isolerande skikt positiv laddning Q=CV negativ laddning -Q V V

Transkript

1 1 Föreläsning 5 Hambley avsnitt Kondensatorn och spolen [ ] Kondensatorn och spolen är två mycket viktiga kretskomponenter. Kondensatorn kan lagra elektrisk energi och spolen magnetisk energi. Till skillnad från resistorn har kondensatorn och spolen frekvensberoende egenskaper vilket gör dem mycket användbara för behandling av tidsberoende signaler. Vid höga frekvenser fungerar spolen som ett avbrott och kondensatorn som en kortslutning. Vid låga frekvenser gäller det motsatta, d.v.s. spolen fungerar som kortslutning och kondensatorn som ett avbrott. I denna föreläsning behandlas endast de tidsberoende sambanden mellan spänning och ström för komponenterna. Deras frekvensberoende egenskaper behandlas nästa vecka. Kondensatorn och kapacitans [ ] metallplattor isolerande skikt positiv laddning Q=V negativ laddning Q V V Den enklaste typen av kondensator är två tunna ledande plattor åtskilda av ett isolerande skikt, se figur. När vi kopplar in kondensatorn till en spänningskälla med spänning V kommer plattan som är kopplad till den positiva polen att få en positiv laddning Q medan plattan som är kopplad till den negativa polen får en lika stor negativ laddning Q. Laddningen Q är proportionell mot spänningen V så att Q = V där konstanten är kondensatorns kapacitans. Enheten för kapacitans är farad F där F=As/V. v(t) När en tidsberoende spänningskälla v(t) kopplas till en kondensator fås en tidsberoende laddning Q(t) = v(t). Eftersom ström är laddning per tidsenhet gäller

2 2 = dq(t) och därmed = dv(t). Om spänningen är en likspänning, d.v.s. konstant i tiden, gäller =, vilket motsvarar ett avbrott. Genom att integrera vänster och högerleden från tiden till tiden t erhålls följande uttryck för spänningen över kondensatorn: v(t) = 1 i(t ) v() (.1) där v() är spänningens värde vid tiden. Från denna relation kan vi se att spänningen över en kondensator måste vara kontinuerlig, d.v.s. spänningen kan inte göra hopp. Kommentar: Kondensatorn betecknar egentligen kretskomponenten medan kapacitans betecknar en ideal kondensator. Ofta slarvar man och säger kondensator när man menar kapacitans. Seriekoppling [3.2] 1 = Parallellkoppling [3.2] = Upplagrad energi [3.1] Den upplagrade energin i en kondensator med kapacitans och spänning v är W = 1 2 v2 Denna energi kallas för elektrisk energi eftersom energin finns upplagrad i det elektriska fältet mellan kondensatorplattorna Kommentar Med Elfakittet kan vi testa kondensatorns förmåga att lagra energi. Koppla in en av kondensatorerna till 9 V batteriet. Koppla därefter bort batteriet. Med voltmetern kan vi sedan mäta spänningen över kondensatorn. En bra kondensator håller spänningen under många timmar. Det finns elektrolytkondensatorer i Elfakittet. Dessa måste kopplas in med rätt polaritet. De två trådarna från en elektrolytkondensator är olika långa. Den långa tråden skall kopplas till.

3 3 Spolen, induktans [ ] Spole betecknar kretskomponenten medan induktansen, eller induktorn, är en ideal spole. Ofta slarvar man och säger spole när man menar induktans. I bilden ses en trådlindad spole. Den består ofta av koppartråd lindat kring en kärna. Ett annat vanligt ord för induktor är drossel. Sambandet mellan spänning och ström för en induktans är v(t) v(t) = L d = 1 L v(t ) i() L v(t) där L = induktans med enheten Henry, H =Vs/A. Från dessa samband ser vi att induktansen fungerar som en kortslutning för likström och att strömmen genom en induktans måste vara kontinuerlig. Serie och parallellkoppling [3.5] L 1 L2 L L = L 1 L 2 1 L = 1 1 L 1 L L L 2 1 L 2 Upplagrad energi i induktans [3.4] Den upplagrade energin i en induktans L med ström i är W = 1 2 Li2 Denna energi kallas för magnetisk energi, eftersom energin finns upplagrad i magnetfältet som finns inuti och runt spolen.

4 4 Matematisk kommentar För att få fram ekvation (.1) behövdes sambandet = dv(t) integreras. Integraler har i detta skede inte behandlats i matematikkursen utan det gäller att komma ihåg lite om integraler från gymnasiematematiken. Det finns två sätt att integrera = dv(t). Om vi vet vad spänningen är vid en viss tidpunkt t och vill veta spänningen för tider t > t kan vi använda en bestämd integral, d.v.s. där integralen har en undre och en övre integrationsgräns. I annat fall kan vi använda en obestämd integral, d.v.s. en integral utan gränser. Den obestämda integralen är den primitiva funktionen till integranden. I de fall som dyker upp i denna kurs kommer spänningen alltid att vara given vid en viss tidpunkt. Antag således att v(t ) är känd. En integration av vänsteroch högerled från t till t leder till t i(t ) = t dv(t ) Den primitiva funktionen till dv(t) och därmed Fallet t = ger ekvation (.1). t är v(t) 1. Detta ger dv(t ) = [v(t )] t t = v(t) v(t ) v(t) = 1 i(t ) v(t ) t Vi kan också gör på ett annat sätt. Det är att integrera = dv(t) med hjälp av obestämd integral. Det ger v(t) = 1 i(t ) K (.2) där K är en integrationskonstant. Vi kan bestämma K om vi vet spänningens värde vid en tidpunkt. Exempel: Antag att = I t T, d.v.s. att strömmen genom induktansen växer linjärt. Om v() = V ger ekvation (.1) v(t) = I t V = I T T 1 Detta är definitionen av primitiv funktion [ t 2 2 ] t V

5 5 och därmed v(t) = I t 2 2T V Om vi istället använder ekvation (.2) och utnyttjar att t 2 /2 är primitiv funktion till t fås t 2 v(t) = 1 I K (.3) 2T Konstanten K bestäms nu av att v() = V. Genom att sätta in t = i ekvation (.3) ser vi att K = V och v(t) = I t 2 2T V Som synes leder de båda metoderna till samma resultat och arbetsinsatserna skiljer sig inte nämnvärt åt.