Tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 och Modellering och simulering inom fältteori för F3, 17 december, 2007, kl. 8 13, lokal: Gasque

Transkript

1 Tentmen i Elektromgnetisk fältteori för π och Modellering och simulering inom fältteori för F, 17 decemer, 2007, kl. 8 1, lokl: Gsque Kursnsvrig lärre: Gerhrd Kristensson, tel & Anders Krlsson tel Tillåtn hjälpmedel: Formelsmling i Elektromgnetisk fältteori (låneexemplr finns tillhnd) smt klkyltor. Vrje uppgift ger mximlt 10 poäng. Deletyget på tentn ges v (totl poäng)/10. Prolem 1 ¾ En koxilkel (metllisk ledre med innerrdie och ytterrdie ) hr till hälften livit fylld v en lednde vätsk med ledningsförmåg σ. Bestäm resistnsen per längdenhet melln ytter- och innerledren. Prolem 2 c P En kropp är till det yttre formd som ett klot med rdie. Inuti kroppen finns ett klotformigt hålrum (rdie, <), vrs centrum är förskjutet från klotets centrum med en sträck c (c < ), se figur. Kroppen hr konstnt lddningstäthet och är totlt upplddd med lddningen. Beräkn det elektrisk fältet i hålrummets centrum P.Lösningen v prolemet dels lämpligen upp i två delr: ) Beräkn det elektrisk fältet i punkten P för ett homogent upplddt klot (dvs. ett klot utn hålrum med totl lddning ). ) Beräkn det elektrisk fältetihålrummets centrum P för kroppensomeskrivs i uppgiften.

2 2 Prolem l z Ett tunt, öppet rör, rdie och längd l, estår v ett isoltormteril. öret hr livit upplddt med en jämnt fördeld, konstnt ytlddningstäthet så tt rörets totl lddning är. ) Bestäm potentilen V (z) längs rörets symmetrixel (z-xeln). ) Ett litet metllklot (rdie, l) hr den totl lddningen. Hur stort yttre rete W krävs för tt för metllklotet från stort vstånd till rörets centrum. Lämplig integrl: dx x2 + 2 =ln( x x) Prolem 4 d S Beräkn den ömsesidig induktnsen M melln två pln slingor, som ligger seprerde på två prllell pln. Den en slingn är liten och hr en yt S, medn den ndr är en cirkulär sling med rdien. Avståndet melln den lill slingn och den större slingns pln är d, se figur.

3 Prolem 5 B l v h ¾ I För tt mät hstigheten på en strömmnde vätsk, t.ex. för tt uppsktt vätskeflödet i ett sund, å eller knl, kn mn nvänd en metod som viss i figuren. Vi ntr tt den strömmnde vätskn med ledningsförmågn σ flyter i en knl med redd och djup h. Vidre nts det jordmgnetisk fältet (mgnetisk flödestäthet) vr konstnt och vertiklt riktt, B = Bẑ (z-xeln nts vr vertiklt uppåtriktd). Längs knlens knter finns elektroder v längd l, som är mycket längre än knlens redd. En yttre krets nsluts vrs resistns är. Lös följnde delprolem: ) Bestäm strömmen I 0 ivätskn då kretsens resistns är noll, = 0, smt uttryck vätskns frt v i ngivn storheter och strömmen I 0 ) Bestäm strömmen I i den elstnde kretsen då kretsens resistns är skild ifrån noll, 0, och uttryck den strömmnde vätskns frt v i ngivn storheter och strömmen I Prolem 6 B En olednde sfär hr rdien och mssn m. Två tunn sml metllnd är fststt på sfären, enligt figur. Mn låter sfären rull utför ett sluttnde pln som ildr vinkeln α med horisontlplnet. I vertikl led finns en strk homogen mgnetisk flödestäthet B = B 0 ẑ. Ett tg efter det tt mn släppt sfären rullr den med konstnt frt v nedför plnet. Vrder ndet ildr en sluten sling med resistnsen och försumr självinduktns. Bnden är elektriskt isolerde från vrndr. ullmotståndet och luftmotståndet är försumr. Bestäm frten v. Använd effektkonservering på hel systemet då konstnt hstighet upp- Ledning: nåtts.

4 Lösningr till tentmen i Elektromgnetisk fältteori för π, 17 decemer, 2007, kl. 8 1, lokl: Gsque Lösning prolem 1 Det elektrisk fältet i området melln ytter- och innerledre hr v symmetri- och rndvillkors-skäl följnde utseende E = E(r c )ˆr c där r c är vståndet till koxilkelns centrumlinje. Funktionseroendet hos E(r c ) ges v Guss lg (ntg tt en fri lddning /l.e. existerr på innerledren). Per längdenhet får vi följnde (S en cylinderyt med rdie r c ): D ˆn d = = πr c ɛ 0 E(r c ) + πr c ɛ 0 ɛ r E(r c ) = = E(r c ) = πr c ɛ 0 (1 + ɛ r ) S och potentilskillnden V = V (innerledre) V (ytterledre) lir V = innerledre ytterledre E dl = dr c πɛ 0 (1 + ɛ r ) r c = ln(/) πɛ 0 (1 + ɛ r ) = E(r c) = V r c ln(/) Ohms lg ger strömtätheten J(r c ) = σe(r c ), och strömmen I per längdenhet, givet v I = J ˆn d = σe()π = σ V π ln(/) vilket ger resistnsen S = V I = ln(/) πσ Lösning prolem 2 ½ z = + ½ {½ Lösningen ygger på en superposition v två lddningstätheter ρ 1 = ρ och ρ 2 = ρ där ρ 1 fyller ett homogent klot med rdie plcerd i origo och den ndr ρ 2 fyller ett homogent klot med rdie som är plcert i punkten c längs z-xeln, se figur.

5 2 Lddningstäthet ρ estäms genom tt kroppens totl lddning skll vr. = 4π ρ 1 + 4π ρ 2 = 4π( ) ρ = ρ = 4π( ) Vi etecknr den totl lddningen hos de åd kloten 1 respektive 2. Explicit värden är 1 = 4π ρ, 2 = 4π ρ Det elektrisk fältet från ett klot med rdien och lddningstäthet ρ 1 fås ur Guss lg. Av symmetriskäl kn det elektrisk fältet endst ero på vståndet till origo, r, och vidre kn fältet endst h en rdiell komponent, dvs. E(r) = E(r)ˆr. Funktionseroendet hos E(r) ges v Guss lg. Vi får följnde (S en sfärisk yt med rdie r): 4πr 2 E(r) = S E(r) ˆn d = enc /ɛ 0 = E(r) = E(r)ˆr = encˆr 4πɛ 0 r 2 Den inneslutn lddningen är 4πr ρ 1, 0 r enc = 4π ρ 1, r Dett ger det elektrisk fältet, E(r) = E(r)ˆr, där E(r) = ρ r, 0 r 1 ɛ 0 r, r 2 På smm sätt eräkns fältet från lddningsfördelningen i det lill klotet med rdie. Till det elektrisk fältet i punkten P idrr endst klotet med rdien, eftersom fältet från det mindre klotet eräkns i dett klots centrum, vilket ger fältet noll. Totl fältet i punkten r = cẑ lir därför Sätter vi in lddningstätheten får vi E(r) = E(r) = ρ 1c ɛ 0 ẑ c 4πɛ 0 ( )ẑ

6 Lösning prolem ) örets konstnt ytlddningstäthet ρ S ges v ρ S = 2πl Potentilen i en punkt på vståndet z från rörets centrum längs rörets symmetrixel ges v (fältpunkt r = zẑ, källpunkt r = ˆr c + z ẑ, vilket medför inördes vstånd r r = 2 + (z z) 2, och d = dφ dz ) V (z) = 1 4πɛ 0 öret Evluer integrlern V (z) = l/2 4πɛ 0 l l/2 ρ S d r r = 1 4πɛ 0 dz 2 + (z z) 2 = 2π l/2 2πl 0 l/2 dz dφ 2 + (z z) 2 ( ) 4πɛ 0 l ln z z z=l/2 z ) z = l/2 z eller V (z) = (l/2 4πɛ 0 l ln z) l/2 z (l/2 + z)2 + 2 l/2 z ) Speciellt gäller V (0) = 4πɛ 0 l ln (l/2) l/2 (l/2)2 + 2 l/2 = ( ) 2πɛ 0 l ln (l/2) l/2 och V (z ) = 0 Om det lill metllklotet etrkts som en punktkäll, lir retet W tt för klotet från stort vstånd (z ) till rörets centrum: W = V (0) = ( ) 2 2πɛ 0 l ln (l/2) l/2

7 4 Lösning prolem 4 r d Fältet från den verikl dipolen i origo är B 1 (r) = µ ( 0m 2 cos θ ˆr + sin θ 4πr ˆθ ) där m = SI 1, där I 1 är den tänkt strömmen genom den mindre slingn. För tt eräkn flödet v dett fält genom den större slingn, låter vi den cirkulär slingn vr del v en sfärisk sektor. dien hos denn sfär är r och dess öppningsvinkel är α. Dess storheter estäms v r = 2 + d 2, tn α = d Flödet genom den större slingn lir då (ˆn = ˆr) α µ 0 m Φ 2 = B 1 (r) ˆn d = 2π 4πr 2 cos θr2 sin θ dθ = µ 0m r S 2 Beräkning v den återstående integrlen Φ 2 = µ 0m r 1 cos α vilket ger den ömsesidig induktnsen 0 α 0 cos θ sin θ dθ x dx = µ 0SI d 2 sin2 α = µ 0SI d 2 tn 2 α tn 2 α + 1 M = Φ 2 I 1 = µ 0 S 2 2 ( 2 + d 2 ) /2 Alterntiv lösning: Använd vektorpotentilen A 1 (r) från dipolen (m = mẑ) A 1 (r) = µ 0 m r 4π r och estäm flödet Φ 2 genom tt eräkn tngentlinjeintegrlen över den större slingn L 2 (r = ˆr c + dẑ, r = 2 + d 2, dr = ˆφ dφ) 2π µ 0 m r mµ 2π 0 Φ 2 = A 1 (r) dr = dr = (ẑ ˆr 0 4π r 4π ( 2 + d 2 ) /2 c ) ˆφ dφ 0 }{{} L 2 2

8 5 vilket ger resulttet M = Φ 2 I 1 = µ 0 S 2 2 ( 2 + d 2 ) /2 Lösning prolem 5 v x B l { z { + E + ¾ h y I Med koordintxlr enligt figur får vi B = Bẑ, v = vˆx På lddningsärrn i vätskn verkr två fält (krfter) ett inducert fält (impressed) E i = v B = vbŷ och ett elektriskt fält E = Eŷ. Dess fält är relterde till stömtätheten J i vätskn vi Ohms lg, dvs. J = σ(e + E i ) = σ(vb E)ŷ Den totl strömmen genom elektrodern och elektrolyten etecknr vi med I, och denn eräkns till (konstnt strömtäthet nts) I = hlj y = hlσ(vb E) ) Då den yttre kretsen hr resistns noll är potentilskillnden melln elektrodern noll vilket leder till E = 0 och I 0 = hlσv eller ) För sttionär förlopp gäller L v = I 0 hlσb E dr = 0

9 6 vilket ger E = E dr = E dr = I Vi får Elektrolyt ur vilken vi estämmer frten v Utnför ( I = hlσ(vb E) = hlσ vb I ) v = I( + hlσ) hlσb Lösning prolem 6 Vid konstnt frt v är vinkelfrekvensen ω = v/. Om vi låter t = 0 då sling 1 är i horisontlplnet och sling 2 är i vertiklplnet ges flödet genom slingorn v { Φ 1 (t) = π 2 cos ωt för sling 1 Φ 2 (t) = π 2 sin ωt för sling 2 Motsvrnde inducerde emker ges v E 1 (t) = dφ 1(t) = π 2 ω sin ωt för sling 1 dt E 2 (t) = dφ 2(t) = π 2 ω cos ωt för sling 1 dt Summn v effektutvecklingrn i de åd nden ges v P = (E 1(t) 2 + E 2 (t) 2 ) = π2 4 ω 2 (sin 2 ωt + cos 2 ωt) = π2 4 ω 2 = π2 v 2 2 Energin är konserverd och därmed är effektutvecklingen i nden lik med den meknisk effekten P mek = mg dh(t) = mgv sin α dt Dett ger och π 2 v 2 2 = mgv sin α v = mg π 2 2 sin α