Frekvensplanet och Bode-diagram. Frekvensanalys

Transkript

1 Frekvensplanet och Bode-diagram Frekvensanalys

2 Signaler Allt inom elektronik går ut på att manipulera signaler genom signalbehandling (Signal Processing). Analog signalbehandling Kretsteori: Nod-analys, ohm s lag, jω-metoden,... Elektronik: Filter, förstärkare, nätaggregat, radio,... Digital signalbehandling Mjukvara: Filter, kodning, komprimering, prediktion,... Hårdvara: Sampling, AD/DA-omvandlare, digitala förstärkare,...

3 Signaler Den mest naturliga beskrivningen av en signal är hur en storhet (t.ex., spänning eller ström..) varierar med avseende på tiden. Något som förenklar hanteringen av sinussignaler är att transformera den analyserade kretsen till jω-domänen Problem: de flesta verkliga signaler är inte sinussignaler, så vad gör man då?

4 Signaler Om vi ritar en sinusfunktion i tidsdomänen: u(t) = Asin (! 0 t)+ A 3 sin (3! 0t)+ A 5 sin (5! 0t)+ A 7 sin (7! 0t) : : : + A 9 sin (9! 0t)+ A 11 sin (11! 0t)+ A 13 sin (13! 0t) : : : u(t) = A X201 k=1 1 k sin (! 0t)

5 Signaler En signal kan ibland innehålla en sinus med frekvensen 0 Hz, d.v.s en DC nivå. DC-komponent

6 Signaler Hur man får fram frekvens-komponenterna för en signal: DC-komponent: Udda komponenter: a 0 = 1 T a n = 2 T R T=2 T=2 x(t)dt R T=2 x(t) cos (!t n) T=2 Jämna komponenter: b n = 2 T R T=2 x(t) sin (!t n) T=2 x(t) = a 0 + P 1 n=1 a n cos (!t n) + P 1 n=1 b n sin (!t n)

7 Signaler Exempel på Fourier-serier:

8 Signaler Vid signaler med stor kontinuerlig variation av frekvensen, så används Fourier-transform istället: F(!) = R 1 1 x(t)e j!t Ett mätinstrument som visar frekvensdomänen av en signal kallas för en Spektrum-Analysator.

9 Signaler Definitioner av en signal i frekvensplanet: Signalens Frekvens-spektrum T f 0 f 0 är signalens grundfrekvens (fundamental frequency): f 0 = 1 T Bandbredd [Hz] är hur stor del av spektrumet som man använder, är grund-vinkelfrekvensen! 0 = 2¼f 0 B f {z} B f

10 Frekvensdomänen (frekvensplanet) Filter: I frekvensdomänen kan man påverka signaler genom att dämpa eller förstärka olika delar av signalens spektrum. En krets som gör detta kallas för ett filter och arbetar alltså i frekvensplanet av signalen. De fyra vanligaste formerna av filter är: Låg-pass filter (Dämpar höga frekvens-komponenter) Hög-pass filter (Dämpar låga frekvens-komponenter) Band-pass filter (Dämpar både höga och låga frekvenser) Band-spärr filter (Dämpar frekvenser inom en begränsad bandbredd)

11 Frekvensdomänen Filter: Filter är en två-ports krets med en in-port (input) och en ut-port (output). u s (t) + - Två-port krets + u ut (t) In-port Ut-port

12 Frekvensdomänen I en två-port krets så har vi en in-signal och en ut signal För att beskriva vad som händer med signalen i kretsen så dividerar vi utsignalens fas-vektor (phasor) med insignalens fasvektor (phasor): H(f) = U ut U in H(f) är kretsens överföringsfunktion (transfer function)

13 Frekvensdomänen Exempel: (6.2) Om vi har en överföringsfunktion: H(f) = f + 4 e j0:03 f ; 0 f < 2500 Hz Så, amplituden blir: jh(f)j = f + 4; 0 f < 2500 Hz och argumentet: 6 H(f) = 0:03 f; 0 f < 2500 Hz

14 Frekvensdomänen Fortsättning på exempel: Om vi nu har en in-signal: u in (t) = 3 + 2cos (2000¼t) + cos (4000¼t 70 ± ) Vi delar nu upp signalen i separata signaler och omvandlar till fas-vektorer: u (1) in (t) = 3 ) U(1) ut (f) = H(f) U in = 46 0 ± 36 0 ± = 12 (t) = 2 cos (2000¼t) ) U(2) ut (f) = ± 26 0 ± = 6 30 ± u (3) in (t) = cos (4000¼t 70± ) ) U (3) ut (f) = ± ± = ± u (2) in

15 Frekvensdomänen Totala utsignalen blir då: U ut (f) = ± ± Transformera tillbaka till tidsdomänen: u ut (t) = cos (2000¼t + 30 ± ) + 2 cos(4000¼t 10 ± )

16 Första ordningens filter

17 Lågpass-filter Första ordningens RCfilter: Med spänningsdelning får man: V ut (f) = 1 j!c R+ 1 j!c V(f) Vilket ger överföringsfunktionen: H(f) = V ut(f) V(f) = 1 j!c R+ 1 j!c = 1 1+j!RC

18 Låg-pass filter Definierar man: f B = 1 2¼RC Så kan man skriva: och i polär form: H(f) = 1 1+j!RC = 1 1+j f f B 1 jh(f)j = q 1+ f 2 f B 6 H(f) = arctan ³ f f B

19 Låg-pass filter Brytfrekvensen inträffar vid halva max-effekten: P fb = ³ 1 p 2 gånger maxamplituden och därmed vid 1p 2 max (jh(f)j) 2 = 1 2 max jh(f)j 2

20 Decibel Inom elektronik används ofta decibel-skala för effekter och amplituder: jh(f)j db = 20 log 10 (jh(f)j) [db] En dubblering av amplituden ger en ökning med 6 db H 1 (f) = 0:1 H 2 (f) = 0:2 + - Två-port krets Två-port krets H(f) = H 1 (f) H2(f) = 0:1 0:2 = 0:02 jh(f)j db = jh 1 (f)j db + jh 2 (f)j db = 20 + ( 14) = 34dB ) 0:02

21 Bode-diagram Så, om vi nu skriver om överföringsfunktionens amplitud i decibel skala: ³ jh(f)j db = 10 log 10 µ1 + f 2 f B Brytfrekvens f B 3 db Lutning -20 db/dekad

22 Bode-diagram För att variationer i amplitud ska synas lika bra vid höga frekvenser som vid låga frekvenser så används en logaritmisk frekvens-axel

23 Första ordningens hög-pass filter Hög-pass RC-filter: Med spänningsdelning får man: V ut (f) = R R+ 1 j!c V(f) f B = 1 2¼RC ) H(f) = j f Vilket ger överföringsfunktionen: H(f) = V ut(f) V(f) = R R+ 1 j!c f B 1+j f f B = j!rc 1+j!RC

24 Hög-pass filter Hög-pass filter: och i polär form: H(f) = jh(f)j = j!rc 1+j!RC = f q 1+ f f B 2 f B j f f B 1+j f f B 6 H(f) = 90 ± arctan ³ f f B

25 Hög-pass filter Bode-diagram:

26 Filter-design Om vi vill konstruera ett låg-pass filter som dämpar alla frekvenser över 7 khz. Det betyder att brytfrekvensen skall vara 7 khz. f B = 1 2¼RC ) C = 1 2¼f B R Välj ett motståndsvärde, t.ex. 1kΩ: R = 1k C = 1 2¼ ¼ 22nF in-port ut-port C = 22 nf