Föreläsning 4, Ht 2. Aktiva filter 1. Hambley avsnitt 14.10, 4.1

Transkript

1 1 Föreläsning 4, Ht Hambley avsnitt 14.1, 4.1 Aktiva filter 1 I första läsperioden behandlades passiva filter. Dessa har nackdelen att lastens resistans påverkar filtrets prestanda. Om signalen tas ut över en belastningsresistans L kommer t.ex. brytpunkten till ett vanligt eller L nät ω b = 1/) eller ω b = /L) att ändras. Genom att använda aktiva komponenter kan man konstruera filter som inte påverkas av lasten. Om inte frekvenserna är alltför höga är operationsförstärkare lämpåliga för att konstruera aktiva filter. I figuren nedan visas enkla kopplingar med ett första ordningens lågpass och högpassfilter. Eftersom den ickeinverterande ingången används för insignalen är filtrens brytfrekvenser oberoende av belastningsresistansen L. K 1) f v in v ut f v in K 1) f v ut f 1 Aktiva filter behandlades på föreläsning 3

2 Med aktiva komponenter går det att skapa flera typer av filter än med passiva filter. I Hambley tar man upp det så kallade Butterworthfiltret. Det är ett lågpassfilter vars överföringsfunktion ges av Hf) = H 1 f/fb ) n där n är filtrets ordning. Överföringsfunktionen för detta lågpassfilter faller med n db/dekad för frekvenser över brytfrekvensen. v in K 1) f v ut f Figuren visar ett SallenKey lågpassfilter. Nodanalys i frekvensplanet ger att om parametern K väljs till K = blir detta ett Butterworth lågpassfilter av ordning. Man kan skapa Butterworth lågpassfilter av ordning n > 1 genom att kaskadkoppla n 1 SallenKey lågpasskretsar, se Hambley. Transienter Inom elektroniken är transienter signaler med kort varaktighet. De avtar ofta exponentiellt med tiden. I detta avsnitt studerar vi de transienter som uppstår då en kondensator eller spole ansluts till en krets eller kopplas bort från en krets. Delar av detta avsnitt behandlas i föreläsning 5

3 3 Spolen L = L d = 1 L t vt ) i) Upplagrad energi: w = 1 Li Kondensatorn = d = 1 t it ) v) Upplagrad energi: w = 1 v Lkretsen Vi studerar en Lkrets med en spole som vid tiden t = har strömmen I och därmed en upplagrad energi 1 LI. Vid t = kopplas en resistans till spolen, enligt figur. När strömmen går genom resistansen övergår spolens energi till värme i resistansen. Strömmen genom spolen avtar därmed med tiden. För att få fram tidsförloppet för strömmen är det enklast att ställa upp och lösa den differentialekvation som strömmen satisfierar. L I τ t Strömmens referensriktning är satt så att går strömmen går in i spolen vid och ut vid. Därmed gäller = L d. Ohms lag säger att v =, eftersom ström

4 4 men går in i resistansen vid och ut vid. Det ger följande differentialekvation för strömmen och tillhörande begynnelsevillkor: L di i = i) = I Metoden med integrerande faktor ger: = I e t/τ där τ = L/. Notera att spänningen = I e t/τ kan bli mycket stor om är stor. kretsen Vi studerar en krets med en kondensator som vid tiden t = har spänningen V och därmed en upplagrad energi 1 V. För t > är kondensatorn kopplad till en resistans. Kondensatorn laddas ur via resistansen och då strömmen går genom resistansen avges energi till resistorn. Det gör att kondensatorns spänning avtar med tiden. När kondensatorn är urladdad har all dess energi övergått till värme i resistansen. För att få fram tidsförloppet för spänningen är det enklast att ställa upp och lösa den differentialekvation som spänningen satisfierar. V τ t eferensriktningen på strömmen är satt så att strömmen går in i kondensatorn vid och ut vid. Därmed gäller = d. Ohms lag säger att v =, eftersom strömmen genom resistansen går in vid och ut vid. Det ger följande differentialekvation och tillhörande begynnelsevillkor: dv v = v) = V Metoden med integrerande faktor ger: = V e t/τ där τ =

5 5 Tidskonstanten För en exponentiellt dämpad signal = v)e t/τ är τ =tidskonstanten. Det betyder att vτ) = e 1 v).37v). En L krets har tidskonstanten τ = L/ och en krets τ =. Vi noterar att 1/τ är líka med brytvinkelfrekvensen för L och näten vi tidigare använt som lågpass och högpassfilter. Några exempel Exempel: Inkoppling av spänningskälla t= s r c En spänningskälla v s t) kopplas vid t = in mot en krets där v c ) =. Bestäm spänningen över kondensatorn som funktion av tiden. För t ger KVL v s t) = v c t). Eftersom = v ct) fås den ordinära differentialekvationen v ct) 1 τ v ct) = 1 τ v st) där τ =. Metoden med integrerande faktor ger lösningen för t > v c t) = e t/τ v c ) 1 t ) v s t )e t /τ τ Om kondensatorn är oladdad för t gäller v c ) = och därmed v c t) = 1 τ t v s t )e t t)/τ Ht) där Ht) är enhetssteget Ht) = { t < 1 t > Integralen går att lösa explicit för några av de vanligaste typerna av källor. Steg v s t) = v Ht) ger v c t) = v 1 e t/τ ) Ht), se övre grafen i figur 1.

6 6 Fyrkantpuls v s t) = v Ht) Ht t )) ger, se undre grafen i figur 1, t v c t) = v ) 1 e t/τ < t t v ) 1 e t /τ e t t)/τ t > t V v r t) v c t) 1ms ms V v c t) v r t) V 1ms ms Figur 1: Övre grafen visar v c t) och v r t) då v s är ett steg, v s t) = V Ht). Undre grafen visar v c t) och v r t) då v s är en fyrkantpuls, v s t) = V Ht) Ht t ) där t = 1 ms. För båda graferna gäller τ = 1 ms. Tidsharmonisk källa v s t) = V sin ωt ger, v c t) = V e t/τ sinarctanωτ)) sinωt arctanωτ)) ) Ht) 1 ωτ) = V ωτe t/τ 1 ωτ) Ht) V sinωt arctanωτ)) Ht) 1 ωτ) = V ωτe t/τ 1 ωτ) Ht) V sinωt) ωτ cosωt)) Ht) 1 ωτ) ).1)

7 7 Från lösningen ser vi att lösningen är en summa av en transient, d.v.s. en del som dör ut efter en tid, och en stationär del, som finns kvar efter lång tid. Matematiskt sett är transienten den homogena lösningen och den stationära delen partikulärlösningen till differentialekvationen. I läsperiod Ht 1 användes jωmetoden för att få fram den stationära lösningen och det är enkelt att se att den överensstämmer med lösningen ovan. I frekvensplanet ger spänningsdelning V c = V 1 jωτ = V arctanωτ) e j 1 ωτ) I tidsplanet är då amplituden V 1 ωτ) och fasen arctanωτ), mätt relativt sinωt). Den stationära spänningen är då v cstat t) = V sinωt arctanωτ)) 1 ωτ) Man kan konstatera att även i detta enkla fall är jωmetoden en bra metod för att snabbt få fram den stationära lösningen. Tips Gå till Wolfram Alpha på nätet. Där kan ni få lösningen till matematiska problem, och även andra problem. Skriv in solve dv/v/tau=sinwt)/tau*ht), v)= så får ni lösningen.1). Wolfram Alpha är ganska okänslig för hur man skriver sina uttryck. Även t.ex. solve v v/tau=sinwt Ht)/tau, v)= fungerar bra. Vill man ha en graf kan man sätta in värden på tau och w. Skriver man t.ex. v v/.=sin1t) Ht)/., v)=, from t= to 1 fås lösningen och dess graf för <t<1.