Kretsteori Exempelsamling 2007

Transkript

1 Kretsteori Exempelsamling 007 Mats Gustafsson, Anders Karlsson och ichard Lundin Elektro och informationsteknik Lunds tekniska högskola P.O. Box 8, S 00 Lund

2 Förord Kretsteorin ger de matematiska metoderna för att analysera och konstruera elektriska kretsar och för att göra kretsmodeller av fysikaliska processer. Ett av målen med kurserna i Elektronik och Kretsteori är att de vanligast förekommande metoderna i kretsteorin skall nötas in och bli naturliga redskap i den fortsatta utbildningen och i det yrkesliv som följer på denna. Ett annat mål är att studenterna skall bli skickliga på den metodik som krävs för att kunna konstruera och analysera större kretsar och system. Vår förhoppning är att denna exempelsamling skall underlätta för studenter och lärare att gemensamt uppnå dessa mål. Ett flertal av talen i exempelsamlingen är gamla tentamenstal som givits för E, D och F. I slutet av exempelsamlingen finns tillämpade problem där förmågan att göra kretsmodeller av verkliga problem övas upp. Vi tar gärna emot synpunkter på exempelsamlingen under kursens gång. Om du har något att anmärka på så tveka inte att säga detta till föreläsaren eller övningsledaren. Det går också att skicka ett ebrev (anders.karlsson@eit.lth.se, richard.lundin@eit.lth.se, mats.gustafsson@eit.lth.se). Vi vill rikta ett stort tack Kristin Persson, Elektro och informationsteknik, som redigerat och förbättrat denna exempelsamling, samt till Peter Fuks, Teoretisk elektroteknik, Elektro och Systemteknik, KTH som bidragit med de tillämpade problemen. Lund i december 00 Mats Gustafsson Anders Karlsson ichard Lundin c by Mats Gustafsson, Anders Karlsson, ichard Lundin Lund, Sweden, augusti 007 All rights reserved Sjätte upplagan

3 Innehåll Ohms lag och Kirchhoffs lagar esistiva kretsar 7 3 Styrda källor 5 4 Nodanalys 8 5 Tvåpolsekvivalent 5 6 Kondensatorer och spolar 3 7 Växelström 40 8 Effekt 64 9 Transformatorer och ömsesidig induktans 8 0 Laplacetransform 94 Överföringsfunktion och Bodediagram 05 Operationsförstärkare 5 3 Tillämpade problem 39 4 Kretssimulering med PSpice 53 i

4 Ohms lag och Kirchhoffs lagar Ohms lag och Kirchhoffs lagar. i v Spänningen v ligger över resistansen. Bestäm strömmen i. eferensriktningar enligt figuren ovan.. i v Spänningen v ligger över resistansen. Bestäm strömmen i. eferensriktningar enligt figuren ovan..3 i v Spänningen v = 6 V ligger över resistansen = 3 kω. Bestäm strömmen i. eferensriktningar enligt figuren ovan..4 i v Spänningen v = 6 V ligger över resistansen = 3 kω. Bestäm strömmen i. eferensriktningar enligt figuren ovan.

5 Ohms lag och Kirchhoffs lagar.5 v 0 v En spänningskälla ger spänningen v 0. Bestäm spänningen v..6 i v 0 v En spänningskälla med tomgångsspänningen v 0 har den inre resistansen i. Bestäm spänningen v..7 i v 0 v b En spänningskälla med tomgångsspänningen v 0 har den inre resistansen i. En belastning med resistansen b är ansluten till spänningskällan. a) Bestäm spänningen v. b) Bestäm spänningen v då b. Jämför med uppgift.6 och förklara..8 v v v 3 v 5 v 4

6 Ohms lag och Kirchhoffs lagar 3 Givet är v = 6 V, v = 4 V, v 4 = V och v 5 = 0 V. Bestäm spänningen v 3. Observera att komponenterna i kretsen är både aktiva (t.ex. spänningskälla) och passiva (t.ex. resistor)..9 a) b) a a v ab :5V :5V b b v ba Bestäm spänningarna v ab och v ba för batteriet..0 v v v 3 v 4 Givet är v = 3 V, v = 5 V och v 4 = V. Bestäm spänningen v V 9 V 3 V V Spänningarna mellan noderna är givna i figuren ovan. Antag att potentialen är lika med noll i nod ett. Bestäm potentialen i nod tre.

7 4 Ohms lag och Kirchhoffs lagar. i 5 i i i4 i 3 Givet är i = 5 ma, i = 5 ma, i 3 = 7 ma och i 5 = 0 ma. Bestäm strömmen i 4..3 i i i 3 Givet är i = 500 µa och i = ma. Bestäm strömmen i 3..4 v 0 En spänningsgenerator som ger spänningen v 0 är kopplad till en resistor med resistansen. Bestäm den effekt p som utvecklas i resistorn.

8 Ohms lag och Kirchhoffs lagar 5.5 v 0 En spänningsgenerator som ger spänningen v 0 och tre resistorer med resistanserna, och är kopplade enligt figuren ovan. Bestäm den effekt p som utvecklas i resistorn med resistansen.

9 6 Ohms lag och Kirchhoffs lagar: svar och lösningar Ohms lag och Kirchhoffs lagar: svar och lösningar S. S.8 Svar: i = v Svar: v 3 = 3 V S. S.9 Svar: S.3 Svar: S.4 Svar: S.5 i = v Svar: v = v 0 S.6 i = v = ma i = v = ma Svar: v = v 0 Ingen ström flyter i kretsen då denna är öppen. S.7 Svar: a) v = b i b v 0 b) v = v 0 En oändligt stor resistans är ekvivalent med en öppen krets. Svar: S.0 Svar: S. Svar: S. Svar: S.3 Svar: S.4 a) v ab =.5 V b) v ba =.5 V v 3 = 0 V v 3 = 8 V i 4 = 3 ma i 3 =.5 ma Svar: p = v 0 S.5 Svar: p = v 0 4

10 esistiva kretsar 7 esistiva kretsar. 4Ω a b Ω Ω Bestäm resistansen ab.. a) b) 3 3 c) d) 4 Ω Ω Ω 3 Ω 6 Ω 4 Ω 3 Ω 6 Ω 5Ω 5Ω Kretsarna kan ersättas av en resistor med resistansen. Bestäm..3 a Ω 9 Ω 9 Ω 9 Ω 9 Ω b Beräkna resistansen för tvåpolen ab.

11 8 esistiva kretsar.4 6 A 6 Ω Ω v 8 Ω Bestäm spänningen v..5 a) b) v 0 i 0 Bestäm spänningen v mellan noderna och..6 v 0 v v Bestäm v och v uttryckt i v 0.

12 esistiva kretsar 9.7 a) b) i i i i i 0 v 0 c) d) i i i 0 v i i Bestäm strömmarna i och i..8 a) b) 90 v 0 v 4 v v c) 90 v 0 v 9 Bestäm spänningen v.

13 0 esistiva kretsar.9 0 i A Bestäm strömmen i..0 a Ω Ω 4 Ω b 3 Ω i 5 Ω Bestäm strömmen i då 0 V ansluts till ab.. A B Kanterna i en kub har alla resistansen Ω. Bestäm resistansen mellan de diametralt motsatt belägna hörnen A och B.. A B Figuren visar en mycket lång stege där varje del har resistansen. Bestäm resistansen mellan A och B då stegen kan approximeras med en halvoändlig stege, dvs. stegen har en början men inget slut.

14 esistiva kretsar.3 A B Bestäm resistansen mellan A och B..4 En voltmeter kan konstrueras med hjälp av ett vridspoleinstrument. Vridspoleinstrumentet har resistansen 70 Ω och ger fullt utslag vid strömmen ma. Hur stor resistans skall seriekopplas med instrumentet för att få fullt utslag vid inspänningen 5 V?.5 En amperemeter kan konstrueras med hjälp av ett vridspoleinstrument. Vridspoleinstrumentet har resistansen 70 Ω och ger fullt utslag vid strömmen ma. Hur stor resistans skall parallellkopplas med instrumentet för att få fullt utslag vid strömmen 00 ma?.6 a) Uttryck i 0, v ab och effekten som utvecklas i källorna med hjälp av spänningarna v, v och strömmarna i, i. Sätt därefter in värdena: v = 90 kv, v = 45 kv, i = 50 ma och i = 0 ma. b) Vad är den totala effektutvecklingen i nätet? v i 0 v a i i b

15 esistiva kretsar.7 = Ω v = V = Ω 3 = 3 Ω i a) Bestäm i. b) Bestäm effektutvecklingen p, p och p 3 i de tre motstånden, och 3. c) Visa att effekten som spänningskällan ger ifrån sig är lika med effekten som förbrukas i motstånden..8 Motståndet har resistansen Ω. Bestäm, 3, 4 och 5 så att samma effekt utvecklas i alla resistanserna. 5 3 v 4 = Ω

16 esistiva kretsar: svar och lösningar 3 esistiva kretsar: svar och lösningar S. Svar: ab =.7 Ω Spänningsdelning ger sedan v = v 0. Svar: v = 3 v 0 v = v 0 S. Svar: a) = ( 3 ) 3 S.3 Svar: b) = 3 3 c) = 0 Ω d) = 8 3 Ω ab = 6 Ω S.7 Svar: a) i = i 0 i = b) i = v 0 i = v 0 i 0 c) i = i 0 3 i = i 0 3 S.4 Svar: v = V 3 d) i = v 0 ( 3 ) 3 3 i = v 0 ( 3 ) 3 S.5 Svar: a) v = v 0 S.6 b) v = i 0 Alternativ : Spänningsdelning ger v = //3 //3 v 3/4 0 = 3/4 v 0 = 3 v 0 v = 3 v = v 0 S.8 Svar: a) v = 4 9 v 0 S.9 Svar: S.0 b) v = v 0 00 c) v = v 0 0 i = 75 ma Svar: i = 0 A Alternativ : Nodanalys med KCL ger v v 0 v v = 0 v = 3 v 0

17 4 esistiva kretsar: svar och lösningar S. Låt en ström i gå in vid nod A och ut vid nod B. Använd Kirchhoffs strömlag för att bestämma strömmarna i varje gren och bestäm därefter spänningen, v AB, mellan A och B. Den sökta resistansen ges av v AB i. Svar: AB = 5 6 Ω S.6 Svar: a) i 0 = i i = 30 ma v ab = v v = 45 kv p i = v ab i =.5 kw p i = v ab i = 900 W p v = v i 0 =.7 kw = v i 0 =.35 kw p v b) p tot = 0 S. Observera att stegen har samma utseende även om ännu ett steg läggs till. Låt stegens resistans vara AB. Då gäller det att // AB = AB. Svar: AB = ( 3).73 S.3 Alternativ : Nätet kan delas upp i två parallellkopplade delar som var och en består av i serie med // i serie med. Alternativ : Se lösning till uppgift.. Svar: AB = 3 S.7 Bestäm först den totala resistansen och därefter strömmen i. Strömmarna genom och 3 fås med hjälp av strömgrening. Svar: a) i = 5 A ( ) 5 b) p = W ( ) 3 p = W ( ) p 3 = 3 W c) p p p 3 = 5 W = vi S.8 S.4 Svar: = 4930 Ω S.5 Bestäm resistanserna i följande ordning, 3, 4 och sist 5. Svar: = Ω 3 = 4 Ω 4 = 9 4 Ω Svar: = 0.35 Ω 5 = 9 64 Ω

18 3 Styrda källor 5 3 Styrda källor 3. v i = αv v, v och α är kända. Bestäm v. 3. En npntransistor är uppbyggd av tre skikt; bas, emitter (sänder ut ström) och kollektor (tar emot ström). För små spänningar v s kan nedanstående kretsmodell användas. i b v s s h h v c h i b v h c Storheterna h ij, av vilka h har enheten ohm, h har enheten siemens och h och h är dimensionslösa, är kända. Spänningskällan, som är inkopplad mellan bas och emitter, har resistansen s och avger (småsignal)spänningen v s. Mellan kollektor och emitter har en resistor med resistansen anslutits. Bestäm basströmmen i b och kollektoremitterspänningen v c. 3.3 v hv 3 v Den spänningsstyrda spänningskällan ger spänningen hv. Bestäm v.

19 6 3 Styrda källor 3.4 v gv 3 v Den spänningsstyrda strömkällan ger strömmen gv. Bestäm v.

20 3 Styrda källor: svar och lösningar 7 Styrda källor: svar och lösningar S3. Spänningen v bestäms enklast med KCL. KCL på den övre noden ger v v v αv = 0 Svar: v = S3. v 3 α KVL och KCL ger ( s h ) i b h v c = v s ( ) h v c = 0 h i b Den andra ekvationen ger i b = h v c h vilket insatt i den första resulterar i v c = h h h ( h ) ( s h ) v s Svar: h i b = h h ( h ) ( s h ) v s h v c = h h ( h ) ( s h ) v s S3.3 Använd nodanalys, dvs. Kirchhoffs strömlag på en av noderna. 3 Svar: v = v 3 ( h) 3 S3.4 Använd nodanalys, dvs. Kirchhoffs strömlag på en av noderna. 3 Svar: v = 3 ( g 3 ) v

21 8 4 Nodanalys 4 Nodanalys 4. a) v b) v 3 v s i s v s i s Bestäm v. 4. v v i 4 i Bestäm v och v. 4.3 v 3 3v v s Bestäm v. 4.4 v s v v 3 i s 5

22 4 Nodanalys 9 Bestäm v och v. 4.5 v v v s 3 4v 3 Bestäm v som funktion av v s. 4.6 i i 0 v 0 v Bestäm strömmen i om i 0,, v 0 och v är givna hi v v 3 i v s i s v 3 För spänningarna v, v och v 3 gäller följande ekvationssystem a v a v a 3 v 3 = b a v a v a 3 v 3 = b a 3 v a 3 v a 33 v 3 = b 3 Använd nodanalys för att bestämma koefficienterna a ij och b i, i =,, 3, j =,, 3. Alla resistanser, i s, v s samt koefficienten h för den strömstyrda strömkällan är kända.

23 0 4 Nodanalys i s 9 v s Spänningen v s, strömmen i s och resistanserna k, k =,..., 9 är givna. a) Ange nodanalysekvationerna för nodpotentialerna v, v, v 3 och v 4. b) Skriv nodanalysekvationerna som en matrisekvation i nodpotentialerna, dvs. v v v 3 = v Ett resistivt nät har N stycken väsentliga noder och innehåller inga styrda källor. Nodanalys ger ett ekvationssystem på formen A v = b där A är en N N matris, v är en kolonnvektor med de okända nodpotentialerna och b är en vektor med kända element. Matriselementen i A betecknas a ij. Visa följande: a) De ickediagonala elementen ges av a ij =G ij där G ij = konduktansen för grenen som förbinder noden i med noden j. Diagonalelementen ges av a ii = N j= G ij där G ii =konduktansen mellan nod i och referensnoden. Om det inte finns någon gren mellan i och j är G ij = 0. b) Matrisen A är symmetrisk. c) Matrisen A är positivt definit, dvs för alla vektorer v gäller det att v T A v = V i a ij V j > 0 i,j där v T är transponatet av v.

24 4 Nodanalys: svar och lösningar Nodanalys: svar och lösningar S4. KCL på noden ger (i båda deluppgifterna) v v v s i s = 0 Svar: a) v = v s i s b) v = v s i s S4. KCL på noderna ger nodanalysekvationerna i v 0 v v = 0 Nod i v v v 0 4 = 0 Nod eller som en matrisekvation i nodpotentialerna ( ) ( ) ( ) 3 v i = i 3 4 v med lösning ( ) v = v ( ) ( ) i = ( ) ( ) 6 4 i = i 7 4 i 7 ( ) i 0i Svar: v = 7 i v = 0 7 i S4.3 Nodanalys ger v 0 v v s v 3v = 0 3 3v 3v 3v s v 3v = 0 Svar: v = 3 4 v s

25 4 Nodanalys: svar och lösningar S4.4 v s v v supernod 3 i s 5 Inför en supernod enligt figuren. KCL på supernoden ger v 3 v 3 i s v 5 = 0 Använd att v s = v v. Svar: v = 5 3 i s 3 3 v s v = 5 3 i s 0 3 v s S4.5 Nodanalys ger v 0 v v s 3 v 4v 3 = 0 där v = v = v 3 (spänningsdelning). Förenkling resulterar i v v v s v 4v 3 = 0 Svar: v = 3 5 v s S4.6 Denna uppgiften förekommer även i kapitel 5 som 5.5. Alternativ : Nodanalys ger i 0 v x v 0 där v x = i. v x v v x Alternativ : Superposition ger i = i ( ) 0 3 v 0 // v // i 0 v x v 0 v i Svar: i = i 0 3 v 0 v 3

26 4 Nodanalys: svar och lösningar 3 S4.7 Nodanalys ger hi v v v = 0 Nod 4 v v v v v 3 = 0 Nod 4 5 i s v 3 v s v 3 v = 0 Nod Eftersom i = v / kan ekvationssystemet skrivas ( ) ( h v ) v = ( v ) v v 3 = ( v ) v 3 = i s v s Svar: ( ) ( ) a = h 4 a = 4 a 3 = 0 b = 0 ( ) a = 4 a = 4 5 a 3 = 5 b = 0 ( ) a 3 = 0 a 3 = 5 a 33 = 3 5 b 3 = i s v s 3 S4.8 Svar: a) v v s v v 3 v v = 0 Nod 4 v v v v 4 v 0 = 0 Nod v 3 0 v 3 v v 3 v s i s = 0 Nod v 4 v i s v 4 0 = 0 Nod b) v v v 3 v 4 v s 0 = i s vs i s 6 S4.9 a) Kirchhoffs strömlag ger följande ekvation för nod i; v i G ii N G ij (v i v j ) = b i j= j i

27 4 4 Nodanalys: svar och lösningar vilken kan skrivas N N G ij v i G ij v j = b i j= j= j i Detta ger att diagonalelementen ges av G ij. N G ij j= och att de ickediagonala elementen ges av b) Eftersom G ij = G ji måste A vara symmetrisk. c) N N N v T A v = v i a ij v j = i= j= i= v i a ii v i N a ij v j j= j i Använd att a ii = N G ij och a ij = G ij från uppgift a. N i= v i j= a ii v i Den första termen G ij = G ji. N i= v i N j= j i N N a ij v j = i= j= j i = N i= v i N N G ij v i G ij v j j= v i G ii v i j= j i j= j i N G ij (v i v j ) N G ii vi > 0. Att även den andra termen är > 0 visas nedan. Utnyttja att i= G ij (v i v j ) = j= j i N i= v i N j= j i i= i j G ij (v i v j ) = N N N N G ij (vi v i v j ) G ji (vj v j v i ) i= j= = = = G jj (vj vj ) N i= j= i j j i N i= j= i j j i Alltså är v T A v > 0. i= i j j= j i N G ij (vi v i v j vj ) N G ij (v i v j ) N j= v j N i= i j G ji (v j v i ) N N N N G ij (vi v i v j ) G ii (vi vi ) G ji (vj v j v i ) j= i= j i i j

28 5 Tvåpolsekvivalent 5 5 Tvåpolsekvivalent 5. Ω a 4 V 3 Ω 3 A 6 Ω b Bestäm Thévenin och Nortonekvivalenterna med avseende på nodparet ab a v s 3 4 b Spänningen v s och resistansen är givna. Bestäm Théveninekvivalenten med avseende på nodparet ab. 5.3 A i s v s B Bestäm Thévenin och Nortonekvivalenterna till nätet i figuren. 5.4 Teknologen Elis önskar bestämma inre resistansen (Théveninresistansen) för ett batteri. Han mäter först upp spänningen, med en högohmig voltmeter (inresistans 0 MΩ), till.4 V. Han parallellkopplar därefter batteriet med en resistor på MΩ och gör om spänningsmätningen men får samma resultat. Elis byter nu till en resistor med värdet kω. Voltmetern visar då.35 V. Hjälp Elis att bestämma batteriets inre resistans. Batteriet kan anses vara linjärt vid de aktuella belastningarna.

29 6 5 Tvåpolsekvivalent 5.5 i i 0 v 0 v Bestäm strömmen i om i 0,, v 0 och v är givna. 5.6 i A v αi v B Bestäm Théveninekvivalenten med avseende på nodparet AB uttryckt i v, v, α och. 5.7 = 3 = A v=v = 4 = B Maximal effekt ska utvecklas i en belastning som kopplas in mellan A och B. a) Vilken resistans ska belastningen ha? b) Hur stor blir effektutvecklingen i belastningen? 5.8 Ett batteri kan modelleras med sin tomgångsspänning v s och en inre resistans i. Antag att en last med resistans L belastar batteriet. När kan batteriets inre resistans försummas om ett relativt fel ɛ accepteras (dvs. när kan batteriet modelleras som en ideal spänningskälla v s )? Det relativa felet definieras som fel = videal L v L ɛ v L där v ideal L är spänningen över lasten med den ideala spänningskällan och v L är spänningen över lasten med batteriet som spänningskälla.

30 5 Tvåpolsekvivalent När ett batteri åldras ökar dess inre resistans mycket snabbare än vad tomgångsspänningen minskar. Detta utnyttjas i batteritestare. För ett givet batteri genomförs följande tre mätningar:. Först mäts tomgångsspänningen med en högohmig voltmeter, dvs. en voltmeter med mycket stor inre resistans. Detta ger resultatet v tom =.4 V.. Spänningen mäts över ett motstånd = Ω parallellkopplat med batteriet. Detta ger resultatet 0.7 V. ) )?v??v? v tom =.4 V 0.7 V 3. Batteriet kopplas till batteritestaren. Den visar spänningen v test =. V. a) Bestäm batteritestarens inre resistans test. 3) b) Vad visar batteritestaren för ett nytt batteri med tomgångspänningen v 0 =.5 V och den inre resistansen 0 = Ω??v? test v test Batteritest

31 8 5 Tvåpolsekvivalent: svar och lösningar Tvåpolsekvivalent: svar och lösningar S5. Thévenin och Nortonresistanserna ges av ersättningsresistansen för Ω a 3 Ω 6 Ω b ab = N = Th = ( 3 ) Ω = Ω 6 Tomgångsspänningen v ab = v Th bestäms med nodanalys (superposition går också bra) v ab 4 vilket ger v ab 0 3 v Th = v ab = 5 V 3 v ab 0 6 Kortslutningsströmmen i N ges av Svar: i N = v Th Th = 5 A Th = N = Ω v Th = 5 V i N = 5 A = 0 S5. a) b) 3 a v s 4 v Th 3 4 b Parallellresistansen 3 och serieresistanserna och 3 påverkar inte v TH. Théveninspänningen ges då av spänningsdelning i figur a. v Th = 4 4 v s = 3 v s Théveninresistansen ges av ersättningsresistansen för kretsen i figur b. Th = 3 //4 = = = 6 3 Observera att resistansen 3 försummas då denna är parallellkopplad med en kortslutning. Svar: v Th = 3 v s Th = 6 3

32 5 Tvåpolsekvivalent: svar och lösningar 9 S5.3 Théveninresistansen är ekvivalent med resistansen mellan nodparet AB då spännings och strömkällan är nollställda. Th = //( ) = 4 5 = 9 5 Théveninekvivalentens spänningskälla fås med superposition v Th = v v där v = tomgångsspänningen över AB då strömkällan är nollställd och v = tomgångsspänningen över AB då spänningskällan är nollställd. Spänningsdelning ger v = 4 5 v s = 4 5 v s v = 3 i s(//3) = 3 i 6 s 5 = 5 i s Därmed fås v Th = 4 5 v s 5 i s Nortonekvivalenten beräknas med källtransformering N = Th i N = v Th Th = 4v s 9 9 i s Svar: Th = N = 9 5 v Th = 4 5 v s 5 i s i N = 4v s 9 9 i s S5.4 Svar: in = 5 Ω S5.5 Denna uppgiften förekommer även i kapitel 4 som 4.6. Alternativ : Superposition ger i = i 0 3 ( ) v 0 // v // Alternativ : Nodanalys ger i 0 v x v 0 v i i 0 v x v 0 v x v v x där v x = i. Svar: i = i 0 3 v 0 v 3

33 30 5 Tvåpolsekvivalent: svar och lösningar S5.6 v Th = v AB bestäms enklast genom nodanalys på noden A. v AB v v AB αi v AB v Insättning av i = (v v AB )/ ger v Th = v AB = v ( α) v 3 α Théveninekvivalentens motstånd fås ur Th = v Th i N = 0 där i N är kortslutningsströmmen. Denna beräknas enklast med Kirchhoffs strömlag i N = v αi v Eftersom i = v / fås i N = v ( α) v Detta ger Svar: Th = 3 α v Th = v ( α) v 3 α Th = 3 α S5.7 Bestäm först Théveninekvivalenten till tvåpolen AB. Detta ger v Th = 0. V och Th = 0.6 Ω. Maximal effekt erhålls när belastningens resistans är lika med Théveninekvivalentens resistans. Svar: a) last = 0.6 Ω b) p max = 60 W = W S5.8 Med batteriet som spänningskälla erhålls spänningen v L = L i L v s och med den ideala spänningskällan erhålls v ideal L = v s v s i L v L Felet ges av v s L i L v s L i L v s = i L Svar: i ɛ L ɛ v s L v ideal L

34 5 Tvåpolsekvivalent: svar och lösningar 3 S5.9 a) Den första mätningen ger tomgångspänningen och därmed Théveninspänningen v Th = v tom. Den andra mätningen ger den inre resistansen Th =, eftersom spänningen halveras när kopplas in. I den tredje mätningen kopplas batteriet till batteritestaren. Detta ger kretsen till höger. Spänningsdelning ger v tom v test test v test = test test v tom och därmed v test test v test = test v tom Alltså test = v test. = Ω = 44 Ω v tom v test.4. b) När det nya batteriet kopplas in visar batteritestaren (spänningsdelning) Svar: v = test v 0 = 44.5 V.5 V 0 test 44 a) test = 44 Ω b) v =.5 V

35 3 6 Kondensatorer och spolar 6 Kondensatorer och spolar 6. v in (t) C v ut (t) Spänningskällans spänning visas i figuren nedan. Vid tiden t = ms är v ut = 4.3 V. Skissa det ungefärliga utseendet på spänningen v ut (t), inga beräkningar ska genomföras. v in (t) 5V 0ms 5ms 0ms 5ms t 6. C v in (t) v ut (t) Spänningskällan i kretsen är den samma som i uppgift 6.. Vid tiden t = ms är v ut = 0.7 V. Skissa det ungefärliga utseendet på spänningen v ut (t), inga beräkningar ska genomföras. 6.3 i in (t) i(t) C l C 3 v (t) I ovanstående krets är i in = 0 för t < 0 och i in = I 0 för t 0. Ange v(t) och i(t) då t = 0 och då t. Kondensatorerna är oladdade för tiden t < En verklig kondensator laddas ur även om den inte kopplas in till en yttre krets. Detta förklaras med att det går en läckström mellan de uppladdade plattorna. En vanlig kretsmodell av en verklig kondensator består av en kapacitans C parallellkopplad med en resistans. För en given kondensator med kapacitansen C sjunker spänningen från v 0 till v på tiden T. Bestäm resistansen mellan plattorna uttryckt i v 0, v, C och T.

36 6 Kondensatorer och spolar v 0 u(t) C v C (t) Spänningskällan ger spänningen v s (t) = v 0 u(t) där u(t) är enhetssteget, dvs. u(t) = 0 då t < 0 och u(t) = då t 0. Kondensatorn är oladdad vid tiden t = 0. a) Vid vilken tid är spänningen över kondensatorn v 0 /? b) En verklig kondensator läcker alltid lite ström. En mer exakt modell för en kondensator är därför en ideal kapacitans C parallellkopplad med en stor resistans C. Bestäm v C (t) om den mer realistiska modellen används. 6.6 t = 0 v 0 L v (t) v L (t) C v C (t) v (t) Spänningskällan ger likspänningen v 0. Spolen och kondensatorn är energitomma för t < 0. Kontakten sluts vid tiden t = 0. a) Bestäm spänningarna v (t), v (t), v C (t) och v L (t) för t > 0. b) Bestäm relationen mellan,, C och L då v (t) = v L (t) och v (t) = v C (t) för t > 0.

37 34 6 Kondensatorer och spolar 6.7 t = 0 v 0 C v C (t) = Likspänningskällan har varit inkopplad under en lång tid. Kontakten bryts vid tiden t = 0. a) Bestäm spänningen v C (0 ). b) Bestäm spänningen v C (t) för t > 0. c) Hur stor är den totala energin som utvecklas i resistorn för t > 0? 6.8 C L v C (t) v L (t) v 0 t = 0 Antag att likspänningskällan varit inkopplad under en lång tid. a) Bestäm spänningarna v L och v C strax innan kontakten öppnas. b) Vid tiden t = 0 öppnas kontakten. Bestäm spänningarna v L (t) och v C (t) för t > 0.

38 6 Kondensatorer och spolar: svar och lösningar 35 Kondensatorer och spolar: svar och lösningar S6. v ut (t) 4V 5V 0ms ms 5ms 0ms 5ms t S6. v ut (t) 5V 0ms 5ms 0ms 5ms t 5V Enligt KVL skall spänningen över resistorn plus spänningen över kondensatorn var lika stor som spänningen från spänningskällan. S6.3 smœ tider stora tider i in (t) i(t) i(t) 3 v (t) i in (t) 3 v (t) För små tider kan kondensatorerna ersättas med kortslutningar enligt den vänstra figuren. Det ger i(0 ) = I 0 och v(0 ) = 0 Efter lång tid kan kondensatorerna ersättas med avbrott enligt den högra figuren. Det ger lim i(t) = 0 t och med hjälp av strömgrening beräknas strömmen genom 3 varefter lim v(t) = 3 I 0 t 3 Svar: i(0 ) = I 0 v(0 ) = 0 lim i(t) = 0 t lim t v(t) = 3 3 I 0

39 36 6 Kondensatorer och spolar: svar och lösningar S6.4 Denna uppgift förekommer även i kapitel 0 som 0.. Alternativ : KCL för kretsen med den ideal kondensatorn ger C dv dt v = 0 C v med begynnelsevillkoret v(0) = v 0. För positiva tider ges därmed spänningen av v(t) = v 0 e t/c och vid tiden T fås v = v 0 e T/C T C = ln v 0 v = T C ln v 0 v Alternativ : Laplacetransform Laplacetransformering enligt figuren. Spänningsdelning ger V (s) = V 0 s /sc = V 0 s /C V 0 s sc V Transform tillbaka till tidsdomänen ger, för t > 0, spänningen v(t) = v 0 e t/c Svar: = T C ln v 0 v S6.5 a) Potentialvandring ger v 0 u(t) = i(t) v C (t) Eftersom i(t) = Cv C(t) fås differentialekvationen v C(t) τ v C(t) = τ v 0u(t) med begynnelsevillkoret v C (0) = 0 och tidskonstanten τ = C. Metoden med integrerande faktor ger v C (t) = e t/τ τ Då v C (t) = v 0 / fås t 0 v 0 e t /τ dt u(t) = v 0 ( e t/τ )u(t) e t/τ = 0.5 t = τ ln b) Alternativ : Théveninekvivalenten ges av Th v 0 u(t) C v Th (t) C v C (t) C v C (t)

40 6 Kondensatorer och spolar: svar och lösningar 37 där v Th (t) = C C v 0u(t) Th = C // = C C Théveninekvivalenten har samma utseende som kretsen i uppgift a och löses på samma sätt. Alternativ : Potentialvandring ger v 0 u(t) = i(t) v C (t) där i(t) = v C(t) C i C (t) = v C(t) C Cv C(t) Detta ger differentialekvationen ( v C(t) C C ) v C (t) = C C v 0u(t) med begynnelsevillkoret v C (0) = 0. Använd sedan metoden med integrerande faktorn. Svar: a) t = τ ln där τ = C b) v C (t) = C C v 0 där τ = CC C ( e t/τ ) u(t) S6.6 a) För grenen med spolen fås enligt KVL v 0 u(t) = i L (t) v L (t) = i L (t) L di L(t) dt där grenströmmen i L har begynnelsevillkoret i L (0) = 0. Lösningen är i L (t) = v ( ) 0 e t/τ u(t) där τ = L/. Spänningarna blir ( ) v (t) = i L (t) = v 0 e t/τ u(t) v L (t) = v 0 u(t) v (t) = v 0 e t/τ u(t) För grenen med kondensatorn fås enligt KVL v 0 u(t) = v C (t) i C (t) = v C (t) C dv C(t) dt där spänningen över kondensatorn uppfyller begynnelsevillkoret v C (0) = 0. Lösningen är ( ) v C (t) = v 0 e t/τ u(t) där τ = C. Spänningen över ges av v (t) = v 0 u(t) v C (t) = v 0 e t/τ u(t)

41 38 6 Kondensatorer och spolar: svar och lösningar b) Kravet är att τ = τ. Svar: a) v (t) = v 0 ( e t/l) u(t) v L (t) = v 0 e t/l u(t) v (t) = v 0 e t/c u(t) v C (t) = v 0 ( e t/c) u(t) b) L C = S6.7 a) För tiden t < 0 fungerar kondensatorn som ett avbrott eftersom likspänningskällan varit inkopplad under en lång tid varmed kondensatorn blivit fulladdad. Spänningsdelning ger b) KVL ger v C (0 ) = // // v 0 = v 0 3 v C = i = C dv C dt För t > 0 gäller det att v C(t) C v C(t) = 0 v C (0) = v 0 3 vilket ger v C (t) = v 0 3 et/c u(t) c) Alternativ : Vid tiden t = 0 finns energin w = C[v C(0)] = Cv 0 8 upplagrad i kondensatorn. All denna energi utvecklas till värme i resistorn. Alternativ : Integration av resistorns effektförlust, p(t) = [v C(t)], ger energiutvecklingen i resistorn w = 0 p(t)dt = v 0 9 Svar: a) v C (0 ) = v 0 3 b) v C (t) = v 0 3 et/c u(t) c) w = Cv e t/c dt = Cv 0 8

42 6 Kondensatorer och spolar: svar och lösningar 39 S6.8 a) Vid likström fungerar kondensatorn som ett avbrott och spolen som en kortslutning. Detta ger { vc (0 ) = v 0 v L (0 ) = 0 b) Det kan inte flyta någon ström mellan de två kretsdelarna efter det att kontakten öppnats. Den vänstra delen är en Ckrets och den högra är en Lkrets. Differentialekvationen för Ckretsen fås med med hjälp av KVL v C (t) = i C (t) där i C (t) = C dv C(t), vilket för tiden t > 0 ger dt dv C (t) dt C v C(t) = 0 v C (0) = v 0 Spänningen över kondensatorn beräknas till v C (t) = v 0 et/c u(t) För Lkretsen fås med KVL v L (t) = i L (t) v L (t) = L di L(t) dt Begynnelsevillkoret för strömmen är i L (0) = v 0. Differentialekvationen för tiden t > 0 är alltså di L (t) dt L i L(t) = 0 i L (0) = v 0 ur vilken strömmen beräknas till i L (t) = v 0 et/l u(t) vilket ger spänningen v L (t) = v 0 et/l u(t) Svar: a) v C (0 ) = v 0 v L (0 ) = 0 b) v C (t) = v 0 et/c u(t) v L (t) = v 0 et/l u(t)

43 40 7 Växelström 7 Växelström 7. Spänningskällan ger en tidsharmonisk spänning representerad av komplexvärdet V 0 = V 0 e jφ. esistansen, kapacitansen C och vinkelfrekvensen ω är kända. V 0 j! C V ut a) Bestäm den komplexa spänningen V ut. b) Vad är fasskillnaden mellan utspänningen V ut och inspänningen V 0? 7. Spänningskällan ger en tidsharmonisk spänning representerad av komplexvärdet V 0 = V 0 e jφ. esistansen, induktansen L och vinkelfrekvensen ω är kända. V 0 j!l V ut a) Bestäm den komplexa spänningen V ut. b) Vad är fasskillnaden mellan utspänningen V ut och inspänningen V 0? 7.3 i (t) i(t) C Bestäm strömmen i (t) då i(t) = I 0 cos(ωt φ) = e{i 0 e jφ e jωt } = I = I 0 e jφ (om man använder realdelskonventionen i(t) = e{i 0 e jωt }).

44 7 Växelström Spänningskällan ger spänningen v s (t) = V 0 cos(ωt). esistansen och kapacitansen C är kända. v s (t) C v ut (t) a) Bestäm den komplexa spänningen V ut som är definierad enligt realdelskonventionen v ut (t) def = e{v ut e jωt }. b) Vad är fasskillnaden mellan utspänningen v ut (t) och inspänningen v s (t)? c) Bestäm den tidsberoende spänningen v ut (t). d) Antag att = kω och C = µf. Bestäm den frekvens f då utspänningens toppvärde är / av toppvärdet för v s (t). Bestäm även fasskillnaden mellan utspänning och inspänning vid denna frekvens. 7.5 Spänningskällan i kopplingen ger spänningen v s (t) = V 0 cos(ωt). esistansen och induktansen L är kända. v s (t) L v ut (t) a) Bestäm den komplexa spänningen V ut som är definierad enligt realdelskonventionen v ut (t) def = e{v ut e jωt }. b) Vad är fasskillnaden mellan utspänningen v ut (t) och inspänningen v s (t) c) Bestäm den tidsberoende spänningen v ut (t). d) Antag att = kω och L = mh. Bestäm den frekvens f då utspänningens toppvärde är / av toppvärdet för v s (t). Bestäm även fasskillnaden mellan utspänning och inspänning vid denna frekvens. 7.6 Induktansen hos en spole kan bestämmas med hjälp av bryggkopplingen till höger. Induktansen L s är känd och bryggan är balanserad genom ett lämpligt val av resistanserna och. Bestäm L x uttryckt i de kända storheterna, och L s. v in L s AC meter L x

45 4 7 Växelström 7.7 En stor störsignal på 50 Hz observeras ofta på oscilloskop. Denna härstammar från en oskärmad nätkabel, dvs. en kabel ansluten till nätspänningen V sp = 30 V, f = 50 Hz. Nätspänningen läcker till mätkabeln och vidare till oscilloskopets högohmiga ingång. Denna läckning modelleras i kretsschemat med en läckkapacitans i serie med nätspänningen och oscilloskopets ingång. väagguttag näatkabel lysräor C oscilloskop ingºang a) ita upp kretsschemat i frekvensdomänen. Oscilloskopet modelleras med en ingångsresistans in parallellt med en kapacitans C in. mäatprob b) Bestäm toppvärdet på störsignalen då läckkapacitansen är C = 0 pf. Oscilloskopets ingångsresistans är in = MΩ och dess kapacitans är C in = 0 pf. Ge svaret både uttryckt i storheterna V sp, f, C in, in och C, samt med siffervärden insatta. jord 7.8 Spänningen v s (t) = V 0 cos(ωt), resistansen och kapacitansen C är givna. Bestäm spänningen v ab (t) mellan nodparet a och b. v s (t) a v ab (t) b C 7.9 L 3 C v v i s (t) v 3 C L v s (t) 3 Spänningen v s (t) = V 0 cos(ωt), strömmen i s (t) = I 0 cos(ωt π/), resistanserna,, 3, kapacitanserna C, C och induktanserna L, L är givna. De komplexvärda nodpotentialerna V, V och V 3 definieras av v k (t) = e{v k e jωt } där k =,, 3. a) Ange nodanalysekvationerna för nodpotentialerna V, V och V 3.

46 7 Växelström 43 b) Skriv nodanalysekvationerna som en matrisekvation i nodpotentialerna, dvs. V V V 3 = 7.0 Is jωc V jωl V V s Bestäm ett ekvationssystem med två ekvationer ur vilket de komplexa spänningarna V och V kan bestämmas. Ekvationssystemet skall skrivas på matrisform. 7. v(t) v (t) i (t) v (t) v 3 (t) C C i(t) a) Bestäm ett ekvationssystem med tre ekvationer ur vilka de komplexa spänningarna V, V och V 3 kan bestämmas. Ekvationssystemet skall skrivas på formen a a a 3 a a a 3 V V = b b a 3 a 3 a 33 V 3 b 3 b) Hur skall väljas så att den komplexa strömmen I = 0?

47 44 7 Växelström 7. p oscilloskop v in (t) C p C osc v osc (t) osc Kretsen visar ett oscilloskop med mätkabel och prob. Proben skall dämpa insignalen med en faktor tio, dvs. v osc (t) = v in(t) 0 för alla insignaler v in (t). Bestäm probens resistans p och kapacitans C p uttryckt i osc och C osc så att detta är uppfyllt. 7.3 i(t) C L i (t) Bandpassfiltret matas av en strömkälla i(t) = I 0 sin(ωt), där ω < / LC. a) Bestäm i (t). b) Hur skall resistansen väljas så att i (t) ligger 45 efter i(t) i fas? 7.4 v(t) C L v L (t) Spänningen v(t) = V 0 sin(ωt) liksom L, och C är givna. a) Bestäm spänningen v L (t) över spolen då ω < / LC. b) Vad är fasskillnaden mellan v(t) och v L (t) då ω = / LC.

48 7 Växelström jωc jωl V 0 V jωc V I jωl V 3 Den komplexa spänningen V 0 och strömmen I, liksom ω, L, och C är kända storheter. Använd nodanalys för att bestämma ett ekvationssystem på formen AV = B för de tre komplexa spänningarna V, V och V 3. A skall vara en 3 3 matris, V en kolonnvektor med de tre spänningarna och B en kolonnvektor med kända element. 7.6 L C i s (t) i (t) v(t) Strömkällan ger strömmen i s (t) = I 0 sin(ωt) och = L/C. a) Bestäm v(t). b) Bestäm i (t). 7.7 V jωl hv I V V I,, L och h är kända komplexa storheter. De komplexa spänningarna V och V satisfierar ett ekvationssystem som kan skrivas på formen ( ) ( ) ( a b V e = c d V f) Använd nodanalys och bestäm elementen a, b, c, d, e och f.

49 46 7 Växelström 7.8 a) Bestäm frekvensen då i(t) ligger 90 efter v(t) i fas. L b) Bestäm i(t) vid denna frekvens om v(t) = V 0 cos (ωt π/4). v(t) L i(t) 7.9 Bestäm och L om V 0 = 45 V, V = 50 V, V s = 0 V, vinkelfrekvensen ω = 00 π rad/s och resistansen = 80 Ω. V 0 V En spole för industribruk modelleras med en induktans L i serie med en resistans. En växelströmsvoltmeter kan enbart mäta amplituder, dvs. ingen fasinformation. För att bestämma industrispolens resistans och induktans seriekopplas därför denna med en känd resistor. industrispole jωl V s 7.0 Bestäm maxvärdet av utsignalen v ut (t), dvs. max v ut(t) då v s (t) = V 0 cos(ωt) och <t< i s (t) = I 0 sin(ωt). C v s (t) i s (t) v ut (t)

50 7 Växelström sin(ωt) V 0 fasen nollan jordfelsbrytare rel a spole i (t) i (t) apparat Figuren visar principen för en jordfelsbrytare. När allt fungerar är strömmen i fasen lika med strömmen i nollan. Det betyder att den totala strömmen genom den streckade ringen är noll. Magnetfältet runt ledaren blir då i stort sett noll. Om ett fel inträffar, t.ex. om en människa får kontakt med någon ledande del, kommer en del av strömmen att gå genom kroppen och vidare till jord. I figuren modellerar kroppen. Då ett fel inträffat är strömmarna i (t) och i (t) olika och det bildas ett magnetfält runt ledaren. Magnetfältet inducerar en ström i jordfelsbrytarens spole vilket leder till att ett relä bryter strömmen. Trula har skaffat sig en jordfelsbrytare och konstaterat att den fungerar. Hon har läst att jordfelsbrytaren löser ut om i (t) i (t) > 30 ma. Hennes kaxige kusin Osquar, teknolog på KTH, är på besök. Osquar skall visa att han kan få jordfelsbrytaren att lösa ut. Han sticker in en strumpsticka i ett av hålen i vägguttaget med vänster hand och skall just sätta i en sticka i det andra hålet med höger hand när Trula stoppar honom. Trula har nämligen märkt att Osquars skor har gummisulor. Uppskatta i (t) i (t) och avgör om Trula gjorde rätt i att avbryta Osquars experiment. esistansen mellan vänster och höger hand är ungefär kω. esistansen från huvud till fötter är ungefär 500 Ω. Gummisulornas resistans kan antas vara oändligt stor. Kapacitansen mellan skornas gummisulor och golvet är ungefär 00 pf, enligt formeln för en plattkondensator. Antag att golvet leder såpass bra att dess resistans till jord är försumbar. Eventuella approximationer som görs skall motiveras.

51 48 7 Växelström: svar och lösningar Växelström: svar och lösningar S7. a) Spänningsdelning ger V ut = V 0 /jωc = V jωc 0 jωc I polär form fås (täljare och nämnare var för sig) V 0 jωc = V 0 e jφ ωce jπ/ arctan(ωc) jωc = ej = (ωc) ej arctan(ωc) (ωc) och totalt V ut = V 0 (ωc) ej(φπ/arctan(ωc)) b) Fasskillnaden är π/ arctan(ωc). S7. a) Spänningsdelning ger jωl V ut = V 0 jωl I polär form fås (täljare och nämnare var för sig) V 0 jωl = V 0 e jφ ωle jπ/ jωl = (ωl) e och totalt V ut = ωl V 0 (ωl) ej(φπ/arctan(ωl/)) arctan(ωl/) ej = j arctan(ωl/) (ωl) b) Fasskillnaden är π/ arctan(ωl/). S7.3. Transformation till frekvensdomänen Använder Eulers formel för att skriva om strömmen i(t) som i(t) = I 0 cos(ωt φ) = e {I 0 e j(ωtφ)} = e { I 0 e jφ e jωt} och realdelskonventionen för att definiera den komplexvärda strömmen I genom sambandet Detta ger i(t) def = e { Ie jωt}. e { Ie jωt} = e { I 0 e jφ e jωt}

52 7 Växelström: svar och lösningar 49 och därmed sambandet (de är lika för alla tider t) I = I 0 e jφ. På samma sätt är den komplexvärda strömmen I definitionsvis given av i (t) def = e { I e jωt} Vi skriver ofta dessa båda samband i(t) def = e { Ie jωt} = I 0 cos(ωt φ) = e i (t) def = e { I e jωt} = I { I 0 e j(ωtφ)} = e { I 0 e jφ e jωt} = I = I 0 e jφ Den ekvivalenta kretsen i frekvensdomänen erhålls med kretselementens impedanser. I jωc I. Beräkning i frekvensdomänen Strömgrening ger I = jωc I I = jωc = I 0e jφ jωc jωc Komplexvärdena skrivs på polär form för transformation tillbaka till tidsplanet I = I 0e jφ jωc = I 0 e jφ (ωc) e = I 0 e j(φarctan(ωc)) j arctan(ωc) (ωc) 3. Transformation tillbaka till tidsdomänen i (t) def = e { I e jωt} = e { = I 0 e { e j(ωtφarctan(ωc))} (ωc) } { } I 0 e j(φarctan(ωc)) e jωt I 0 e j(ωtφarctan(ωc)) = e (ωc) (ωc) = I 0 cos(ωt φ arctan(ωc)) (ωc) Svar: i (t) = I 0 cos(ωt φ arctan(ωc)) (ωc) S7.4 a) Transformera först till jωdomänen med realdelskonventionen v s (t) def = e { V s e jωt} = V 0 cos(ωt) = e { V 0 e jωt} = V s = V 0 v ut (t) def = e { V ut e jωt} = V ut Den ekvivalenta frekvensdomänkretsen visas nedan. V 0 j! C V ut

53 50 7 Växelström: svar och lösningar Spänningsdelning ger V ut = V 0 /jωc = V jωc 0 jωc b) I polär form fås (täljare och nämnare var för sig) V 0 jωc = V 0 ωce jπ/ arctan(ωc) jωc = ej = (ωc) ej arctan(ωc) (ωc) Fasskillnaden är därmed π/ arctan(ωc). c) Transformera tillbaka till tidsdomänen med realdelskonventionen v ut (t) def = e { V ut e jωt} ωc { = V 0 e e j(π/arctan(ωc)) e jωt} (ωc) ωc = V 0 cos(ωt π/ arctan(ωc)) (ωc) d) V 0 ωc = V 0 (ωc) (ωc) (ωc) = ω = /(C) Svar: a) V ut = V 0 ωc (ωc) ej(π/arctan(ωc)) b) φ = π/ arctan(ωc) ωc c) v ut (t) = V 0 cos(ωt π/ arctan(ωc)) (ωc) d) f = 59 Hz φ = π/4 S7.5 a) Transformering till jωdomänen med realdelskonventionen ger v s (t) def = e { V s e jωt} = V 0 cos(ωt) = e { V 0 e jωt} = V s = V 0 v ut (t) def = e { V ut e jωt} = V ut Den ekvivalenta frekvensdomänkretsen visas nedan. V 0 j!l V ut

54 7 Växelström: svar och lösningar 5 Spänningsdelning ger jωl V ut = V 0 jωl = V ωl 0 (ωl) ej(π/arctan(ωl/)) Svar: a) V ut = V 0 ωl (ωl) ej(π/arctan(ωl/)) b) φ = π/ arctan(ωl/) ωl c) v ut (t) = V 0 cos(ωt π/ arctan(ωl/)) (ωl) d) f = 59 khz φ = π/4 S7.6 Transformera kretsen till jωplanet. Noderna och har samma potential (V = V ), eftersom bryggan är balanserad. Spänningsdelning ger jω L s V = jωl x V in = V = V in jωl x jωl s V in V V jω L x AC meter L s L x = Svar: L x = L s S7.7 a) Den ekvivalenta kretsen i frekvensplanet ges av Oscilloskop V sp jωc jωc in V osc in b) Oscilloskopspänningen V osc fås med spänningsdelning V osc = in jωc in in jωc in in jωc jωc in in jωc in V sp = jωc in in jωc jωc in in V sp = C in C jωc in V sp Svar: a) Se figur ovan. V sp b) V osc = ( =.0 V Cin C ) ω C in

55 5 7 Växelström: svar och lösningar S7.8. Transformation till frekvensdomänen Transformera kretsen och signalerna till jωdomänen med realdelskonventionen. v s (t) def = e { V s e jωt} = V 0 cos(ωt) = e { V 0 e jωt} = V s = V 0 v ab (t) def = e { V ab e jωt} = V ab V 0 a V ab b j!c. Beräkning i frekvensdomänen Spänningen V ab = V a V b med jωc V a = V 0 jωc V b = V 0 = V 0 där spänningsdelning använts. Detta ger ( V ab = V a V b = jωc ) V 0 = jωc ( jωc) V 0 = jωc jωc V 0 = V 0 3. Transformation tillbaka till tidsdomänen v ab (t) def = e { V ab e jωt} = V 0 cos(ωt arctan(ωc)) ej arctan(ωc) Svar: v ab (t) = V 0 cos(ωt arctan(ωc))

56 7 Växelström: svar och lösningar 53 S7.9 j!l 3 V V 3 j!c j!c V j I 0 j!l V 0 3 Transformera till jωplanet, frekvensdomänen v s (t) def = e { V s e jωt} = V 0 cos(ωt) = e { V 0 e jωt} = V s = V 0 i s (t) def = e { I s e jωt} = I 0 cos(ωt π/) = e { I 0 e j(ωtπ/)} = I s = I 0 e jπ/ = ji 0 Svar: a) V V 0 V V V V 3 = 0 Nod jωl V V 0 V 0 V V ji 0 = 0 Nod jωc 3 V 3 V V 3 0 jωl V 3 0 = 0 Nod 3 jωc jωl b) jωl jωl jωc 3 0 jωl 0 jωl jωc jωl V V V 3 = V 0 ji 0 jωc V 0 0

57 54 7 Växelström: svar och lösningar S7.0 Is jωc V jωl V V s Det finns tre väsentliga noder. Den undre noden väljs till referensnod och jordas. KCL på nod och nod ger V jωc I s V V = 0 Nod V V V jωl V V s = 0 Nod Svar: ( ) ( ) jωc V jωl = V ( Is V s ) S7. a) Den ekvivalenta kretsen i frekvensplanet ges av jωc V V I V V 3 jωc I Den nedersta noden används som referensnod. KCL ger V V V V (V V 3 )jωc I = 0 Nod V V V V 3 V = 0 Nod V 3 V V 3 jωc (V 3 V )jωc = 0 Nod 3 b) Alternativ : Om = / fås en balanserad brygga och då är I = 0, se lösning till uppgift 7.6 där V ab nu sätts till noll. Alternativ : Använd ekvationerna för nod och nod 3 med villkoret att V = V 3.

58 7 Växelström: svar och lösningar 55 Svar: a) jωc jωc jωc 3jωC V V V 3 I V = 0 0 b) = / S7. Transformera kretskomponenterna till frekvensdomänen med realdelskonventionen v in (t) def = e { V in e jωt} = V in v osc (t) def = e { V osc e jωt} = V osc Inför impedanserna Z p = p // p = jωc p jωc p p osc Z osc = osc // = jωc osc jωc osc osc Spänningsdelning ger V osc = Z osc V in = V in Z osc Z p Z p /Z osc För att V osc = V in /0 för alla frekvenser måste det gälla att Z p Z osc = 9 p osc = 9 jωc p p jωc osc osc p ( jωc osc osc ) = 9 osc ( jωc p p ) Detta är endast uppfyllt om real och imaginärdelarna är lika i de båda leden. Svar: p = 9 osc C p = C osc 9 S7.3 a). Transformation till frekvensdomänen Låt sin(ωt) vara riktfas, dvs. använd imaginärdelskonventionen för att transformera till frekvensdomänen. i(t) def = Im { Ie jωt} = I 0 sin(ωt) = I = I 0 i (t) def = Im { I e jωt} = I. Beräkning i frekvensdomänen Strömgrening ger I = jωc jωc jωli 0 = I 0 ω LC jωc = I 0 e jφ ( ω LC) (ωc)

59 56 7 Växelström: svar och lösningar ( där φ = arctan ωc ω LC 3. Transformation tillbaka till tidsdomänen ). i (t) def = Im { I e jωt} I 0 = sin(ωt φ) ( ω LC) (ωc) b) Att i (t) ligger 45 efter i(t) i fas innebär att I = ( ω LC) (ωc) ejπ/4 I 0 dvs. φ = π/4. Detta ger ( ) ωc arctan ω = π/4 LC ωc ω LC = = ωc ωl Svar: a) i (t) = I 0 sin(ωt φ) ( ω LC) (ωc) ( ) där φ = arctan b) = ωc ωl ωc ω LC S7.4 a). Transformation till frekvensdomänen Låt sin(ωt) vara riktfas, dvs. använd imaginärdelskonventionen. v(t) def = Im { V e jωt} = V 0 sin(ωt) = V = V 0 v L (t) def = Im { V L e jωt} = V L. Beräkning i frekvensdomänen Spänningsdelning ger den komplexa spänningen över spolen V L = = ( där φ = arctan jωl /jωc jωl V ω LC 0 = ω LC jωc V 0 ω LC ( ω LC) (ωc) ejφ V 0 ωc ω LC ), ω < / LC. 3. Transformation tillbaka till tidsdomänen v L (t) def = Im { V L e jωt} ω LC = V 0 sin(ωt φ) ( ω LC) (ωc)

60 7 Växelström: svar och lösningar 57 b) Då ω = / LC fås V L = jωc V 0 = jωl V 0 = ωl ejπ/ V 0 v L (t) ligger alltså 90 före v(t) i fas. ω LC Svar: a) v L (t) = V 0 sin(ωt φ) ( ω LC) (ωc) ( ) ωc där φ = arctan ω, ω < / LC LC b) Spänningen v L (t) ligger 90 före v(t) i fas. S7.5 jωc jωl V 0 V 3 jωc V I jωl V 3 KCL på de väsentliga noderna ger V jωc (V V )jωc V V 3 = 0 Nod V V 0 (V V )jωc V V 3 jωl = 0 Nod V 3 jωl I V 3 V V 3 V jωl = 0 Nod 3 Svar: jωc jωc jωc jωc jωl jωl jωl jωl jωl V V V 3 0 V = 0 I S7.6 a). Transformation till frekvensdomänen Låt sin(ωt) vara riktfas, dvs. använd imaginärdelskonventionen. i s (t) def = Im { I s e jωt} = I 0 sin(ωt) = I s = I 0 v(t) def = Im { V e jωt} = V

61 58 7 Växelström: svar och lösningar. Beräkning i frekvensdomänen Den komplexa spänningen ges av ( ) ( jωl) jωc V = jωl I 0 = L C j ( ) ωl ωc jωc j ( ) ωl I 0 ωc Insättning av = L/C ger V = L C j L C ( ) ωl ωc L C j ( ωl ωc ) I 0 = L C I 0 = I 0 3. Transformation tillbaka till tidsdomänen v(t) def = Im { V e jωt} = I 0 sin(ωt)

62 7 Växelström: svar och lösningar 59 b). Transformation till frekvensdomänen i (t) def = Im { I e jωt} = I. Beräkning i frekvensdomänen I = V jωl = I 0 arctan(ωl/) ej (ωl) 3. Transformation tillbaka till tidsdomänen i (t) def = Im { I e jωt} I 0 = sin(ωt arctan(ωl/)) (ωl) Svar: a) v(t) = I 0 sin(ωt) b) i (t) = I 0 sin(ωt arctan(ωl/)) (ωl) S7.7 hv V 3 jωl I V V V 3 Inför de komplexa nodpotentialerna V, V och V 3 enligt figuren. Den styrda spänningskällan gör att en supernod införs för noderna och 3. KCL på noderna ger I V V V jωl V V 3 = 0 Nod V V jωl V V 3 V 3 V = 0 Nod /3 där V 3 = V hv. Spänningsdelning ger V = jωl (V V ) I ekvationssystemet uttrycks V 3 som funktion av V och V ( h V jωl ) ( h V jωl ) = I Nod ( V h ) ( h V jωl jωl 3 ) = 0 Nod /3 Svar: a = h jωl c = h jωl b = h jωl d = h jωl 3 e = I f = 0

63 60 7 Växelström: svar och lösningar S7.8 jωl V V I jωl a) Transformation till frekvensdomänen med cos(ωt) som riktfas (dvs. ekonv) ger v(t) def = e { V e jωt} = V i(t) def = e { Ie jωt} = I Spänningsdelning ger ( jωl) V = jωl( jωl) ( jωl) V = V I = jωl = ω L 3jωL V Strömmen i(t) ligger 90 efter v(t) i fas om realdelen i nämnaren är noll dvs. ω L = 0 ω = /L Alltså ges strömmen av I = 3ωL V ejπ/ då ω = /L. b). Transformation till frekvensdomänen Med cos(ωt) som riktfas (dvs. ekonv) fås v(t) def = e { V e jωt} = V 0 cos(ωt π/4) = e i(t) def = e { Ie jωt} = I. Beräkning i frekvensdomänen I = 3ωL V ejπ/ = 3ωL V 0e jπ/4 3. Transformation tillbaka till tidsdomänen Svar: a) f = π L i(t) def = e { Ie jωt} = V 0 cos(ωt π/4) 3ωL b) i(t) = V 0 cos(ωt π/4) 3ωL { V 0 e jπ/4 e jωt} = V = V 0 e jπ/4

64 7 Växelström: svar och lösningar 6 S7.9 Spänningsdelning ger amplituden hos delspänningarna V och V s V industrispole V = V s = ( ) (ωl) V 0 () (ωl) ( ) (ωl) V 0 () Lös ut och L genom att dividera () med (). esultatet kvadreras vilket ger V 0 jωl V s (ωl) = V s V (ωl) = V s V (3) Invertering och kvadrering av () ger V 0 V = ( ) (ωl) V 0 V = (ωl) (4) Subtrahera (3) från (4) och dividera med = ( V0 V s ) V = 03 Ω Induktansen L beräknas med (3) L = ω ( Vs ) / V = H Svar: = 03 Ω L = H S7.0 Transformation till frekvensdomänen med realdelskonventionen ger v s (t) def = e { V s e jωt} = V 0 cos(ωt) = e { V 0 e jωt} = V s = V 0 i s (t) def = e { I s e jωt} = I 0 sin(ωt) = I 0 e {ji 0 (cos ωt j sin ωt)} = e { ji 0 e jωt} = I s = ji 0 v ut (t) def = e { V ut e jωt} = V ut

65 6 7 Växelström: svar och lösningar Utsignalen är v ut (t) = V ut cos(ωt arg V ut ), dvs. den maximala amplituden ges av j!c max v ut(t) = V ut <t< Den ekvivalenta frekvensdomänkretsen erhålls med kretselementens impedanser enligt figuren till höger. Nodanalys ger V 0 j I 0 V ut V ut V 0 jωc ji 0 V ut = 0 V ut = j ωcv 0 I 0 jωc / vars absolutbelopp är V ut = ωcv 0 I 0 ω C / Svar: max v ut(t) = ωcv 0 I 0 <t< ω C / S7. I frekvensdomänen ges kretsen av V 0 I = I I 3 I I V h oger arm I 3 kropp v anster arm jωc V 0 = 30 V ω = 00π rad/s = 500 Ω C = 00 pf (nätspänning) (nätfrekvens f = 50 Hz) I 3 Transformation till frekvensplanet med imaginärdelskonventionen ger v(t) def = Im { V e jωt} = V 0 sin(ωt) = V = V 0 i (t) def = Im { I e jωt} = I i (t) def = Im { I e jωt} = I Den maximala strömdifferansen, dvs. strömmen genom kroppen, ges av max i 3(t) = max i (t) i (t) = I I = I 3 <t< <t< Alternativ : Kondensatorns impedans jωc är mycket större än resistansen. Strömmen I 3 är därför väldigt liten jämfört med strömmarna I och I. Detta ger spänningen V V 0. Då jωc är spänningen över kondensatorn ungefär V. Toppvärdet av strömmen genom fötterna ges alltså av I 3 = V 0 jωc = ωc V 0 0 µa < 30 ma

66 7 Växelström: svar och lösningar 63 Alternativ : Strömmen I 3 bestäms med nodanalys på nod V 0 V V 0 V 0 jωc ( ) V = V 0 jωc V 0 V = ( ) jωc Strömmen I 3 blir I 3 = V jωc vars absolutbelopp är I 3 = = V 0 = 0 ( ( jωc ) ) = V 0 ( jωc ) = ωc 9ω C 4 V 0 ωc V 0 0 µa < 30 ma jωc j3ωc V 0 Svar: max <t< i (t) i (t) 0 µa < 30 ma Jordfelsbrytaren löser inte ut och Trula har räddat livet på en KTH student.

67 64 8 Effekt 8 Effekt 8. I figuren är V = 30 V och Z = (5 j) Ω. I a) Bestäm den komplexa strömmen I. b) Bestäm den komplexa effekten S. V Z c) Bestäm den skenbara effekten S. d) Bestäm den aktiva effekten P. e) Bestäm den reaktiva effekten Q. f) Bestäm effektfaktorn cos ϕ. g) Är belastningen Z induktiv eller kapacitiv? h) Vad är tidsmedelvärdet av effektförbrukningen i Z? 8. En motor är kopplad till en spänningskällan som ger spänningen V m vid vinkelfrekvensen ω. Motorn modelleras med en spole i serie med ett motstånd. a) Bestäm den komplexa effekten S, den skenbara effekten S, den aktiva effekten P, den reaktiva effekten Q och effektfaktorn cos ϕ för motorn uttryckt i V m, ω, L och. b) Hur stort är toppvärdet av strömmen, I? c) En kapacitans C parallellkopplas med motorn för att minska strömmen i ledningen genom spänningskällan. Bestäm den komplexa effekten, den skenbara effekten, den aktiva effekten, den reaktiva effekten och effektfaktorn för kondensatorn. d) Hur skall kapacitancen C väljas för att den totala reaktiva effekten, i motorn och kondensatorn, skall bli noll? Vad blir den totala komplexa effekten för motorn och kondensatorn med detta val? e) Hur stort är toppvärdet av strömmen I efter inkoppling av en sådan kapacitans? Vad blir kvoten I / I? I V m I V m jωc I c jωl jωl

68 8 Effekt Strömmen i s (t) = I 0 cos(ωt), resistansen, induktansen L och kapacitansen C är givna. a) Bestäm effekten i frekvensdomänen, dvs. den komplexa effekten, i motståndet, spolen och kondensatorn. b) Vid vilken frekvens blir strömkällans belastning rent aktiv? Vad blir dess effektutveckling vid denna frekvens? i s (t) L C 8.4 En spänningsgenerator med toppvärdet 4 V anslutes till en admittans Y = ( j 3) Ω. a) Beräkna den aktiva effekten P. b) Beräkna effektfaktorn cos ϕ. 8.5 En apparat förbrukar en aktiv effekt P = 30 kw då cos ϕ = 0.6 och belastningen är kapacitiv. Beräkna den tillförda reaktiva effekten Q. 8.6 Den reaktiva effekten i kapacitansen C är Q C. jωc a) Beräkna den aktiva effekten P i impedansen Z. b) Beräkna den reaktiva effekten Q i impedansen Z. Z = jx 8.7 En dammsugare på P d = 000 W och n stycken glödlampor på vardera P g = 60 W är inkopplade i olika vägguttag men till samma säkring (propp). Säkringen är på I p = 6 A, dvs. den löser ut om strömmen överstiger detta värde. Spänningen i vägguttagen är V 0 = 30 V. Glödlamporna kan anses vara rent resistiva. Hur många lampor kan vara inkopplade, utan att proppen går, om: a) dammsugarens effektfaktor är cos ϕ =? b) dammsugarens effektfaktor är cos ϕ = 0.9?

69 66 8 Effekt 8.8 En motor är kopplad till en spänningsgenerator som ger spänningen V eff = 30 V vid frekvensen 50 Hz. Motorns skenbara effekt är 60 W. Motorn är induktiv med effektfaktorn cos ϕ = 0.5. motor a) Vad är motorns reaktiva effekt? b) Hur stor kapacitans C ska parallellkopplas med motorn för fullständig faskompensering? Den reaktiva effekten i kondensatorn släcker ut den reaktiva effekten i motorn vid fullständig faskompensering. c) Hur stort är strömmens toppvärde, I topp = I, i ledningen till generatorn före inkoppling av en sådan kapacitans? d) Hur stort är strömmens toppvärde, I topp = I, i ledningen till generatorn efter inkoppling av en sådan kapacitans? 8.9 En skarvsladd med längden L = 5 m används för att koppla in en borrmaskin till spänningsnätet, V = 30 V och 50 Hz. Skarvsladden har två ledare med vardera tvärsnittsarean A = 0.75 mm och resistansen r = 0.04 Ω/m. Borrmaskinen är induktiv med effektfaktorn cos ϕ = Borrmaskinen förbrukar den aktiva effekten P = 700 W då den är direkt ansluten till spänningsnätet, dvs. då ingen skarvsladd används. Hur mycket aktiv effekt förbrukas i skarvsladden? 8.0 Ett batteri fungerar som en spänningskälla med tomgångsspänningen v 0 och den inre resistansen i. En belastning med resistansen b kopplas till batteriet. Det gäller att i b. Bestäm b så att effektutvecklingen i belastningen blir p. v 0 i b 8. En belastning med effektutvecklingen p ansluts till en spänningsgenerator. Belastningen modelleras med en resistor b. Spänningsgeneratorns tomgångsspänning v 0 och dess inre resistans i kan väljas fritt. Gör ett lämpligt val av v 0 och i uttryckt i p och b. Effektförluster ska undvikas i den mån det är möjligt. v 0 i b

70 8 Effekt Ett vägguttag är en spänningskälla. Vilka av följande påståenden är sanna respektive falska. a) Vägguttaget bör ha en stor inre impedans. b) Vägguttaget bör ha en liten inre impedans. c) Vägguttagets inre impedans bör vara lika med komplexkonjugatet av summan av de inkopplade belastningarnas impedanser. 8.3 En halvvågsantenn med lämpligt avpassad längd har en rent reell impedans. En sådan antenn kan modelleras som en spänningskälla med den inre resistansen i. En detektor med ingångsresistansen b kopplas till antennen. Bestäm b så att effektutvecklingen i detektorn blir så stor som möjligt. v 0 i b 8.4 V in jωl V ut V in är den komplexa insignalen och V ut den komplexa utsignalen. Spolen har induktansen L. Vinkelfrekvensen är ω. a) Bestäm Théveninekvivalenten till kretsen. b) Vad är den maximala aktiva effekten kretsen kan leverera till en belastning som kopplas in på utgången? Effekten skall uttryckas i de kända storheterna V in,, ω och L. 8.5 jωc V s B Den komplexa spänningen V s, vinkelfrekvensen ω samt komponentvärdena och C är kända. a) Bestäm Théveninekvivalenten för nätet till vänster om den streckade linjen. b) En rent resistiv belastning B kopplas in enligt figuren. Bestäm B så att maximal effekt erhålles i belastningen. c) Maximera den aktiva effekten i belastningen utan att påverka kretsen till vänster om den streckade linjen? Ange värdena på de kretselement som skall kopplas in och rita en figur som visar var de skall kopplas in.

71 68 8 Effekt 8.6 I kraftledningsnätet transformeras spänningen ned från 400 kv till 30 V i flera steg. I de lokala näten i närheten av städer är spänningen nedtransformerad till 0 kv. a) De boende i närheten av kraftledningen är oroliga för dess magnetfält. Skall spänningen höjas eller sänkas för att minska magnetfältet? Förklara! Ledning: Magnetfältet är proportionellt mot strömmen. b) Det finns förluster i ledningen. Skall spänningen höjas eller sänkas för att minska förlusterna? Förklara! Antag att ledningen är rent resistiv med resistansen. Observera att ledningens levererade effekt skall vara samma som tidigare. c) Om belastningen inte är faskompenserad ökar förlusterna i ledningen. Antag att transformatorn levererar den aktiva effekten P till nätet och att effektfaktorn för nätet är cos ϕ. Bestäm den aktiva effektförlusten P l i ledningen om ledningen är rent resistiv med resistansen. Spänningen ut från transformatorn är V 0 sin ωt med V 0 = 0 kv. Effektförlusten skall uttryckas i V 0, P, och cos ϕ. Kommentar: Egentligen används trefassystem i elkraftdistributionen. I uppgiften tar vi inte hänsyn till detta utan studerar endast en fas. 8.7 Z Z A V V = Z I m I Z L Basstation Telefon B I den vänstra figuren syns en basstation som kommunicerar med en mobiltelefon. Ett ekvivalent schema ges i den högra figuren. Mottagarantennen är ekvivalent med en strömstyrd spänningskälla i serie med en inre impedans Z = jx. Sändarantennen är ekvivalent med en spänningskälla i serie med en impedans Z = jx. Koefficienten Z m beror på avståndet mellan antennerna, hur antennerna är vinklade i förhållande till varandra och på omgivningen. Den sändande antennen sänder med vinkelfrekvensen ω. V och V är komplexa spänningar. a) Vad är tomgångsspänningen mellan A och B, dvs. vad är V AB då Z L =? b) Vad är kortslutningsströmmen mellan A och B, dvs. vad är strömmen I AB då Z L = 0? c) Bestäm Théveninekvivalenten med avseende på utgången AB. d) Hur skall belastningsimpedansen Z L väljas så att maximal aktiv effekt mottages i Z L? e) Bestäm kvoten P r P t då P r är maximerad. P r är den mottagna aktiva effekten som förbrukas i Z L och P t är den utsända aktiva effekten, dvs. den aktiva effekten som förbrukas i Z.

72 8 Effekt En sommarstuga ligger långt från transformatorstationen så långa luftledningar förser den med ström. Ledningarna är i dålig kondition och har en icke försumbar impedans. Tomgångsspänningen som uppmäts i ett vägguttag är v 0 (t) = V 0 cos ωt Då man kopplar in en resistans över vägguttaget blir spänningen över resistansen v (t) = 3V 0 4 cos(ωt π/6) Bestäm den maximala aktiva effekten som kan fås ut från ett eluttag uttryckt i och V 0. Inga siffror skall användas i svaret men V 0 = 30 V, den vanliga tomgångsspänningen för eluttag, och ω = 00π rad/s. Ledning: Använd en Théveninekvivalent för vägguttaget. 8.9 Z I V Impedansen Z är induktiv och förbrukar den aktiva effekten 3P med effektfaktorn 0.6. I resistansen utvecklas effekten P och i resistansen utvecklas effekten P. Bestäm den komplexa spänningen V över strömkällan då I = I 0.

73 70 8 Effekt: svar och lösningar Effekt: svar och lösningar S8. a) I = V Z = 5 j A = (5 j) A 9 b) S = V I = V Z = 30 (5 j) 30 VA = (5 j) VA 9 c) S = 30 (5 j) 9 VA = 30 9 VA d) P = e{s} = W e) Q = Im{S} = 30 9 VA f) cos ϕ = P 5 30 S = 9 = g) Belastningen är kapacitiv eftersom X < 0 Q < 0 h) Tidsmedelvärdet av effektförbrukningen i belastningen beskrivs av den aktiva effekten. Alltså är tidmedelvärdet av effektförbrukningen P = W. 30 Svar: a) I = (5 j) A 9 b) S = 30 (5 j) VA 9 c) S = 30 9 VA d) P = e) Q = 30 9 f) cos ϕ = 5 9 g) kapacitiv h) P = W W VA

74 8 Effekt: svar och lösningar 7 S8. a) Motorn har impedansen Z = jωl. Effekten är S = V mi = V ( ) m Vm V m = jωl ( jωl) = ( jωl) V m ( ω L ) och därmed V m S = ω L P = e{s} = V m ( ω L ) ωl V m Q = Im{S} = ( ω L ) cos ϕ = P S = ω L b) Alternativ : V m I = jωl I = V m ω L Alternativ : S = V m I I = S V m = V m ω L c) Kondensatorn har impedansen Z = /(jωc). Effekten är ( ) S C = V mic = V m = jωc V m och därmed S C = ωc V m P C = e{s C } = 0 V m jωc Q C = Im{S C } = ωc V m cos ϕ C = P C S C = 0 d) Q Q C = 0 ger ωl V m ( ω L ) = ωc V m och därmed C = L ω L Den komplexa effekten är S tot = P P C jq jq C = P. e) Strömmen ges av S tot = V m I I = S tot V m Kvoten mellan strömmarna är I I = ω L < = P V m = V m ω L

75 7 8 Effekt: svar och lösningar Svar: a) S = ( jωl) V m ( ω L ) V m P = ( ω L ) cos ϕ = ω L V m S = ω L ωl V m Q = ( ω L ) b) I = V m ω L c) S C = jωc V m S C = ωc V m P C = 0 Q C = ωc V m cos ϕ C = 0 d) L C = ω L S tot = P e) I = V m ω L I I = ω L S8.3 a) Transformation till frekvensdomänen med realdelskonventionen ger i s (t) def = e{i s e jωt } = I 0 cos(ωt) = I s = I 0 Effekten i ett kretselement med impedansen Z ges av S = V I = V Z Spänningen V erhålls med nodanalys eller som V = I 0 Z tot där = Z tot jωl jωc erhålls genom parallellkoppling. Spänningen är V = I 0 Z tot = med beloppet V = I 0 I 0 ( ωc ωl jωl jωc = I 0 j ( ) ωc ωl )

76 8 Effekt: svar och lösningar 73 Effekten i de olika kretselementen är V S = V V S L = = j (jωl) ωl S C = ( V jωc ωc V ) = j b) Effekten är rent aktiv då Im{S tot } = Q tot = 0. Detta ger 0 = Im{S S L S C } = V ωc V ω = / LC ωl Vid denna frekvens är den totala effektutvecklingen S tot = P tot = Svar: a) S = S L = j ωl S C = jωc b) f = π LC S tot = I 0 ( ωc ωl I 0 ) ( ωc ωl I 0 ) ( ωc ωl I 0 ( ωc ωl ) ) = I 0 V. S8.4 a) S = V I = [I = Y V ] = V Y V = Y V = ( j 3)6 VA = (8 j8 3) VA b) Svar: cos ϕ = a) P = 8 W 8 8 = = = b) cos ϕ =

77 74 8 Effekt: svar och lösningar S8.5 Den komplexa effekten är S = P jq S = P Q () där P = 30 kw. Effektfaktorn ges av cos ϕ = P S () där cos ϕ = 0.6. Eliminera S i () och () P cos ϕ = P Q ( ) P Q = P cos ϕ Eftersom belastningen är kapacitiv är Q < 0, dvs. ( ) P Q = P cos ϕ ( ) Q = P cos ϕ Svar: Q = 40 kva S8.6 Den komplexa effekten för kondensatorn ges av S C = V CI = jωc I Givet i uppgiften är Q C, dvs. Im{S} = Q C = ωc I () I jωc V C V Z Z =jx Den komplexa effekten för impedansen Z ges av S Z = V ZI = Z I = ( jx) I () Lös ut I ur () och sätt in i () S Z = ωcq C ( jx) Svar: a) P = ωcq C b) Q = ωcq C X

78 8 Effekt: svar och lösningar 75 S8.7 I p propp n st lampor dammsugare V 0 Z g Z d Den totala effektförbrukningen är summan av effektförbrukningen i varje komponent S = S d ns g = S d np g = V 0I p där S d = S d (cos ϕj sin ϕ) = P d (j tan ϕ) ty S d = P d / cos φ. Toppvärdet av strömmen genom säkringen, I p, är I p = S V 0 = (P d np g ) Pd tan ϕ V 0 Maximala antalet lampor, n, löses ut (P d np g ) P d tan ϕ = 4 V 0 I p 4 n = V 0 I p Pd tan ϕ P d P g a) cos ϕ = ger tan ϕ = 0 och därmed n = V 0 I p P d = = 6 P g 60 b) cos ϕ = 0.9 ger tan ϕ och därmed 30 6 n = = 4 60 Svar: a) n = 6 b) n = 4 S8.8 Svar: a) Q = 5 VA b) C = 3. µf c) I topp = 0.37 A d) I topp = 0.8 A

79 76 8 Effekt: svar och lösningar S8.9 Först beräknas borrmaskinens impedans enligt den övre figuren där ingen skarvsladd är inkopplad. Den komplexa effektutvecklingen i borrmaskinen kan skrivas S = V I = V Z = S (cos ϕ j sin ϕ) = P ( j sin ϕ cos ϕ ) V I I Z och därmed ges borrmaskinens impedans av V Z = P ( j sin ϕ cos ϕ ) = V cos ϕ P (cos ϕ j sin ϕ) V cos ϕ(cos ϕ j sin ϕ) = P (cos ϕ j sin ϕ)(cos ϕ j sin ϕ) = V cos ϕ(cos ϕ j sin ϕ) P = (53 j33) Ω där sin ϕ = cos ϕ = 0.53 då belastningen är induktiv. Skarvsladden kopplas in enligt den nedre figuren. Varje ledning har resistansen = L r = 0.6 Ω. Strömmen I ges av I = V Z = 5. A och den totala effektutvecklingen i sladden är P s = I = V Z = 5 W där Z är borrmaskinens impedans. Svar: P s = 5 W V Z S8.0 Svar: b = v 0 p S8. Svar: i = 0 v 0 = p b S8. Svar: a) falskt b) sant c) falskt S8.3 Svar: b = i

80 8 Effekt: svar och lösningar 77 S8.4 a) Théveninekvivalentens spänning är den samma som tomgångsspänningen, vilken ges av V Th = //L //L = jωl jωl V in Théveninekvivalentens impedans är impedansen över utgången då spänningskällan är nollställd Z Th = //L// = //L = jωl jωl b) Maximal aktiv effekt fås då belastningens impedans är Z b = Z Th = jωl jωl Den maximala aktiva effektutvecklingen i Z b ges av där P max = e{z b} I = e{z V Th b} Z b Z Th = V Th 8 e{z Th } och V Th = e{z Th } = ω L 4ω L V in ω L 4ω L jωl Svar: a) V Th = jωl V in Z Th = jωl jωl b) P max = V in 6 S8.5 j!c Z Th V s V Th a) V Th = V s = V s Théveninimpedansen är lika med inimpedansen då spänningskällan är nollställd, V s = 0, dvs. Z Th = jωc

81 78 8 Effekt: svar och lösningar b) Effektutvecklingen i B ges av P B = B I B V Th = B B Z Th = V s ( B (B ) 8 ( ) ) ωc P B är maximal då /P B är minimal, dvs. då B = ( ) ( ) ωc P B B = 0. Detta ger c) Maximal aktiv effektutveckling fås då belastningsimpedansen väljes till Z B = Z Th = / j/(ωc). Belastningen kan t.ex. skapas genom att en resistans / kopplas i serie med en spole vars induktans ges av jωl = j ωc L = ω C jωc V s jωl / Svar: a) V Th = V s Z Th = jωc b) B = ( ) ( ) ωc c) se figur ovan S8.6 a) Magnetfältet är proportionellt mot strömmen. Den aktiva effekten ges av P = e{v 0I } där V 0 är toppvärdet av spänningen från transformatorn. b) Förlusterna i ledningen är P l = I. För att sänka förlusterna ska strömmen minska. För att behålla levererad effekt ska spänningen höjas. c) Den komplexa spänningen från transformatorn fås med imaginärdelskonventionen v(t) def = Im{V e jωt } = V 0 sin ωt = V = V 0

82 8 Effekt: svar och lösningar 79 Den komplexa effekten ges av S = P jq = P ( jq/p ) = P ( j tan ϕ) eftersom P = S cos ϕ och Q = S sin ϕ. Ur relationen S = V I fås I = S V = P V 0 ( j tan ϕ) Effektförlusten i ledningen ges, enligt uppgift b, av P l = I = ( ) P ( tan ϕ) ( ) P = V 0 cos ϕ V 0 Effektförlusten i ledningen minskar om effektfaktorn och spänningen ökar. P l är minimerat då cos ϕ =, dvs. då nätet är faskompenserat. Svar: a) Spänningen V 0 måste höjas om strömmen I skall minska och den levererade aktiva effekten P skall hållas konstant. b) Strömmen i ledningen I måste minskas för att minska effektförlusten P l. Detta innebär att spänningen V 0 måste öka för att hålla den levererade aktiva effekten P konstant. ( ) P c) P l = V 0 cos ϕ S8.7 a) Tomgångsspänningen ges av V AB = V = Z m I = Z m V Z b) Då Z L = 0 fås kortslutningsströmmen I AB = V /Z. c) Théveninekvivalentens spänningskälla ges av tomgångsspänningen V AB, dvs. V Th = V AB = Z m V Z Théveninekvivalentens impedans är Z Th = V AB I AB = Z d) Maximal effektutveckling fås då Z L = Z Th = jx. e) P t = e {V I } = { e V } = V Z Z P r = {Z e L I } = I = V Th Z L Z Th = 8 V = 8 V Z m Z

83 80 8 Effekt: svar och lösningar Svar: a) V AB = Z m V Z b) I AB = Z m Z Z V c) V Th = Z m V Z Z Th = Z d) Z L = jx e) P r = Z m P t 4 S8.8 Transformation av spänningarna till frekvensdomänen med realdelskonventionen ger v 0 (t) def = e { V 0 e jωt} = V 0 cos ωt = V 0 v (t) def = e { V e jωt} = 3V 0 4 cos(ωt π/6) = V = 3V 0 4 ejπ/6 Figuren till höger visar kretsen då resistansen är inkopplad och V Th = V 0. Théveninimpedansen bestäms med spänningsdelning V = V Th Z Th ( ) VTh Z Th = V ( ) 4 = 3 ejπ/6 ( = 3 j ) 3 Maximal aktiv effektutveckling fås om kretsen belastas med impedansen Z b = ZTh, enligt figuren till höger. Den maximala aktiva effektutvecklingen i belastningen ges av { P max = { e Z b I } = e V Th } Z b Z Th Z b V 0 = 8 e {Z Th } = V0 3 (6 8 3) V 0 Svar: P max = 3 (6 8 3) V Th V Th Z Th Z Th V V b Z b S8.9 Svar: V = 4P I 0 3 e j arctan( 3 )

84 9 Transformatorer och ömsesidig induktans 8 9 Transformatorer och ömsesidig induktans 9. M I 0 sin(!t) L L v(t) Bestäm v(t). 9. M V 0 sin(!t) L 6L i(t) Kopplingsfaktorn k = 0.5. Bestäm i(t). 9.3 i(t) V 0 sin(!t) N 3N Bestäm i(t). 9.4 a N N Z b Bestäm impedansen Z ab.

85 8 9 Transformatorer och ömsesidig induktans 9.5 Bestäm spänningen v ut (t) då i s (t) = I m cos(ωt). C M i s (t) L 4L v ut 9.6 Det varierande magnetiska flödet i en transformatorkärna ger upphov till förluster. Förlusterna är främst i form av virvelström och hysteresförluster. En förenklad kretsmodell av transformatorsystemet visas i figuren. Förlusterna i kärnan modelleras med resistansen c parallellkopplad med magnetiseringsinduktansen L M. Strömmarna I exc, I mag och I c ger exciteringen, magnetiseringen respektive förlusterna. I jωl L jωl I I exc I c I mag V jωl M c N N V Spänningen V = 30 V, 50 Hz appliceras på primärsidan av en transformator med lindningstalen N och N. Med öppen sekundärsida mäts toppvärdet av strömmen på primärsidan till I = 7 A och effektförbrukning till P = 360 W. Bestäm c och L M. Ge svaret i de givna storheterna. Du behöver inte sätta in siffervärden. 9.7 a) Bestäm Théveninekvivalenten med avseende på nodparet a och b då impedanserna Z = (8 j) Ω, Z = 3j Ω och lindningstalen är N = 8000, N = V m Z Z N N a b b) Bestäm impedansen Z b så att maximal aktiv effekt utvecklas i Z b och ange den maximalt utvecklade aktiva effekten. Låt V m = 30 V. V m Z Z a N N Z b b

86 9 Transformatorer och ömsesidig induktans L v in (t) M L v ut (t) 0 log K 0 log K log ω log ω a) Vinkelfrekvensen är ω. Bestäm överföringsfunktionen H(jω). b) Bodediagrammet för ampliuden av H ges av den högra figuren. Bestäm brytfrekvenserna ω och ω samt K och K om = 80 Ω, = 0 Ω, L = 0.03 H, L = 0.07 H och M = 0.0 H. 9.9 Z Z 4 Z 3 a Z N N N 3 N 4 b Bestäm impedansen med avseende på nodparet a och b då impedanserna Z = (8 j) Ω, Z = 3j Ω, Z 3 = 4 Ω, Z 4 = 7 Ω, och lindningstalen är N = 500, N = 000, N 3 = 000, N 4 = Z v(t) N N b I en verklig transformator fås alltid effektförluster eftersom järnkärnan värms upp då magnetfältet varierar i tiden. En modell för en viss transformator består av en ideal transformator seriekopplad med en magnetiseringsimpedans Z = jx, enligt figur. Transformatorn matas med en ideal spänningskälla v(t) = V 0 sin ωt på primärsidan. På sekundärsidan belastas transformatorn med en resistiv belastning b. Bestäm transformatorns verkningsgrad, dvs kvoten P b /P s där P b är tidsmedelvärdet av effektutvecklingen i belastningen b och P s är tidsmedelvärdet av effekten som lämnas av spänningskällan.

87 84 9 Transformatorer och ömsesidig induktans 9. M a v s (t) N N L 00L v ab (t) b En ideal spänningskälla ger spänningen v s (t). Spänningen transformeras först via en ideal transformator med omsättningsförhållandet N /N = 3 och därefter via en ickeideal transformator, enligt figur. Kopplingsfaktorn för den ickeideala transformatorn är k = 0.9. Vid de båda transformatorerna blir det effektförluster. Detta modelleras med motstånden och. Mellan a och b uppmäts tomgångsspänningen till v ab (t) = V 0 sin ωt a) Bestäm v s (t) om, och L är kända. b) Vad är tidsmedelvärdet av effektförlusterna i kretsen då den inte belastas (dvs då inget är inkopplat mellan a och b). 9. M a I L L b Strömkällan ger den komplexa strömmen I vid vinkelfrekvensen ω. Bestäm kretsens Théveninekvivalent (i frekvensplanet). 9.3 jωc a C Ekvivalent krets Z in Z g N N Z a b

88 9 Transformatorer och ömsesidig induktans 85 Dipolantenner matas ofta av koaxialkablar. Kopplingen mellan antenn och koaxialkabel kan tex. göras med en gammakoppling enligt figur. a) Bestäm inimpedansen Z in = Z ab (impedansen mellan noderna a och b) till kopplingen. Uttryck inimpedansen i antennimpedansen Z a, gammaimpedansen Z g, lindningstalen N, N och kapacitansen C. b) Effektanpassa en kvartsvågsantenn med antennimpedans Z a = 75 Ω till en 50 Ωkoaxialkabel vid frekvensen ω = ω r rad/s, dvs bestäm kvoten N /N och kapacitansen C så att maximal signalstyrka (effekt) kan överföras från antennen till koaxialkabeln. Antag för enkelhets skull att gammaimpedansen är rent induktiv med en stor induktans Z g = jωl g. (Ledning det kan 9.4 vara bekvämt att använda Y = N N Z a.) En transformator används för att anpassa en förstärkarkrets till en högtalare så att maximal effekt överförs. Förstärkarens utgångsimpedans är Z f = 9 Ω och högtalarnas ingångsimpedans är Z h = Ω. Bestäm lindningstalen N, N. F orst arkare N N H ogtalare 9.5 Det elektromagnetiska fältet kring en antenn kan delas upp i sin strålande (resistiva) del och sin ickestrålande (reaktiva) del. En liten antenn har ett relativt stort reaktivt fält. En given antenn modelleras med en resistans i serie med en kapacitans C. För att anpassa antennen till en förstärkare med den inre resistansen i används en spole och en (ideal) transformator, se figur. Spänningen ges av v in (t) = V m cos(ωt). v in i förstärkare L C N N v ut anpassning antenn a) Bestäm kvoten N /N och L så att antennens aktiva effekt maximeras vid vinkelfrekvensen ω 0. b) Hur stor aktiv effekt utvecklas i antennen? c) Hur stor reaktiv effekt utvecklas i antennen? d) Hur stor reaktiv effekt avges av källan? 9.6 Bestäm strömmen i (t) då v s (t) = V m sin(ωt). esistansen, kapacitansen C, induktansen L och kopplingsfaktorn k = / är givna. v s (t) C L M i (t) 4L

89 86 9 Transformatorer och ömsesidig induktans: svar och lösningar Transformatorer och ömsesidig induktans: svar och lösningar S9. v(t) = ωmi 0 sin(ωt π ) S9. i(t) = V 0 6ωL sin(ωt π ) S9.3 i(t) = 3V 0 sin(ωt) S9.4 Z ab = ( N N ) Z S9.5 Transformerar först till frekvensdomänen mha realdelskonvensionen i s (t) = e{i m e jωt } V m. Den ekvivalenta frekvensdomänkretsen visas i figuren. Utspänningen är V ut = I där I ges av en spänningsvandring (KVL) kring den högra slingan I m jωc I I jωm jωl 4jωL V ut I I I jω4l jωmi m = 0 Totalt V ut = I = jωmi m jω4l = ωmi m 4ω L ej(π/arctan ωl ) Transformerar tillbaka till tidsdomänen v ut (t) = e{v ut e jωt } = MI m 4ω L cos(ωtπ ωl arctan ) S9.6 Strömmen I = 0 eftersom sekundärsidan är öppen. Därmed kommer strömmen på primärsidan att gå genom kretsdelen som modellerar förlusterna i kärnan. Det förenklade kretsschemat visas till höger. Den komplexa effekten är S = V I = V Z = V j V = P jq c ωl M V I I c c jωl M I exc I mag där vi använt /Z = / c /(jωl M ) och vinkelfrekvensen ω = 00π. Den aktiva effekten ger

90 9 Transformatorer och ömsesidig induktans: svar och lösningar 87 därmed c = V P = 4 Ω. Induktansen bestäms på liknande sätt av reaktansen Q = S P = V I /4 P = 06 VA r och därmed L M = V ωq = V ω V I /4 P = 0.5 H Svar: c = V P V och L M = ω V I /4 P S9.7 a) Z I I Z Z Z V m V N N V a V Th b N N a b Théveninekvivalenten ges av spänningen N V Th = V m = V m N och impedansen [ Z Th = j3 ( ) [ (8 j)] Ω = 3j j ] [ Ω = j 5 ] Ω b) Z Th V Th Z b = Z * Th Maximal aktiv effekt utvecklas då [ Z b = ZTh = j 5 ] Ω Den maximala aktiva effekten är 30 max{p b } = 8 e{ j 5 } W = 7, W

91 88 9 Transformatorer och ömsesidig induktans: svar och lösningar S9.8 Spänningsdelning ger V ut = jω(l M) jω(l M) jω(l M) V in a) Överföringsfunktionen ges av V ut /V in. Svar: H(jω) = jω(l M) jω(l L M) b) Insättning av numeriska värden ger H(jω) = 0 j0.06ω 00 j0.08ω vilket ger (ω/ω ) H(jω) = 0. (ω/ω ) där ω = 0/0.06 = 333 rad/s och ω = 00/0.08 = 50 rad/s är brytpunkterna som anges i figuren. Dessutom har vi att H(jω) 0. då ω 0 och H(jω) 0.06/0.08 = 0.75 då ω. Det gäller alltså att Svar: ω = 0/0.06 = 333 rad/s, ω = 00/0.08 = 50 rad/s, K = 0. och K = S9.9 Impedanstransformering ger ( Z ab = (Z Z ) ( N N ) ) (N4 ) Z 3 Z 4 N 3 = [((8 j)4 4) 4 ] 7 Ω = (6 j) Ω S9.0 Impedanstransformering ger följande krets Z V = V 0 = N N b Strömmen ges av I = V Z Spänningskällan ger den aktiva effekten P s = e {V I } = ( ) I

92 9 Transformatorer och ömsesidig induktans: svar och lösningar 89 Effekten som förbrukas i belastningen ges av Detta ger P b = I P b N b = = P s N b N S9. M N : N I= 0 V s V V I I L 00L V ab a b Låt sin ωt vara riktfas. Det ger v ab (t) V ab = V 0 För den ideala transformatorn gäller V = N N V = 3V. För den andra transformatorn är M = k 00L = 9L. a) Den högra delen av kretsen ger V ab = jω M I I = V ab jω M = V 0 j9ωl Den mittersta kretsen ger V = ( jωl)i. Den ideala transformatorn ger V = V 3, I = N N I = 3I och därmed V s = I V = I tidsplanet fås ( 3 ( ) jωl) ωl j(9 ) I = V 0 3 7ωL v s (t) = Im{V s e jωt } = V 0 (ωl) (9 ) 7ωL b) Tidsmedelvärdet av effektförlusten (dvs aktiva effekten) ges av S9. P = I I = V 0 (9 ) 6ω L Det gäller att { V = jωli jωmi sin(ωt arctan( 9 )) ωl V = jωli jωmi Tomgångsspänningen: I = 0 V = V Th och därmed { V = jωli V = jωmi

93 90 9 Transformatorer och ömsesidig induktans: svar och lösningar KCL ger 0 = I V I = I och därmed V Th = V = jωmi = ( ) jωl I jωmi jωl/ För kortslutningsströmmen I N = I gäller V = I. Insatt i def. ovan erhålls I = jωli jωmi I = jωl jωm I KCL ger V = (I I ) som insatt i def. ovan ger (jωl )I jωmi = I och därmed totalt ( (jωl ) som ger jωm I N = I = Theveninimpedansen är ) jωm I = I jωm (ωm) ( jωl) I Z Th = V Th = (ωm) ( jωl) = jωl (ωm) I N jωl jωl Alternativ lösning : Börja med en källtransformation av strömkällan, dvs strömkällan parallellt med motståndet görs om till en spänningskälla i serie med motståndet (Théveninekvivalent). Använd därefter KVL på slingorna. Med I = 0 erhålls och I I jωli = 0 V Th jωmi = 0 Lös ut I ur den första ekvationen och sätt in i den andra. Detta ger V Th = jωm I jωl Z Th erhålls genom att nollställa källan och beräkna kvoten mellan tomgångsspänningen över a,b och kortslutningsströmmen genom a,b. KVL ger och I jωli jωmi = 0 V ab I jωli jωmi = 0 Lös ut I ur den första ekvationen I = jωmi /( jωl) och sätt in i den andra. Detta ger Z Th = V ab I = jωl (ωm) jωl

94 9 Transformatorer och ömsesidig induktans: svar och lösningar 9 Alternativ lösning : L M L M Z Th I M V Th V Th Transformatorn är i figuren ersatt med sin Tekvivalent. Tomgångsspänningen V T h är densamma som spänningen över induktorn M, dvs V T h = jωm jωl I Nollställs strömkällan fås inimpedansen S9.3 Z T h = jω(l M) jωm (jω(l M) ) jωl a) Inimpedansen ges av (impedanstransformering) Svar: Z in = jωc Z g// N Z a N = jωc Z g N N Za = jωl (ωm) jωl b) Kopplingen är impedansanpassad då inimpedansen Z in = 50 Ω (Theveninimpedansens komplexkonjugat). Med Z g = jωl g, Y = N N Za Z in = jωc Y = j ωc j jωl g ωl g ω L g och Z a = 75 Ω blir inimpedansen Y Y realdelen ger 50 = ω L g Y och Y Y Y 50 ω L g = 0 med lösning (Y > 0) Y = 00 ± 0 4 ω L g Här skall vi välja den positiva roten för att få ett lämpligt uppförande för stora värden på L g. Om inte denna rot väljs blir Y = N 0. Det vill säga att lindningen på spole ett måste N Za vara oändligt mycket större än lindningen på spole två. Kvoten mellan lindningstalen är N N = imaginärdelan ger 0 = ωc ( ± ω L g ωl g Y 0 4 ω L g ) = 3 4 ± ω L g

95 9 9 Transformatorer och ömsesidig induktans: svar och lösningar med lösning C = ω L g Y = ( ) N L g ω L g L g N Z a S9.4 Ersätter först förstärkaren och högtalaren med sina Théveninekvivalenter. Högtalarimpedansen transformeras därefter till primärsidan. Detta ger kretsen till höger. Kretsen överför maximal effekt om den är anpassad, dvs V f Z f Z h N N Z f = N N Zh Lindningskvoten blir därmed N Z f 96 = N Zh = = 4 S9.5 Transformerar först till frekvensdomänen. Figuren visar kretsen efter impedanstransformering. a) Villkoret Z b = Z Th ger N N jω 0 C N N = ( i jω 0 L) Identifiera real och imaginärdelar jω 0 L = N N jω 0 C och i = N N i V in I a b jωl N jωcn N N och därmed N N = i och L = i Cω 0 b) Använder formelsamlingen eller att I = V in /( i ). Effekten ges av S a = V ai = Z a I = ( ) i Vin ( ) Vin j = j ω 0 C 4 i ω 0 C 8 i och därmed den aktiva effeken P a = e{s a } = V in 8 i c) Med S a från deluppgift b) Q a = Im{S a } = V in 8ω 0 C i = V in Lω 0 8 i d) Den avgivna reaktiva effekten är Q = 0 eftersom lasten är rent resestiv.

96 9 Transformatorer och ömsesidig induktans: svar och lösningar 93 S9.6 : Transformera till frekvensdomänen Tidsharmonisk signal sin(ωt) använder jωmetoden med Imkonv. { vs (t) = V m sin(ωt) = Im{V m e jωt } V m jωc I jωm I i (t) = Im{I e jωt } I Den ekvivalenta kretsen visas i figuren till höger. V m jωl 4jωL : Beräkning av I Använd potentialvandring (KVL) i de båda slingorna V m I jωc I I jωl I jωm = 0 I jω4l I jωm = 0 Den ömsesidiga induktansen är M = k L4L = L. Den andra ekvationen ger I = 4I. Insatt i den första ekvationen får vi ( ) 4 V m I 4 4jωL jωl = 0 jωc vilket ger (obs = e jπ ) V m I = 4 j(3ωl 4/(ωC)) = V m 6 (3ωL 4 ωc ) e j(πarctan 3ωL4/(ωC) 4 ) 3: Transformera tillbaka till tidsdomänen Tidsdomänstorheterna erhålls mha. Imkonv. enligt def. ovan. Detta ger i (t) = Im{I e jωt V m } = Im e j(ωtπarctan 3ωL4/(ωC) 4 ) 6 (3ωL 4 ωc ) = Svar: i (t) = V m 6 (3ωL 4 ωc ) sin(ωt π arctan V m 6 (3ωL 4 ωc ) sin(ωt π arctan 3ωL 4/(ωC) ) 4 3ωL 4/(ωC) ) 4

97 94 0 Laplacetransform 0 Laplacetransform 0. En verklig kondensator laddas ur även om den inte kopplas in till en yttre krets. Detta förklaras med att det går en läckström mellan de uppladdade plattorna. En vanlig kretsmodell av en verklig kondensator består av en kapacitans C parallellkopplad med en resistans. För en given kondensator med kapacitansen C sjunker spänningen från v 0 till v på tiden T. Bestäm resistansen mellan plattorna uttryckt i v 0, v, C och T. 0. Bestäm v ab (t) då v s (t) = V 0 u(t) där u(t) = för t > 0 och u(t) = 0 för t < 0. C L v s (t) a v ab (t) b C L 0.3 t = 0 L I 0 C i (t) I 0 är en konstant likström. Spolen och kondensatorn är energitomma vid t = 0 och kontakten bryts ( ) vid t = 0. Beräkna i (t) för t > 0. Det förutsättes att LC >. L

98 0 Laplacetransform sc N : N V in (s) V ut (s) Transformatorn är ideal med N lindningsvarv på primärsidan och N varv på sekundärsidan. a) Bestäm V ut (s) (i splanet) uttryckt i V in (s), s,, C, N och N. b) Antag att källan i tidsplanet är en likspänningskälla med spänning V 0 som slås på vid tiden t = 0. Bestäm v ut (t). Ledning: För en ideal transformator gäller sambanden V N = V N och I N I N = L v s (t) v (t) L x I kopplingen ovan är,, och L kända. Spänningen v (t) är identiskt noll oberoende av valet av v s (t). Bestäm L x. 0.6 t = 0 V 0 C i (t) Spänningskällan ger den konstanta spänningen V 0. Kontakten sluts vid t = 0 och förblir i slutet läge. Bestäm strömmen i (t) för t > 0.

99 96 0 Laplacetransform 0.7 t = 0 V 0 C L i(t) Spänningskällan ger en konstant spänning V 0. Strömbrytaren sluts vid t = 0. Spolen och kondensatorn är energitomma för t < 0 a) Bestäm i(0 ). Motivera. b) Bestäm i( ). Motivera. c) Bestäm i(t) för alla tider. OBS! Svaret i c) får ej användas som motivering för a och buppgifterna. 0.8 C t = 0 V 0 C v (t) Spänningskällan ger likspänningen V 0. Kondensatorerna är energitomma för t 0. I deluppgift a) respektive b) skall endast en kort motivering ges till svaret. a) Vad är v (0 ), dvs spänningen strax efter kontakten sluts? b) Vad är v (t), då t? c) Bestäm v (t) för alla tider.

100 0 Laplacetransform v p (t) a 0 v (t) 0 v (t) ab b Med hjälp av en ideal voltmeter mäter man en signal v 0 (t) som varierar mycket långsamt i tiden. Mätobjektet har en resistans 0 =00 Ω. Då och då bildas transienter i form av korta pulser i kretsen vilka kan approximeras med deltapulser v p (t) = αδ(t t i ) där α = 0 4 Vs och t i är de tidpunkter vid vilka pulserna uppträder. Kretsschemat för mätuppställningen ges i figuren. Voltmetern kopplas in mellan a och b. Man vill nu i möjligaste mån eliminera de störande pulserna i den uppmätta signalen. Till sitt förfogande har man en kondensator vars kapacitans man kan variera. Kraven är att i den uppmätta spänningen skall v 0 (t) vara i stort sett opåverkad, den störande spänningen skall klinga av så snabbt som möjligt och störspänningens amplitud får inte överstiga V, vilket motsvarar 0% av det maximala värdet av v 0 (t). Bestäm var kondensatorn skall placeras (rita figur!) och vilken kapacitans den skall ha (numeriskt värde). Du kan anta att v 0 (t) är en ren likspänning och att tiden mellan pulserna är mycket längre än avklingningstiden. 0.0 i(t) t = 0 E 0 L För t < 0 gäller i(t) = I 0. Vid vilken tidpunkt gäller det att i(t) = 3I 0 /?

101 98 0 Laplacetransform 0. sl Z (s) sc I s (s) 3 Z (s) V s (s) sc 0 Spänningen V s (s), strömmen I s (s), resistanserna,, kapacitanserna C, C och induktansen L är givna. a) Ange nodanalysekvationerna för nodpotentialerna V, V och V 3. b) Skriv nodanalysekvationerna som en matrisekvation i nodpotentialerna, dvs V = V V 3

102 0 Laplacetransform: svar och lösningar 99 Laplacetransform: svar och lösningar S0. Denna uppgift förekommer även i kapitel 6 som 6.4. Alternativ : Laplacetransform Laplacetransformering enligt figuren. Spänningsdelning ger V (s) = V 0 s /sc = V 0 s /C V 0 s sc V Transform tillbaka till tidsdomänen ger, för t > 0, spänningen v(t) = v 0 e t/c och vid tiden T fås v = v 0 e T/C T C = ln v 0 = T v C ln v0 v Alternativ : KCL för kretsen med den ideala kondensatorn ger C dv dt v = 0 med begynnelsevillkoret v(0) = v 0. För positiva tider ges därmed spänningen av C v v(t) = v 0 e t/c Svar: = T C ln v 0 v S0. AnvänderLaplacemetoden för att bestämma spänningen. : Transformera till Laplacedomänen V s (s) = L{v s (t)} och V ab (s) = L{v ab (t)}. Den ekvivalenta Laplacedomänkretsen erhålls mha. kretselementens impedanser. Den är sc sl V s (s) a V ab (s) sc sl b : Beräknar spänningen i Laplacedomänen Spänningen ges av potentialskillnaden som i sin bestäms med spänningsdelning ( ) ( sc V ab (s) = sl C V s (s) = L ) V s (s) sl sl C C L L sc sc 3: Transformerar tillbaka till tidsdomänen ( v ab (t) = L C {V ab (s)} = L ) ( C v s (t) = L ) V 0 u(t) C C L L C C L L

103 00 0 Laplacetransform: svar och lösningar S0.3 sl I 0 s sc I (s) Den högra delen av kretsen känner det som att strömkällan kopplas in vid t = 0. Laplacetransformen av kretsen ges då av figuren. Strömgrening ger I (s) = I 0 s Kvadratkomplettering ger s L s LC = sl sl /sc = I s /L 0 s s/l /LC ( s L ) LC Sätt /L = α och /LC (/L) = β så fås I (s) = s α (s α) β I 0 = ( ) L s α (s α) β I 0 α β Tabellen i formelsamlingen ger i (t) = I 0 e αt ( cos βt α β sin βt ) u(t) β (s α) β I 0 S0.4 a) Enklast är att använda impedanstransformering. Den ekvivalenta resistansen för transformatorn med resistansen är ekv = (N /N ). Spänningsdelning ger spänningen på primärsidan V (s) = (N /N ) /sc (N /N ) V in(s) Spänningen på sekundärsidan ges av V = N V /N och därmed fås V (s) = (N /N )sc (N /N ) sc V in(s) b) Med v in (t) = V 0 u(t), där u(t) är enhetssteget, fås V in (s) = V 0 s Därmed ges V (s) av V (s) = (N /N )C (N /N ) sc V 0 Tabellen i formelsamlingen ger v ut (t) = V 0 N N e t/τ u(t) där tidskonstanten τ ges av τ = C ( ) N N

104 0 Laplacetransform: svar och lösningar 0 S0.5 Laplacetransformering ger kretsen i figuren sl V s (s) V (s) sl x Spänningsdelning ger V (s) = V s (s) sl x V s (s) sl sl x Om v (t) = 0 så måste gälla att V (s) = 0. Därmed fås S0.6 sl x = L x = L sl sl x Laplacetransformering ger följande krets V 0 s V (s) I (s) sc Spänningsdelning ger V (s) = V 0 s sc I (s) = scv (s) = V 0 (s /C) Transformering till tidsplanet ger i(t) = V 0 et/(c) u(t)

105 0 0 Laplacetransform: svar och lösningar S0.7 V 0 s sl sc I(s) a) För t = 0 finns det ingen spänning över kondensatorn, dvs den fungerar som en kortslutning. Ingen ström passerar genom spolen eftersom spänningen v L (t) måste vara ändlig och i L (0 ) = i L (0 ) 0 0 v L (t)dt = i L (0 ) = 0 Därmed blir i(0 ) = V 0 /. b) Efter lång tid har transienten dött ut och då återstår en likströmskrets. Kondensatorn fungerar som ett avbrott och spolen som en kortsluning. Detta ger i( ) = V 0 / c) Laplacetransformering ger kretsen i figuren. Vi ser att I(s) = V ( ) 0 s /sc sl Formlerna i Laplacetransformstabellen ger ( V0 i(t) = e t/τ V ) 0 ( e t/τ ) u(t) = V 0 s /( C) V 0 L s(s /L) där τ = C och τ = L/. Notera att då t = 0 respektive t = fås samma ström som i a respektive buppgiften. S0.8 a) Vid t = 0 finns ingen spänning över kondensatorerna eftersom de är oladdade. Spänningen v (0 ) fås då genom spänningsdelning v (0 ) = V 0 = V 0 3 b) Då t = går ingen ström genom kondensatorerna och därmed ingen ström genom motstånden. Detta ger v ( ) = 0. c) Laplacetransformering ger ( /sc) V 0 V (s) = /sc ( /sc) s V 0 = s(3 /sc) = V 0 3(s /(3C)) Formelsamlingen ger v (t) = V 0 3 et/(3c) u(t)

106 0 Laplacetransform: svar och lösningar 03 S0.9 0 V (s) = α p sc a V ab b Det är lämpligt att lägga kondensatorn parallellt med voltmetern mellan a och b. Likspänningen kommer då inte att påverkas. Laplacetransformering ger V ab = α s 0 C Invers Laplacetransformering ger pulsernas inverkan v ab (t) = α 0 C et/ 0C u(t) där u(t) är enhetssteget. Tiden t i påverkar varken avklingningstiden eller amplituden och är därför satt till noll. Avklingningstiden τ = 0 C skall vara minimal och amplituden α V. Detta är 0 C uppfyllt för C = α/ 0 = 0 6 F. S0.0 Spänningskällan och de två motstånden kan ersättas med en Theveninekvivalent bestående av en spänningskälla med spänningen E 0 /, som slås på vid t = 0, i serie med ett motstånd med resistansen /. Spänningen över spolen fås med spänningsdelning till V (s) = E 0 s sl sl I tidsplanet motsvaras det av spänningen v(t) = E 0 t e L u(t) Strömmen ges av i(t) = (E 0 v(t)) = E 0 ( e t/l) Då i(t) = 3I 0 / gäller e t L = / och därmed Svar: t = L ln S0. a) Nodanalysekvationer V V s Z V V sl I s V sc = 0 (nod )

107 04 0 Laplacetransform: svar och lösningar V V sl V V 3 V = 0 (nod ) sc Z I s V 3 V V 3 = 0 (nod 3) sc b) Ekvationerna i matrisform nodpotentialerna. Z sl sc sl sl 0 sl sc Z sc 0 sc sc V (s) V (s) = V 3 (s) V s Z I s 0 I s

108 Överföringsfunktion och Bodediagram 05 Överföringsfunktion och Bodediagram. Bestäm överföringsfunktionen (H(s) = V ut (s)/v in (s)) för bryggan till höger. C C v in a v ut b. I kretsen ovan är och C kända. V s och V 0 är komplexa spänningar. a) Bestäm överföringsfunktionen H(jω) = V 0 V s. b) Vid vilken vinkelfrekvens ω ligger V s och V 0 i fas? V s C C V 0.3 A v in (t) B L C Du har tillgång till följande enkla nät och skall ur det ta fram din utsignal. Vilka noder skall du koppla in dig på om du a) inte vill förändra signalens frekvensinnehåll? Vad blir motsvarande överföringsfunktion H(jω)? b) vill filtrera bort höga frekvenser? Vad blir motsvarande överföringsfunktion H(jω)? c) vill filtrera bort låga frekvenser? Vad blir motsvarande överföringsfunktion H(jω)?

109 06 Överföringsfunktion och Bodediagram.4 A V in jωc B V in jωc jωc V ut a) V in är en komplex spänning. Bestäm Théveninekvivalenten till tvåpolen i den vänstra figuren. b) I den högra figuren ges ett dubbelt Cnät som kan användas som ett effektivt lågpassfilter. Om kan man med ganska enkla räkningar bestämma överföringsfunktionen H(jω) och visa att den kan skrivas på formen H(jω) = V ut = V in ( jωτ )( jωτ ) Visa detta genom att utnyttja Théveninekvivalenten i auppgiften och en relevant approximation. Ange också uttrycken för τ och τ..5 L V in C V ut V in är den komplexa insignalen och V ut den komplexa utspänningen. Kondensatorn har kapacitansen C och spolen induktansen L. Vinkelfrekvensen är ω. a) Bestäm överföringsfunktionen H(jω). b) Vid vilken vinkelfrekvens är utsignalen 90 ur fas med insignalen?.6 En enkel kretsmodell av kopplingen mellan en förstärkare och en högtalare visas i figuren till höger. Förstärkaren modelleras av en ideal spänningskälla i serie med utgångsresistansen i. Högtalarelementet antas vara rent resistivt med resistans L. Mellan förstärkare och högtalare används ett filter för att separera förstärkarsignalen mellan baselementet (lågfrekvent) och diskantelementet (högfrekvent). v in (t) Förstärkare i C l L C Högtalare L v ut (t) För att förenkla räkningarna antar vi att förstärkarens utgångsresistans och högtalarelementets resistans är lika samt att de två kapacitanserna är lika, dvs. i = L = och C = C = C. Diskant Bas

110 Överföringsfunktion och Bodediagram 07 a) Bestäm överföringsfunktionen H(s) = V ut (s)/v in (s) där V in (s) = L{v in (t)} och V ut (s) = L{v ut (t)}. b) Bestäm överföringsfunktionen H(jω) = V ut (jω)/v in (jω) där v in (t) = e{v in (jω)e jωt } och v ut (t) = e{v ut (jω)e jωt }. c) Bestäm utsignalen v ut (t) då v in (t) = V m cos(ωt) för < t <. d) Visar kretsschemat kopplingen till bas eller diskantelementet? Motivera svaret..7 Kolkompositionsmotstånd är en vanlig typ av motstånd. Som de flesta motstånd är det inte idealt utan har både kapacitiva och induktiva delar. En kretsmodell av ett kolkompositionsmotstånd visas i figur (b), där induktansen L k och kapacitansen C k modellerar inkopplingen och C l är läckkapacitansen. ita Bodediagrammet (H(s) = Z(s) = V (s)/i(s)) för den ideala resistorn i figur (a) och Bodediagrammet för kolkompositionsmotståndet i figur (b). Använd resistansen = 0 kω, inkopplingsinduktansen L k = 0 nh, inkopplingskapacitansen C k = 0.8 pf och läckkapacitansen C l = 0.87 pf. I vilket frekvensintervall kan den ideala resistorn anses approximera kolkompositionsmotståndet väl? (a) i in (t) (b) i in (t) v ut (t) v ut (t) L k C k C l.8 En verklig kondensator är inte rent kapacitiv utan har även en resistiv och en induktiv del. En realistisk modell för kondensatorn visas i figuren. esistansen motsvarar resistansen mot läckströmmar i det dielektriska skiktet mellan kondensatorns metallytor. ita Bodediagrammet (H(s) = Z(s) = V (s)/i(s)) för den ideala kondensatorn i figur (a) och Bodediagrammet för den ickeideala kondensatorn i figur (b). Använd kapacitansen C = 0. µf, serieresistansen = 0. Ω, parallellresistansen = 0 MΩ och induktansen L = 00 nh. (a) i in (t) (b) i in (t) v ut (t) C v ut (t) L C

111 08 Överföringsfunktion och Bodediagram.9 sc V in (s) V ut (s) a) Vilken typ av filter representerar kretsen (lågpassfilter, högpassfilter, bandpassfilter eller bandspärrfilter)? b) Bestäm överföringsfunktionen H(s) = V ut (s)/v in (s). c) ita ett polnollställediagram (poler markeras med och nollställen med ) då = 0 3 Ω och C = 0 6 F. d) ita ett Bodediagram för överföringsfunktionen. Ange brytfrekvenser för amplitud och fasdiagrammen. Använd värdena från deluppgift c..0 V in (s) sc V ut (s) a) Vilken typ av filter representerar kretsen (lågpassfilter, högpassfilter, bandpassfilter eller bandspärrfilter)? b) Bestäm överföringsfunktionen H(s) = V ut (s)/v in (s). c) ita ett Bodediagram för överföringsfunktionen. Ange brytfrekvenser för amplitud och fasdiagrammen. Använd = 0 4 Ω och C = 0 8 F.. V in (s) sl V ut (s) a) Vilken typ av filter representerar kretsen (lågpassfilter, högpassfilter, bandpassfilter eller bandspärrfilter)?

112 Överföringsfunktion och Bodediagram 09 b) Bestäm överföringsfunktionen H(s) = V ut (s)/v in (s). c) ita ett Bodediagram för överföringsfunktionen. Ange brytfrekvenser för amplitud och fasdiagrammen. Använd = 0 Ω och L = 0 7 H.. sl V in (s) sc V ut (s) a) Vilken typ av filter är det (lågpassfilter, högpassfilter, bandpassfilter eller bandspärrsfilter)? b) Bestäm överföringsfunktionen H(s) = V ut (s)/v in (s). c) ita ett polnollställediagram (poler markeras med och nollställen med ). Använd L = 0 3 H, C = 0 3 F och = Ω. d) ita ett Bodediagram i rätlinjeapproximationen för överföringsfunktionen. Ange brytfrekvenser för amplitud och fasdiagrammen. Använd komponentvärderna från deluppgift c..3 Spolar består ofta av koppartråd lindat kring en kärna. Som de flesta verkliga kretskomponenter är det inte idealt utan har både kapacitiva, resistiva och induktiva delar. En förenklad kretsmodell av en trådlindad spole visas i figur (b), där L är induktansen och s är serieresistansen (resistansen i tråden). ita Bodediagrammet (H(s) = Z(s) = V (s)/i(s)) för den ideala induktorn i figur (a) och Bodediagrammet för den trådlindade spolen i figur (b). Använd resistansen = 0 Ω och induktansen L = mh. I vilket frekvensintervall kan den ideala induktorn anses approximera den trådlindade spolen väl? a) b) I V V I sl sl

113 0 Överföringsfunktion och Bodediagram.4 Elmotorer består till stor del av spolar. När en elmotor kopplas ur inducerar den snabba strömvariationen genom spolen därmed höga spänningar. Antag att strömmen genom spolen är I 0 vid urkopplingen (tiden t = 0). I Laplacedomänen modelleras kretsen för t 0 av en spänningskälla V 0 = I 0 L i serie med spolen, se figur a. esistansen ( >>, dvs ) modellerar motståndet mellan anslutningarna till motorn efter urkopplingen. a) Bestäm överföringsfunktionen H (s) = V (s)/v 0. b) ita amplituddelen av Bodediagrammet för H. Använd parametervärderna = kω, L = 0. H, = 0 MΩ. För att minska de inducerade spänningarna kan man parallellkoppla en kondensator (antas oladdad vid t = 0) med elmotorn, se figur b. c) Bestäm överföringsfunktionen H (s) = V (s)/v 0. d) ita amplituddelen av Bodediagrammet för H. Använd parametervärderna från deluppgift b) och C = 0. µf. V V l l sc sl V 0 sl V ω Bode Diagram ω 0 v in i L C v ut Phase (deg) Magnitude (db) Frequency (rad/sec) Ett bandpassfilter till en mikrofon med tillhörande Bodediagram visas i figuren. Mikrofonens inre resistans i och brytfrekvenserna ω, ω är givna. Bestäm induktansen L och kapacitansen C. Svara mha storheterna ω, ω och i.

114 Överföringsfunktion och Bodediagram.6 Ett bandspärrfilter används för att minska bruset på 50 Hz, vilket motsvarar ω 0 = 00π rad/s, i ett högtalarsystem. Bandspärrfiltret med tillhörande Bodediagram för amplituden visas i figuren. Bestäm produkten LC och kvoten L/ så att ω 0 bruset dämpas maximalt och dämpningen vid vinkelfrekvensen ω < ω 0 blir en faktor 0 < δ < (dvs. 0 log δ db dämpning). v in H(jω) db ω ω 0 L C vut ω 0 log δ Z 0 Bode Diagrams ω c 0 V in Z V ut Phase (deg); Magnitude (db) Frequency (rad/sec) Ett filter med tillhörande Bodediagram visas i figuren. En av komponenterna är en resistor = 0 kω. Det finns två möjliga realiseringar av filtret. ita upp och beräkna komponentvärderna för dem. Obs! uttryck svaret med hjälp av ω c = 0 4 rad/s.

115 Överföringsfunktion och Bodediagram: svar och lösningar Överföringsfunktion och Bodediagram: svar och lösningar S. Transformerar till splanet V in (s) = L{v in (t)}(s) och V ut (s) = L{v ut (t)}(s). Den transformerade kretsen ses till höger. Utspänningen fås som potentialskilnaden V ut = V a V b där (spänningsdelning) V a = V in V in, V b = sc sc sc sc V in a V ut b Utspänningen ges av V ut = V in sc( ) ( )sc och därmed fås överföringsfunktionen Svar: H(s) = sc( ) ( )sc S. a) Spänningsdelning ger H(jω) = V 0 V s = = jωc jωc /jωc /( jωc) /( jωc) /jωc = 3 j(ωc /ωc) b) V s och V 0 är i fas då H(jω) är reell. Detta ger ω = /(C). S.3 a) Här måste vi koppla in oss mellan A och C. Detta ger V ut = V in och därmed H(jω) =. b) Eftersom spolen har stor impedans för höga frekvenser och liten impedans för låga frekvenser skall vi använda A och B som utgång. Spänningsdelning ger H(jω) = jωl c) Här skall vi använda B och C som utgång. Detta ger H(jω) = jωl jωl S.4 a) Spänningsdelning ger V T h = V AB = /jωc V in = V in /jωc jωc

116 Överföringsfunktion och Bodediagram: svar och lösningar 3 Théveninekvivalentens impedans ges av Z T h = (/jωc ) = jωc b) Enligt uppgift gäller. Eftersom > Z T h = därmed kan vi försumma Z T h i kretsschemat. Detta ger V ut = /jωc V T h = /jωc ( jωc )( jωc ) V in Överföringsfunktionen ges alltså av H(jω) = ( jωτ )( jωτ ) där τ = C och τ = C. (ωc ) gäller Z T h och S.5 a) Spänningsdelning ger V ut = C jωl C V in där C = /(jωc) /(jωc) = jωc Svar: Överföringsfunktionen ges av H(jω) = V ut = V in ( ω LC) jωl b) Utsignalen är 90 ur fas med insignalen då arg(h(jω)) = 90 (eller 90 ). Detta inträffar för frekvensen ω = / LC. S.6 a) Använder = i = L och C = C = C och transformerar kretsen till Laplacedomänen: V in (s) = L{v in (t)} och V ut (s) = L{v ut (t)}. Utspänningen kan bestämmas av nodpotentialen V genom spänningsdelning, ie. splanet V in (s) sc sc V sl V ut (s) V ut = V sc Nodanalys på nod ger V V in sc V sl V sc = 0 förenkla V ( sc ) sl = V in sc

117 4 Överföringsfunktion och Bodediagram: svar och lösningar och därmed V ut = V = ( sc V in sc sl ) ( sc ) = V in ( s LC sl ) ( sc ) Efter förenkling (multiplicera med s 3 LC i täljare och nämnare) fås överföringsfunktionen H(s) = s 3 LC (s LC sc)( sc) Det går också bra att använda upprepade spänningsdelningar för att bestämma överföringsfunktionen. b) Använd s = jω och överföringsfunktionen från deluppgift a eller beräkna H(jω) från kretsen i jωplanet. H(jω) = jω 3 LC ( ω LC jωc)( jωc) = ω 3 LC ( ωc j(ω LC ) ) ( jωc) ω 3 LC = ω LC ω C (ω LC ) ω C ej(πarctan( ωc )arctan(ωc)) c) Med realdelskonventionen v in (t) = V m cos(ωt) = e{v m e jωt } V m och v ut (t) = e{v ut e jωt } V ut och V ut (jω) = H(jω)V in (jω) erhålls ω j(πarctan( LC )arctan(ωc)ωt) ω 3 LC e ωc v ut (t) = e{v m ω C (ω LC ) ω C } LC ω 3 LC cos ( ωt π arctan( ω ωc = V ) arctan(ωc)) m ω C (ω LC ) ω C d) Kretsschemat visar kopplingen till diskantelementet. Motivation: Överföringsfunktionen är liten/konstant för låga/höga frekvenser, ie. H(0) = 0 och H( ) = /. Därmed dämpas låga frekvenser (bas) medans de höga frekvenserna (diskant) passerar. Detta kan också observeras direkt i kretsschemat eftersom kondensatorerna ger kortslutning/avbrott och spolen avbrott/kortslutning vid höga/låga frekvenser.

118 Överföringsfunktion och Bodediagram: svar och lösningar 5 S.7 Den ideala resistorn har impedansen (överföringsfunktionen) Z i (s) =. Kolkompositionsmotståndet har impedansen (använder C = C k C l = pf) Z v (s) = sl k sc / = s CL k sl k = s CL k sl k / sc sc = 0 4 s 0 0 s0 s0 8 Andragradspolynomet i täljaren har inga reella nollställen. Brytfrekvenserna ges av w c = 0 8 (0 db/dekad) och w c = 0 0 (40 db/dekad). Bodediagrammen (i rätlinjeapproximationen) ges av formelsamlingen. Från amplituddelen av Bodediagrammet ser vi att den ideala resistorn och kolkompositionsmotståndet överenstämmer ganska bra i frekvensintervallet 0 ω < 0 7 rad/s Bode Diagram 0 db/dekad Phase (deg) Magnitude (db) db/dekad esistiv Kapacitiv Induktiv ω c ω c Frequency (rad/sec)

119 6 Överföringsfunktion och Bodediagram: svar och lösningar S.8 (a) I in (t) V ut (t) (b) V ut (t) sl sc sc I in (t) Den ideala kondensatorn har impedansen (överföringsfunktionen) Z i (s) = sc. Den verkliga kondensatorn har impedansen Z v (s) = sl sc = s LC s(l C ) s C = ( ) s LC s LC 0 7 s 0 4 s0 8 s C s där vi approximerat. Andragradspolynomet i täljaren har inga reella nollställen. Brytfrekvenserna ges av w c = (nämnaren) och w c = 0 7 (täljaren). Bodediagrammen (i rätlinjeapproximationen) ges av formelsamlingen. Från amplituddelen av Bodediagrammet ser vi att den ideala kondensatorn och den verkliga kondensatorn överenstämmer i frekvensintervallet 0 < ω < 0 6 rad/s. Bode Diagrams 00 From: U() Phase (deg); Magnitude (db) To: Y() Frequency (rad/sec)

120 Överföringsfunktion och Bodediagram: svar och lösningar 7 S.9 a) Högpassfilter b) Överföringsfunktionen H(s) = V ut (s)/v in (s) = c) Polnollställediagram sc = sc sc = s s C Im s = 000 s = 0 o e d) Bodediagramet har brytfrekvens ω c = /C = 0 3. För ω < 0 3 ökar amplituden med 0 db/dekad, amplituden är 0 db för ω 0 3. Bode Diagrams Phase (deg); Magnitude (db) Frequency (rad/sec)

121 8 Överföringsfunktion och Bodediagram: svar och lösningar S.0 a) Lågpassfilter b) Överföringsfunktionen H(s) = V ut (s)/v in (s) = sc sc = sc = 0 4 s c) Brytfrekvens ω c = 0 4 rad/s för amplitud och ω c = 0 3 rad/s, ω c = 0 5 rad/s för fas. Tabellen ger Bodediagrammet: Bode Diagrams 0 From: U() 0 0 Phase (deg); Magnitude (db) To: Y() Frequency (rad/sec)

122 Överföringsfunktion och Bodediagram: svar och lösningar 9 S. a) Högpassfilter. b) Överföringsfunktionen H(s) = V ut (s)/v in (s) = sl sl = sl/ sl/ = s09 s0 9 c) ω c = 0 9 rad/s brytfrekvens för amplitud och ω c = 0 8 rad/s, ω c = 0 0 rad/s brytfrekvens för fas. Bode Diagrams 0 From: U() 0 40 Phase (deg); Magnitude (db) To: Y() Frequency (rad/sec)

123 0 Överföringsfunktion och Bodediagram: svar och lösningar S. a) Svar: Lågpassfilter (Spolen släpper igenom låga frekvenser och spärrar höga. Kondensatorn släpper igenom höga frekvenser och spärrar låga.) b) svar: H(s) = sc sl sc c) Poler: s LC sc = 0 s = L ± ( L = s LC sc = LC s s L LC ) LC = L ± j Använd de givna värderna. Polerna är σ 0 ± jω 0 = ( 0 3 ± j LC ( ) = σ 0 ± jω 0 L ) rad/s = 0 3 ( ± j ) 3 rad/s 4 Nollställen saknas. svar: Polnollställediagram enligt figur där ( ) σ 0 ± jω 0 = ± j rad/s 4 s = σ 0 jω 0 Im s = σ 0 jω 0 e d) Brytfrekvensen är ω c = / LC = 0 3 rad/s (använd tabellen i formelsamlingen). Amplituden är 0 db för ω < ω c och den avtar 0 db/dekad för ω > ω c. Faskurvan har lågfrekvensasymptot 0 för ω < ω c /0 = 0 rad/s och högfrekvensasymptoten 80 för ω > 0ω c = 0 4 rad/s. svar: Bodediagram enligt figur, brytfrekvensen ω c = / LC = 0 3 rad/s för amplitud och brytfrekvenserna 0, 0 4 rad/s för fas. Bode Diagrams Phase (deg); Magnitude (db) ωc Frequency (rad/sec) ωc

124 Överföringsfunktion och Bodediagram: svar och lösningar S.3 Den ideala spolen har induktansen Z ideal = sl = 0 3 s med ett Bodediagram givet av 0 db/dekad och 0 db för ω = 0 3 rad/s. Fasen är konstant 90, enligt tabell i formelsamlingen. Modellen av den verkliga spolen har induktansen Z spole = sl = 0 3 s 0 med ett Bodediagram givet av 0 db fram till brytfrekvensen ω = 0 4 rad/s och därefter 0 db/dekad. Fasen går från 0 till 90 enligt tabellen. Den trådlindade spolen kan anses vara rent induktiv (ideal) för ω > rad/s. Phase (deg); Magnitude (db) To: Y() Bode Diagrams From: U() 50 esistiv Induktiv Verklig spole ideal 0db/dekad ideal Verklig spole Frequency (rad/sec)

125 Överföringsfunktion och Bodediagram: svar och lösningar S.4 a) Spänningsdelning ger V = och därmed H (s) = sl V 0 sl V 0 där ω c = /L = 0 8 rad/s. sl sl = sl/ = s/ω c b) Bodediagrammet är 0 db före brytfrekvensen ω c = /L = 0 8 rad/s och 0 db/dekad för ω > ω c, se figur. c) Spänningsdelning ger V = s C s C sl V 0 = sc sl/ s LC s(c L/ ) s LC s0 4 (s/0 4 ) d) Bodediagrammet är 0 db före brytfrekvensen / LC = 0 4 rad/s och 40 db/dekad för ω > 0 4 rad/s, se figur. 50 Bode Magnitude Diagram 0 b) Magnitude (db) d) Frequency (rad/sec)

126 Överföringsfunktion och Bodediagram: svar och lösningar 3 S.5 Transformerar först till Laplacedomänen. Nodanalys ger i V ut V in i V ut sl V ut sc V in sl sc V ut Detta ger överföringsfunktionen H(s) = V ut sl/ i V in sl/ i s LC Detta ska jämföras med Bodediagrammet. Bodediagrammet har brytfrekvenserna ω och ω. Nämnaren kan därmed faktoriseras som ) ) ( ( ( sω sω = s ) s ω ω ω ω Identifiera termerna Detta ger L = och LC = i ω ω ω ω L = i ( ω ω ) och C = i (ω ω ) S.6 Transformera signaler och kretsen till Laplacedomänen. Utsignalen V ut (s) bestäms med nodanalys V ut V in sl V ut V in sc vilket förenklas till ( V ut sl sc ) V ut 0 och därmed överföringsfunktionen H(s) = V ut V in = = 0 ( ) = V in sl sc sl sc sl sc = s LC sl/ s LC Den maximala dämpningen är vid ω = / LC då H(jω) = 0. Produkten LC är därmed LC = ω 0. Dämpningen vid ω är H(jω ) = Detta ger ( ) ( ω ω0 = δ ω ω0 vilket förenklas till L = δ ( ω/ω 0) δω ω /ω 0 ( ω /ω 0 ) ω L / = δ ) δ ω L

127 4 Överföringsfunktion och Bodediagram: svar och lösningar S.7 Det är ett lågpassfilter (höga frekvenser dämpas och låga frekvenser passerar). Det kan realiseras med en C eller L koppling enligt figuren. Ckoppling Lkoppling sl V in sc V ut V in V ut C:Kopplingen har överföringsfunktionen (spännningsdelning) H(s) = sc sc = sc med brytfrekvensen ω c = /C = 0 4 rad/s och därmed C = /ω c = 0 8 F. L:Kopplingen har överföringsfunktionen (spännningsdelning) H(s) = sl = sl/ med brytfrekvensen ω c = /L = 0 4 rad/s och därmed L = /ω c = H.

128 Operationsförstärkare 5 Operationsförstärkare. Uttryck strömmen i ut i de kända storheterna, och i in. Operationsförstärkaren kan anses ideal. i ut i in. En ickeinverterande förstärkare belastas av lasten L. Operationsförstärkaren kan anses ideal och resistanserna,, L och spänningen v s är givna. a a) Bestäm effektutvecklingen i motstånden,, och L. v s L b) Bestäm den effekt som operationsförstärkaren avger. b.3 Operationsförstärkaren är ideal och resistansen och kapacitansen C är givna. a) Bestäm inimpedansen, dvs V in /I in. I in b) Visa att kopplingen sedd från ingångspolparet kan ersättas med en resistor i serie med en kondensator. V in jωc

129 6 Operationsförstärkare.4 V in I sm I sl sl V ut Operationsförstärkaren är ideal och kopplingsfaktorn är /. Bestäm förstärkningen V ut /V in som funktion av s,, och L..5 (Op) C (Op) L v in (t) v ut (t) v in (t) v ut (t) Operationsförstärkarna ovan är ideala,, C, L är givna och u(t) betecknar enhetssteget. a) Bestäm överföringsfunktionen H(s) = V ut (s)/v in (s) för förstärkarkopplingarna (Op) och (Op). b) ita ett polnollställediagram för de båda fallen (poler markeras med och nollställen med ). c) Bestäm utsignalen v ut (t) då v in (t) = V m cos(ωt)u(t) för fall (Op). d) Bestäm utsignalen v ut (t) då v in (t) = V m sin(ωt)u(t) för fall (Op)..6 Bestäm strömmen i(t) då resistanserna,, 3, L och spänning v s (t) är givna. Operationsförstärken är ideal. i(t) L v s (t) 3

130 Operationsförstärkare 7.7 f s v s c v b v 0 d Vid mätning av en svag signal v s (t) från en givare används en ideal operationsförstärkare för att förstärka signalen. Det uppstår brus i ledningarna mellan givaren och förstärkaren vilket gör att den signal som förstärks ges av v (t) = v s (t) v b (t) För att eliminera bruset i den förstärkta signalen gör man en koppling som är ekvivalent med den i figuren. esistansen s är en känd inre resistans hos givaren. Bestäm f och kvoten c / d så att den förstärkta signalen ges av v 0 (t) = 00v s (t).8 3 v v v 3 f v 0 Operationsförstärkaren i figuren är ideal. Bestäm /, 3 / och f / så att v 0 = 0v 0v 40v 3

131 8 Operationsförstärkare.9 Bestäm strömmen i(t) för kapacitansmultiplikatorn till höger då v(t) = V m cos(ωt). Operationsförstärkarna kan anses vara ideala. Kapacitansmultiplikatorer används i integerade kretar för att öka en liten kondensators kapacitans. i (t) C v (t).0 Bestäm vid vilken frekvens ω Wienbryggeoscillatorn till höger kan ge en utsignal, dvs V 0 0. Operationsförstärkaren kan anses vara ideal. En oscillator används för att omvandla likström (matningen av opförst) till växelström (utsignalen). jωc jωc V 0. Kretsen i figuren visar en gyrator kopplad till en spänningskälla. Bestäm stömmen i(t) då v s (t) = V m cos(ωt). Bestäm impedansen för gyratorn. Vilket passivt kretselement kan ersätta gyratorn? v s (t) i(t) a C b

132 Operationsförstärkare 9. 3 V 4 3 V 0 V En mycket användbar förstärkarkoppling är instrumentförstärkaren i figuren. Den används ofta för att förstärka små signaler. Bestäm utsignalen V 0 som funktion av insignalerna V och V. Operationsförstärkarna kan anses vara ideala. Låt också = = 3 =..3 3 V b V a V ut Bestäm utsignalen V ut. Operationsförstärkaren kan anses ideal och motstånden =, =, 3 = 4 är kända.

133 30 Operationsförstärkare: svar och lösningar Operationsförstärkare: svar och lösningar S. kan erhållas från nodpoten Strömmen i ut tialen v som i ut = v. Nodanalys på nod och nod ger respektive i in v v = 0 () v v v v v v v = 0 () () ger v v = i in ( och insatt ) i () finner vi Svar: i ut = i in i in i ut S. Operationsförstärkarens avgivna effekt fås av den totala effektförbrukningen i motstånden. Ideal operationsförstärkare ger v = v s, där v är potentialen i noden mellan motstånden och. Använder nodanalys för att bestämma spänningen över motstånden v s v a v s 0 = 0. Med lösning v a = v s a) Effektförbrukningen i motstånden ges av p (t) = v s (t), p (t) = (v a(t) v s (t)) = vs (t) p L (t) = v a(t) L = v s (t) ( ) L och totalt ( p(t) = vs (t) ( ) ) L b) Operationsförstärkaren avger all den effekt som absorberas i motstånden eftersom effekten bevaras och spänningskällan är strömlös (det går inte någon ström in i operationsförstärkaren och därmed inte heller genom spänningskällan). Den avgivna effekten är ( p(t) = vs (t) ( ) ) L

134 Operationsförstärkare: svar och lösningar 3 S.3 a) Eftersom och ingångarna på operationsförstärkaren har samma potential delar strömmen I in upp sig i de två lika stora strömmarna I = I in / och I = I in /. I in I V in I jωc En potentialvandring längs strömmen I ger ( V in = I ) = I ( in ) jωc jωc och därmed V in I in = jωc b) En resistor med resistans / i serie med en kondensator med capacitans C ger rätt inimpedans. Ersättningskretsen ges av / C Svar: a) V in I in = jωc, b) resistans / och kapacitans C, se figur. S.4 Den ömsesidiga induktansen M är M = k L L = L/. Potentialvandring (KVL) längs slingorna ger V in I sli smi = 0 (KVL ) I sl I sm = 0 (KVL ) där vi använt att operationsförstärkaren inte har något spänningsfall över ingången. (KVL ) ger I = L M I = I

135 3 Operationsförstärkare: svar och lösningar och insatt i (KVL ) V in I ( sl) sli / = 0 ( V in = I 3 ) sl. Utspänningen är V ut = I = V in 3 sl. Svar: V ut /V in = 3 sl. S.5 De ekvivalenta kretsarna i Laplaceplanet är (Op) sc (Op) sl V in (s) V ut (s) V in (s) V ut (s) a) För Op 0 V in 0 V ut sc = 0 vilket ger överföringsfunktionen H = V ut V in = sc För Op 0 V in 0 V ut sl = 0 vilket ger överföringsfunktionen H = V ut V in = s L b) Polnollställediagram (Op) Im (Op) Im e o e

136 Operationsförstärkare: svar och lösningar 33 c) s V in (s) = L{V m cos(ωt)u(t)} = V m s ω utsignalen ges av V ut (s) = sc V s m s ω = V m C Transformera till tidsplanet med tabellen s ω = V m ωc ω s ω v ut (t) = L {V ut (s)}(t) = V m ωc sin(ωt)u(t) d) ω V in (s) = L{V m sin(ωt)u(t)} = V m s ω utsignalen ges av V ut (s) = s L V ω m s ω = V mωl s s ω Transformera till tidsplanet med tabellen v ut (t) = L {V ut (s)}(t) = V mωl cos(ωt)u(t) S.6 v (t) i(t) L v s (t) 3 För en ideal op går det inte någon ström genom och potentialen i nod är v s. Nodanalys på nod ger v s 3 v s v = 0. Vilket ger potentialen ( ) v (t) = v s (t) 3 och strömmen i(t) = v s(t) L ( ) 3

137 34 Operationsförstärkare: svar och lösningar S.7 Kretsen är en differenskrets. KCL på nod ger v n v s v b s v n v 0 f = 0 f s v s c v b v b d v v p 0 Spänningsdelning v n = v p = v b c ( d d ( s f ) v 0 = s ( c d ) ) f v b f v s s s Om inverkan av v b skall försvinna krävs d d ( s f ) s ( c d ) = f s c d = s f Eftersom v 0 = 00v s fås f = 00 s och c d = 0 S.8 3 v p v v v 3 v 0 f vn Spänningsdelning ger v n = v p v v p v v p v 3 3 = 0 Eftersom v p = v n fås ( v 0 ) f 3 f v 0. KCL på nod ger = v v v 3 3 Kravet att v 0 = 0v 0v 40v 3 ger = /, 3 = /4 och f = 69.

138 Operationsförstärkare: svar och lösningar 35 S.9 Tidsdomän till frekvensdomän Transformera först kretsen och signalerna till frekvendomänen med ekonv. v(t) = e{v e jωt } = V m cos(ωt) V = V m jωc V V0 Frekvensdomän beräkning Använd nodanalys på noderna och. Detta ger I V V 0 jωc = 0 I = jωc(v V 0 ) (nod ) I V och 0 V 0 V 0 = 0 V 0 = V (nod ) Eliminera V 0 för att få ( I = jωc ) ( V m = ωc ) V m e jπ/ och därmed också impedansen ( Z = ( ) C eff = C ) jωc ökning av kapacitansen Frekvensdomän till tidsdomän Transformera tillbaka med ekonv. i(t) = e{ie jωt } = e{ωc ( ) ( V m e j(ωtπ/) } = ωc ) V m cos(ωt π/)

139 36 Operationsförstärkare: svar och lösningar S.0 Den ideala opförst. ger V = V. Nodanalys: V V 0 jωc V 0 V 0 = 0 () jωc V och V 0 V V 0 = 0 () Förenkla nodekvation () ( V (3 j ωc )) = V 0 (a) ωc jωc V V 0 jωc och nodekvation () 3V = V 0 (a) Detta system har lösningarna V 0 = V = 0 för alla ω och V 0 = 3V godtycklig för ω = ± C S. Transformera först till frekvensdomänen mha realdelskonvensionen v s (t) = e{v m e jωt } V m. Den ekvivalenta frekvensdomänkretsen visas i figuren. Där också noderna,,3 har definerats. De ideala operationsförstärkarna ger nodpotentialen V m i noderna,,3. Nodanalys ger Vm I a b Vm jωc V4 I Vm 3 V5 V m 0 V m V 4 = 0 V m = jωc(v m V 4 ) (nod ) jωc I V m V 5 = 0 V m V 5 = I (nod ) V m V 4 V m V 5 = 0 V m V 4 = (V m V 5 ) (nod 3) och därmed totalt V m = jω CI och I = Impedansen för gyratorn ges av Z = V m I = jω C = jωl jω C V m = ejπ/ ω C V m

140 Operationsförstärkare: svar och lösningar 37 där L = C. Gyratorn kan därmed ersättas av en induktor med impedansen L = C. Transformera tillbaks till tidsdomänen Svar: i(t) = e{ie jωt } = e{ ej(ωtπ/) ω C V m} = V m ω cos(ωt π/) C i(t) = V m ω cos(ωt π/), C Z = jω C = jωl och en induktor med L = C S. Använd nodanalys. Numrera först noderna (nod till 6). De återkopplade operationsförstärkarna har inget spänningsfall. v = 0 V 6 V V V 4 V v = 0 v = 0 V 3 V V 0 V V V 6 V V = 0 4 V 6 = V ( / 4 ) V / 4 (nod ) V V V V 3 = 0 4 V 3 = V ( / 4 ) V / 4 (nod ) V 4 V 3 V 4 0 = 0 V 3 = V 4 (nod 4) V 4 V 0 V 4 V 6 = 0 V 0 = V 4 V 6 (nod 5) Totalt fås V 0 = V 4 V 6 = V 3 V 6 = V ( / 4 ) V / 4 V ( / 4 ) V / 4 ) = (V V ) ( 4 S.3 3 V V b V a V ut

141 38 Operationsförstärkare: svar och lösningar Utsignalen kan tex bestämmas med nodanalys 0 V a 0 V V 0 0 V ut 4 = 0 V ut = V a 4V (nod ) V V b V 0 = 0 4V = V b (nod ) och därmed utsignalen V ut = V a V b

142 3 Tillämpade problem 39 3 Tillämpade problem 3. Oskar har inhandlat en stationsbyggnad till sin modelljärnväg. Belysningen i huset består av 0 stycken seriekopplade glödlampor, märkta.4 V/0. A. Till Oskars förtret går lamporna ofta sönder och de är besvärliga att byta. Han bestämmer sig för att byta ut lamporna mot långlivade orangefärgade lysdioder. Oskar köper 0 stycken orangefärgade lysdioder och 3 motstånd, vardera med resistansen 00 Ω. Dioderna skall seriekopplas med strömmen 0 ma och spänningsfallet. V över varje diod, enligt tillverkarens rekommendation i det medföljande databladet. Hjälp Oskar att designa kretsen. 3. Linus reser med den Transibiriska järnvägen från Moskva till Vladivostok. När han kommer till Irkutsk tar batteriet i hans ficklampa slut. Han visar upp ficklampan i en affär på stationen och får ett nytt batteri som passar perfekt. Imponerad av den internationella standardiseringen undersöker han batteriet i detalj. Det står 3.7 B på batteriet. Han vet att B på ryska står för volt och blir konfunderad. Lampan fungerar lika bra nu som med det gamla batteriet, men på det stod det 4.5 V. Igor, en rysk teknolog som Linus träffat på tåget, berättar om den ryska normen GOST. GOST föreskriver att det är batteriets spänning, då det belastas med ett motstånd på 0 Ω, som skall anges. I Sverige är det tomgångsspänningen som anges. Tomgångsspänningen beror på kemin i batteriet och säger inte något om batteriets kvalitet. Beräkna den inre resistansen i det ryska ficklampsbatteriet. 3.3 Oskar har fått moster Ingeborgs gamla Volvo. När bilen skall provköras märker han att strålkastarnas ljusstyrka försvagas markant då motorn startars. Oskar tror att det beror på att batteriet börjar bli gammalt. Ett gammalt batteri har en högre inre resistans än ett nytt. Startmotorn kräver en stor ström för att starta vilket leder till att spänningsfallet över batteriets inre resistans ökar. Detta i sin tur gör att spänningen över strålkastarna sjunker, med lägre ljusstyrka som följd. Oskar vill undersöka detta närmare och plockar fram sin voltmeter. Batteriets tomgångsspänning, v tom, uppmäts till.5 V. Oskar gör sedan följande spänningsmätningar medan startmotorn är igång men inte bilens motor; Spänningsfallet över... spänningsfallet/v batteriet v =.0 pluskabeln v = 0.5 minuskabeln v = 0.5 kontakterna (6 stycken) v 3 = 0.03 Plus/minuskabeln betecknar kabeln mellan batteriets plus/minuspol och startmotorn. Pluskabeln är m lång. Tvärsnittet på kabeln mäts och med hjälp av diverse tabeller kommer Oskar fram till att pluskabelns resistans,, är.5 mω. Sådana små resistanser är svåra att mäta direkt vilket är anledningen till Oskars tabellsökande. a) Beräkna batteriets inre resistans. b) Beräkna startmotorns effekt.

143 40 3 Tillämpade problem c) Oskar litar inte på bilens startkapacitet men förutsätter att övriga medtrafikanter har med sig vanliga startkablar. Han vill dock även ha möjlighet att starta sin bil med hjälp av en lastbil eller en buss. Hur långa startkablar behöver Oskar om lastbilens/bussens batteri är på 4 V? Den inre resistansen hos lastbilens/bussens batteri kan försummas då den genererade spänningen är mycket större än den som genereras i personbilens batteri. Alla kablar som Oskar använder antas vara av samma typ. 3.4 Saras salladsodling har angripits av spanska sniglar, även kallade mördarsniglar. Sara vill inte använda miljöfarliga gifter utan bygger istället ett elektriskt stängsel med hjälp spåren till sin pappas modelljärnväg. Spåren ansluter hon sedan till ett batteri med tomgångsspänningen 4 V. Sara som är en sann djurvän kontrollerar att det endast är sniglar som dödas och att den låga spänningen är ofarlig för andra djur och kryp. modelljäarnväag anfallande snigel sallad batteri För att döda en snigel, som ligger tvärs över spåren, krävs det en spänning på minst V. En snigel har en resistans på 0.88 kω. Då batteriet blir gammalt ökar dess inre resistans vilket i sin tur leder till att batteriets spänning sjunker. Sara har inte tid att titta till snigelfällan så ofta, alltså kommer flera stycken sniglar samtidigt att ligga över spåren. Vilken är den största inre resistans batteriet kan ha och ändå klara av att döda 44 sniglar som samtidigt ligger över spåren? 3.5 Mormor Greta har en elektrisk symaskin som hon vill donera till sitt barnbarn Stina. Stina tycker att maskinens lägsta hastighet, när pedalen trycks ner endast så att maskinen startar, är lagom. Däremot är den högsta hastigheten, när pedalen trycks i botten, alldeles för hög. Symaskinsmotorns effekt är 80 W vid spänningen 30 V. Motorn kan betraktas som rent aktiv och dess varvtal regleras med ett seriemotstånd i pedalen. Detta motstånd varierar från 550 Ω vid den lägsta hastigheten till 0 Ω vid den högsta hastigheten. Genom att montera in två motstånd vid pedalen kan motorns effekt halveras vid den högsta hastigheten utan att den lägsta hastigheten påverkas. Hjälp Stina att bestämma hur dessa motstånd skall kopplas in samt deras resistans.