Reglerteknik I: F2. Överföringsfunktionen, poler och stabilitet. Dave Zachariah. Inst. Informationsteknologi, Avd. Systemteknik

Transkript

1 Reglerteknik I: F2 Överföringsfunktionen, poler och stabilitet Dave Zachariah Inst. Informationsteknologi, Avd. Systemteknik 1 / 16

2 Linjära systemmodeller Linjära tidsinvarianta modeller är användbara och träffsäkra nog för många reglertillämpningar. u(t) G y(t) Linjära ODE:er är en beskrivning av relationen mellan in- och utsignal, dvs. G: d n dt n y + + a d n 1 dt y + a d m ny = b 0 dt m u + + b d m 1 dt u + b mu med initialvillkor. 2 / 16

3 Linjära systemmodeller Linjära tidsinvarianta modeller är användbara och träffsäkra nog för många reglertillämpningar. u(t) G y(t) Linjära ODE:er är en beskrivning av relationen mellan in- och utsignal, dvs. G: d n dt n y + + a d n 1 dt y + a d m ny = b 0 dt m u + + b d m 1 dt u + b mu med initialvillkor. Sällan praktisk för analys och design i reglering! 2 / 16

4 Laplacetransformen Används som verktyg för att lösa samt analysera linjära ODE:er Beteckning: y(t) L L [y(t)] = Y (s) 3 / 16

5 Laplacetransformen Används som verktyg för att lösa samt analysera linjära ODE:er Beteckning: y(t) L L [y(t)] = Y (s) Definition: Inverstransform: Y (s) = L[y(t)] = y(t) = L 1 [Y (s)] = 1 2πi 0 y(t)e st dt, C Y (s)e st ds, Notera att s och Y (s) är komplexvärda! s C s C 3 / 16

6 Viktiga egenskaper linjäritet: derivator: integralen: faltning: slutvärdesteor.: y(t) = αx(t) + βz(t) t 0 t 0 dy dt d 2 y dt 2 y(τ)dτ x(τ)z(t τ)dτ. L Y (s) = αx(s) + βz(s) L sy (s) y(0) L s 2 Y (s) sy(0) ẏ(0) L 1 s Y (s) L X(s)Z(s) lim y(t) = limsy (s) t s 0 4 / 16

7 Lösning av linjär ODE Exempel på begynnelsevärdesproblem: d 2 dt 2 y + 2 d dt y + 3y = 4 d u + 5u, u(t), y(0), ẏ(0) givna dt 5 / 16

8 Lösning av linjär ODE Exempel på begynnelsevärdesproblem: d 2 dt 2 y + 2 d dt y + 3y = 4 d u + 5u, u(t), y(0), ẏ(0) givna dt Laplacetransformera ODE:en = V.L. = s 2 Y (s) sy(0) ẏ(0) + 2 (sy (s) y(0)) + 3Y (s) = (s 2 + 2s + 3)Y (s) (s + 2)y(0) ẏ(0) H.L. = 4 (su(s) u(0)) + 5U(s) = (4s + 5)U(s) 4u(0) 5 / 16

9 Lösning av linjär ODE Exempel på begynnelsevärdesproblem: d 2 dt 2 y + 2 d dt y + 3y = 4 d u + 5u, u(t), y(0), ẏ(0) givna dt Laplacetransformera ODE:en = V.L. = s 2 Y (s) sy(0) ẏ(0) + 2 (sy (s) y(0)) + 3Y (s) = (s 2 + 2s + 3)Y (s) (s + 2)y(0) ẏ(0) H.L. = 4 (su(s) u(0)) + 5U(s) = (4s + 5)U(s) 4u(0) Sätt V.L. = H.L. och lös ut Y (s): Y (s) = 4s + 5 s 2 + 2s + 3 U(s) + s + 2 s 2 + 2s + 3 y(0) + 1 s 2 (ẏ(0) 4u(0)) + 2s + 3 U(s), u(0), y(0) och ẏ(0) är kända använd L 1 -transformen (tabell) för att få fram y(t). 5 / 16

10 Överföringsfunktionen Studera effekten av insignalen u, bortse från begynnelsevärdena anta t.ex. att y(0) = ẏ(0) = = 0 och u(0) = u(0) = = 0: Y (s) = 4s + 5 s 2 U(s) = G(s)U(s) + 2s + 3 G(s) är systemets överföringsfunktion. Y (s) = G(s)U(s) är en modell som beskriver sambandet mellan systemets insignal u och utsignal y. 6 / 16

11 Överföringsfunktionen Ett system som beskrivs av en linjär ODE d n dt n y + + a d n 1 dt y + a d m ny = b 0 dt m u + + b d m 1 dt u + b mu med begynnelsevärden 0. Laplacetransform av båda leden: (s n + + a n 1 s + a n )Y (s) = (b 0 s m + + b m 1 s + b m )U(s) 7 / 16

12 Överföringsfunktionen Ett system som beskrivs av en linjär ODE d n dt n y + + a d n 1 dt y + a d m ny = b 0 dt m u + + b d m 1 dt u + b mu med begynnelsevärden 0. Laplacetransform av båda leden: (s n + + a n 1 s + a n )Y (s) = (b 0 s m + + b m 1 s + b m )U(s) Systemets överföringsfunktionen blir en rationell funktion: G(s) = b 0 s m + + b m s n + a 1 s n a n Notera att s och G(s) är komplexvärda! 7 / 16

13 Viktfunktionen/impulssvaret För ett system Y (s) = G(s)U(s) (i vila vid t = 0) ger inversetransformen y(t) = L 1 [Y (s)] = t 0 g(τ)u(t τ)dτ, dvs. en faltning mellan u(t) och g(t) = L 1 [G(s)]. Funktionen g(t) är systemets viktfunktion. 8 / 16

14 Viktfunktionen/impulssvaret För ett system Y (s) = G(s)U(s) (i vila vid t = 0) ger inversetransformen y(t) = L 1 [Y (s)] = t 0 g(τ)u(t τ)dτ, dvs. en faltning mellan u(t) och g(t) = L 1 [G(s)]. Funktionen g(t) är systemets viktfunktion. Med u(t)=δ(t) = (Dirac)puls blir y(t) = t 0 g(τ)δ(t τ)dτ = g(t). Därför kallas g(t) också för impulssvar. 8 / 16

15 Poler och nollställen Att karakterisera systemets beteende u(t) G y(t) System med överföringsfunktionen G(s) Nollställen: s är dess nollställe, om G(s ) = 0. Poler: s är dess pol, om G(s ) är en singulär punkt, dvs. G(s ) = ±. 9 / 16

16 Poler och nollställen Att karakterisera systemets beteende u(t) G y(t) System med överföringsfunktionen G(s) Nollställen: s är dess nollställe, om G(s ) = 0. Poler: s är dess pol, om G(s ) är en singulär punkt, dvs. G(s ) = ±. Om G(s) = B(s) A(s) är en rationell funktion ges systemets nollställen av rötterna till B(s) = 0, och polerna av rötterna till A(s) = 0. 9 / 16

17 Poler och lösning till linjära ODE:er Att karakterisera systemets beteende Anta system Y (s) = G(s)U(s), där G(s) = B(s) A(s). Vill ha y(t) = t där g(τ) = L 1 [B(s)/A(s)]. 0 g(τ)u(t τ)dτ 10 / 16

18 Poler och lösning till linjära ODE:er Att karakterisera systemets beteende Anta system Y (s) = G(s)U(s), där G(s) = B(s) A(s). Vill ha y(t) = t där g(τ) = L 1 [B(s)/A(s)]. 0 g(τ)u(t τ)dτ Nämnaren kan alltid faktoriseras med sina rötter/poler: A(s) = s n + a 1 s n a n = (s + σ 1 ) ((s + σ j ) 2 + ω 2 j ) där polerna är antingen reellvärda: σ1,... komplexkonjugerade: σj ± iω j, / 16

19 Poler och lösning till linjära ODE:er Att karakterisera systemets beteende Sätt in A(s) och partialbråksuppdela G(s) = B(s) A(s) = β 1 s + σ B j (s) (s + σ j ) 2 + ω 2 j + Så att y(t) = t 0 g(τ)u(t τ)dτ där inverstransform genom tabell ger g(t) = β 1 e σ1t + + b j e σjt sin(ω j t + ϕ j ) + Linjärkombination av exponentialfunktioner. 11 / 16

20 Poler och lösning till linjära ODE:er Att karakterisera systemets beteende Lösningarna till linjära ODE:er ges i regel som linjärkombinationer av exponentialfunktioner e 0.2t e 2t e t t Polernas realdelar σ i spelar stor roll. 12 / 16

21 Stabilitet Att karakterisera systemets beteende Definition: Ett system Y (s) = G(s)U(s) är insignal-utsignalstabilt ifall varje begränsad insignal u(t) ger en begränsad utsignal y(t). Signalen x(t) begränsad x(t) K för något K. [Tavla: begränsad viktfunktion + realdel av poler] 13 / 16

22 Stabilitet Att karakterisera systemets beteende Definition: Ett system Y (s) = G(s)U(s) är insignal-utsignalstabilt ifall varje begränsad insignal u(t) ger en begränsad utsignal y(t). Signalen x(t) begränsad x(t) K för något K. [Tavla: begränsad viktfunktion + realdel av poler] Sats: Antag G(s) = B(s)/A(s) där gradtal i nämnaren täljaren och poler p 1, p 2,..., p n Systemet Y (s) = G(s)U(s) är insignal-utsignalstabilt Re{p i } < 0 13 / 16

23 Poler och nollställen grafiskt Att karakterisera systemets beteende Im{s} Re{s} G(s) = B(s) A(s) stabilt polerna ligger i vänster halvplan 14 / 16

24 Bygg intuition från enkla system Ex. #1: Fordon i rörelse F fr m y u Figur : Kraft u(t) och hastighet y(t). Standardform: d dt y + ( ) ( ) C 1 y = u m m [Tavla: Poler] 15 / 16

25 Bygg intuition från enkla system Ex. #2: Dämpare y u Figur : Kraft u(t) och position y(t). 15 / 16 Standardform: d 2 dt 2 y + ( ) ( ) K 1 y = u m m [Tavla: Poler]

26 Bygg intuition från enkla system Ex. #3: Inverterad pendel L y mg u Standardform (kring y 0): Figur : Vridmoment u(t) och vinkel y(t). d 2 dt 2 y ( 3g 2L ) ( ) 3 y = ml 2 u [Tavla: Poler] 15 / 16

27 Återblick Överföringsfunktioner som beskrivning av system Poler och nollställen Insignal-utsignalstabilitet 16 / 16