Du behöver inte räkna ut några siffervärden, svara med storheter som V 0 etc.

Transkript

1 (8) 27 augusti 2008 Institutionen för elektro- och informationsteknik Daniel Sjöerg ETE5 Ellära och elektronik, tentamen augusti 2008 Tillåtna hjälpmedel: formelsamling i kretsteori, ellära och elektronik. Oservera att uppgifterna inte är sorterade i svårighetsordning. En motor är kopplad till en spänningsgenerator som ger spänningen V 0 = 325 V (230 V i effektivvärdesskala) vid frekvensen f = 50 Hz. Motorns effekt är P = 600 W. Motorn är induktiv (kan modelleras med en induktans i serie med en resistans) med effektfaktorn cosϕ = 0.8. a) Vad är motorns reaktiva effekt? ) Hur stort är strömmens toppvärde, I, i ledningen till generatorn? c) Hur stor kapacitans C ska parallellkopplas med motorn för fullständig faskompensering? Den reaktiva effekten i kondensatorn ska släcka ut den reaktiva effekten i motorn vid fullständig faskompensering. d) Hur stort är strömmens toppvärde, I, i ledningen till generatorn efter inkoppling av en sådan kapacitans? Du ehöver inte räkna ut några siffervärden, svara med storheter som V 0 etc. Postadress Box 8, LUND Besöksadress Ole ömers väg 3, Lund Leveransadress Ole ömers väg 3, LUND Internpost Hämtställe 7 Telefon växel Fax E-post Internet

2 2(8) 2 C v in C v Figuren visar en koppling för att variera förstärkningen, A = V 6 /V in, för as och diskant delarna i en radio. esistanserna uppfyller 2 =, 4 42 = 4 där och 4 är konstanta och fördelningen (mellan tex och 2 ) kan varieras genom att vrida en tonkontroll på radion. Noderna är numrerade till 9 med tillhörande nodpotentialer V,...,V 9. a) Ange vilka nodpotentialer V n (minimalt antal) som du ehöver använda för att eräkna A med nodanalys. ) Ange vilka noder (minimalt antal) som du ehöver använda Kichhoffs strömlag (KCL) på för att estämma de oekanta nodpotentialerna. (Du ehöver inte skriva upp nodanalysekvationerna.) c) Bestäm förstärkningen A i lågfrekvensgränsen (as), dvs då ω = 0. Insignalen ges av v in (t) = e{v in e jωt } och resistanserna, = 0, 3 = /3, 4 = 50 är givna. 3 Betrakta en sfärisk metallkula med ett dielektriskt lager med relativa permittiviteten ε r. Metallkulan har radie a och ytterradien på det omslutande dielektriska höljet är. 7 a metall ε r luft

3 3(8) Egenkapacitansen för kulan är dess kapacitans mot oändligheten, dvs om laddningen q läggs på kulan och ger upphov till potentialen v på kulan (då potentialen antas vara noll i oändligheten), så är egenkapacitansen C = q/v. a) Beräkna egenkapacitansen för kulan. ) Blir egenkapacitansen större eller mindre då ε r ökar? 4 Brytaren i figuren nedan har varit öppen en lång tid och sluts vid tiden t = 0. Spänningen v 0 är konstant. v 0 v(t) C L a) Bestäm spänningen v(t) för t > 0. ) Bestäm ett förhållande mellan, C och L så att v(t) = 0 för alla t > 0. 5 a Z 0 2Z 0 4Z 0 4Z 0 z=0 z=` z=` z=`2 Bestäm impedansen mellan nodparet a. Kopplingen estår av två transmissionsledningar med karakteristiska impedanser Z 0 och 4Z 0.

4 4(8) 6 Nedanstående koppling är en differentiell förstärkare, dvs utsignalen är proportionell mot differensen av insignalerna v och v 2. V DD D D v ut C C C C v 2 S 2 v 2 Anta att transistorerna är identiska och har samma aretspunkt, och småsignalparametrarna g m och r d kan antas kända. Anta också att kapacitanserna kan etraktas som kopplingskondensatorer och att r d =. a) ita småsignalschema och estäm v ut. ) Bestäm utgångsresistansen. Denna eräknas genom att kortsluta insignalerna och eräkna den ström i som skulle gå in i utgången om en ideal spänningskälla v kopplades in på utgången. Utgångsresistansen är då ut = v/i.

5 5(8) Lösningsförslag a) Med den komplexa effekten S = P jq = S (cos ϕ j sin ϕ) = P( j sin ϕ/ cos ϕ) finner man att Q = P sin ϕ/ cos ϕ. Samandet = cos 2 ϕ sin 2 ϕ ger sin ϕ = 0.6 eftersom Q och sin ϕ är positiva för induktiva elastningar. Totalt Q = 3P/4 = 450 VA r. ) Den skenara effekten S = V 0 I /2 ger strömmens toppvärde där vi använt att P = S cos ϕ. I = 2 S V 0 = 2P V 0 cos ϕ 4.6 A c) Den reaktiva effekten i kondensatorn, Q C, ska släcka ut den reaktiva effekten i motorn vid fullständig faskompensering. Använd att den komplexa effekten i kondensatorn är S C = 2 V 0IC = V jωc = jq C och därmed Q C = V 0 2 ωc/2. Med Q Q C = 0 estäms slutligen kapacitansen till C = 3P 2 V 0 2 ω 27µF d) Följer lösningen till ) men med S tot = P (eller cos ϕ tot = ) eftersom den totala reaktiva effekten är 0. Det ger strömmen 2 I = 2 S tot V 0 = 2P V A Noderna är numrerade till 9 med tillhörande nodpotentialer V,...,V 9. a) Potentialen i nod,5 är givna och nodpotentialerna i 7, 9 elimineras genom att seriekoppla de kringliggande motstånden. Nodpotentialerna V n där 2, 3, 4, 6, 8. ) KCL på noderna 2, 3, 4, 5, 8. c) Med ω = 0 ger kondensatorerna ett avrott, vilket förenklar kretsen. Med V 3 = 0 (ingen ström genom mellan 3 och 5) lir KCL på nod 3 0 V in 0 V ut 2 = 0

6 6(8) som ger V ut = 2 V in () Förstärkningen varierar därmed mellan = A = 3 a) Antag att laddningen q läggs på kulan. Från sfärisk symmetri ser vi att E- och D-fälten måste peka i radiens riktning och endast ero på radien, E(r) = E(r)e r, D(r) = D(r)e r Omslut kulan med ett sfäriskt skal med radien r 0. Gauss lag ger då att ytintegralen av D-fältet är lika med den inneslutna laddningen, dvs q = D e n ds = r=r 0 D(r 0 )e r e r ds = D(r r=r 0 }{{} 0 )4πr0 2 för alla r 0. Alltså har vi D(r) = q 4πr 2 och vi kan eräkna kulans potential genom v = r=a E(r) dr = = q [ 4πε 0 ε r r r=a ] Detta ger slutligen egenkapacitansen a E(r) dr = q [ 4πε 0 r a ] = q 4πε 0 ε r r dr 2 = q 4πε 0 ε r C = q v = 4πε ( 0 ) ε r a ( a q 4πε 0 r dr 2 ) q 4πε 0 ) Från uttrycket ovan ser vi att potentialen v minskar för fixt q då ε r ökar, vilket leder till att kapacitansen ökar. Detta stämmer också väl med formeln för en plattkondensator, C = ε 0 ε r A/d. 4 a) Spänningen över respektive gren kan skrivas v 0 = i L L di L dt v 0 = v C C dv C dt

7 7(8) vilket ger lösningarna i L = v 0 ( e t/l ) v C = v 0 ( e t/c ) där vi tagit hänsyn till att kretselementen är energitomma vid t = 0. Spänningen är v(t) = v 0 i L (t) (v 0 v C (t)) = v 0 (e t/c e t/l ) ) Spänningen lir noll om /(C) = /L, som också kan skrivas 2 = L/C. 5 Lasten till 4Z 0 ledningen är anpassad vilket ger reflektionsfaktorn Γ 2 = 0. Det ger en parallellkoppling mellan 2Z 0 och 4Z 0, dvs 4Z 0 /3 som avslutning på ledningen vid z = l och Γ = /7. Inimpedansen lir då 6 a) Småsignalschemat är Z a = Z 0 7 e 2jβl 7 e 2jβl D D v ut G g m v gs g m v gs2 G2 S v gs v gs2 v 2 S 2 v 2 Utspänningen ges av potentialskillnaden mellan anslutningarna, v ut = (0 D g m v gs ) (0 D g m v gs2 ) = D g m (v gs2 v gs ) Denna är proportionell mot skillnaden i insignalerna eftersom v gs v gs2 = v G v S (v G2 v S ) = v v 2

8 8(8) Alltså har vi utsignalen v ut = D g m (v v 2 ). ) Utgångsresistansen estäms genom att nollställa inspänningarna, vilket kortsluter resistanserna 2, och ansätta en spänning v över utgången enligt nedanstående schema. D D i v G g m v gs g m v gs2 G2 S v gs v gs2 S Uppenarligen är v gs = v gs2 spänningen över S. De styrda strömkällorna ger upphov till två strömmar som tillsammans ger spänningen v S0 = S (g m v gs g m v gs2 ) = 2 S g m v gs Samtidigt ger figuren att v S0 = v gs, och den enda möjliga lösningen är v gs = v gs2 = 0, vilket leder till att strömmen i endast går i en sluten slinga genom utgången och de två resistanserna D. Alltså ger Kirchhoffs spänningslag v = D i D i ut = v i = 2 D