Växelström i frekvensdomän [5.2]

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Växelström i frekvensdomän [5.2]"

Nils Göransson
för 4 år sedan
Visningar:

1 Föreläsning 7 Hambley avsnitt 5.-4 Tidsharmoniska (sinusformade) signaler är oerhört betydelsefulla inom de flesta typer av kommunikationssystem. adio, T, mobiltelefoner, kabel-t, bredband till datorer mm, utnyttjar sinusformade signaler. nformationen överförs genom att modulera amplitud, frekvens eller fas. Det gäller både digitala och analoga system. äxelström i tidsdomän [5.] En tidsharmoniska signal = 0 cos(ωt φ) är bestämd av 0 : φ : ω : T : amplitud fasvinkel (ibland kallad fas) vinkelfrekvens(ω = πf) perioid(t = /f) Exempel: Hushållsel För = 30 cos(00 π t 0.5) är 0 = 30 35, φ = 0.5 rad, ω = 00 π rad/s, f = 50 Hz, T = 0.0 s m T t äxelström i frekvensdomän [5.] Tidsharmoniska signaler i elektriska kretsar analyseras enklast med jω-metoden (phasors i Hambley). Metoden ersätter de tidsharmoniska spänningarna och strömmarna med komplexa spänningar och strömmar vilka kan bestämmas med samma metoder som används för resistiva nät. Bakgrund till jω-metoden Eulers formel för komplexa tal säger att om A och α är reella tal så gäller Ae jα = A(cos α j sin α) A cosα = e{ae jα } Det innebär att en tidsharmonisk signal med spänning = 0 cos(ωt φ) och ström i(t) = 0 cos(ωt ψ) kan skrivas = e { 0 e j(ωtφ)} = e { 0 e jφ e jωt)} = e { e jωt} i(t) = e { 0 e j(ωtψ)} = e { 0 e jψ e jωt)} = e { e jωt} (0.) Framställningen av komplexa spänningar och strömmar i dessa anteckningar skiljer sig något mot den i Hambley eftersom Hambley använder Phasors. Föreläsningarna, exempelsamlingen och tentorna håller sig till notationen i dessa anteckningar.

2 där = 0 e jφ är den komplexa spänningen och = 0 e jψ den komplexa strömmen. För en kondensator gäller i(t) = C d = C d e { } e jωt} = Ce { dejωt = e { e jωt} och därmed =. För en induktans gäller = L di(t) = e { jωle jωt} och därmed = jωl. För en resistans gäller fortfarande Ohms lag, dvs = i(t) = e { e jωt} och därmed =. Sambanden mellan komplexa strömmar och spänningar för resistans, kapacitans och induktans är alltså = för resistans = jωl för induktans L = (0.) för kapacitans C mpedans Z För passiva tvåpoler gäller följande linjära samband mellan den komplexa spänningen och strömmen: = Z där det komplexa talet Z kallas för impedans. mpedans ser alltså ut som en komplex resistans. mpedanserna för resistansen, induktansen och kapacitansen är, enligt ekvation (0.) resistor Z = jωl induktans kapacitans Strömmen skall som vanligt gå in vid och ut vid -, som i figuren nedan

3 3 Tidsdomän d jω Frekvensdomän i(t) = i(t) = i(t) L - = L di(t) jωl = jωl i(t) C C d = i(t) = Kommentar: eglerna för seriekoppling och parallellkoppling av resistanser gäller även för impedanser. Två seriekopplade impedanser Z och Z ger impedansen Z Z. Två parallellkopplade impedanser ger impedansen Z = Z Z Z Z. På samma sätt kommer alla andra metoder som gäller för resistiva nät också att gälla för de komplexa spänningarna och strömmarna, t.ex., nodanalys, spänningsdelning, strömgrening och Theveninekvivalenter. jω-metoden [5.4] nför komplexa spänningar och strömmar enligt transformationsregeln i ekvation (0.) = 0 cos(ωt φ) = 0 e jφ Notera att absolutbeloppet = 0 är amplituden för sinussignalen och argumentet arg{ } = φ är fasvinkeln relativt cos ωt. Bestäm de komplexa spänningarna och strömmarna med samma metoder som för resistiva nät. stället för Ohms lag v = i används = Z. Tidsuttrycket för en spänning, eller ström, bestäms genom att först skriva den komplexa spänningen, eller strömmen, på polär form, d.v.s. = e jarg{ } eller = e jarg{}. Tidsuttrycken ges av = e{ e jωt } = cos(ωt arg{ }) i(t) = e{e jωt } = cos(ωt arg{}) (0.3)

4 4 Phasors [5.] Hambley, och en del andra böcker, inför begreppet phasor. En phasor motsvarar den komplexa strömmen eller spänningen. stället för att representera den tidsharmoniska signalen = cos(ωtφ) med det komplexa talet = e jφ använder Hambley phasor-representationen = φ. Det markerar på ett tydligt sätt att amplituden är och fasen relativt cosωt är φ. Phasors är inte ett vedertaget begrepp inom andra områden av fysiken där jω-metoden används. Av denna anledning används inte phasors i kursen. mpedans, admittans, resistans och reaktans [5.3] Sambandet mellan den komplexa spänningen och strömmen för en passiv tvåpol är = Z. Därmed gäller = Z = Y, där vi infört Y = Z =admittans. mpedansen och admittansen är komplexa tal som kan skrivas på rektangulär form: = Z Z = jx = impedansen = e{z} = resistansen X = m{z} = reaktansen - Z = Y Y = G jb = admittansen G = e{y } = konduktansen B = m{y } = susceptansen Begreppen impedans, resistans och reaktans är mycket vanliga och dessa skall alla kunna. Exempel: C krets med tidsharmonisk källa C-kretsen till höger drivs av spänningskällan med v in (t) = 0 cos(ωt). Bestäm spänningen som funktion av tiden. v in (t) C Lösning i använder jω-metoden för att bestämma strömmarna. Detta sker i tre steg : Transformation till frekvensdomänen

5 5 Spänningarna v in (t) och motsvaras i frekvensdomänen av in och där v in (t) = e{ in e jωt } = 0 cos(ωt) = e{ 0 e jωt } in = 0 = e{ e jωt } Kretsschemat i frekvensdomänen ges i figuren till höger. Observera att man anger impedansen för kapacitansen. in : Bestämning av den komplexa spänningen. Spänningsdelning i frekvensdomänen ger = 0 = 0 jωc Den komplexa spänningen skrivs på polär form för att kunna transformeras tillbaka till tidsdomänen (se häftet om komplexa tal) = 0 arctan(ωc) ej (ωc) 3: Transformation tillbaka till tidsdomänen. Tidsdomänstorheterna erhålls enligt definitionen ovan. Detta ger = e{ e jωt } = e{ (ωc) ej arctan(ωc) e jωt } = = 0 0 (ωc) e{ej(ωtarctan(ωc)) } 0 cos(ωt arctan(ωc)) (ωc) i kan snabba upp punkt 3 genom att utnyttja att en komplex spänning = e jφ ger den tidsberoende spänningen = cos(ωt φ). Absolutbeloppet av är = 0 och argumentet är φ = arctan(ωc). (ωc) Observera att det är viktigt att kunna transformera komplexa tal från rektangulär till polär form. Känner du dig osäker på detta bör du repetera det som står i häftet om komplexa tal.

6 6 maginärdelskonventionen (kursivt) När man transformerar mellan tids- och frekvensplanet genom att använda regeln i ekvation (0.3) använder man den så kallade realdelskonventionen. Om en given ström eller spänning har tidsberoendet sin ωt kan man i stället ha sinωt som riktfas. Denna konvention kallas imaginärdelskonventionen och ges av = m{ e jωt } och i(t) = m{e jωt } där och är komplexvärderna till ögonblicksvärdena och i(t). Tidssignalen = 0 sin(ωt φ) transformeras på följande sätt: = m{ e jωt } = 0 sin(ωt φ) = m{ 0 e j(ωtφ) } = m{ 0 e jφ e jωt } = 0 e jφ eal- och imaginärdelskonventionen skiljer sig endast åt vid tranformationen mellan tids- och frekvensplanet. Kommentar: Hambley använder endast realdelskonventionen. Exempel Bestäm strömmen i (t) då i(t) = 0 sin(ωt φ). i(t) C i (t) Lösning i använder jω-metoden för att bestämma strömmen. Detta sker i tre steg : Transformation till frekvensdomänen (jω-domänen eller jω-planet). maginärdelskonventionen ger strömmarna i frekvensdomänen i(t) = m{e jωt } = 0 sin(ωt φ) = m{ 0 e j(ωtφ) } = m{ 0 e jφ e jωt } = 0 e jφ i (t) = m{ e jωt } Den ekvivalenta frekvensdomänkretsen ges i figuren till höger.

7 7 : Beräkning av strömmen i frekvensdomänen (komplexvärden). Strömgrening ger = = Den komplexa strömmen skrivs på polär form = jωc = 0e jφ jωc 0e jφ jωc = 0 e jφ (ωc) e jarctan(ωc) = 0 (ωc) ej(φarctan(ωc)) 3: Transformation tillbaka till tidsdomänen. Tidsdomänstorheterna erhålls m.h.a. m-konventionen enligt definitionen ovan. Detta ger i (t) = m{ e jωt } = m{ 0e j(φarctan(ωc)) e jωt } = 0 m{e j(ωtφarctan(ωc)) } (ωc) (ωc) = 0 sin(ωt φ arctan(ωc)) (ωc) i kan snabba upp punkt och 3 genom att utnytta att en spänning = 0 sin(ωt φ) ger, med imaginärdelskonventionen, den komplexa spänningen = 0 e jφ och att den komplexa strömmen = e jarg{ } ger den tidsberoende strömmen i (t) = sin(ωt arg{ }).

Relevanta dokument

Växelström i frekvensdomän [5.2]

Växelström i frekvensdomän [5.2] Föreläsning 7 Hambley avsnitt 5.-4 Tidsharmoniska (sinusformade) signaler är oerhört betydelsefulla inom de flesta typer av kommunikationssystem. adio, T, mobiltelefoner, kabel-t, bredband till datorer