ANDREAS REJBRAND Elektromagnetism Coulombs lag och Maxwells första ekvation

Transkript

1 ANDREA REJBRAND Elektromagnetism oulombs lag och Maxwells första ekvation

2 oulombs lag och Maxwells första ekvation Inledning Två punktladdningar q 1 samt q 2 i rymden påverkar varandra med kraften F = q 1q 2 r 2 där r är avståndet mellan dem. Kraften verkar längs den räta linjen mellan laddningarna, och laddningar med samma tecken repellerar varandra, medan laddningar med olika tecken attraherar varandra. Om en stor laddning placeras i origo, så kommer en liten testladdning q att påverkas med kraften F = q r 2 r uttryckt i sfäriska koordinater. Detta är oulombs lag. Det elektriska kraftfältet E kring definieras som kraften per laddning: r 2 r Inom elektromagnetismen postuleras Maxwells fyra ekvationer, vilka tillsammans beskriver elektriska och magnetiska fenomen. Den första ekvationen, som i princip motsvarar oulombs lag, lyder Ed = ε 0 för alla slutna ytor i vakuum som innesluter punktladdningen. Vi ämnar i det här dokumentet studera likheterna och skillnaderna mellan oulombs lag och Maxwells (första) ekvation, som i all väsentlighet bör tolkas som en ekvation i E-fältet. Ekvivalens? Vi börjar med att utreda den mycket centrala frågan, om de två ekvationerna är matematiskt ekvivalenta med varandra. Först ämnar vi visa att oulomb implicerar Maxwell. ats 1 r 2 r Ed = ε 0 Bevis. Om vi låter vara enhetssfären så gäller att 2/8

3 oulombs lag och Maxwells första ekvation r 2 r Ed = 1 r 2 rd = = 2π 2 = ε 0. 2π π 1 r 2 r2 sin θ dθ dφ = Vi ser att Maxwells ekvation åtminstone gäller för enhetssfären som. Vi vore färdiga om vi bara kunde visa att värdet av flödesintegralen är detsamma oavsett vilken sluten yta vi integrerar över. Detta låter sig göras med Gauss sats. Antag att vi vill beräkna flödet över ytan i illustrationen nedan. 0 0 n K n Om K = så gäller enligt Gauss sats att Men eftersom Ed = Ed + Ed = EdV. + K r 2 r = 1 r 2 sin θ r r 2 r2 sin θ = 0 så måste Ed = Ed. Om vi istället beräknar flödet ut ur enhetssfären, som tidigare, så får vi att Ed = ε 0 för alla slutna ytor som omsluter punktladdningen. 3/8

4 oulombs lag och Maxwells första ekvation Vi har således visat att Maxwells ekvation följer av oulombs lag, så om vi bara accepterar denna, har vi bevisat Maxwell. Vi har emellertid ännu inte undersökt om Maxwell innehåller all information alla detaljer som finns i oulombs lag; till exempel kan man undra om oulombs uttryck för E-fältet är den enda lösningen till Maxwells ekvation. Om vi lyckas visa att också oulombs lag följer av Maxwells ekvation så råder alltså ekvivalens mellan ekvationerna, och vi är klara. Vi väljer att visa detta under den fysikaliskt sett uppenbara förutsättningen att E r r r. För att åstadkomma detta behöver vi följande hjälpsats. emma 2 Ed = 0 utanför origo ε 0 Bevis. I Maxwells ekvation ingår påståendet att flödet är oberoende av vilken sluten yta vi väljer att integrera över. Om vi beräknar flödet ut ur den ihåliga kroppen K som består av en yttre begränsningsyta y och en inre begränsningsyta i, så att K = y i, så gäller Gauss sats Ed = Ed + Ed = EdV. i + y i y K Men eftersom flödet utåt skall vara oberoende av ytan så måste Ed = Ed y i (minustecknet kommer av att vi över i beräknar flödet inåt), varför och följaktligen 0. K EdV = 0 Redan här får vi reda på något om E-fältets explicita uttryck. Vi inser nämligen att om E 0 så måste E r r r = 1 r 2 sin θ r E r r r 2 sin θ = 0 E r r = k r 2. 4/8

5 oulombs lag och Maxwells första ekvation ats 3 Om E r r r så gäller Ed = ε 0 r 2 r. Bevis. I analogi med användningen av Gauss sats i första beviset gäller att där vi enkelt finner att Ed = E dv K =0 Ed = Ed = Ed, ε 0 2π π Ed = E r r rd = E r r r 2 sin θ dθ dφ = E r r r 2 2π 2 = 4πE r r r varför Men eftersom Maxwell påstår att Ed = Ed = 4πE r r r 2. så måste Ed = ε 0 E r r = r 2. Flera laddningar Om vi har n stycken laddningar kommer en testladdning att påverkas av n stycken krafter, vilka superponeras till en resulterande kraft. oulombs lag ger F = n i=1 i q 2 r r i, i där i, r i och r i är laddningen hos punktladdning i, avståndet mellan laddningen och fältpunkten respektive riktningen på delkraften, varför det elektriska fältet blir 5/8

6 oulombs lag och Maxwells första ekvation n i=1 i 2 r r i. i Om vi har en kontinuerlig laddningstäthet (längs en kurva, en yta eller i en kropp i rummet) ρ (enhet /m, /m 2 eller /m 3 ), erhåller vi rimligtvis en integral som uttryck för fältet: l ρdl r 2 r (Beroende på dimension får vi ρd r 2 r eller V ρdv r r 2.) Maxwells ekvation Ed = kan också användas i dessa fall, vilket kommer av att integ- ε 0 rationsoperationen är linjär. Adderar vi nya laddningar i högerledet, så får vi också addera extra fält i integranden i vänsterledet. Vi har alltså två sätt att beskriva E-fältet på, dels ett explicit sätt i form av oulombs lag, och dels ett implicit sätt i form av Maxwells ekvation. Man kan tycka att Maxwells ekvation är överflödig, eftersom man gärna föredrar explicita samband snarare än implicita sådana. Emellertid skall vi se att Maxwells ekvation ibland kan vara räknetekniskt överlägsen. E-fältet kring en linje i rummet Vi skall nu beräkna E-fältet runt en rät linje i rummet med den konstanta linjeladdningstätheten ρ (dimension /m). Vi börjar med en tämligen naiv beräkning med integration av oulombs kraft längs linjen. z r O Vi använder först ett cylindriskt koordinatsystem r, φ, z, O. Vi inser av symmetriskäl att det elektriska fältet inte kan bero på vinkeln ϕ, varför vi i praktiken kan nöja oss med att beräkna fältet i ett plan som innehåller linjen. Vi tar oss därför friheten att räkna med kartesiska koordinater. z O y y r α (0, y, z) r z Vi summerar samtliga kraftbidrag från området y ], [, där är mycket stort, och beräknar fältet i punkten (0, y, z). Enligt observationen ovan bestämmer vi alltså endast fältet i planet x = 0. 6/8

7 oulombs lag och Maxwells första ekvation Vi får ρdy r 2 r = ρ dy r 2 Vi inser att alla bidrag i y-led kommer att summera till noll av symmetrin, så vi sluter oss till att E z z z. Vi kan då för enkelhets skull på en gång börja räkna skalärt, och bara summera kraftkomponenterna i z-led. Om den totala kraften från en liten laddningspunkt är lika med F, så inser vi att komponenten i z-led är lika med F z = F sin α, där α = arctan z y y. Men eftersom sin arctan p = q p så har vi F z p 2 +q 2 z = F z 2 + y y 2. Vi får integralen r. ρz dy r 2 sin α dy z 2 + y y 2 dy z 2 + y y 2 3/2 y y+ dt z 2 + t 2 3/2 = z z 2 + y y = 2 t = y y dt = dy y t y y t y + y+ y dt z 2 + t 2 3/2. = Man kontrollerar enkelt att varför d dt t z 2 t 2 + z 2 = 1 z 2 + t 2 3/2 ρz y+ t z 2 t 2 + z 2 4πε y 0 y + z 2 y z y 2 z 2 y 2 + z. 2 Om är mycket stort (går mot oändligheten) kan vi försumma alla termer i täljarna förutom, och i nämnarna kan vi försumma alla termer förutom 2 under rottecknet, så vi får att gränsvärdet av differensen inom parentesen blir + = 2 z 2 z 2 z 2. lutligen får vi alltså Maxwells ekvation ρz 2 = z = zz = ρ z2 2πε 0 z z. Vi borde också kunna härleda E-fältet med Maxwells ekvation; om inte annat så kan vi ju alltid återfå oulombs lag från den, men vi märker strax att det inte är nödvändigt. Vi lägger en sluten cylinder med radien r med symmetriaxeln på linjen. 7/8

8 oulombs lag och Maxwells första ekvation O Eftersom fältet enbart har en radiell komponent blir flödet noll genom cylinderns ändytor; flödet genom mantelytan blir däremot ortogonalt, och därmed lika med fältets belopp gånger ytans area. Vi får alltså omedelbart att Ed = 2rπ 2 E ε r r = 0 ρ 2πε 0 r r. ρ 2 ε 0 E r r = ρ 2πε 0 r Vi märker alltså att Maxwells ekvation är extremt mycket lättare att använda, än oulombs lag, vid beräkning av E-fält kring laddningsfördelningar med olika geometri. Maxwells ekvation må vara implicit, men extremt praktisk. 8/8