Formelsamling i kretsteori, ellära och elektronik

Transkript

1 Formelsamling i kretsteori, ellära och elektronik Elektro- och informationsteknik Lunds tekniska högskola Februari

2 FORMELSAMLING I KRETSTEORI, ELLÄRA OCH ELEKTRONIK Kretsteori Komplexvärden Realdelskonvention: v(t) = Re{V e jωt } och i(t) = Re{Ie jωt }. Imaginärdelskonvention: v(t) = Im{V e jωt } och i(t) = Im{Ie jωt }. Tvåpolsekvivalenter Z Th a a V Th - I N ZN Thevenin b Norton b Komplex effekt S = V I = P jq = S (cosϕ j sinϕ) S = komplex effekt [ VA] S = skenbar effekt [ VA] P = ReS = aktiv effekt (=tidsmedelvärdet av effektförbrukningen) [ W] Q = Im S = reaktiv effekt [ VA r ] = [ VAR] cos ϕ = effektfaktor Effektanpassningsregeln Z L = Z i och max{p L } = V 8R i.

3 FORMELSAMLING I KRETSTEORI, ELLÄRA OCH ELEKTRONIK Ömsesidig induktans { V = jωl I jωmi M V = jωl I jωmi L, L = självinduktanser M = ömsesidig induktans M = k L L där k k = kopplingsfaktorn Nätverkstransformation I L L V I V - - Z Z Z Z 3 Z 3 Z 3 3 Y till 3 till Y Z = Z Z Z Z Z 3 Z = Z 3 = Z Z 3 Z Z 3 Z Z = Z 3 = Z 3 Z Z 3Z Z Z 3 = Z 3 Z Z Z 3 Z 3 Z Z 3 Z Z 3 Z 3 Z 3 Z 3 Z Z 3 Z 3

4 FORMELSAMLING I KRETSTEORI, ELLÄRA OCH ELEKTRONIK 3 Rätlinjeapproximationer av Bodediagram H(s) Amplitud Fas s ω B j Hj db db/dekad!/! B 9 arg(h)!/! B s ω B ζ s ω B s ω B ( s ω B ) ( s ) ω B ( ζ s ) s ω B ωb j Hj db j Hj db j j Hj db Hj db j Hj db db/dekad arg(h) db/dekad 9 45!/! B 4 db/dekad arg(h) 4 db/dekad - db/dekad - db/dekad -4 db/dekad!/! B. 8 9!/! B.!/! B!/! B arg(h)!/! B -9 arg(h)!/! B.!/! B arg(h)!/! B.!/! B -9-8 OBS! Det skall gälla att ζ.

5 FORMELSAMLING I KRETSTEORI, ELLÄRA OCH ELEKTRONIK 4 Elektronik Ideal operationsförstärkare (OP) För en ideal OP är i p = i n =. Vi använder vanligtvis negativ återkoppling där också v in =. v in i p i n Kretsmodell av spänningsförstärkare i in R ut v in R in Av in v ut Dioder Shockleyekvationen ( ) i D = I s e v D nv T där V T = kt q, q.6 9 C och k.38 3 J/K. Dynamisk resistans r d = di D dv D Q

6 FORMELSAMLING I KRETSTEORI, ELLÄRA OCH ELEKTRONIK 5 MOSFET NMOS D PMOS S G i D G Kretssymbol S D µ 675 cm V s 4 cm V s κ 5 µav 4 µav V t.5 V.6 V Subtröskel v GS V t, v GS V t, (strypt v DS, v DS, område) i D = i D = Linjärt område v GS V t, v DS v GS V t, i D = K((v GS V t )v DS vds ) v GS V t, v DS v GS V t, i D = K(v GS V t ) i D v GS V t, v DS v GS V t, i D = K((v GS V t )v DS vds ) Mättnadsområde v GS V t, v DS v GS V t, i D = K(v GS V t ) v DS, v GS Vanligtvis positiva Vanligtvis negativa K = W L κ Småsignalmodell Småsignalmodell för en FET, där g m = i D och r d = i D v GS arbetspunkt v DS arbetspunkt G vgs gm vgs S id r d D

7 FORMELSAMLING I KRETSTEORI, ELLÄRA OCH ELEKTRONIK 6 Ellära Lorentzkraften F = q(e v B) Elektriskt fält och potential från punktladdning q E = 4πε r e r V = q 4πε r Spänning P U = V V = E dr P Elektrisk dipol p = pe z p = ql E = Polarisation P och elektrisk flödestäthet D D = ε E P P = χ e ε E ε r = χ e Strömtäthet och resistans för rak ledare p 4πε r 3( cosθe r sin θe θ ) J = i A e x R = ρ l A Plattkondensator C = ε r ε A d

8 FORMELSAMLING I KRETSTEORI, ELLÄRA OCH ELEKTRONIK 7 RCL-beräkningar Kretsparametrarna i fältuttryck: R C L R = v a v b i S J e n ds = i q C = v a v b D e S n ds = q L = φ i S B e n ds = φ Pb P a E dr = v a v b Pb P a E dr = v a v b C H dr = i J = σe D = ε ε r E B = µ µ r H Fälten uppfyller följande villkor: E = E = V J = B = Kretsparametrarna i effekt- och energiuttryck: E dr = C J e n ds = S B e n ds = S R C L Krets p = Ri = v /R w e = Cv = q /C w m = Li = φ /L Fält p = E J dv w e = D E dv w m = B H dv

9 FORMELSAMLING I KRETSTEORI, ELLÄRA OCH ELEKTRONIK 8 Transmissionsledningar Ledningsekvationerna, förlustfri dubbelledning v z i z Allmän lösning, förlustfri dubbelledning = L i t = C v t v = v (z v p t) v (z v p t) i = Z v (z v p t) Z v (z v p t) v p = L Z = LC C Ledningsekvationerna, sinusformigt tidsberoende dv dz di dz = RI jωli = GV jωcv Allmän lösning, sinusformigt tidsberoende Utbredningskonstant V (z) = V e γz V e γz I(z) = Z (V e γz V e γz ) LC = µ r µ ε r ε γ = (R jωl)(g jωc) = α jβ Karakteristisk impedans Z = R jωl G jωc Impedansen för en dubbelledning med längden l avslutad med Z L Z L cosh(γl) Z sinh(γl) Z in = Z Z cosh(γl) Z L sinh(γl) = Z Γe γl Γe γl Impedansen för en förlustfri ledning med längden l avslutad med Z L Z L cos(βl) jz sin(βl) Z in = Z Z cos(βl) jz L sin(βl) = Z Γe jβl Γe jβl Reflektionsfaktorn för spänning vid belastningen Γ = Z L Z Z L Z

10 FORMELSAMLING I KRETSTEORI, ELLÄRA OCH ELEKTRONIK 9 Matematiska formler och samband Trigonometriska formler sin α = cos(α π/) cosα = sin(α π/) sin(α β) = sin α cosβ cos α sin β cos(α β) = cosαcosβ sin α sin β cos α sin α = sinα sin β = cos(α β) cos(α β) cos α sin α = cos α sinα cosβ = sin(α β) sin(α β) sin α cosα = sin α cosαcos β = cos(α β) cos(α β) A cosα B sin α = A B cos(α β) där cos β = A B sin β = A B, A B cosα = ejα e jα sin α = ejα e jα j e jα = cosα j sin α Komplexa tal Im z = a jb = z e jφ där z = a b och om a > är φ = arctan b a b φ a Re Ekvationssystem ( ) a b X = Y c d X Y med lösning X = X d ad bc c b Y a Y

11 L FORMELSAMLING I KRETSTEORI, ELLÄRA OCH ELEKTRONIK Laplacetransformen Spole med i( ) = I : V (s) = L(sI(s) I ) i(t) v(t) L I(s) sl V (s) I L Kondensator med v( ) = V : I(s) = C(sV (s) V ) i(t) v(t) C L I(s) sc V(s) V s f(t) F(s). αf(t) αf(s). f (t) f (t) f 3 (t) F (s) F (s) F 3 (s) df(t) dt t f(τ) dτ sf(s) f( ) F(s) s 5. f(t a) u(t a), a > e as F(s) 6. e at f(t) F(s a) 7. f(at), a > ( s ) a F a Begynnelsevärdessatsen Slutvärdessatsen lim f(t) = lim sf(s) t s lim t f(t) = lim s sf(s)

12 FORMELSAMLING I KRETSTEORI, ELLÄRA OCH ELEKTRONIK f(t) F(s). δ(t). d n dt δ(t) n sn 3. u(t), enhetssteget s 4. t n n! u(t) s n 5. e at u(t) t n n! e at u(t) e at e bt b a ae at be bt a b 9. sin(ω t) u(t). cos(ω t) u(t) u(t) u(t) s a (s a) n (s a)(s b) s (s a)(s b) ω s ω s s ω. ( sin(ω t) ω t cos(ω t) ) u(t). ω t sin(ω t) u(t) 3. e at sin(ω t) u(t) 4. e at cos(ω t) u(t) ω 3 (s ω ) ω s (s ω ) ω (s a) ω s a (s a) ω

13 FORMELSAMLING I KRETSTEORI, ELLÄRA OCH ELEKTRONIK Koordinatsystem Kartesiska koordinater (x, y, z) Ortsvektor Linjeelement r = x e x y e y z e z dl = dx e x dy e y dz e z Volymelement dv= dx dy dz Differentialoperatorer V V = e x x e V y y e V z z A = A x x A y y A z z ( Az A = e x y A ) y z V = V x V y V z Cylinderkoordinater (r c, ϕ, z) ( Ax e y z A ) ( z Ay e z x x A ) x y Ortsvektor r = r c e rc z e z Enhetsvektorer e rc = cosϕe x sin ϕ e y e ϕ = sin ϕ e x cos ϕ e y Linjeelement Volymelement dl = dr c e rc r c dϕ e ϕ dz e z dv= r c dr c dϕ dz Differentialoperatorer V V V = e rc e ϕ r c r c ϕ e V z z A = (r c A rc ) A ϕ r c r c r c ϕ A z z ( A z A = e rc r c ϕ A ) ( ϕ Arc e ϕ z z A z r [ ] c e z V = r c r c r c ( r c V r c (r c A ϕ ) A r c r c ϕ ) rc V ϕ V z )

14 FORMELSAMLING I KRETSTEORI, ELLÄRA OCH ELEKTRONIK 3 Sfäriska koordinater (r, θ, ϕ) Ortsvektor r = r e r Enhetsvektorer e r = sin θ cos ϕ e x sin θ sin ϕ e y cosθ e z e θ = cosθ cosϕe x cosθ sin ϕ e y sin θ e z e ϕ = sin ϕ e x cos ϕ e y Linjeelement Volymelement dl = dr e r r dθ e θ r sin θ dϕ e ϕ dv= r sin θ dr dθ dϕ Differentialoperatorer V V = e r r e V θ r θ e V ϕ r sin θ ϕ A = r r (r A r ) θ (A θ sin θ) r sin θ ] r sin θ [ A = e r r sin θ θ (A ϕ sin θ) A θ ϕ [ A r e θ r sin θ ϕ ] [ r (ra ϕ) e ϕ r ( ) ( r V sin θ V ) r r sin θ θ θ V = r r A ϕ ϕ r (ra θ) A r θ V r sin θ ϕ ]