Lösningar till uppgifter i magnetostatik

Transkript

1 Lösningr till uppgifter i mgnetosttik Uppgift 1 Metodvl: Biot-Svrts lg ing symmetrier som kn nvänds. Biot-Svrts lg evluerd i origo r = är B = µ 4π dr r r = µ dr r 4π r Linjeelementet dr bestäms v slingns prmeterfrmställning genom L r φ = ˆxrφcosφ+ŷrφsinφ = rφˆxcosφ+ŷsinφ dr = dr φ drφˆxcosφ+ŷsinφ dφ = dφ dφ dφ { } drφ = dφ ˆxcosφ+ŷsinφ+rφ ˆxsinφ+ŷcosφ dφ ntegrndens täljre blir dr r = ẑr φdφ, och den mgnetisk flödestätheten origo blir B = ẑ µ π dφ 4π rφ det ktuell fllet blir B = ẑ µ 4π π e bφ dφ+ π π L e bφ dφ = ẑ µ 1 e bπ πb Svret är rimligt den mgnetisk flödestätheten i origo bör br h en positiv z-komponent. Uppgift b z Vi räknr ut den mgnetisk flödestätheten B med Ampères lg. Av symmetriskäl hr fältet formen Br = Br c ˆφ. Ampères lg tillämpd på centrerd kurv med rdie r c ger, < r c < πr c Br c = µ, < r c < b, r c > b

2 vilket ger För övrigt är fälten noll. Br = µ πr c ˆφ, < rc < b b Det mgnetisk flödet genom en längdsektion längd l v kbeln blir b Φ = l Br ˆφdr b c = lµ dr c = lµ πr c π ln b vilket ger självinduktnsen L per längdenhet L = Φ l = µ π ln b c Som kontroll kn vi räkn ut den upplgrde mgnetisk energin per längdenhet. Den upplgrde energin per längdenhet i koxilkbeln är V är volymen i området melln ledrn på en längd l, dv = r c dr c dφdz W m = 1 lµ V B Bdv = 1 b πl lµ µ 4π r c vilket vid jämförelse med uttrycket W m = L / ger r c dr c = µ 4π b dr c r c = µ 4π ln b L = µ π ln b Uppgift Metodvl: Biot-Svrts lg fältet på en symmetrixel skll beräkns. Den konstnt mgnetiseringen M = Mẑ hr en ekvivlent ytströmtäthet J bs = M ˆn på mgnetens mntelyt topp- och botten-ytn bidrr ej då ytnorml och M där är prllell. Dess strömmr är en konsekvens v de bundn strömmrn i mterilet. Ytströmtätheten på mntelytn blir J bs = M ˆr c = Mˆφ, r c = Biot-Svrts lg ger nu den mgnetisk flödestätheten på z-xeln r = zẑ källpunktsvektorn

3 r = ˆr c +z ẑ och ds = r c dφ = dφ. Bzẑ = µ J bs r zẑ r 4π zẑ r ds S = Mµ π h/ ˆφ z z ẑ ˆr c dφ 4π h/ +z z / = Mµ π h/ ˆr c z z 4π h/ +z z dz dφ + ẑm µ / =ẑm µ =ẑmµ h/ h/ +z z = ẑm µ / { z z =h/ z +z = ẑmµ z = h/ z h/ z h/ z h/ h/ +z / h/ z +h/ z + +z z / } h/+z +h/+z Uppgift 4 Driv en ström genom spolen som befinner sig i origo och bestäm flödet genom spolen i punkten b,b,b. Spolen i origo hr det mgnetisk momentet m = Nπ ẑ Vi nvänder dipolpproximtionen för tt bestämm mgnetisk flödestätheten i punkten b,b,b. Dipolpproximtionen ger Br = µ m ˆrcosθ + 4πr ˆθsinθ 1 Det gäller tt först bestämm r, cosθ, sinθ, cosφ, sinφ, ˆr, ˆθ då r = b,b,b. Vi får: r = r = b +b +b = b cosθ = z r = b b = 1 sinθ = 1 cos θ = cosφ = x b = r c b +b = 1 sinφ = 1 cos φ = 1 ˆr = r r = 1,1,1 1 1 ˆθ = cosθcosφ,cosθsinφ, sinθ =,, 6 6

4 Flödet genom spolen i punkten b,b,b ges v Φ 1 = π ˆx Bb,b,b Allt vi behöver för tt bestämm Φ 1 finns i ekvtionern 1, och. Det ger Φ 1 = π µ m 4π b + 1 = µ m 1 b Ömsesidig induktnsen ges v M = N Φ 1 = N µ π 4 1 b b För tt mximer ömsesidig induktnsen skll vi vrid spolen så tt flödet mximers. Det betyder tt spolens symmetrixel skll vr prllell med B. Symmetrixeln skll lltså pek längs riktningen ˆn = ± Bb,b,b Bb,b,b = ±1,1, Mximl ömsesidig induktnsen blir M mx = Nπ Bb,b,b där Bb,b,b = µ m 4cos θ+sin θ = µ m 4πr Det ger πr. Uppgift 5 Flödet genom slingn ges v M mx = N µ π 4 6 6b Φt = + ŷ Bx,b,zdx Mgnetisk flödestätheten runt en lång rk ledre längs z xeln ges v en punkt r = x,b,z gäller B = µ πr cˆφ r c = x +b ˆφ = brc, xrc Flödet kn därmed skrivs Φt = µ π + x x +b dx

5 Vi behöver inte lös integrlen för tt bestämm emk:n utn deriverr m..p. integrtionsgränsern. Det ger E = dφt = µ v + dt π + +b +b Det ger strömmen it = E R = µ v πr +b + + +b Uppgft 6 Högertrebensregeln ger mgnetfältet Hz,t = E sinωt kzŷ sinωt kxŷ där är vågimpednsen för vkuum. Vi ser tt mgnetfältet är noll i ll pln x = z +nπ/k där n är ett godtyckligt heltl. b Tidsmedelvärdet v strålningsvektorn ges v där E och H är de komplex fälten Därmed S = 1 Re{E H } E = E e ikzˆx+e ikx ẑ H = E e ikz e ikx ŷ S = E Re{1 e ikz x ẑ +1 e ikx zˆx} = E 1 coskz xˆx+ẑ Vi ser tt S = i ll pln x = z +nπ/k. Vi ser också tt S ntr sitt mximl värde S = E ẑ + ˆx i ll pln där x = z +n+1π/k.