1.1 Gradienten i kroklinjiga koordinatsystem

Transkript

1 1 Föreläsning Gradienten i kroklinjiga koordinatsystem Sats 1 i sfäriska koordinater; i cylindriska koordinater. Bevis. I kartesiska koordinater har vi att Φ = r ˆr + 1 r θ ˆθ + 1 ˆϕ (1 r sin θ ϕ Φ = ρ ˆρ + 1 ˆϕ + ρ ϕ z ẑ (2 Φ = ˆx + x y ŷ + z ẑ. Nu skriver vi om detta i ON-basen ˆr, ˆθ, ˆϕ: Φ = A rˆr + A θ ˆθ + Aϕ ˆϕ. Vi kan hitta koefficienterna A r, A θ, A ϕ med hjälp av skalärmultiplikation med ˆr, ˆθ, ˆϕ. Vi har A r = Φ ˆr = 1 Φ dr h r dr = 1 ( x h r x r + y y r + z = z r r. För att kontrollera sista likheten använder man kedjeregeln. Likadant, A θ = Φ ˆθ = 1 Φ dr h θ dθ = 1 ( x h θ x θ + y y θ + z = 1 z θ r θ A ϕ = Φ ˆϕ = 1 Φ dr h ϕ dϕ = 1 ( h ϕ x x ϕ + y y ϕ + z z ϕ Dessa beräkningar medför (1. Likheten (2 bevisas på samma sätt. Ex. a. Med hjälp av (1 får man = 1 r sin θ ϕ. r = ˆr, (3 θ = 1 r ˆθ, ϕ = 1 r sin θ ˆϕ 1

2 b. Med hjälp av (2 får man ρ = ˆρ, ϕ = 1 ρ ˆϕ z = ẑ. Ex. Bestäm en potential till ˆr/r 2. Lösn. Man måste lösa ekvationen eller enligt (1 Φ = ˆr r 2 r ˆr + 1 r θ ˆθ + 1 r sin θ ϕ ˆϕ = ˆr r 2. Man kan skriva detta som tre skalära ekvationer r = 1 r 2, 1 r θ = 0, 1 r sin θ ϕ = 0. Från de sista två ekvationerna får man att Φ bara beror på r, dvs Φ = Φ(r. Nu får man från första ekvationen att Φ(r = 1/r. 1.2 Divergensen i kroklinjiga koordinatsystem Sats 2 (i Låt Då är A = 1 r 2 i sfäriska koordinater. (ii Låt Då är i cylindriska koordinater. A = A rˆr + A θ ˆθ + Aϕ ˆϕ. r (r2 A r + 1 r sin θ θ (sin θa θ + 1 r sin θ A = A ρ ˆρ + A ϕ ˆϕ + A z ẑ. ϕ A ϕ (4 A = 1 ρ ρ (ρa ρ + 1 ρ ϕ A ϕ + z A z (5 2

3 Bevis. (ii Först räknar vi ut divergensen av ortvektorerna ˆρ, ˆϕ ẑ. Med hjälp av definitionen av divergensen har vi ( x ˆρ = ρ, y ρ, 0 = x( x + ( y = 1 ρ y ρ ρ x2 ρ ρ y2 ρ 3 = 1 ρ Likadant Dessutom kan man kolla att (6 ( y ˆϕ = ρ, x ρ, 0 = 0 (7 ẑ = (0, 0, 1 = 0. (8 (ΦB = Φ B + Φ B för ett skalärfält Φ ett vektorfält B. Vi använder den här formeln för att få (A ρ ˆρ + A ϕ ˆϕ + A z ẑ = A ρ ˆρ + A ρ ˆρ + A ϕ ˆϕ + A ϕ ˆϕ + A z ẑ + A z ẑ = Nu använder vi formeln (2 för gradienten i cylindriska koordinater formlerna (6 (8 = A ρ ρ + A 1 ρ ρ + 1 ρ A ϕ ϕ + A ϕ0 + A z z + A z0. Man kan kontrollera att detta sammanfaller med högerledet av (5. Likheten (4 bevisas likadant. Ex. a. Bestäm alla Φ = f(r som uppfyller Laplaces ekvation Lösn. Enligt (1 har vi att Nu får vi med hjälp av sats 2(i att Φ = 2 Φ x Φ y Φ = 0. (9 z2 Φ = df ˆr = r dr ˆr. Φ = 1 r 2 Därför kan man skriva om (9 som d ( r 2 df. dr dr 1 d ( r 2 r 2 df = 0. dr dr 3

4 Detta medför att eller eller r 2 df dr = a df dr = a r 2 f(r = a r + b där a b är två godtyckliga konstanter. 1.3 Rotationen i kroklinjiga koordinater Sats 3 1 ˆr rˆθ r sin θ ˆϕ (A rˆr + A θ ˆθ + Aϕ ˆϕ = r 2 sin θ r θ ϕ A r ra θ r sin θa ϕ i sfäriska koordinater (10 (A ρ ˆρ + A ϕ ˆϕ + A z ẑ = 1 ρ ˆρ ρ ˆϕ ẑ ρ ϕ z A ρ ρa ϕ A z (11 i cylindriska koordinater. Bevis. Om Φ är ett skalärfält så (ΦA = ( Φ A + Φ( A. (12 Låt A = A rˆr. Om man använder (12 att r = ˆr (se (3 så får man (A rˆr = (A r r = A r r +A r ( r = A r r +A r ( r. Eftersom rotationen av gradienten är 0 (se öv.1.6 a i exempelsamlingen är högerledet ( Ar = A r r = r ˆr + 1 r = 1 A r r θ ˆϕ + 1 r sin θ A r θ ˆθ + 1 A r r sin θ ϕ ˆϕ ˆr A r ϕ ˆθ. (13 Högerledet i (10 är lika med (om A θ = A ϕ = 0 1 ( Ar r 2 sin θ ϕ rˆθ A r θ r sin θ ˆϕ (14 4

5 Jämför vi (13 (14 ser vi att (10 gäller för A = A rˆr. Fallen A = A θ ˆθ A = Aϕ ˆϕ betraktas likadant. Nu, summerar man dessa tre fall får man (10. Formeln (11 kan bevisas på samma sätt. Ex. Tentamen TATM 41 Vektoranalys 4 juni 1999, uppg.1. Bestäm ett tal a sådant att vektorfältet A = (2ρz + ρ 2 sin ϕˆρ + aρ 2 cos ϕ ˆϕ + (ρ 2 + zẑ har en potential ange denna. Lösning. A har potential om A = 0. Med hjälp av (11 har vi att A = 1 ˆρ ρ ˆϕ ẑ ρ ρ ϕ z (2ρz + ρ 2 sin ϕ ρaρ 2 cos ϕ (ρ 2 + z = 1 ρ (3aρ2 cos ϕ ρ 2 cos ϕẑ. Så man måste ha att a = 1/3 för att rotationen ska bli 0. Ekvationen för potentialen blir Φ = (2ρz + ρ 2 sin ϕˆρ ρ2 cos ϕ ˆϕ + (ρ 2 + zẑ. Nu använder vi (2 skriver om detta som tre skalära ekvationer Först löser vi ekvationen (15. Vi får Nu använder vi detta för att lösa (16: eller f(ϕ, z = g(z. Alltså ρ = 2ρz + ρ2 sin ϕ, (15 1 ρ ϕ = 1 3 ρ2 cos ϕ, (16 z = ρ2 + z. (17 Φ = ρ 2 z ρ3 sin ϕ + f(ϕ, z. 1 ρ ϕ = 1 3 ρ2 cos ϕ + 1 ρ f ϕ = 1 3 ρ2 cos ϕ Φ = ρ 2 z ρ3 sin ϕ + g(z. 5

6 Nu använder vi detta för att lösa (17: eller z = ρ2 + dg(z = ρ 2 + z dz g(z = 1 2 z2. Svar: a = 1/3; potentialen till A är ρ 2 z ρ3 sin ϕ + z2 2. 6