Skriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (ETE055)

Transkript

1 Skriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (ETE055) Ti och plats: 3 augusti, 017, kl , lokal: MA10 A och B. Kursansvarig lärare: Aners Karlsson, tel Tillåtna hjälpmeel: Formelsamling i elektromagnetisk fältteori samt kalkylator. Betygsättning: Varje uppgift ger maximalt 10 poäng. Slutbetyget på tentan ges av heltalselen av (totalt antal poäng)/10, ock högst 5. 1 En linjärpolarisera våg har et elektriska fältet E(z, t) = E 0 cos(kz ωt)ˆx a) Lägg till en våg E 1 (z, t) så att en totala vågen är linjärpolarisera längs riktningen x = y. b) Lägg i stället till en våg E (z, t) så att en totala vågen är cirkulärpolarisera. c) Lägg i stället till en våg E 3 (z, t) så att en totala vågen är en ståene våg som är linjärpolarisera i x le. Lening: Det kan finnas flera lösningar, men et räcker att u presenterar en för varera eluppgift. x a a -a -a i(t) + V V + z En lång rak leare ligger parallellt me z axe i planet y = 0. Learen för strömmen i(t) = I 0 cos ωt och et är vakuum omkring learen. För att bestämma learens läge i x le använer man sig av två kvaratiska nästan slutna slingor, varera me sian a, enligt figur. I varje slinga finns en voltmeter som mäter effektivväret av spänningen som inuceras i slingans luftgap. Bestäm kvoten V 1 /V av effektivvärena V 1 och V som funktion av en raka learens läge x, för a < x < a. Lening: Effektivväret är toppväret elat me. Effektivväret av en spänning v(t) = V 0 sin(ωt) är alltså V 0 /. Komentar En liknane meto använs för att bestämma läget på partikelstrålar i acceleratorer.

2 3 z slinga B slinga A x En liten cirkulär metallslinga (slinga A) me raien a ligger i planet z = 0 och har sitt centrum i origo. En likaan slinga (slinga B) har samma orientering som slinga A men har sin mittpunkt i planet y = 0 och på avstånet R från origo, är R a. a) Det finns fyra punkter är slinga B kan placeras så att ömsesiiga inuktansen mellan slingorna är noll. Ange koorinaterna (x, 0, z) för ess punkter. b) Det finns två punkter är slinga B kan placeras så att beloppet av ömsesiiga inuktansen mellan slingorna är maximalt. Ange koorinaterna (x, 0, z) för ess punkter. 4 En plattkonensator har kvaratiska plattor me sian a och avstånet mellan plattorna, är a. Konensatorn är koppla till en spänningskälla som ger en konstant spänningen V 0. Områet mellan plattorna är först fyllt me luft (ε r = 1). Man skjuter in en kvaratisk plastskiva me sia a och tjocklek mellan plattorna, enligt figur. Plasten är oleane och har relativa permittiviteten ε r. a) Bestäm konensatorns laning Q(x) som funktion av sträckan x som plattan skjutits in. b) När plastskivan är på plats mellan plattorna kopplar man bort spänningsaggregatet. Plastskivan ras sean bort så att utrymmet mellan plattorna återigen är luftfyllt. Hur stor energi åtgår att ra bort skivan om vi försummar friktionskrafterna?

3 3 5 m, q En liten partikel me laningen q och massan m befinner sig rakt uner ett vinkelrätt hörn, som utgörs av två mycket stora jorae metallskivor me 45 lutning mot vertikalplanet. Bestäm avstånet mellan hörnet och partike så att totala kraften på partike är noll. Uttryck avstånet i q, m, tyngaccelerationen g och permittiviteten för vacuum ε 0. Det är luft överallt. 6 z w rs a x En rät cirkulär kon me spetsen i origo har z axe som symmetriaxel. Konens höj är a och vinke mellan konen och z axe är 45, vilket gör att avstånet från origo till konens kant är a. Man lägger en konstant ytlaningstäthet ρ S på konens mantelyta och låter konen snurra me konstant vinkelhastighet ω runt sin symmetriaxel, enligt figur. Ytlaningen följer me konen vilket ger upphov till en ytströmtäthet J S (r). a) Bestäm ett uttryck för ytströmtätheten J S (r) som funktion av avstånet r från origo. Uttrycket får innehålla ρ S, ω, r och en av e sfäriska enhetsvektorerna. b) Bestäm en magnetiska flöestätheten i origo, B(0). Det är luft överallt.

4 Lösningar till tentamen i EF för π3 och F3 Ti och plats: 3 augusti, 017, kl , lokal: MA10 A och B. Kursansvarig lärare: Aners Karlsson. Lösning problem 1 a) E 1 (z, t) = E 0 cos(kz ωt)ŷ b) E (z, t) = E 0 sin(kz ωt)ŷ c) E 3 (z, t) = E 0 cos(kz + ωt)ˆx Lösning problem Magnetiska flöestätheten är B(r c, t) = µ 0i(t) πr c Integration över e båa kvaraterna ger flöena för en övre kvaraten och Φ 1 (t) = µ 0ai(t) π Φ (t) = µ 0ai(t) π ˆφ ( a x a x ) ( ) a + x a + x för en nere kvaraten. De inucerae EMK:na är E 1 (t) = Φ 1(t) t E (t) = Φ (t) t Dessa fungerar som spänningskällor i kretsen och et gör att Effektivvärena är ärme V 1 V = ( ) a x a x ( ) a + x a + x v 1 (t) = E 1 (t) v (t) = E (t) V 1 = µ ( ) 0aI 0 ω a x π a x V = µ ( ) 0aI 0 ω a + x π a + x

5 Lösning problem 3 Vi använer ipolapproximationen. Driv en ström I genom slingan i origo. På avstånet R fås magnetiska flöestätheten är m = Iπa. B(R, θ, φ) = µ 0m 4πR 3 (ˆr cos θ + ˆθ sin θ) a) Flöet genom en anra slingan är Φ = ẑ B(r)πa. Vi söker punkter är etta flöe är noll. Det ger villkoret ẑ ˆr cos θ + ẑ ˆθ sin θ = 0 Vi utnyttjar att ẑ ˆr = cos θ och ẑ ˆθ = sin θ. Det ger cos θ sin θ = 0 Multiplikation me R ger z = x och x = ± z. Eftersom x + z = R fås 1 x = ± 3 R och z = ± 3 R. De fyra punkter är flöet, och ärme ömsesiiga inuktansen, är noll är ( ) 1 (x 1, y 1, z 1 ) = R 3, 0, 3 ( ) 1 (x, y, z ) = R 3, 0, 3 ( ) 1 (x 3, y 3, z 3 ) = R 3, 0, 3 ( ) 1 (x 4, y 4, z 4 ) = R 3, 0, 3 b) Flöet är maximalt för θ = 0 och θ = π. Ömsesiiga inuktansen är alltså maximal å slinga B befinner sig i punkterna (0, 0, R) och (0, 0, R). Lösning problem 4 a) Parallellkoppling ger att kapacitansen för plattkonensatorn är C(x) = (a x)aε 0 Q(x) = V 0 ( (a x)aε0 + xaε 0ε r + xaε ) 0ε r (1)

6 3 b) Spänningskällan är bortkoppla och konensatorns laning ärme konstant när skivan ras ut. Laningen ges av Q = C(a)V 0. Energin kan uttryckas i konensatorns laning W E = Q C Arbetet är en upplagrae energin efter plastskivan ras ut minus energin före. ( arbetet = Q 1 C(0) 1 ) C(a) () Det ger Lösning problem 5 arbetet = 1 ( ) C(a) V 0 C(0) C(a) arbetet = 1 V 0 a ε 0 ε r (ε r 1) q -q -q q Spegling ger e fyra laningarna enligt figur. Coulombkraften på en verkliga laningen är ( F = q 1 1 ) ẑ 4πε 0 4 är ẑ är rikta uppåt. Denna kraft skall vara lika me tyngkraften. Det ger ( q 1 = 1 ) 4πε 0 mg 4

7 4 Lösning problem 6 a) Ytströmtätheten är ytlaningstätheten gånger hastigheten. En punkt på konen som är på avstånet r från origo har hastigheten v = ωr/. Det ger J S (r) = ρ Sωr ˆφ, b) Biot-Savarts lag ger magnetiska flöestätheten från en ytströmtäthet J S (r) som B(r) = µ 0 J S (r ) (r r ) S. 4π r r 3 S I vårt fall är r = 0 och S = r φ r. Av symmetriskäl är B(0) riktat i z le. Det ger B(0) = µ π 0 4π 0 a 0 ẑ (J S (r ) r ) r φ ẑ. r Dessutom gäller ẑ (J S (r ) r ) = r ρ Sωr ẑ ( ˆφ ˆr ) är ẑ ( ˆφ ˆr ) = 1. B(0) = µ 0ρ S ωa ẑ 4