Vad gör vi när vi bara har en mätserie och ingen elegant matematisk funktion? Spektrum av en samplad signal. Trunkering i tiden

Transkript

1 Vad gör vi när vi bara har en mätserie och ingen elegant matematisk funktion? 1 Spektrum av en samplad signal Samplingsprocessen kan skrivas som Fouriertranformen kan enligt linjäritetsoch tidsskiftsatsen skrivas som summan av de enskilda samplens spektrum: 2 Trunkering i tiden I verkligheten har vi ju bara ett begränsat antal sampel x(0)... x((n-1)t). Om vi beräknar Fouriertransformen bara på dessa sampel fås 3 1

2 Spektrumskattning Vi kan således inte bestämma signalens sanna spektrum från ett begränsat avsnitt I stället för rektangelfunktionen kan annan fönsterfunktion användas Dessa utgör alltid en kompromiss mellan huvudlobens bredd och sidlobsdämpningen. Huvudlob Sidlober Amplitudspektrum för rektangulärt fönster 4 Rektangulärt fönster vs. Hammingfönster 5 Vilka frekvenser skall vi välja? Samplingsteoremet säger att en samplad signals Fouriertransform är periodisk med samplingsfrekvensen Alltså räcker det att beräkna transformen mellan dvs mellan +- Nyquistfrekvensen. Vi väljer att använda lika många, jämnt utspridda, frekvenser som vi har sampel. 6 2

3 DFT:ns definition Om vi normaliserar samplingsfrekvensen till 2π får vi den diskreta Fouriertransformen: för k = 0,...,N-1 7 Invers DFT Från DFT:ns definition följer direkt inverstransformen (IDFT): för n = 0,...,N-1 8 DFT:n på matrisform DFT:n kan också skrivas som en matrismultiplikation: (N 1) (N N) (N 1) 9 3

4 Metoder för spektrumskattning Periodogrammet: Exempel: Skatta spektrat för en vit brussekvens (N=1000) Periodogrammet ger en brusig skattning av effekttäthetsspektrat! Hur ska vi få ner variansen? 10 Metoder för spektrumskattning Welch s metod = medelvärdet av L periodogram: Samma exempel, L=100 Medelvärdesbildningen ger en mjukare kurva som bättre motsvarar våra förväntningar. 11 FFT:n den snabba fouriertransformen DFT:n kräver n 2 räkneoperationer FFT:n (Fast Fourier Transform) reducerar antalet operationer till n log(n) Bygger på att dataserien halveras tills dess endast ett sampel återstår i varje sekvens DFT:n beräknas på varje delsekvens och summeras Sekvensens längd måste alltså vara en tvåpotens. Om den ej är det lägger man till nollor på slutet. 12 4

5 FFT:n Decimation-in-time: Dela upp x(n) i två serier (jämna och udda index): DFT:n för hela sekvensen blir summan: Beräkna och successivt på samma sätt och summera delsvaren 13 Z-transformen Antag att vi med perioden T samplat en signal vid N tillfällen och fått x[n] = {x[0], x[1],..., x[n-1]} Vi kan skriva sekvensen på kontinuerlig form mha impulser: 14 Z-transformen (forts) Om vi Laplacetransformerar signalen fås Vi inför nu subtitutionen och får Detta kallar vi för Z-transformen z -1 motsvarar ett tidsskift bakåt i tiden med ett samplingsintervall. 15 5

6 Z-transformen Z-transformens definition är således Varför Z-transformen? En samplad signals spektrum är periodiskt med 2π/T. Med Z-transformen avbildas hela jω-axeln på enhetscirkeln. 16 Frekvensbegrepp i digital signalbehandling Räknar vi i Hertz så gäller sambandet samplingsfrekvens/ samplingsperiod: Räknar vi med vinkelfrekvenser (rad/s) fås Är dessa frekvensbegrepp relevanta för samplade signaler? Varför (inte)? Vi normaliserar alla frekvenser m.a.p. samplingsfrekvensen. Antingen sätter vi den till 1, eller till 2π. 17 Frekvensbegrepp i digital signalbehandling Den vanligaste normaliseringen innebär att sätta samplingsfrekvensen till 2π enligt där är samplingsperioden 18 6

7 Differensekvationer De flesta diskreta LTI-system kan skrivas som en differensekvation: Systemets ordning är det större av N och M. Vad blir överföringsfunktionen H(z) för detta system? 19 Differensekvationer Systemets överföringsfunktion ges av System med både täljar- och nämnarpolynom kallas IIR-filter (Infinite Impulse Response) System med enbart täljarpolynom kallas FIR-filter (Finite Impulse Response) 20 Digitala filter Pol/nollställe-placering Fönstermetoden Systematisk design Bilinjär transform 21 7

8 Pol/nollställe-placering Kan användas för att intuitivt konstruera filter Ej en systematisk metod Lämpar sig bättre för modifieringar av givna filter 22 Fönstermetoden Starta från ett idealt lågpassfilters frekvenssvar Inverstransformera för att få motsvarande impulssvar Trunkera impulssvaret i tid och multiplicera eventuellt med en fönsterfunktion Fönstringen används för att undvika kraftiga diskontinuiteter i impulssvaret 23 Fönstermetoden 24 8

9 Fönstermetoden Metoden genererar endast FIR-filter Två parametrar: Gränsfrekvens Filtrets längd (samt fönsterfunktionens form) Ju längre fönster (och därmed filter) desto bättre överensstämmelse med idealt svar Stegsvaret degraderas likaledes med ringningar (overshoot) 25 Fönstermetoden Även andra former än det ideala LP-filtret kan användas med fönstermetoden Specificera en vektor med det önskade amplitudsvaret Specificera en vektor med den önskade fasgången Inverstransformera frekvenssvaret, trunkera och fönstra Verifiera frekvenssvaret 26 Systematisk design 1. Specificera önskade egenskaper såsom amplitud-, fasgång, filtertyp (FIR/IIR), filter ordning, feltolerans, etc. 2. Approximera designspecifikationen med ett implementerbart filter så att det resulterande frekvenssvaret möter spec:en enligt ett matematiskt optimeringskriterium. 27 9

10 Optimeringskriterier D(jω) = önskat frekvenssvar H(jω) = filtrets frekvenssvar W(jω) = frekvensviktning Felet = E(jω) = W(jω)[D(jω)- H(jω)] Medelkvadratkriteriet Chebyshev-normen 28 Bilinjär transform Analog filterkonstruktion är enkel att utföra i s-domänen. Den bilinjära transformen ger en övergång från ett analogt filter till ett motsvarande i diskret tid. Grundtanke: Vänstra halvplanet i s-planet mappas till insidan av enhetscirkeln i z-planet 29 Bilinjär transform Den bilinjära transformen är följande mappning mellan s och z: där är samplingsperioden Ett digitalt filter fås genom att substituera s i ett analogt filter enligt ovanstående formel 30 10

11 Bilinjär transform Frekvensaxeln avbildas på enhetscirkeln och trycks därmed ihop Därför förförvränger man kritiska frekvenser (gränsfrekvenser) enligt (där frekvenser) är normaliserade 31 Hur bestäms det önskade frekvenssvaret? Beror på tillämpningen, t ex Avfaltning (el utjämning, equalizer) = ogör oönskade filtreringar, t ex göra en suddig bild skarp förbättring av HiFi-utrustnings ljudkvalitet Störningsundertryckning = reducera inverkan av brus eller störande signaler, t ex reducera ljudet från en fläkttrumma dämpa nätbrum i ett EKG 32 Avfaltning Målet är att återskapa en signal som den var innan en oönskad filtrering, z[n] x[n] x[n] Oönskat filter y[n] Avfaltningsfilter z[n] A(z) B(z) X(z) A(z)X(z) Perfekt avfaltning: B(z) = A -1 (z) B(z)A(z)X(z) 33 11

12 Störningsundertryckning Målet är att reducera inverkan av en störande signal Ex. Dämpa ljudet från en fläkttrumma Störningskälla Motljudshögtalare Insignalsmikrofon W(z) Felmikrofon Undertryckningsfilter 34 Modell av störningsundertryckning Fläkttrumma Insignalsmikrofon x[n] P(z) u[n] + e[n] Felmikrofon W(z) y[n] H(z) Högtalare + fläkttrumma Mål: P(z)X(z) = - H(z)W(z)X(z), dvs W(z) = - P(z)H -1 (z) 35 12