Resttentamen i Signaler och System Måndagen den 11.januari 2010, kl 14-19

Transkript

1 Resttentamen i Signaler och System Måndagen den 11.januari 2010, kl Tillåtna hjälpmedel: Valfri miniräknare (utan möjlighet till trådlös kommunkation). Valfri litteratur, inkl. kursböcker, formelsamlingar. Några små råd till lösningar: Uppgifterna står inte i svårighetsordning, läs igenom samtliga uppgifter innan du börjar lösa problem! Redovisa lösningarna så att din tankegång kan följas! Ange tydligt eventuella antaganden och approximationer! Skriv namn på varje ark! Motivera alla svar ordentligt! Lösningarna ska vara snyggt och tydligt presenterade. Maximalt 60 poäng. För godkänt krävs minst 30 poäng. Lycka till! Uppgift 1 (10p) Motivera dina svar! a) Utsignalen, y(t) från ett system är en sinusvåg vars amplitud är dubbelt så stort och vars frekvens är 50 Hz högre än frekvensen som insignalens sinusvåg, x(t) har. Är systemet linjärt? Ge bevis. b) Kan ett analogt LTI (linjärt tidsinvariant) system entydigt beskrivas av frekvenssvaret? (1p) c) Hur påverkas en signal vid filtrering med icke linjär fasgång i passbandet? (1p) d) Om insignalen till ett LTI system ges av x ( t) = 17sin(5,5 t + 122,5 ) då är y ( t) = 3sin(5,5 t + 1,6) en möjlig utsignal. (1p) e) Vilka egenskaper har ett idealt BP (bandpass) filter? Varför är ideala filter icke implementerbara? Motivera! f) Vad betyder en 3 db förbättring i SNR? (1p)

2 g) Hur kan man förbättra kvalitén i periodogrammet vid spektrumskattning? Uppgift 2 (20p) Vi vill ta bort nätbrus med hjälp av ett analogt elektriskt filter. Det elektriska filtret ges i figuren nedan. Frekvensen på bruset är 50 Hz. Sålunda, med insignal x( t) = cos(50 2πt ) ska utsignalen y ( t) = 0 fås. a) Bestäm överföringsfunktionen från insignalen x(t) till utsignalen y (t). b) Är detta system stabilt? Motivera! c) Välj nu ett värde på C så att kretsen får önskade egenskaper då L = 0,1 [H], R = 10 [Ω ] d) Skissera filtrets frekvensgång i Bode plot utan exakta beräkningar. e) Vilken typ filter är systemet? (1p) f) Ange filtrets differentialekvation. (1p) 0.1 H x t C 10 y t g) Designa nu ett andra ordningens digitalt filter som tar bort det störande bruset ovan vid f = 50 Hz om samplingsfrekvensen är 400 Hz. Vilken digital filterdesign metod är lämpligast att välja? Ange filtrets överföringsfunktion! (4p) h) Har det designade filter linjär fasgång? (1p) i) Ange sambandet mellan filtrets in- och utsignal. (1p)

3 j) Kan du föreslå en annan designmetod för uppgiften i g)? (1p) Uppgift 3 (12p) Då man ringer ett telefonsamtal skickas telefonnummer, talsvarskoder, etc., via s.k. DTMF (Dual-Tone Multi-Frequency)-koder. Varje siffra och specialtecken kodas som en summa av två toner (sinusvågor) med frekvenser enligt tabell 1. Antag att du har fått i uppgift att konstruera en digital DTMF-mottagare som samplar signalen från telefonlinjen, beräknar frekvensinnehållet med hjälp av den diskreta fouriertransformen (DFT) och presenterar mottaget tecken i form av en fyrabitars kod. a) Hur hög måste samplingsfrekvensen minst vara under ideala förhållanden? (1p) b) Under hur lång tid måste signalen minst samplas för att man skall kunna avgöra vilka av DTMF-frekvenserna som finns med i signalen? Antag att telefonlinjen för övrigt i stort sett är tyst. c) Hur många sampel bör användas vid beräkningen av DFT:n för att ge kortast möjliga beräkningstid? d) Om svaren på antalet sampel i fråga c och b skiljer sig åt, betyder det att man behöver mäta under en annan tid eller med en annan samplingsfrekvens? Hur erhålls annars ett annat antal sampel? e) Vilka frekvenser kommer att finnas med i spektrum om signalen samplas och DFT:n beräknas enligt dina svar ovan? Motivera samtliga svar! Tabell 1. Frekvenser för DTMF-koder.

4 1209 Hz 1336 Hz 1477 Hz 1633 Hz 697 Hz A 770 Hz B 852 Hz C 941 Hz * 0 # D Uppgift 4 (6p) a) Ta fram en differensekvation för filtret i figuren och bestäm dess överföringsfunktion. x[n] + y[n] b) Bestäm filtrets poler och nollställen. Vilken typ filter är detta? Motivera. c) Är filtret stabilt? (1p) Uppgift 5 (6p) Designa ett 11:e ordningens lågpass FIR filter med gränsfrekvensen 1kHz m.h.a Fönstermetoden. Samplingsfrekvensen är 8 khz. a) Beskriv metoden steg för steg.

5 b) Hur påverkas filtret av fönsterval? (1p) c) Beskriv fördelarna med FIR filter. Uppgift 6 (6p) Ett matchat filter kan användas i kommunikation för att detektera ett meddelande bland M möjliga sekvenser av 0 och 1. Konstruera ett matchat filter för att detektera meddelandet x, en binär sekvens: x[n] ={1,1,0,1,1,0,0,1,1,0,0,0,1,0}. a) Vad är det matchade filtrets impulssvar? b) Bestäm det matchade filtrets maximal utsignal för x[n]. (4p)