6. Stabilitet. 6. Stabilitet. 6. Stabilitet. 6.1 Stabilitetsdefinitioner. 6. Stabilitet. 6.2 Poler och stabilitet. 6.1 Stabilitetsdefinitioner
|
|
- Adam Lindgren
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Såsom framgått i de två inledande kapitlen förutsätter en lyckad regulatordesign kompromisser mellan prestanda ( snabbhet ) och stabilitet. Ett system som oreglerat är stabilt kan bli instabilt genom för aggressiv reglering. Å andra sidan existerar det också system som oreglerade är instabila och som kräver reglering för att stabiliseras. Vi kan konstatera att stabilitet är ett nödvändigt, men inte tillräckligt, villkor för en god reglering. Det är uppenbart att vi behöver systematiska metoder för att avgöra om ett system reglerat eller oreglerat är stabilt eller instabilt. 6. Stabilitetsdefinitioner Stabilitet kan definieras på flera olika sätt. För alla praktiska ändamål är de olika definitionerna ekvivalenta för linjära system. En viss definition kan i en given situation vara behändigare att använda än en annan. Därför är det ändamålsenligt att här ta upp de vanligaste stabilitetsdefinitionerna. Följande två rätt konkreta stabilitetsdefinitioner är allmänna såtillvida, att de gäller både för linjära och olinjära system oberoende av typen av systembeskrivning (överföringsfunktion eller tillståndsmodell). Reglerteknik I Grundkurs (49300) 6 Reglerteknik I Grundkurs (49300) 6 6. Stabilitetsdefinitioner 6.. Asymptotisk stabilitet Ett system är asymptotiskt stabilt om det efter en övergående störning återgår till sitt begynnelsetillstånd. En typisk övergående störning är en puls och i praktiken blir eventuella beräkningar enklast om vi antar att pulsen är en impuls. En stegförändring är inte en övergående störning. Anmärkning. Asymptotisk stabilitet definieras ofta i mer matematiska termer än ovan, vilket medför att definitionerna ser annorlunda ut. De är dock ekvivalenta. 6.. Insignal-utsignalstabilitet Ett system är insignal-utsignalstabilt om en begränsad insignal ger en begränsad utsignal. En typisk begränsad insignal är en stegförändring. Anmärkning. Av definitionen följer att ett insignal-utsignalstabilt system har ändlig förstärkning vid alla frekvenser (se kap. 7). För att vara användbara vid matematisk analys och design måste de verbala stabilitetsdefinitionerna formuleras i mer matematiska termer. Vi skall här betrakta tidssvaret (transientsvaret) för ett godtyckligt system (utan dödtid) när det utsätts för dels en övergående, dels eller bestående, insignalförändring. I enlighet med avsnitt 4.3 och ekvation (4.7) kan överföringsfunktionen för ett system utan dödtid allmänt skrivas m m bs 0 + bs + + bm s+ bm Gs () = (6.) n n s + as + + an s+ an där n n A() s s + as + + an s+ an (6.) är systemets karakteristiska polynom. 6 3 Reglerteknik I Grundkurs (49300) 6 4
2 Antag att det karakteristiska polynomet kan faktoriseras som A() s = ( s p)( s p) ( s p n ) (6.3) där p k, k =,, n, är polynomets nollställen, som samtidigt är systemets poler. Om vi inledningsvis antar att polerna är reella och distinkta samt att systemet är strikt propert (dvs m< n), existerar partialbråksuppdelningen C C Cn Gs () = (6.4) s p s p s pn där konstanterna C k, k =,, n, kan bestämmas såsom beskrivits i avsnitt Systemets utsignal Y() s ges då av C C Cn Y() s = U() s (6.5) s p s p s pn där U() s är dess insignal. Antag att insignalen är en impuls, dvs en övergående störning som i definitionen av asymptotisk stabilitet. Impulsens Laplacetransform är U() s = I. Insättning i (6.5) och inverstransformering ger pt pt p () e e e n t yt = CI + CI + + CI n, t 0 (6.6) Villkoret för asymptotisk stabilitet är att y() t 0när t. Vi ser att detta uppfylls om och endast om alla p k < 0, k =,, n. Antag att insignalen i stället är en stegförändring, dvs en bestående störning som i definitionen av insignal-utsignalstabilitet. Om steget har storleken u steg, har insignalen Laplacetransformen U() s = usteg / s. Insättning i (6.5) samt inverstransformering ger pt pt pnt yt ( ) = Cu steg ( e ) + Cu steg ( e ) + + Cu n steg ( e ), t 0 (6.7) p Utsignalen är begränsad om och endast om alla e k t, k =,, n, är begränsade för t 0. Precis som ovan gäller detta om och endast om alla p k < 0, k =,, n Komplexa nollställen för det karakteristiska polynomet uppträder som komplexkonjugerade par. Vid partialbråksuppdelningen kan man välja mellan att sammanslå dylika par till en faktor av andra ordningen (se avsn ) räkna med komplexa tal (se nedan) Antag att p = σ + jω och p = σ jω. De två första termerna på högra sidan i (6.6) ger ( σ + j ω) t ( σ j ω) t σt jωt jωt y+ () t = CIe + CIe = Ie ( Ce + Ce ) (6.8) σt = Ie (( C+ C)cos( ωt) + j( C C)sin( ωt) ) där den sista likheten följer av Eulers formel. Eftersom signalen y + () t måste vara reell, följer att C och C är komplexkonjugerade. Högra ledet i (6.8) är då också reellt. Eftersom de trigonometriska funktionerna i (6.8) är begränsade (ändliga), gäller att y + () t 0 då t om och endast om σ < 0, dvs Re( p k ) < 0. Samma villkor ger också en begränsad utsignal då insignalen är en bestående störning såsom en stegförändring. 6 7 Ifall det karakteristiska polynomet innehåller multipla nollställen, fås en partialbråksuppdelning vars inverstransform förutom liknande termer som i uttrycken ovan, även innehåller produkter av exponentialfunktioner och tiden t upphöjd till en viss potens. p Eftersom exponentialfunktionen e k t med Re( p k ) < 0 avtar snabbare än vad t n växer, kommer sådana termer att gå mot noll när t. Härav följer att ovan givna stabilitetsvillkor även gäller när systemet har multipla poler. 6 8
3 6.. Stabilitetsvillkor uttryckt med systemets poler Enligt analysen ovan kan stabilitetsvillkoret uttryckas med hjälp av systemets poler: Ett tidskontinuerligt system är stabilt om och endast om systemets alla poler p k, k =,, n, ligger i det komplexa talplanets vänstra halva, dvs om Re( p k ) < 0, k =,, n (6.9) Systemets poler är nollställen till den karakteristiska ekvationen A() s = 0. Anmärkning 3. För linjära system är stabilitet en systemegenskap, dvs om stabilitetsvillkoret uppfylls för någon övergående eller begränsad insignal så uppfylls det för alla dylika insignaler. Detta behöver inte vara fallet för olinjära system Återkopplade system Resultaten ovan gäller givetvis även för återkopplade (reglerade) system. I ett enkelt reglersystem ingår komponenter V() s med överföringsfunktionerna + Rs () Ys () G p för processen som skall regleras G c p () + + G c för en regulator G m för ett mätinstrument Blockschemaalgebra ger G m () Figur 6.. Återkopplad reglerkrets. GG p c Y = R+ V + GGG p c m + GGG p c m (6.0) där + GGG = 0 (6.) p c m efter hyfsning ger den karakteristiska ekvationen Övning Visa att systemet Gp = är instabilt. Undersök om det kan stabiliseras med en P- s regulator. Övning 6.. Är systemet Gp = stabilt eller instabilt? Undersök om den slutna kretsen är s + s + stabil då systemet regleras med en PI-regulator med (a) K c =, T i = 0,5; (b) K c = 5, T i = 0,5; (c) K c = 5, T i = 0,5. Användning av stabilitetsvillkoret definierat med hjälp av systemets poler kräver att man kan bestämma polerna. För system av högre ordning än kan det vara svårt eller omöjligt att bestämma polerna analytiskt, men om alla parametrar är givna kan man beräkna dem numeriskt. Ofta har man dock intresse av att utreda stabilitetsgränserna som funktion av en eller flera obestämda parametrar (t.ex. regulatorparametrar), och gärna så att gränserna kan anges med analytiska uttryck. Då ger en hög systemordning problem. En annan komplikation uppstår om systemet innehåller dödtid så att den ingår i den karakteristiska ekvationen. Denna situation om ett system med dödtid återkopplas. Beräkning av systemets poler kräver då att dödtiden approximeras med ett rationellt uttryck, vilket innebär att polerna endast kan bestämmas approximativt. Av dessa orsaker har det utvecklats ett antal stabilitetsanalysmetoder, som ger analytiska uttryck eller i princip exakta (numeriska) lösningar för system med dödtid. Följande metoder behandlas i denna kurs: 6 Reglerteknik I Grundkurs (49300) 6
4 . Bodes stabilitetskriterium, som behandlas i avsnitt 7.4. Detta är en s.k. frekvensanalytisk metod, som klarar av dödtider utan approximation. Analysen kan göras grafiskt eller numeriskt.. Nyquists stabilitetskriterium, som behandlas i avsnitt 7.4, dock endast ytligt. Detta är en mera allmängiltig variant av Bodes stabilitetskriterium. Också i detta fall kan analysen göras grafiskt eller numeriskt. 3. Routh-Hurwitz stabilitetskriterium, som behandlas i avsnitt Denna metod kan ge stabilitetsintervall med avseende på olika parametrar, t.ex. regulatorparametrar. Hög systemordning medför inga speciella problem, men dödtider kan inte behandlas exakt. 4. Stabilitetsanalys genom direkt substitution, som behandlas i avsnitt I denna metod utnyttjas det faktum att systemets poler, dvs den karakteristiska ekvationens nollställen, måste ligga på det komplexa talplanets imaginära axel vid stabilitetsgränsen. Dödtider kan behandlas exakt, men för system av hög ordning tenderar beräkningarna bli besvärliga Routh-Hurwitz stabilitetskriterium Användningen av Routh-Hurwitz stabilitetskriterium förutsätter att karakteristiska ekvationen kan skrivas som ett polynom, n n As () = as 0 + as + + an s+ an = 0 (6.) där koefficienten a 0, även inkluderats. Såsom påpekats, bör en eventuell dödtid (e Ls ) approximeras med ett rationellt uttryck, t.ex. en Padé-approximation. Stabilitetskriteriet blir i detta fall givetvis approximativt. Beskrivningen nedan förutsätter att a 0 > 0 (om a 0 < 0 byter vi tecken på alla koefficienter); ofta har vi a 0 =. Systemets stabilitet avgörs på följande sätt:. Om någon koefficient är icke-positiv (dvs är noll eller negativ) kan man genast säga att systemet är instabilt. Detta beror på att den karakteristiska ekvationen då måste ha minst ett nollställe (och systemet därmed minst en pol) som har icke-negativ realdel Routh-Hurwitz stabilitetskriterium 6.3. Routh-Hurwitz stabilitetskriterium. Om alla koefficienter är positiva, kan systemet vara stabilt, men inga säkra slutsatser kan ännu dras. Ett tillräckligt och nödvändigt stabilitetsvillkor fås med hjälp av följande schema: a0 a a4 a a3 a5 c0 c c d0 d d aa aa aa aa aa aa c c c i+ 0 i+ 3 0 =, =,, i = a a a (6.3) ca 0 3 ac ca 0 5 ac ca 0 i+ 3 ac i+ 0 =, =,, i = c0 c0 c0 d d d Routh-Hurwitztablån till vänster i (6.3) bildas på följande sätt: Elementen i de två första raderna i tablån erhålles direkt från karakteristiska ekvationen. Ifall andra raden innehåller en koefficient mindre än den första, införs en nolla som sista element så att båda raderna har lika många element. Tredje och fjärde radens element erhålles enligt formlerna till höger i (6.3). I formlerna behövliga element som skulle finnas i en kolumn till höger om tablån sätts lika med noll. Beräknade element i tablåns sista kolumn blir då lika med noll. 6 5 Element i efterföljande rader beräknas enligt samma princip som tredje och fjärde radens element. Vid beräkning av ett element i kolumn j fås täljarens termer då genom korsvisa multiplikationer av elementen i de två föregående radernas första kolumn och kolumn j +, medan nämnaren är lika med första kolumnens element i föregående rad. För ett n :te ordningens system erhålles en tablå med n + rader (varav n är beräknade). Ifall det första elementet i en rad blir noll när det finns andra element i raden som kan bli olika noll, ersätts det första elementet med ε (ett litet positivt tal), som sedan används i de fortsatta beräkningarna. När alla element i tablån är bestämda, får element innehållande ε det värde som uttrycket går mot när ε 0. Stabilitetsvillkoret är att alla element i tablåns första kolumn skall vara strikt positiva. Ifall något element i första kolumnen är icke-positivt är systemet instabilt; antalet teckenväxlingar i först kolumnen är lika med antalet systempoler med positiv realdel. 6 6
5 6.3. Routh-Hurwitz stabilitetskriterium 6.3. Routh-Hurwitz stabilitetskriterium Anmärkning. I bland kan det under beräkningens gång framgå att alla oberäknade element måste bli lika med noll. Då kan man naturligtvis avbryta beräkningarna. Anmärkning. Om något element i första kolumnen är lika med noll motsvaras detta av en pol med realdelen noll. Anmärkning 3. Stabilitetsvillkoret att alla element i första kolumnen skall vara positiva kan givetvis användas för att beräkna stabilitetsgränser med avseende på obestämda parametrar som ingår i den karakteristiska ekvation, t.ex. regulatorparametrar om systemet är ett återkopplat system. Övning 6.3. Visa att följande stabilitetsvillkor gäller då karakteristiska ekvationen är av formen (6.) med a 0 =. (a) Ett godtyckligt andra ordningens system är stabilt om och endast om a > 0 och a > 0. (b) Ett godtyckligt tredje ordningens system är stabilt omm a > 0, a 3 > 0 och aa > a3. Övning 6.4. Undersök om det återkopplade systemet till höger är stabilt samt, ifall det är instabilt, hur många poler det har i högra halvplanet. Övning 6.5. Lös övning 6. med hjälp av Routh-Hurwitz stabilitetskriterium. Rs () + 4 s + 5 ss+ ( ) Y() s Routh-Hurwitz stabilitetskriterium Övning 6.6. För vilka värden på regulatorförstärkningen K c är nedanstående system stabilt? Gp =, Gv = 5s + s + Gm =, C = Kc s + Övning 6.7. Undersök med R-H kriteriet för vilka värden på regulatorförstärkningen K c ett återkopplat system med samma struktur som ovan är stabilt när s 4e Gp =, Gv = 0,5, Gm =, C = Kc 5s + Ersätt dödtiden med en Padé-approximation av första ordningen Bestämning av stabilitetsgränsen genom direkt substitution När polerna för ett system avbildas på det komplexa talplanet utgör den imaginära axeln stabilitetsgränsen. När ett system befinner sig på gränsen till instabilitet måste därför åtminstone ett nollställe till den karakteristiska ekvationen ligga på den imaginära axeln. Dylika nollställen, som har formen s =± jω (där ω även kan vara noll), måste satisfiera den karakteristiska ekvationen vid instabilitetsgränsen. Om den karakteristiska ekvationen innehåller okända parametrar, t.ex. regulatorparametrar, kan detta utnyttjas vid bestämning av stabilitetsgränsvärden för dessa parametrar. Som analysen nedan visar, kan dödtider behandlas exakt
6 6.3. Bestämning av stabilitetsgränsen genom direkt substitution 6.3. Bestämning av stabilitetsgränsen genom direkt substitution Substitution av s = jω i den karakteristiska ekvationen A() s = 0 ger efter hyfsning med j = ett uttryck av formen A(j ω) = C( ω) + j D( ω) = 0 (6.4) där C och D är funktioner av ω och eventuella obekanta parametrar. Ekvationssystemet C( ω) = 0 (6.5) D( ω) = 0 ger då ω samt ett uttryck för eventuella obekanta parametrar som definierar stabilitetsgränsen med avseende på dessa. En dödtid e Ls medför inga principiella problem eftersom man kan utnyttja Eulers formel jωl = Lω Lω (6.6) e cos( ) jsin( ) Övning 6.8. Lös övning 6.6 med direkt substitution av s = jω. Övning 6.9. Lös övning 6.7 med direkt substitution utan att approximera dödtiden. 6 6
6. Stabilitet. 6. Stabilitet
6. Stabilitet 6. Stabilitet Såsom framgått i de två inledande kapitlen förutsätter en lyckad regulatordesign kompromisser mellan prestanda ( snabbhet ) och stabilitet. Ett system som oreglerat är stabilt
Läs mer6. Stabilitet. 6. Stabilitet. 6. Stabilitet. 6.1 Stabilitetsdefinitioner. 6. Stabilitet. 6.2 Poler och stabilitet. 6.1 Stabilitetsdefinitioner
Såsom framgått i de två inledande kapitlen förutsätter en lyckad regulatordesign kompromisser mellan prestanda ( snabbhet ) och stabilitet. Ett system som oreglerat är stabilt kan bli instabilt genom för
Läs merÖvningar i Reglerteknik
Övningar i Reglerteknik Stabilitet hos återkopplade system Ett system är stabilt om utsignalen alltid är begränsad om insignalen är begränsad. Linjära tidsinvarianta system är stabila precis då alla poler
Läs merVälkomna till TSRT15 Reglerteknik Föreläsning 2
Välkomna till TSRT15 Reglerteknik Föreläsning 2 Sammanfattning av föreläsning 1 Lösningar till differentialekvationer Karakteristiska ekvationen Laplacetransformer Överföringsfunktioner Poler Stegsvarsspecifikationer
Läs merVälkomna till Reglerteknik Föreläsning 2
Välkomna till Reglerteknik Föreläsning 2 Sammanfattning av föreläsning 1 Lösningar till differentialekvationer Karakteristiska ekvationen Laplacetransformer Överföringsfunktioner Poler Stegsvarsspecifikationer
Läs merLösningar till övningar i Reglerteknik
Lösningar till övningar i Reglerteknik Stabilitet hos återkopplade system 5. Ett polynom av andra ordningen har båda rötterna i vänstra halvplanet (Res < ) precis då alla (3) koefficienterna har samma
Läs merReglerteknik AK. Tentamen 24 oktober 2016 kl 8-13
Institutionen för REGLERTEKNIK Reglerteknik AK Tentamen 24 oktober 26 kl 8-3 Poängberäkning och betygsättning Lösningar och svar till alla uppgifter skall vara klart motiverade. Tentamen omfattar totalt
Läs merFör att förenkla presentationen antas inledningsvis att förstärkningen K 0, och vi återkommer till negativt K senare.
8. Frekvensanalys För att förenkla presentationen antas inledningsvis att förstärkningen K 0, oh vi återkommer till negativt K senare. 8.1. Första ordningens system K y( s u( s Ts 1 Om vi antar att insignalen
Läs merFöreläsning 10, Egenskaper hos tidsdiskreta system
Föreläsning 10, Egenskaper hos tidsdiskreta system Reglerteknik, IE1304 1 / 26 Innehåll Kapitel 18.1. Skillnad mellan analog och digital reglering 1 Kapitel 18.1. Skillnad mellan analog och digital reglering
Läs merReglerteknik I: F2. Överföringsfunktionen, poler och stabilitet. Dave Zachariah. Inst. Informationsteknologi, Avd. Systemteknik
Reglerteknik I: F2 Överföringsfunktionen, poler och stabilitet Dave Zachariah Inst. Informationsteknologi, Avd. Systemteknik 1 / 16 Linjära systemmodeller Linjära tidsinvarianta modeller är användbara
Läs merA
Lunds Universitet LTH Ingenjorshogskolan i Helsingborg Tentamen i Reglerteknik 2008{05{29. Ett system beskrivs av foljande in-utsignalsamband: dar u(t) ar insignal och y(t) utsignal. d 2 y dt 2 + dy du
Läs merVälkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 3. Sammanfattning av föreläsning 2 PID-reglering Blockschemaräkning Reglerdesign för svävande kula
Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 3 Sammanfattning av föreläsning 2 PID-reglering Blockschemaräkning Reglerdesign för svävande kula Sammanfattning av förra föreläsningen 2 Vi modellerar system
Läs merTSIU61: Reglerteknik. Poler och nollställen Stabilitet Blockschema. Gustaf Hendeby.
TSIU61: Reglerteknik Föreläsning 3 Poler och nollställen Stabilitet Blockschema Gustaf Hendeby gustaf.hendeby@liu.se TSIU61 Föreläsning 3 Gustaf Hendeby HT1 2017 1 / 26 Innehåll föreläsning 3 ˆ Sammanfattning
Läs merREGLERTEKNIK KTH. REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL1120 Kortfattade lösningsförslag till tentamen , kl
REGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL000/EL0/EL20 Kortfattade lösningsförslag till tentamen 202 2 7, kl. 9.00 4.00. (a) (i) Överföringsfunktionen ges av G(s)U(s) = G 0 (s)u(s)+g (s)(u(s)+g 0 (s)u(s)) = [G
Läs merLösningsförslag till tentamen i Reglerteknik (TSRT19)
Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik (TSRT9) 26-3-6. (a) Systemet är stabilt och linjärt. Därmed kan principen sinus in, sinus ut tillämpas. Givet insignalen u(t) sin (t) sin ( t) har vi G(i )
Läs merLaplace, Fourier och resten varför alla dessa transformer?
Laplace, Fourier och resten varför alla dessa transformer? 1 Bakgrund till transformer i kontinuerlig tid Idé 1: Representera in- och utsignaler till LTI-system i samma basfunktion Förenklad analys! Idé
Läs merLaplacetransform, poler och nollställen
Innehåll föreläsning 2 2 Reglerteknik, föreläsning 2 Laplacetransform, poler och nollställen Fredrik Lindsten fredrik.lindsten@liu.se Kontor 2A:521, Hus B, Reglerteknik Institutionen för systemteknik (ISY)
Läs merNyquistkriteriet. Henrik Sandberg. Extra material till Reglerteknik AK 19 maj 2014
Nyquistkriteriet Henrik Sandberg Extra material till Reglerteknik AK 19 maj 2014 Upplägg Harry Nyquist Frekvensanalys i sluten loop Nyquistkriteriet Exempel Argumentvariationsprincipen Harry Nyquist (1889-1976)
Läs merTENTAMEN Reglerteknik 3p, X3
OBS: Kontrollera att du har fått rätt tentamen! Denna tentamen gäller i första hand för Reglerteknik 3p. På sista sidan av tentamen finns ett försättsblad, som ska fyllas i och lämnas in tillsammans med
Läs merLösningsförslag till tentamen i Reglerteknik fk M (TSRT06)
Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik fk M (TSRT6) 216-1-15 1. (a) Känslighetsfunktionen S(iω) beskriver hur systemstörningar och modellfel påverkar utsignalen från det återkopplade systemet. Oftast
Läs merTENTAMEN Reglerteknik 4.5hp X3
OBS: Kontrollera att du har fått rätt tentamen! Denna tentamen gäller i första hand för Reglerteknik 4.5hp. På sista sidan av tentamen finns ett försättsblad, som ska fyllas i och lämnas in tillsammans
Läs merVälkomna till TSRT19 Reglerteknik M Föreläsning 9
Välkomna till TSRT19 Reglerteknik M Föreläsning 9 Sammanfattning av föreläsning 8 Prestandabegränsningar Robusthet Mer generell återkopplingsstruktur Sammanfattning av förra föreläsningen H(s) W(s) 2 R(s)
Läs merFöreläsning 3. Reglerteknik AK. c Bo Wahlberg. 9 september Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik
Föreläsning 3 Reglerteknik AK c Bo Wahlberg Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik 9 september 2013 Introduktion Förra gången: PID-reglering Dagens program: Stabilitet Rotort
Läs merTENTAMEN Reglerteknik I 5hp
TENTAMEN Reglerteknik I 5hp Tid: Tisdag 8 juni 00, kl 8.00 3.00 Plats: Polacksbackens skrivsal Ansvarig lärare: Kjartan Halvorsen, tel 08-473070. Kjartan kommer och svarar på frågor ungefär kl 9.30 och
Läs mer8.3 Variabeltransformationer Frånkoppling. Betrakta ett 2x2-system, som beskrivs med modellen (8.3.1)
8.3 Variabeltransformationer Betrakta ett 2x2-system, som beskrivs med modellen y () s G () s G () s u () s 1 11 12 1 y2() s = G21() s G22() s u2() s (8.3.1) Figuren till höger visar ett blockschema över
Läs merLösningar Reglerteknik AK Tentamen
Lösningar Reglerteknik AK Tentamen 060 Uppgift a G c (s G(sF (s + G(sF (s s + 3, Y (s s + 3 s ( 3 s s + 3 Svar: y(t 3 ( e 3t Uppgift b Svar: (i insignal u levererad insulinmängd från pumpen, mha tex spänningen
Läs mer( ), så kan du lika gärna skriva H ( ω )! ( ) eftersom boken går igenom laplacetransformen före
Några allmänna kommentarer gällande flera av lösningarna: Genomgående används kausala signaler och kausala system, vilket innebär att det är den enkelsidiga laplacetransformen som används. Bokens författare
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 15-18, 30/11-12/
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Transformmetoder, 5 hp ES, gyl, Q, W 0-0-9 Sammanfattning av föreläsningarna 5-8, 30/ - / 0. Z-transformen ska avslutas och sedan blir det tentaförberedelser.
Läs merStabilitet m.a.p. begynnelsedata
Stabilitet m.a.p. begynnelsedata Begreppet stabilitet används i flera olika sammanhang. I kap.9-14 tänker man på black-box system och insignal-utsignalstabilitet begränsad insignal = begränsad utsignal
Läs mer1RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B
RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B Tid: Torsdag 5 december 206, kl. 3.00-6.00 Plats: Fyrislundsgatan 80, sal Ansvarig lärare: Fredrik Olsson, tel. 08-47 7840. Fredrik kommer och svarar på frågor
Läs merTSIU61: Reglerteknik. Sammanfattning från föreläsning 3 (2/4) ˆ PID-reglering. ˆ Specifikationer. ˆ Sammanfattning av föreläsning 3.
TSIU6 Föreläsning 4 Gustaf Hendeby HT 207 / 22 Innehåll föreläsning 4 TSIU6: Reglerteknik Föreläsning 4 PID-reglering Specifikationer Gustaf Hendeby gustaf.hendeby@liu.se ˆ Sammanfattning av föreläsning
Läs merTSIU61: Reglerteknik. PID-reglering Specifikationer. Gustaf Hendeby.
TSIU61: Reglerteknik Föreläsning 4 PID-reglering Specifikationer Gustaf Hendeby gustaf.hendeby@liu.se TSIU61 Föreläsning 4 Gustaf Hendeby HT1 2017 1 / 22 Innehåll föreläsning 4 ˆ Sammanfattning av föreläsning
Läs merÖvningar i Reglerteknik. Differentialekvationer kan lösas med de metoder som behandlades i kurserna i matematisk analys. y(0) = 2,
Differentialekvationer Övningar i Reglerteknik Differentialekvationer kan lösas med de metoder som behandlades i kurserna i matematisk analys.. Lös följande begynnelsevärdesproblem dy dt y =, t > 0 y(0)
Läs merÅBO AKADEMI REGLERTEKNIK I
INSTITUTIONEN FÖR KEMITEKNIK Laboratoriet för reglerteknik ÅBO AKADEMI DEPARTMENT OF CHEMICAL ENGINEERING Process Control Laboratory REGLERTEKNIK I Grundkurs Kurt-Erik Häggblom Biskopsgatan 8 FIN-20500
Läs merReglerteknik AK, FRTF05
Institutionen för REGLERTEKNIK Reglerteknik AK, FRTF05 Tentamen 3 april 208 kl 4 9 Poängberäkning och betygssättning Lösningar och svar till alla uppgifter skall vara klart motiverade. Tentamen omfattar
Läs merVälkomna till TSRT19 Reglerteknik M Föreläsning 9
Välkomna till TSRT19 Reglerteknik M Föreläsning 9 Sammanfattning av föreläsning 8 Prestandabegränsningar Robusthet Mer generell återkopplingsstruktur Sammanfattning föreläsning 8 2 F(s) Lead-lag design:
Läs merERE103 Reglerteknik D Tentamen
CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA Institutionen för signaler och system System- och reglerteknik ERE03 Reglerteknik D Tentamen 207-0-2 08.30-2.30 Examinator: Jonas Fredriksson, tel 359. Tillåtna hjälpmedel: Typgodkänd
Läs mer1RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B
RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B Tid: Tisdag 23 oktober 208, kl. 4.00-7.00 Plats: Polacksbackens skrivsal Ansvarig lärare: Hans Rosth, tel. 08-473070. Hans kommer och svarar på frågor ungefär kl
Läs merTSRT21 Dynamiska system och reglering Välkomna till Föreläsning 10
TSRT21 Dynamiska system och reglering Välkomna till Föreläsning 10 Johan Löfberg Avdelningen för Reglerteknik Institutionen för systemteknik johan.lofberg@liu.se Kontor: B-huset, mellan ingång 27 och 29
Läs merFigur 2: Bodediagrammets amplitudkurva i uppgift 1d
Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik Y (för Y och D) (TSRT) 008-06-0. (a) Vi har systemet G(s) (s3)(s) samt insignalen u(t) sin(t). Systemet är stabilt ty det har sina poler i s 3 samt s. Vi kan
Läs merReglerteknik AK Tentamen
Reglerteknik AK Tentamen 20-0-7 Lösningsförslag Uppgift a Svar: G(s) = Uppgift b G c (s) = G(s) = C(sI A) B + D = s. (s+)(s+2) Slutna systemets pol blir s (s + )(s + 2). G o(s) + G o (s) = F (s)g(s) +
Läs merTENTAMEN Reglerteknik 4.5hp X3
OBS: Kontrollera att du har fått rätt tentamen! Denna tentamen gäller i första hand för Reglerteknik 4.5hp för X3. På sista sidan av tentamen finns ett försättsblad, som ska fyllas i och lämnas in tillsammans
Läs mer8.2.2 Bodediagram System av första ordningen K =, antages K > 0
8. Frekvensanalys 8.2 Grafiska representationer av frekvenssvaret 8.2.2 Bodediagram System av första ordningen K G ( s) =, antages K > 0 Ts + A R ( ω) = G( jω) = K + ( ωt ) ϕ( ω) = arg G( jω) = arctan(
Läs merLösningar Reglerteknik AK Tentamen
Lösningar Reglerteknik AK Tentamen 15 1 3 Uppgift 1a Systemet är stabilt ( pol i ), så vi kan använda slutvärdesteoremet för att bestämma Svar: l = lim y(t) = lim sg(s)1 t s s = G()1 = 5l = r = 1 Uppgift
Läs merFöreläsning 1 Reglerteknik AK
Föreläsning 1 Reglerteknik AK c Bo Wahlberg Avdelningen för Reglerteknik, KTH 29 augusti, 2016 2 Introduktion Example (Temperaturreglering) Hur reglerar vi temperaturen i ett hus? u Modell: Betrakta en
Läs merTSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 5
TSRT9 Reglerteknik: Föreläsning 5 Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Föreläsningar / 23 Inledning, grundläggande begrepp. 2 Matematiska modeller. Stabilitet.
Läs mer8.2.2 Bodediagram System av första ordningen K
8.2.2 Bodediagram System av första ordningen K ( s) =, K > Ts + A R ( ω) = ( jω) = K + ( ωt ) ϕ ( ω) = ( jω) = artan( ωt ) Detta kan framställas grafiskt i ett Bodediagram, där det normerade amplitudförhållandet
Läs merVälkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 8. Sammanfattning av föreläsning 7 Framkoppling Den röda tråden!
Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 8 Sammanfattning av föreläsning 7 Framkoppling Den röda tråden! Sammanfattning föreläsning 8 2 Σ F(s) Lead-lag design: Givet ett Bode-diagram för ett öppet
Läs merReglerteknik AK, FRT010
Institutionen för REGLERTEKNIK Reglerteknik AK, FRT Tentamen januari 27 kl 8 3 Poängberäkning och betygssättning Lösningar och svar till alla uppgifter skall vara klart motiverade. Tentamen omfattar totalt
Läs mer1RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B
RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B Tid: Fredag 9 mars 208, kl. 4.00-7.00 Plats: BMC B:3 Ansvarig lärare: Hans Rosth, tel. 08-473070. Hans kommer och svarar på frågor ungefär kl 5.30. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merReglerteknik Z / Bt/I/Kf/F
Reglerteknik Z / Bt/I/Kf/F Kurskod: SSY 050, ERE 080, ERE 091 Tentamen 2007-05-29 Tid: 8:30-12:30, Lokal: M-huset Lärare: Knut Åkesson tel 3717, 0701-74 95 25 Tentamen omfattar 25 poäng, där betyg tre
Läs merAUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET. M. Enqvist TTIT62: Föreläsning 2. Här är
Martin Enqvist Återkoppling, PID-reglering, specifikationer Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Repetition: Reglerproblemet 3(21) Exempel: Farthållare i en bil 4(21) Välj
Läs merREGLERTEKNIK Laboration 5
6 SAMPLADE SYSTEM 6. Sampling av signaler När man använder en dator som regulator, kan man endast behandla signaler i diskreta tidpunkter. T.ex. mäts systemets utsignal i tidpunkter med visst mellanrum,
Läs merAUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET. M. Enqvist TTIT62: Föreläsning 3 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET
Martin Enqvist Överföringsfunktioner, poler och stegsvar Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Repetition: Reglerproblemet 3(8) Repetition: Öppen styrning & återkoppling 4(8)
Läs mer3 differensekvationer med konstanta koefficienter.
Matematiska institutionen Carl-Henrik Fant 17 november 2000 3 differensekvationer med konstanta koefficienter 31 T Med en menar vi en av rella eller komplexa tal varje heltal ges ett reellt eller komplext
Läs merFöreläsning 11, Dimensionering av tidsdiskreta regulatorer
Föreläsning 11, Dimensionering av tidsdiskreta regulatorer KTH 8 februari 2011 1 / 28 Innehåll 1 Kapitel 19.2. Polplaceringsmetoden 2 3 4 5 6 2 / 28 Innehåll 1 Kapitel 19.2. Polplaceringsmetoden 2 3 4
Läs merKap 3 - Tidskontinuerliga LTI-system. Användning av Laplacetransformen för att beskriva LTI-system: Samband poler - respons i tidsplanet
Kap 3 - Tidskontinuerliga LTI-system Användning av Laplacetransformen för att beskriva LTI-system: Överföringsfunktion Poler, nollställen, stabilitet Samband poler - respons i tidsplanet Slut- och begynnelsevärdesteoremen
Läs merReglerteknik AK. Tentamen 27 oktober 2015 kl 8-13
Institutionen för REGLERTEKNIK Reglerteknik AK Tentamen 27 oktober 205 kl 8-3 Poängberäkning och betygsättning Lösningar och svar till alla uppgifter skall vara klart motiverade. Tentamen omfattar totalt
Läs merREGLERTEKNIK KTH. REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL1120 Tentamen , kl
REGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL/EL/EL2 Tentamen 2 2 4, kl. 4. 9. Hjälpmedel: Kursboken i glerteknik AK (Glad, Ljung: glerteknik eller motsvarande) räknetabeller, formelsamlingar och räknedosa. Observeraattövningsmaterial
Läs merLaplace, Fourier och resten varför alla dessa transformer?
Laplace, Fourier och resten varför alla dessa transformer? 1 Vi har sett hur ett LTI-system kan ges en komplett beskrivning av dess impulssvar. Genom att falta insignalen med impulssvaret erhålls systemets
Läs merKan vi beskriva ett system utan någon fysikalisk kännedom om systemet?
Kan vi beskriva ett system utan någon fysikalisk kännedom om systemet? 1 Om svaret på frågan är ja så öppnar sig möjligheten att skapa en generell verktygslåda som fungerar för analys och manipulering
Läs merSTABILITET FÖR LINJÄRA HOMOGENA SYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 STABILITET FÖR LINJÄRA HOMOGENA SYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER Innehåll Stabilitet för en kritisk punkt (grundbegrepp) Stabilitet för ett linjärt homogent system
Läs merG(s) = 5s + 1 s(10s + 1)
Projektuppgift 1: Integratoruppvridning I kursen behandlas ett antal olika typer av olinjäriteter som är mer eller mindre vanligt förekommande i reglersystem. En olinjäritet som dock alltid förekommer
Läs merTSRT09 Reglerteori. Sammanfattning av Föreläsning 1. Sammanfattning av Föreläsning 1, forts. Sammanfattning av Föreläsning 1, forts.
Reglerteori 217, Föreläsning 2 Daniel Axehill 1 / 32 Sammanfattning av Föreläsning 1 TSRT9 Reglerteori Föreläsning 2: Beskrivning av linjära system Daniel Axehill Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet
Läs merReglerteknik AK, FRTF05
Institutionen för REGLERTEKNIK Reglerteknik AK, FRTF05 Tentamen 23 augusti 207 kl 8 3 Poängberäkning och betygssättning Lösningar och svar till alla uppgifter skall vara klart motiverade. Tentamen omfattar
Läs merTATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal
TATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal Johan Thim 22 augusti 2018 1 Komplexa tal Definition. Det imaginära talet i uppfyller att i 2 = 1. Detta är alltså ett tal vars kvadrat är negativ. Det kan således aldrig
Läs merIndustriell reglerteknik: Föreläsning 3
Industriell reglerteknik: Föreläsning 3 Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Föreläsningar 1 / 19 1 Sekvensstyrning: Funktionsdiagram, Grafcet. 2 Grundläggande
Läs merReglerteknik 6. Kapitel 10. Köp bok och övningshäfte på kårbokhandeln. William Sandqvist william@kth.se
Reglerteknik 6 Kapitel Köp bok och övningshäfte på kårbokhandeln Föreläsning 6 kap Reglersystemets egenskaper Stabilitet är den viktigaste egenskapen. Ett ostabilt system är oanvändbart. Stabilitet är
Läs merTSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 2
Föreläsningar / TSRT9 Reglerteknik: Föreläsning 2 Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Inledning, grundläggande begrepp. 2 Matematiska modeller. Stabilitet.
Läs merLösningar till tentamen i Reglerteknik I 5hp (a) Statiska förstärkningen = (0), och ( )= [ ( )].
Lösningar till tentamen i Reglerteknik I 5hp --5. (a) Statiska förstärkningen (), och ( ) [ ( )]. ( ) [ 4 +4 ] +4 + 4 + () 5 (b) Systemet står på observerbar kanonisk form, så vifår direkt att ( ) 3 +5.
Läs merTSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 4
TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 4 Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Föreläsningar 1 / 16 1 Inledning, grundläggande begrepp. 2 Matematiska modeller. Stabilitet.
Läs merTENTAMEN: DEL B Reglerteknik I 5hp
TENTAMEN: DEL B Reglerteknik I 5hp Tid: Fredag 4 mars 204, kl. 3.00-6.00 Plats: Magistern Ansvarig lärare: Hans Norlander, tel. 08-473070. Hans kommer och svarar på frågor ungefär kl 4.30. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merTSIU61: Reglerteknik. Sammanfattning från föreläsning 5 (2/4) Stabilitet Specifikationer med frekvensbeskrivning
TSIU6 Föreläsning 6 Gustaf Hendeby HT 206 / 7 Innehåll föreläsning 6 TSIU6: Reglerteknik Föreläsning 6 Stabilitet Specifikationer med frekvensbeskrivning Gustaf Hendeby ˆ Sammanfattning av föreläsning
Läs merTIDSDISKRETA SYSTEM SYSTEMEGENSKAPER. Minne Kausalitet Tidsinvarians. Linjäritet Inverterbarhet Stabilitet. System. Tillämpad Fysik och Elektronik 1
TIDSDISKRETA SYSTEM TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 1 SYSTEMEGENSKAPER x[n] System y[n] Minne Kausalitet Tidsinvarians Linjäritet Inverterbarhet Stabilitet TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK,
Läs merVälkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 10
Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 10 Sammanfattning av föreläsning 9 Tillståndsbeskrivningar Överföringsfunktion vs tillståndmodell Stabilitet Styrbarhet och observerbarhet Sammanfattning föreläsning
Läs merTENTAMEN Reglerteknik I 5hp
OBS: Kontrollera att du har fått rätt tentamen! Denna tentamen gäller Reglerteknik I 5hp för F4/IT4/STS3. På sista sidan av tentamen finns ett försättsblad, som ska fyllas i och lämnas in tillsammans med
Läs merCirkelkriteriet (12.3)
Föreläsning 3-4 Cirkelkriteriet (12.3) En situation där global stabilitetsanalys kan utföras. r + u G(s) y f( ) där f( ) är en statisk olinjäritet, t ex f(y) = 1 y 0 1 y < 0 eller Antag att: f(y) = y 2
Läs merERE 102 Reglerteknik D Tentamen
CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA Institutionen för signaler och system Reglerteknik, automation och mekatronik ERE 02 Reglerteknik D Tentamen 202-2-2 4.00 8.00 Examinator: Bo Egar, tel 372. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merTENTAMEN: DEL B Reglerteknik I 5hp
TENTAMEN: DEL B Reglerteknik I 5hp Tid: Fredag 8 mars 0, kl. 4.00-9.00 Plats: Gimogatan 4 sal Ansvarig lärare: Hans Norlander, tel. 08-473070. Hans kommer och svarar på frågor ungefär kl 5.30 och kl 7.30.
Läs merLösningar till Tentamen i Reglerteknik AK EL1000/EL1100/EL
Lösningar till Tentamen i Reglerteknik AK EL000/EL00/EL20 20-0-3 a. Överföringsfunktionen från u(t) till y(t) ges av Utsignalen ges av G(s) = y(t) = G(iω) A sin(ωt + ϕ + arg G(iω)) = 2 sin(2t). Identifierar
Läs merREGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL En tillståndsmodell ges t.ex. av den styrbara kanoniska formen: s 2 +4s +1.
REGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL000/EL0/EL20 Lösningsförslag till tentamen 2009 2 5, kl. 4.00 9.00. (a) Laplacetransform av () ger s 2 Y (s)+4sy (s)+y (s) =U(s), och överföringsfunktionen blir G(s)
Läs merFöreläsning 7. Reglerteknik AK. c Bo Wahlberg. 26 september Avdelningen för Reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik
Föreläsning 7 Reglerteknik AK c Bo Wahlberg Avdelningen för Reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik 26 september 2013 Introduktion Förra gången: Känslighet och robusthet Dagens program: Repetion
Läs mer1RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del A Tid: Onsdag 22 augusti 2018, kl
Tentamenskod Klockslag för inlämning Utbildningsprogram Bordnummer RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del A Tid: Onsdag 22 augusti 208, kl. 4.00-7.00 Plats: Bergsbrunnagatan 5, sal Ansvarig lärare: Hans
Läs merVälkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 4. Sammanfattning av föreläsning 3 Rotort Mer specifikationer Nollställen (om vi hinner)
Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 4 Sammanfattning av föreläsning 3 Rotort Mer specifikationer Nollställen (om vi hinner) Sammanfattning av förra föreläsningen 2 Vi introducerade PID-regulatorn
Läs merArmin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
ABSOLUTBELOPP Några exempel som du har gjort i gymnasieskolan: a) = b) 0 =0 c) 5 = 5 Alltså x 0 et av ett tal x är lika med själva talet x om talet är positivt eller lika med 0 et av x är lika med det
Läs merAB2.8: Laplacetransformation av derivator och integraler. Differentialekvationer
AB2.8: Laplacetransformation av derivator och integraler. Differentialekvationer Laplacetransformen som an analytisk funktion SATS 1 Om Laplaceintegralen F (s) = L (f) = e st f(t)dt är konvergent för s
Läs merSpektrala Transformer
Spektrala Transformer Kurssammanfattning Fyra kärnkoncept Sampling Faltning Poler och nollställen Fouriertransform Koncept #1: Sampling En korrekt samplad signal kan rekonstrueras exakt, dvs ingen information
Läs merReglerteknik AK. Tentamen kl
Institutionen för REGLERTEKNIK Reglerteknik AK Tentamen 20 0 20 kl 8.00 3.00 Poängberäkning och betygssättning Lösningar och svar till alla uppgifter skall vara klart motiverade. Tentamen omfattar totalt
Läs merTSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 4
Föreläsningar 1 / 16 TSRT91 glerteknik: Föreläsning 4 Martin Enqvist glerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet 1 Inledning, grundläggande begrepp. 2 Matematiska modeller. Stabilitet.
Läs merx2 6x x2 6x + 14 x (x2 2x + 4)
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Måndagen den 5:e november 01 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. För vilka reella tal x gäller olikheten x 6x + 14? Lösningsalternativ 1: Den
Läs merTENTAMEN I REGLERTEKNIK
TENTAMEN I REGLERTEKNIK TID: 29-6-4, kl 4.-9. KURS: TSRT9 PROVKOD: TEN INSTITUTION: ISY ANTAL UPPGIFTER: 5 ANSVARIG LÄRARE: Johan Löfberg, tel 7-339 BESÖKER SALEN: 5., 7.3 KURSADMINISTRATÖR: Ninna Stensgård,
Läs merReglerteknik, TSIU61. Föreläsning 2: Laplacetransformen
Reglerteknik, TSIU61 Föreläsning 2: Laplacetransformen Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet Innehåll 2(13) 1. Sammanfattning av föreläsning 1 2. Hur löser man differentialekvationer på ett arbetsbesparande
Läs merTENTAMEN: DEL B Reglerteknik I 5hp
TENTAMEN: DEL B Reglerteknik I 5hp Tid: Fredag 25 oktober 2013, kl. 13.00-16.00 Plats: Magistern Ansvarig lärare: Hans Norlander, tel. 018-4713070. Hans kommer och svarar på frågor ungefär kl 14.30. Tillåtna
Läs merDIGITALA FILTER. Tillämpad Fysik Och Elektronik 1. Frekvensfunktioner FREKVENSSVAR FÖR ETT TIDSDISKRET SYSTEM. x(n)= Asin(Ωn)
DIGITALA FILTER TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 1 Frekvensfunktioner x(n)= Asin(Ωn) y(n) H(z) TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 2 FREKVENSSVAR FÖR ETT TIDSDISKRET SYSTEM
Läs mer