Introduktion Digitala filter. Filter. Staffan Grundberg. 12 maj 2016

Transkript

1 12 maj 216

2 Innehåll Introduktion Första ordningens system Andra ordningens system Fördröjning Allmänt om filter Butterworthfilter

3 Första ordningens system Andra ordningens system Fördröjning Allmänt om filter Butterworthfilter Lågpassfilter i(t) R u in (t) +q q C u ut (t) Figur: Lågpassfilter.

4 Första ordningens system Andra ordningens system Fördröjning Allmänt om filter Butterworthfilter Lågpassfilter Kirchhoffs andra lag ger och där vilket ger (tidskonstant T = RC) u in (t) Ri(t) u ut (t) = (1) T du ut(t) dt i(t) = dq(t) dt (2) q(t) = Cu ut (t) (3) + u ut (t) = u in (t) (4)

5 Första ordningens system Andra ordningens system Fördröjning Allmänt om filter Butterworthfilter Lågpassfilter: Överföringsfunktion Laplacetransformen av exempelvis utsignalen definieras U ut (s) = L[u ut ] = u ut (t)e st dt (5) och Laplacetransformeras sambandet mellan in- och utsignal erhålls T (su ut (s) u ut ()) + U ut (s) = U in (s). (6) Om kondensatorn är urladdad initialt (t = ), ges utspänningen av där H(s) är överföringsfunktionen. U ut (s) U in (s) = H(s) = 1 st + 1, (7)

6 Första ordningens system Andra ordningens system Fördröjning Allmänt om filter Butterworthfilter Lågpassfilter: Impulssvar Observera att överföringsfunktionen H(s) är Laplacetransformen av impulssvaret h(t) H(s) = L[h] (8) eftersom Laplacetransformen av en impuls är 1.

7 Första ordningens system Andra ordningens system Fördröjning Allmänt om filter Butterworthfilter Lågpassfilter: Låg frekvens u (V) t (s) Figur: Insignal (heldragen kurva) och utsignal (streckad kurva) vid vinkelfrekvens ω =, 1 rad/s. Tidskonstant T = 1 s.

8 Första ordningens system Andra ordningens system Fördröjning Allmänt om filter Butterworthfilter Lågpassfilter: Medelhög frekvens u (V) t (s) Figur: Insignal (heldragen kurva) och utsignal (streckad kurva) vid vinkelfrekvens ω = 1 rad/s. Tidskonstant T = 1 s.

9 Första ordningens system Andra ordningens system Fördröjning Allmänt om filter Butterworthfilter Lågpassfilter: Hög frekvens u (V) t (s) Figur: Insignal (heldragen kurva) och utsignal (streckad kurva) vid vinkelfrekvens ω = 1 rad/s. Tidskonstant T = 1 s.

10 Första ordningens system Andra ordningens system Fördröjning Allmänt om filter Butterworthfilter Lågpassfilter: Fysikalisk tolkning Utspänningen, d.v.s. spänningen över kondensatorn, ges av u ut (t) = q(t) C = 1 C t i(t ) dt (9) och resistorn R begränsar strömmen eftersom spänningen över resistorn är u resistor (t) = Ri(t). (1) Varierar strömmen snabbt kommer det inte att hinna byggas upp tillräckligt mycket laddning på kondensatorplattorna för att (topp)spänningen över kondensatorn ska bli jämförbar med (topp)spänningen över resistorn

11 Första ordningens system Andra ordningens system Fördröjning Allmänt om filter Butterworthfilter Lågpassfilter: Frekvensegenskaper Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/s) Figur: Amplitudförstärkning och fasvridning vid olika frekvenser. Brytfrekvensen d.v.s. den frekvens vid vilken amplitudförstärkningen sjunkit med en faktor 2 eller 3 db är ω c = 1 rad/s. (Tidskonstant T = 1 s.)

12 Första ordningens system Andra ordningens system Fördröjning Allmänt om filter Butterworthfilter Lågpassfilter: Med insignalen u in (t) = u sin ωt (11) ges utsignalen efter att transienterna dött ut av u ut (t) = H(jω) u sin (ωt + φ(ω)) (12) där amplitudförstärkningen är H(jω) = 1 (ωt ) (13) och fasvridningen är φ(ω) = arg H(jω) = arctan (ωt ). (14)

13 Första ordningens system Andra ordningens system Fördröjning Allmänt om filter Butterworthfilter Lågpassfilter: Observera att frekvenssvaret H(jω) är Fouriertransformen av impulssvaret H(s) s=jω = F[h], (15) ty Laplacetransformen ges av H(s) = L[h] = och Fouriertransformen av F[h] = h(t)e st dt (16) h(t)e jωt dt. (17)

14 Första ordningens system Andra ordningens system Fördröjning Allmänt om filter Butterworthfilter Andra ordningens system: Elektrisk svängningskrets i(t) R u in (t) +q q C u ut (t) L Figur: Elektrisk svängningskrets.

15 Första ordningens system Andra ordningens system Fördröjning Allmänt om filter Butterworthfilter Elektrisk svängningskrets Kirchhoffs andra lag ger och där vilket ger u in (t) L di(t) dt Ri(t) u ut (t) = (18) i(t) = dq(t) dt (19) q(t) = Cu ut (t) (2) LC d 2 u ut (t) dt 2 + RC du ut(t) dt + u ut (t) = u in (t) (21)

16 Första ordningens system Andra ordningens system Fördröjning Allmänt om filter Butterworthfilter Andra ordningens system: Harmonisk oscillator k x b m F Newtons andra lag ger att förskjutningen x(t) från jämviktsläget ges av m d 2 x(t) dt 2 = kx(t) b dx(t) dt + F (t). (22)

17 Första ordningens system Andra ordningens system Fördröjning Allmänt om filter Butterworthfilter Andra ordningens system: Harmonisk oscillator Rörelseekvationen kan skrivas d 2 x(t) dt 2 + 2ζω dx(t) dt där den odämpade svängningsfrekvensen är + ωx(t) 2 = 1 F (t), (23) m ω = k m (24) och den relativa dämpningen är ζ = b 2mω. (25)

18 Första ordningens system Andra ordningens system Fördröjning Allmänt om filter Butterworthfilter Andra ordningens system: Harmonisk oscillator Överföringsfunktion H(s) = X (s) F (s) = 1 k ω 2 s 2 + 2ζω s + ω 2 (26) Poler i det underdämpade fallet ( < ζ < 1) s = ζω ± jω 1 ζ 2 = ζω ± jω d (27) s-planet ζω + jω d α ω ζω ζω jω d

19 Första ordningens system Andra ordningens system Fördröjning Allmänt om filter Butterworthfilter Andra ordningens system: Harmonisk oscillator Stegsvar ω 2 X (s) = 1 k s 2 + 2ζω s + ω 2 = F k F s ( 1 s (s + ζω ) + ζω (s + ζω ) 2 + ω 2 d ) (28) eller x(t) = F k = F k [ ( 1 e ζω t cos(ω d t) + ζω )] sin(ω d t) ω d [ ] 1 e ζω t sin(ω dt + α). (29) 1 ζ 2

20 Första ordningens system Andra ordningens system Fördröjning Allmänt om filter Butterworthfilter Andra ordningens system: Harmonisk oscillator kx(t)/f ζ=.2 ζ=.4.2 ζ=.6 ζ= ω t Figur: Stegsvar för underdämpade andra ordningens system.

21 Första ordningens system Andra ordningens system Fördröjning Allmänt om filter Butterworthfilter Andra ordningens system: Resonans 4 Bode Diagram 35 Bode Diagram Magnitude (db) 2-2 Magnitude (db) Phase (deg) Phase (deg) Frequency (rad/s) Frequency (rad/s) Figur: Frekvensegenskaper för en svagt dämpad harmonisk oscillator med ζ =, 1 och odämpad svängningsfrekvens ω = 1 rad/s. Bredden på toppen (-3 db från maximum) är ca ω=,2 rad/s och kvalitetsfaktorn blir Q = ω /( ω) 5.

22 Första ordningens system Andra ordningens system Fördröjning Allmänt om filter Butterworthfilter Andra ordningens system: Resonans Kvalitetsfaktorn kan också definieras som energin hos den harmoniska oscillatorn dividerat med det arbete som friktionskraften utför under tiden 1/ω Q = (1/2)mv 2 + (1/2)kx 2 = mω bv v /ω b = 1 2ζ, (3) där vinkelparenteserna markerar ett tidsmedelvärde över en period.

23 Första ordningens system Andra ordningens system Fördröjning Allmänt om filter Butterworthfilter Fördröjning Om insignalen består av en bärvåg med frekvens ω modulerad en långsamt varierande signal a(t) u(t) = a(t) cos (ωt) (31) blir utsignalen efter att ha passerat ett filter med frekvenssvar H(jω) y(t) = H(jω) a(t τ g ) cos (ω (t τ p )), (32) där (fas)fördröjningen ges av och gruppfördröjningen av τ p = φ(ω) ω (33) τ g = dφ(ω) dω. (34)

24 Första ordningens system Andra ordningens system Fördröjning Allmänt om filter Butterworthfilter Fördröjning (forts.) 1.8 Insignal Utsignal Amplitud t (s) Figur: Bärvågen och den modulerande signalen fördröjs med τ p respektive τ g efter att ha passerat genom ett filter.

25 Första ordningens system Andra ordningens system Fördröjning Allmänt om filter Butterworthfilter Passband Definition (Passband) Passbandet är det frekvensintervall inom vilket periodiska signaler kan passera opåverkade genom systemet (filtret). Amplitudförstärkningen H(jω) som funktion av frekvensen ω är i det närmaste konstant och fasvridningen φ(ω) är nära proportionell mot frekvensen.

26 Första ordningens system Andra ordningens system Fördröjning Allmänt om filter Butterworthfilter Stoppband och övergångsband Definition (Stoppband) Periodiska signaler med frekvenser i det frekvensintervall som motsvarar stoppbandet dämpas ut av systemet (filtret). I stoppbandet är förstärkningen H(jω) liten jämfört med i passbandet. Definition (Övergångsband) Övergångsbandet (eng. transition band) är det frekvensintervall som ligger mellan pass- och stoppbanden.

27 Första ordningens system Andra ordningens system Fördröjning Allmänt om filter Butterworthfilter Brytfrekvens Definition (Brytfrekvens) Brytfrekvensen ω c är den frekvens vid vilken förstärkningen H(jω c har sjunkit med en faktor 1/ 2 (ca 3 db) från det maximala värdet H max, d.v.s till H max / 2. Det maximala värdet H max är Lågfrekvensförstärkningen H(j) för lågpassfilter Högfrekvensförstärkningen för högpassfilter Det största värdet på förstärkningen i passbandet för bandpassfilter

28 Första ordningens system Andra ordningens system Fördröjning Allmänt om filter Butterworthfilter Bandbredd Bandbredden är ett mått på frekvensomfånget hos passbandet. För lågpassfilter är bandbredden lika med brytfrekvensen eftersom passbandet omfattar även de lägsta frekvenserna. För bandpassfilter är bandbredden differensen ω c2 ω c1 mellan passbandet två brytfrekvenser ω c2 > ω c1.

29 Första ordningens system Andra ordningens system Fördröjning Allmänt om filter Butterworthfilter Bandbredd. Exempel Bode Diagram -1-2 Magnitude (db) ω c1 ω c Frequency (rad/s) Figur: Exempel på ett bandpassfilter med bandbredd ω c2 ω c1 = 5 rad/s 2 rad/s = 3 rad/s.

30 Första ordningens system Andra ordningens system Fördröjning Allmänt om filter Butterworthfilter Butterworthfilter Ett Butterworthfilter av ordning N och brytfrekvens ω c har amplitudförstärkningen H(jω) = (ω/ω c ) 2N. (35) Polerna ligger på en halvcirkel med radie ω c i vänstra halvplanet. Karakteristiskt för Butterworthfiltret är dess flacka passband.

31 Första ordningens system Andra ordningens system Fördröjning Allmänt om filter Butterworthfilter Butterworthfilter: Exempel 1 Pole-Zero Map 2 Bode Diagram.8 Imaginary Axis (seconds -1 ) Magnitude (db) Real Axis (seconds -1 ) Frequency (rad/s) Figur: Exempel med ett Butterworthfilter av ordning N = 8 och brytfrekvens ω c = rad/s. Till vänster visas polernas lägen på en halvcirkel i vänstra halvplanet. Det flacka passbandet åskådliggörs av Bodediagrammet till höger.

32 Peiodisk insignal Ett stabilt tidsdiskret system med överföringsfunktion H(z) och insignalen u[n] = sin (Ωn) = 1 ( e jωn e jωn) (36) 2j har utsignalen ( ) y[n] = H(e jω ) sin Ωn + arg H(e jω ) (37) efter att de transienta bidragen dött ut.

33 Obeservera att frekvenssvaret H(e jω ), d.v.s. överföringsfunktionen beräknad på enhetscirkeln, är lika med Fouriertransformen av filtrets impulssvar H(z) z=e jω = F[h] = h[n]e jωn (38) n=

34 Geometrisk tolkning Genom att skriva överföringsfunktionen som M n=1 H(z) = K (z c n) N n=1 (z p n) (39) kan frekvenssvarets belopp skrivas M H(e jω n=1 ) = K z c n N n=1 z p n z=e jω (4)

35 Exempel 1 Pole-Zero Map.8.6 Imaginary Axis c p 1 z -.4 p Real Axis Figur: Geometrisk tolkning av beräkning av amplitudförstärkningen. I täljaren finns en produkt av avstånden från nollställena till punkten z på enhetscirkeln och i nämnaren finns produkten av avstånden från polerna till z.

36 Exempel 2 Magnitude (db) Normalized Frequency ( π rad/sample) Phase (degrees) Normalized Frequency ( π rad/sample) Figur: Frekvensegenskaper hos ett första ordningens filter med överföringsfunktionen H(z) = 1 z,8.

37 Exempel 1 Pole-Zero Map Imaginary Axis Real Axis Figur: Poler hos ett andra ordningens filter med överföringsfunktionen H(z) = ( z 2 2zr cos θ + r 2) 1, där θ = π/4 och r =, 8.

38 Exempel 2 Magnitude (db) Normalized Frequency ( π rad/sample) Phase (degrees) Normalized Frequency ( π rad/sample) Figur: Frekvensegenskaper hos ett andra ordningens filter med överföringsfunktionen H(z) = ( z 2 2zr cos θ + r 2) 1, där θ = π/4 och r =, 8.

39 Exempel s[n] n Figur: Stegsvar hos ett andra ordningens filter med överföringsfunktionen H(z) = ( z 2 2zr cos θ + r 2) 1, där θ = π/4 och r =, 8.

40 Exempel 1 Pole-Zero Map Imaginary Axis Real Axis Figur: Poler och nollställen hos ett andra ordningens s.k. notchfilter med överföringsfunktionen H(z) =.927z z+.927 z z

41 Exempel Magnitude (db) Normalized Frequency ( π rad/sample) 1 Phase (degrees) Normalized Frequency ( π rad/sample) Figur: Frekvensegenskaper hos ett andra ordningens s.k. notchfilter med överföringsfunktionen H(z) =.927z z+.927 z z

42 Finite Impulse Response (FIR) Impulssvaret har en ändlig varaktighet. Digitala system utan återkoppling av utsignalen är av FIR-typ. Stabila: Eftersom inpulssvaret har ändlig varaktighet kan man finna ett M > så att n= h[n] < M. (Alternativ motivering: Polerna ligger i z =.) Kan designas så att fasen blir en linjär funktion av frekvensen. (Impulssvaret måste vara symmetriskt.)

43 Glidande medelvärde Det glidande medelvärdet av det aktuella insignalvärdet u[n] och de vid de N 1 föregående tidsstegen {u[p]} n 1 p=n N+1 ges av y[n] = 1 N N 1 k= u[n k]. (41) Ett system som beräknar det glidande medelvärdet av N värden har följaktligen impulssvaret h[n] = { 1 N. n =,..., N 1, n < eller n > N 1 (42)

44 Glidande medelvärde et blir H(e jω ) = e j(n 1)Ω/2 N sin (NΩ/2) sin (Ω/2) (43)

45 Glidande medelvärde H(e jω ) (db) Ω 1 argh(e jω ) Ω Figur: för ett medelvärdesfilter med N = 5.

46 Lågpassfilter Ett idealt lågpassfilter med brytfrekvens Ω c skulle ha frekvenssvaret { H(e jω 1, Ω Ωc ) =, Ω c < Ω < π, (44) men motsvarande impulssvar h ideal [n] = 1 Ωc H(e jω )e jωn dω = sin (Ω cn) 2π Ω c πn (45) indikerar att systemet vare sig är kausalt eller har ändligt impulssvar (FIR).

47 Lågpassfilter Approximation: Fördröj impulssvaret med m tidssteg { sin(ωc(n m)) h d [n] = π(n m), n m Ω c π, n = m (46) = Ω ( ) c π sinc Ωc (n m) (47) π och ta endast med de N = 2m + 1 tidsstegen n =, 1,..., 2m, d.v.s. fönstra med ett rektangulärt fönster av längd N { 1, n =,..., 2m w[n] =, annars (48)

48 Vad är sinc? Här används definitionen sinc(x) = sin (πx) πx i likhet med Matlab. Fördelen är att man undviker division med noll vid numeriska beräkningar eftersom man definierar att värdet vid x = är lika med gränsvärdet (49) sinc() = 1. (5) Denna definition av sinc-funktionen används inom signalbehandling. Observera att det förekommer andra definitioner.

49 Exempel: Lågpassfilter Ett lågpassfilter av FIR-typ med Ω c = π/4 och m = 16 kan realiseras mha följande matlabkod: wn=.25; %Brytfrekvens i enheten pi rad/sampel m=16; n=:2*m; h=wn*sinc(wn*(n-m)); figure(1); stem(n,h); figure(2); freqz(h);

50 Exempel: Lågpassfilter h[n] Magnitude (db) Phase (degrees) Normalized Frequency ( π rad/sample) n Normalized Frequency ( π rad/sample) Figur: Impulssvar och frekvenssvar för lågpassfilter av FIR-typ med Ω c = π/4 och m = 16.

51 Exempel: Lågpassfilter med Hammingfönster Exempel (Fönster) FIR-filtret i föregående exempel kan kompletteras genom att använda ett annat fönster än det rektangulära, i detta fall ett Hammingfönster. wn=.25; %Brytfrekvens i enheten pi rad/sampel m=16; N=2*m+1; n=:2*m; h=fir1(2*m,wn,hamming(n)); figure(1); stem(n,h); figure(2); freqz(h);

52 Exempel: Lågpassfilter med Hammingfönster w[n] n Figur: Hammingfönster av längd N = 33.

53 Exempel: Lågpassfilter med Hammingfönster h[n] Magnitude (db) Normalized Frequency ( π rad/sample) n Phase (degrees) Normalized Frequency ( π rad/sample) Figur: Impulssvar och frekvenssvar för lågpassfilter av FIR-typ med Ω c = π/4 och m = 16. Hammingfönstret dämpar imulssvaret vid början och slutet. Jämfört med ett rektangulärt fönster har dämpningen i stoppbandet ökat, men övergångsbandet har istället blivit bredare.

54 Infinite Impulse Response (IIR) Impulssvar med oändlig varaktighet Analoga system, t.ex. elektriska kretsar med resistorer, kondensatorer och spolar, har oändligt impulssvar (IIR). Digitala system med återkoppling av utsignalen har poler utanför z = och därmed impulssvar med oändlig varaktighet (IIR).

55 Bilinjär transformation Avbildning av vänstra halvplanet på enhetscirkeln s = 2 T s 1 z z 1 (51) Samband mellan tidskontinuerlig och tidsdiskret frekvens ( ) ωt s Ω = tan 2 2 (52)

56 Bilinjär transformation Is Iz 1 Rs -1 1 Rz -1 Figur: Bilinjär trnaformation. Vänstra halvplanet i s planet avbildas på enhetscirkeln i z-planet.

57 Exempel: Digitalt Butterworthfilter Exempel Konstruera ett digitalt lågpassfilter av typen Butterworth med samplingsfrekvensen f s =, 5 Hz. Välj gradtalet n = 2 och brytfrekvens Ω c = π/4. Lösning Brytfrekvensen hos det motsvarande analoga Butterworthfiltret blir ω c = 2 ( ) Ω tan =, 4142 rad/s (53) T s 2

58 Exempel: Digitalt Butterworthfilter Det analoga Butterworthfiltret får överföringsfunktionen H c (s) =.1716 s s och mha bilänjär transformation beräknas det analoga filtrets överföringsfunktion. (54) H d (z) = H c (s) z= 2 z 1 Ts z (z + 1) 2 = z z Beräkningarna kan exempelvis utföras med matlabkommandot butter. (55) (56)

59 Exempel: Digitalt Butterworthfilter Pole-Zero Map Magnitude (db) -5-1 Imaginary Axis Phase (degrees) Normalized Frequency ( π rad/sample) Real Axis Normalized Frequency ( π rad/sample) Figur: Digitalt butterworthfilter av andra ordningen med samplingsfrekvens,5 Hz och brytfrekvens.3927 rad/s (Ω c = π/4). Polernas och nollställenas positioner presenteras till vänster och filtrets frekvenssvar till höger.

60 Tillståndsmodeller Alternativ beskrivning av LTI-system Mer generell beskrivning än t.ex. överföringsfunktioner Används ofta vid numeriska beräkningar

61 Starting from the difference equation Consider a difference equation y[k]+a 1 y[k 1]+...+a n y[k n] = b u[k]+ b 1 u[k 1]+...+ b n u[k n]. (57) The z-transform of the output is given by where d = b is the feedthrough term and V (z) = B(z) A(z) U(z) = corresponding to the difference equation Y (z) = V (z) + du(z), (58) b 1z b n z n 1 + a 1 z 1 U(z) (59) a n z n v[k] + a 1 v[k 1] a n v[k n] = b 1 u[k 1] b n u[k n]. (6)

62 State vector The state space variables are defined as X i (z) = z i U(z), i = 1,..., n, (61) A(z) so clearly and x i [k] = x i 1 [k 1], i = 2,..., n (62) x 1 [k] = a 1 x 1 [k 1] a 2 x 2 [k 1]... a n x n [k 1]+u[k 1] (63)

63 State space model In terms of the state vector x[k] = (x 1 [k],..., x n [k]) T this can be written as a state space model x[k] = Ax[k 1] + Bu[k 1] y[k] = Cx[k] + Du[k], (64) where A = a 1 a 2... a n 1 a n (65)

64 B = 1. C = (b 1, b 2, b 3,..., b n ) D = d (66)

65 The block diagram is shown in the Figure below y d b 1 b 2 b n u + x z 1 1 x z 1 2 x z 1 n a 1 a 2 a n Figur: Block diagram for state space model on controllable canonical form.