SF1635, Signaler och system I

Transkript

1 SF65, Signaler och system I Tentamen tisdagen 4--4, kl 8 Hjälpmedel: BETA Mathematics Handbook. Formelsamling i Signalbehandling rosa), Formelsamling för Kursen SF65 ljusgrön). Obs : Obs : Obs : Obs 4: Uppgifterna är ordnade varken kurskronologiskt eller efter svårighetsgrad. Behandla inte mer än en uppgift per blad. Varje steg i lösningen skall motiveras. Bristfällig motivering kan ge poängavdrag. Förenkla svaren så långt som möjligt! Ange vad införda beteckningar, som inte är standard, står för. Skriv namn och personnummer på varje inlämnat ark. Fyll i antalet inlämnade ark på omslaget. Tentamen består av 6 uppgifter, vilka sammanlagd ger 5 poäng. Efter tentamens slut publiceras ett lösningsförslag på nätet. Betygsgränser: För betyg A B C D E FX krävs poäng inkl bonus) Ansvarig: Franz J ƒech ) Bestäm värdet av y för vilket lösningen till begynnelsevärdesproblemet y y = + sin x, y) = y är begränsad då x och ange lösningen. [6p] v g v

2 ) Bestäm lösningen till ODE x y + 6xy + 4y = ln x, x > uppfyllande y) = 5 8, y ) = och där vi vet att y x) = x och y x) = x 4 är två lösningar till den homogena ekvationen. [7p] ) Bestäm alla reellvärda funktioner xt) och yt) som satiserar systemet x = x 4y y = x y Skissa också ett kvalitativt riktigt fasporträtt för systemet. Porträttet skall innehålla minst banor där en skall gå genom punkten x) =, y) = Ange med pilar på minst en bana åt vilket håll den genomlöps då t växer. Klassicera lösningen med avseende på typ och stabilitet. [9p] 4) Givet funktioner xt) = Ut) och ht) = e t Ut) e t U t) bestäm faltningen yt) = x h)t) samt rita en tydlig gur av svaret. [9p] 5) Bestäm lösningen till begynnelsevärdesproblemet [9p] y + y + y = Ut ) + δt 5) + e t Ut π), y) =, y ) =. 6) Den stationära signalen xt) = cosπt) + 5 sin 6πt π ) + cosπt) samplas med frekvensen f s = 5 Hz och rekonstrueras sedan m h a ett idealt lågpasslter med gränsfrekvensen B=5 Hz och höjden T = /f s = /5. Den resulterande signalen kallar vi y rek t). a) Vilket är frekvensinnehållet i signalen y rek t)? Med frekvensinnehållet till en signal y rek t) menas mängden av frekvenser f för vilka signalens transform Y rek f). [4p] b) Bestäm den reella signalen y rek t). [6p] Lycka till! Franz J

3 SF65, Signaler och system I LÖSNINGSFÖRSLAG till Tentamen 44 ) Lösning Vi löser problemet m h a integrerande faktorn px) = e x och får sambandet e x y) = e x + e x sin x ) ) sin x + cos x e x y = e x e x + c ) ) yx) = sin x + cos x) + c e x ) Om yx) skall vara begränsad så måste c =, vilket leder till som ger svaret y) = = y 4) y = 5 och yx) = ) sin x + cos x) ) Lösning Vi börjar som vanligt med att skriva ODE'n på standardform y + 6 x y + 4 x y = ln x x, x > 5) Därefter ansätter vi, där vi väljer den 'enklare' av de givna lösningarna, yx) = zx)y = zx)x = y = z x zx = y = z x z x + zx Insättning i ekv5) leder till z x + 4z x = x ln x = z + 4 x z = ln x x som vi löser m h a den integrerande faktorn px) = e 4/x)dx = x 4 = z x 4 ) = ln x x x4 7) och erhåller först, se BETA, avsnitt 7.4, n =, a =, x ln xdx = x 4 ln x/4 /6) + C ln x z x 4 = x ln xdx = x 4 4 ) + C 8) 6 och efter hyfsning och integration z = = x ln x Detta resulterar i den allmänna lösningen 6) 5x 8 C x + C 9)

4 y allm x) = ln x C x + C 4 x med C = C Insättning av y) = 5 8, y ) = leder till slut till svaret yx) = ln x x 4 x ) Lösning i) Egenvärden fås m h a sambanden: λ 4 det A λi) = λ = λ + λ + 5 = som ger egenvärdena λ, = ± i, där λ = i leder i sin tur till ii) egenvektorn v : ) ) ) + + i 4 v i = = v +iv =, = v = ; + + i v Detta resulterar i ) { ) )} i X t) = e i)t = e t + i cos t i sin t)) ) ) sin t cos t = e t + ie t ) cos t sin t iii) Från teorien vet vi att den allmänna lösningen fås via X allm t) = c Re{X t)} + c Im{X t)} ) som i vårt fall, se ekv), ger svaret i matrisform ) ) sin t cos t X allm t) = c e t + c e t cos t sin t iv) Svaret ovan ger ) ) ) X) = = c + c = c =, c = ) som leder till kurvan som är utritad blått i fasporträttet, ) sin t Xt) = e t cos t 4)

5 Figur : x = x 4y, y = x y v) Eftersom våra egenvärden har negativ realdel blir slutsatsen att origo är en stabil spiralpunkt. 4) Lösning Vi löser problemet först m h a Fourier-transformen, den andra metoden är att använda sig av faltningen i tidsplanet, som vi tar därefter. Metod I: Vi vet att F yt) = x h)t) Y ω) = Xω)Hω) F yt) 5) alltså börjar vi med, se BETA, Xω) = πδω) + jω, Hω) = + jω jω Y ω) = πδω) + ) jω + jω ) jω = πδω) + jω ) ) + jω jω + jω ) jω = πδω) + jω jω + jω 6) 7) 8) 9) där vi använde partialbråksuppdelning m a p jω på andra delen av sambandet 8) Enkel tabellslagning i BETA ger svaret yt) = Ut) e t U t) e t Ut) Figur visar funktionerna xt), ht) och yt) = x h)t)

6 Faltningen yt) = x h)t).5 xt).5.5 yt) ht).5 Figur : Metod II: Här gäller det att studera faltningsintegralen y = xt τ)hτ)dτ ) xt τ), t = s τ = t hτ) τ τ xt τ), t = +s τ = t hτ) τ τ Figur : a) Steg : y t), t < : se gur, övre 4

7 y = t< b) Steg : y t), t > : se gur, nedre e τ dτ = = e t ) y = t> hτ)dτ = e τ dτ + t e τ dτ = ) =... = + e t ) = e t ) som ger naturligtvis samma svar som i Metod I, röda linjen i gur. 5) Lösning L -transformering av den givna ODE leder till s Y s) sy) y ) + sy s) y) + Y s) = e 5s + e s s Insättning av begynnelsevärden ger π e πs + e s + 4) Alltså fås lösningen i s-planet s + s + )Y s) = e 5s + e s s π e πs + e s + 5) e πs /) + e 5s Y s) = s + )s + ) + e s ss + )s + ) + e π s + ) s + ) 6) och nu ger BETA, avsnitt.5, s + )s + ) ss + )s + ) s + ) s + ) e T s F s) L e t + e t 7) L e t e t + ) 8) L e t e t + te t 9) L { ft T ), t > T ;, t < T. ) Insättning av dessa samband i ekv6) resulterar i svaret y = e t e t ) Ut) + e t 5) e t 5)) Ut 5) + e t ) e t ) + ) Ut ) + e π e t π) e t π) + t π)e t π)) Ut π) 5

8 6) Lösning Det enklaste sättet att beräkna de intressanta frekvenserna är via Fourier-transformen av den samplade signalen: X s f) = Xf mf s ) ) T alltså börjar vi med a) m= Xf) = δf ) + δf + )) ) δf )e jπ/ δf + )e jπ/) ) + 5 j + δf 6) + δf + 6)) 4) Sampling av xt) med f s = 5Hz ger en signal vars frekvensinnehåll är den f s -periodiska fortsättningen till X:s frekvensinnehåll, se ekv). Frekvenserna blir nu ±+m5, ±+m5 och ±6+m5, m heltal. Vid applicering av LP-ltret kapas alla frekvenser utanför intervallet f < 5Hz. Återstår frekvenserna b) Resultaten i a) leder till f = ±Hz och ± Hz Y rek f) = δf ) + δf + )) 5) δf + )e jπ/ δf )e jπ/) 6) + 5 j + δf ) + δf + )) 7) Först observerar vi att sambandet 6) står för Fourier-transformen av 5 sin4πt + π/)!! och inverstransformering av Y rek f) ger nu svaret y rek t) = cosπt) 5 sin 4πt + π ) Nedanstående gur 4 visar amplitudspektra för xt) och y rek t) Kommentar: Man kan också få fram sinus bidraget i svaret genom att studera 5 sin π 5)t π ) = 5 sin π )t π ) 8) = 5 sin 4πt + π ) 9) v s v. 6

9 Xf) Y rek f) Amplitudspektrum av xt) ) ) ) ) ) ) Frekvens khz) Amplitudspektrum av y rek t), F s = 5 Hz) + ) +) ) ) LP T = Frekvens khz) Figur 4: 7