Övningar i Reglerteknik. Differentialekvationer kan lösas med de metoder som behandlades i kurserna i matematisk analys. y(0) = 2,

Transkript

1 Differentialekvationer Övningar i Reglerteknik Differentialekvationer kan lösas med de metoder som behandlades i kurserna i matematisk analys.. Lös följande begynnelsevärdesproblem dy dt y =, t > 0 y(0) =. Lös följande begynnelsevärdesproblem d y dt 5dy dt 6y = 3, t > 0 dy y(0) =, dt (0) = Laplacetransformation Ett användbart verktyg vid lösning av differentialekvationer (linjära och tidsinvarianta) är den s.k. laplacetransformationen. Den definieras på följande sätt: F (s) = L(f(t)) = 0 e st f(t)dt Från en funktion f(t), där t är tid, skapas en ny funktion F (s) som beror av en variabel s. För att integralen skall vara konvergent krävs att f(t) är 0 för tider t < 0. I själva verket kan s vara ett komplext tal och för att integralen ovan skall konvergera krävs dessutom att realdelen av s är större än 0 (Re s σ 0 > 0). Ytterligare ett krav på f(t) är då att f(t) Ke σt där K > 0 och σ < σ 0. Funktionen F (s) kallas laplacetransformen av f(t). 3. Beräkna laplacetransformen av den s.k. enhetsstegfunktionen θ(t) definierad enligt { 0 t < 0 θ(t) = t 0

2 . Beräkna laplacetransformen av e at θ(t) där a är ett reelt tal. Den viktigaste egenskapen hos laplacetransformationen är hur den fungerar på tidsderivatan av en funktion: ( ) df L dt (t) st df = e dt (t)dt 0 = [ e st f(t) ] 0 0 = lim e st f(t) f(0) t = f(0) s 0 = f(0) sl(f(t)) d dt (est )f(t)dt 0 e st f(t)dt se st f(t)dt 5. Beräkna med hjälp av denna regel vad L(y(t)) = Y (s) blir för det y som uppfyller ekvationen i uppgift. 6. Beräkna med hjälp av resultatet från uppgifterna och 5 vad y(t) i uppgift blir. För andraderivatan gäller följande regel: ( ) d f L = s L(f(t)) sf(0) df dt dt (0) 7. Visa denna regel. 8. Lös uppgift genom att utnyttja laplacetransformation och reglerna för tidsderivering.

3 Överföringsfunktion Ett bekvämt sätt att beskriva något som reagerar på en inkommande signal och ger ifrån sig en annan signal är att använda ett blockschema: u(t) G(s) y(t) Figur : Blockschema för enkelt system. Här är insignalen u(t) och utsignalen y(t). Lådan skall symbolisera trögheten i systemet. Om både u(t) och y(t) är noll för negativa tider t < 0 och systemet är både linjärt och tidsinvariant så gäller sambandet L(y(t)) = G(s)L(u(t)) där G(s) är den s. k. överföringsfunktionen. Detta kan även skrivas Y (s) = G(s)U(s) om man inför beteckningarna L(u(t)) = U(s) och L(y(t)) = Y (s). Vid beräkningen av överföringsfunktionen tar man inte hänsyn till begynnelsevärdena utan man bryr sig bara om hur själva insignalen u(t) påverkar systemet. Alla begynnelsevärden sätts därför till Beräkna överföringsfunktionen för de system vars samband mellan in- och utsignal ges av: ẏ(t) y(t) = u(t) ẏ(t) y(t) = u(t) c. ÿ(t) 5ẏ(t) 6y(t) = 3u(t) d. ÿ(t) ẏ(t) = u(t) u 3

4 0. Beräkna laplacetransformationerna av följande tidsfunktioner (signaler): 3 t 3 t c. 3 t

5 . Bestäm poler och nollställen till följande överföringsfunktioner: 0s s 5 d. s 7s s (s ) c. e. s s 3s s s f. s. Bestäm impulssvar och stegsvar för de system vars överföringsfunktion är given enligt: s d. s 6 s 9 3 s e. s(s ) s c. s s 3 f. s 6 s s 0 3. Bestäm rampsvaret för det system vars insignal u(t) och utsignal y(t) uppfyller följande samband: d y dy (t) (t) y(t) = u(t) dt dt. Bestäm utsignalen y(t) när insignalen är u(t) = e t θ(t) för det system som beskrivs av differentialekvationen ÿ ẏ y = u u 5. Bestäm stegsvaret för det system som beskrivs av Y (s) = s ( s) U(s) där U(s) är insignalens laplacetransform och Y (s) är utsignalens. 6. Avgör för vart och ett av följande system om stegsvaret går mot ett ändligt värde och ange i så fall detta värde: 0s s 5 d. s 7s s (s ) c. e. s 5 s 3s s s f. s

6 7. Ange vad utsignalen blir från vart och ett av följande system blir då insignalen är 5 sin t i de fall då utsignalen efter ett tag består av en rent sinusformad signal. d. s s e. 8 c. s (s ) s s s f. (s ) s 8. Vad blir utsignalen y(t) från systemet då insignalen är u(t) = sin t θ(t) u(t) = sin t θ(t) d y dt y = u 9. Vad blir utsignalen y(t) från systemet då insignalen är u(t) = (θ(t) y(t))? dy dt y = u 0. Bestäm överföringsfunktionerna från r(t) till y(t) och från v(t) till u(t) för följande system: F(s) V(s) R(s) r U(s) Y(s) 6

7 . Bestäm överföringsfunktionen från r(t) till y(t) i följande fall: R(s) Y(s) 3 R(s) Y(s) 3 F(s) 7

8 . Bestäm överföringsfunktionerna från u(t) till x(t) och från v(t) till y(t) för följande system: 3. Bestäm överföringsfunktionen från r(t) till e(t) i följande reglersystem då R(s) E(s) Regulator R U(s) Process P Y(s) G R (s) = och G P (s) = 5 s3 G R (s) = /s och G P (s) = (s)(0s) 8

9 . Nedanstående figur beskriver styrningen av ett fartyg. M(t) v ψ r Regulator Roderservo Omv.faktor Fartyg e(t) u(t) r(t) M(t) ψ Följande dynamiska samband gäller: u = 0.5e 5ṙ r = 0.u(t) 00 ψ ψ = 0.M(t) Omvandlingsfaktor = 000 Beräkna överföringsfunktionen från börvärdet ψ r till ψ Beräkna överföringsfunktionen från störmomentet M v (t) till ψ. 9

10 5. Para ihop vart och ett av följande stegsvar.5 A.5 B C.5 D med någon av följande överföringsfunktioner: G(s) = G(s) = s s s s d. G(s) = s e. G(s) = 5s c. G(s) = f. G(s) = s e5s (5s )(s 0.s ) 0