar att genom att ytan ar tva-dimensionell sa behover man tva parametrar. Antag att ortsvektorerna for punkterna pa ytan kan skrivas som r(v w) dar v och w ar vara parametrar. i kan da bilda tva tangentvektorer till : () Forutsatt att dessa tangentvektorer inte ar parallella, annars maste vi nna en ny parametrisering, kan vi bilda en normalvektor : (4) Analogt med hur vi tidigare uttryckte linjeintegralen med hjalp av var parameter kan vi nu skriva ytintegralen som F dr = F Exempel: Berakna ytintegralen av faltet u =(x z ;y) over cylinderytan x + y = mellan z =och z =. ikan da beskriva punkterna pa ytan genom deras z-koordinat och vinkeln ' som ortsvektorn bildar med ^x-vektorn. Det vill saga r = (cos ' sin ' z), och tangentvektorerna blir =(; sin ' cos ' ) =( ) : (7)

4 Normalvektorn blir i kan sedan berakna integralen som u d = (cos ' z ;sin ') (cos ' sin ' ) d'dz = = + cos ' + z sin ' d'dz = dr dr =(cos' sin ' ) : (8) d' dz ' + sin ' ; z cos ' 4 ; cos ' + z sin ' d'dz dz = dz = : (9) Det nns ocksa andra former av ytintegraler, vilka emellanat anvands: fd () dar f ar en skalar, och vi i detta fall inte betraktar som en vektor. fd () killnaden mot det forsta fallet ar att har behandlas som en vektor. v d () dar v ar en vektorvard funktion. Gauss sats Man kan alltid berakna integralerna enligt denitionerna ovan, men i vissa fall kan man tillampa integralsatser, som forenklar berakningarna. Ett viktigt exempel pa ensadan sats ar Gauss sats. ats: Antag att u ar ett kontinuerligt deriverbart vektorfalt denierat i en volym. ar den slutna ytan som bildar randen till och n ar den utatriktade enhetsnormalen. Da galler att u nd: () Kvantiteten rud = ru kallar vi for divergensen av u. Om man tanker sig att u ar hastigheten for en vatska, sa kan man se divergensen av u i en punkt som ett matt pa hur mycket vatska som strommar ut fran den punkten. Denitionen av divergensen ovan galler bara i kartesiska koordinater, men med hjalp av ytintegralen kan vi konstruera en koordinatoberoende denition av divergensen i punkten P divu = lim! (4) u d (5) dar ar en liten volym omkring P och ar dess yta. Lagg marke tillattvolymen i Gauss sats maste vara sammanhangande, men att det inte ar nodvandigt att ar sammanhangande. kan mycket val besta av ett andligt antal var for sig glatta ytsegment, sa lange som de bara tillsammans bildar en sluten yta. Exempel: Berakna integralen F d (6) 4

5 dar F = F =a(x y ) och ar ytan a ; p x ; y = z, och z a. i kan da borja med att berakna rf =F =a. Eftersom divergense har ett sa enkelt uttryck ar det lockande att anvanda Gauss sats, men ytan ar en kon med spetsen i z =a och oppningen nedat den ar alltsa inte en sluten yta. i kan dock sluta den genom att lagga till en cirkelskiva, i xy-planet med radien a och normalvektorn ;^z. Pa den slutna ytan + kan vi sedan tillampa Gauss sats olymen av konen ar och alltsa blir integralen i kan nu separat berakna + F d = rfd = F a d: (7) d = (a) a = 8a (8) F d = F + a 8a = 6F a : (9) F d (4) men har lagger vi marke till att F saknar en z-komponent, sa F ^z =,ochintegralen over blir ocksa noll. lutligen har vi alltsa F d = 6F a : (4) 4 Konservativa falt och potentialer i har denierat ett konservativt falt som ett falt F sadant att F dr = (4) for varje sluten kurva. Till ett konservativt falt kan vi deniera en potential genom att skriva (r) =; r i ser nu att forandringen av potentialen mellan punkterna r och r+dr ar men denna forandring kan ocksa skrivas som r F dr: (4) d = ;F dr (44) d = rdr: (45) Det foljer darmed att det nns en potential sa att det konservativa faltet F kan skrivas F = ;r: (46) (Faktum ar att ar inte entydigt bestamd. Man kan skapa en ny potential genom att addera en konstant till en potential.) Omvant sa galler att ett vektorfalt pa formen F = ;r har alltid rotationen och ar darmed konservativt. Allmant sa kan vi berakna kurvintegralen fran r A till r B av det konservativa faltet F ur integralen genom rb F dr = B r A A ;r dr d d = (r B) ; (r A ) : (47) 5