Skriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (ETE055)

Transkript

1 Skriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π (ETEF01 och F (ETE055 1 Tid och plats: 6 oktober, 016, kl , lokal: Gasquesalen. Kursansvarig lärare: Anders Karlsson, tel och Tillåtna hjälpmedel: Formelsamling i elektromagnetisk fältteori samt kalkylator. En tunn metallskiva, som kan antas vara oändligt stor, ligger i planet z = 0. Skivan är jordad. Ovanför skivan finns en punktladdning q i ( a, 0, a och en likadan laddning q i (a, 0, a. Under skivan finns ett homogent laddat klot med radien a och centrum i (0, 0, a. Klotet har rymdladdningstätheten ρ. Det råder vakuum ovanför och under skivan. Bestäm krafterna på de båda punktladdningarna och på klotet. Innan kvantmekaniken använde man sig av enkla elektrostatiska modeller av elektronen för att bestämma dess radie. Genom att utnyttja sambandet mellan massa och energi, W = mc, kunde man bestämma elektronens radie. Antag att elektronens energi är helt elektrostatisk. Bestäm ett uttryck för dess radie då elektronen antas vara ett sfäriskt klot med konstant laddningstäthet. Radien skall uttryckas i elektronens laddning q e, dess massa m, permittiviteten för vakuum ε 0 och ljushastigheten c. Två protonstrålar färdas parallellt i positiv z led. Vardera strålen är axialsymmetrisk med ytterradien a. Laddningstätheten beror därmed bara av avståndet från symmetriaxeln. Alla protoner i de båda strålarna färdas med samma hastighet v = vẑ. Bestäm krafterna per längdenhet på de båda strålarna om avståndet mellan deras symmetriaxlar är 4a och totala strömmen i vardera strålen är I och visa att krafterna går mot noll då v går mot c. Uttryck krafterna i strömmen I, radien a, farten v och ljushastigheten c. Var noga med att ange riktningarna på de båda krafterna. 4 Två små cirkulära spolar, spole A och spole B, har vardera N lindningsvarv, radien a och resistansen R. Spole A ligger i planet z = 0 och har sitt centrum i origo. Spole B är i planet y = b och rör sig med konstant hastighet v = vẑ längs linjen r = (0, b, z. Spole B passerar punkten (0, b, 0 vid tiden t = 0. Bestäm den inducerade strömmen i B (t i spole B om man driver en likström I 0 genom spole A. Självinduktansen i spole B kan försummas och b a.

2 5 e r z oladdat metallklot V -V x a a 4a 6a Bilden visar tre sfäriska metallklot. Det stora klotet har radien 6a. Inuti finns två sfäriska hålrum med radie a och centrum i ( a, 0, 0 respektive (a, 0, 0. De små metallkloten har radien a och centrum i ( a, 0, 0 respektive (a, 0, 0. Den övre halvan av utrymmet mellan det vänstra mindre klotet och det större klotet är fyllt med ett dielektrikum med relativ permittivitet ε r > 1, medan det är luft (ε r = 1 i den undre halvan, enligt figuren. Utrymmet mellan det högra lilla klotet och det stora klotet är luftfyllt. a Bestäm kapacitansen mellan det lilla vänstra klotet och det stora klotet. b Man låter den sammanhängande metalldelen i det stora klotet vara oladdad och ger det vänstra mindre klotet potentialen V och det högra potentialen V. Bestäm elektriska fältet E(r för r > 6a om det är luft utanför det stora klotet. 6 x S d=l z vakuum S perfekt elektrisk ledare S 1 En plan linjärpolariserad tidsharmonisk våg med det elektriska fältet E(z, t = E 0 cos(kz ωtˆx faller in mot den perfekt ledande väggen som syns i figuren. När avståndet d mellan väggdelarna är en våglängd kommer den reflekterade vågen att utbreda sig som en planvåg i negativ z led. Ytan S 1 kan antas sträcka sig mot x = och S mot x =. Bestäm ytladdningstätheten ρ s och ytströmtätheten J s som funktion av x och t längs de två vertikala metallytorna S 1 och S, och som funktion av z och t längs den horisontella ytan S, enligt figur.

3 Lösningar till tentamen i EF för π och F Tid och plats: 6 oktober, 016, kl , lokal: Gasquesalen. Kursansvarig lärare: Anders Karlsson. Lösning problem 1 De två punktladdningar får spegelladdningar q i punkterna ( a, 0, a respektive (a, 0, a. Coulombs lag ger kraften på laddningen i ( a, 0, a q (( F v = 1 ( ˆx 1 + ẑ πε 0 a Av symmetriskäl blir kraften på laddningen i (a, 0, a q (( F h = ( 1 ˆx 1 + πε 0 a Klotet speglas till ett lika stort klot med laddningstäthet ρ och centrum i (0, 0, a. Kloten påverkar varandra som punktladdningar med laddningar 4πa ρ respektive 4πa ρ. Det ger kraften ( 4πa ρ Lösning problem F s = Den elektrostatiska energin ges av W e = ε 0 1 4πε 0 16a ẑ = πa4 ρ 6ε 0 ẑ V E(r dv där V är hela rummet. Gauss lag ger det elektriska fältet ρr ˆr, för r < a ε E(r = 0 ρa ˆr, för r a ε 0 r Integration ger Det ger W e = 4π ε 0 0 E(r r dr W e = 4πρ a 5 15ε 0 Eftersom elektronens laddning är q e = 4πa ρ och W e = mc blir radien a = q e 0πε 0 mc ẑ

4 Lösning problem Vi kan ersätta vardera protonstråle med en linjeladdningstäthet ρ l = I/v som rör sig med hastigheten v. Kraften per längdenhet på vardera stråle är F = ρ l (E + v B Låt en av strålarna gå längs z axeln och den andra längs linjen r = (4a, 0, z. Det elektriska fältet och den magnetiska flödestätheten från strålen som färdas längs z axeln är E(r c = ρ l πε 0 r c ˆr c B(r c = µ 0I πr c ˆφ Kraften per längdenhet på den andra strålen är ( ρl F = ρ l πε 0 4a ˆx + µ 0I π4a v ŷ Det ger Eftersom c = 1/ µ 0 ε 0 fås F = I 8πε 0 av ( 1 ε0 µ 0 v ˆx F = I 8πε 0 av (1 (v/c ˆx Kraften är repellerande men när farten v närmar sig ljushastigheten går den mot noll. Lösning problem 4 Spole A fungerar som en magnetisk dipol och ger magnetiska flödestätheten B(r = µ ( 0m ˆr cos θ + 4πr ˆθ sin θ där m är spolens magnetiska dipolmoment. Spole B kommer att befinna sig i (0, b, vt. Normalen till den cirkulära yta som spänns upp av spolen är ˆn = ŷ. Flödet i positiv y led genom spole B blir Φ(z = πa µ ( 0m ˆr ŷ cos θ + 4πr ˆθ ŷ sin θ

5 Följande samband gäller: z = vt r = z + b ˆr ŷ = sin θ ˆθ ŷ = cos θ z cos θ = b + z sin θ = b b + z Det ger och Φ(z = πa µ 0m sin θ cos θ 4πr Φ(z = a µ 0 mzb 4(b + z 5/ (1 Strömmen i spole A är I 0. Det ger det konstanta dipolmomentet m = NI 0 πa. Den inducerade emk:n i spole B är då E = N dz dφ(z dt dz = Nva µ 0 mb 4 b 4z (b + z 7/ Strömmen i spole B blir i B (t = E R och därmed i B (t = Nva µ 0 mb 4R b 4(vt (b + (vt 7/ där referensriktningen på strömmen är relaterad till ŷ visa skruvregeln. Lösning problem 5 a Bestäm först kapacitansen mellan två sfärer där hela utrymmet mellan sfärerna är fyllt med ett material med permittivitet ε r. Lägg en laddning Q på den inre sfären. Det elektriska fältet mellan sfärerna ges av E(r = Q 4πε 0 ɛ r r ˆr Spänningen mellan den inre och yttre sfären är Kapacitansen är V (a V (a = C = Q 4πε 0 ɛ r ( 1 a 1 a Q V (a V (a = 8πε 0ɛ r a

6 4 Kapacitansen för den vänstra kondensatorn fås genom parallellkoppling av två halvsfäriska kondensatorer där den ena har kapacitansen C 1 = 4πε 0 ɛ r a och den andra har kapacitansen C = 4πε 0 a. Det ger totala kapacitansen C v = C 1 + C = 4πε 0 (ɛ r + 1a b Vi vet inte potentialen på det stor klotet och inte laddningarna på de små sfärerna. Låt V s beteckna potentialen på den stora sfären, Q v den fria laddningen på det vänstra mindre klotet och Q h laddningen på det högra mindre klotet. Totala laddningen för r 6a är då Q v + Q h och därmed är potentialen på ytan av det stora klotet V s = (Q v + Q h /(4πε 0 6a. Det ger ett ekvationssystem för de tre okända storheterna V s, Q v och Q h. Vi löser ut V s och får Q v = C v (V V s Q h = C h (V + V s V s = Q v + Q h 4πε 0 6a V s = ε r 1 ε r + 9 V Det ger totala laddningen Q v + Q h = 4πε 0 a ε r 1 V. För r > 6a är det elektriska ε r + 9 fältet detsamma som för en punktladdning Q v + Q h i centrum av det stora klotet. Det ger det elektriska fältet för r > 6a Lösning problem 6 E(r = V 6a(ε r 1 (ε r + 9r ˆr Det infallande fältet har, enligt regeln om högersystem, de elektriska och magnetiska fälten E(z, t = E 0 cos(kz ωtˆx H(z, t = 1 η 0 E 0 cos(kz ωtŷ Dessa ger upphov till reflekterade elektriska och magnetiska fält E r (z, t = E 0 cos(kz + ωtˆx H r (z, t = 1 η 0 ( ẑ E r (z, t = 1 η 0 E 0 cos(kz + ωtŷ Genom att använda cos(α + β = cos α cos β sin α sin β kan de totala fälten skrivas E tot (z, t = E 0 sin kz sin ωt ˆx H tot (z, t = 1 η 0 E 0 cos kz cos ωt ŷ

7 5 Vi ser att tangentialkomponenten av det elektriska fältet och normalkomponenten av det magnetiska fältet är noll på alla ytor. Fälten uppfyller också vågekvationen överallt i luften. Därmed är detta en korrekt lösning. Vi använder nu randrelationerna för perfekt ledande ytor ρ s (r, t = ε 0 ˆn E tot (z, t, r S 1, S, S J s (r, t = ˆn H tot (z, t, r S 1, S, S där ˆn är enhetsnormalen som pekar in mot det luftfyllda området. Detta ger följande ytladdningstätheter och ytströmtätheter: { 0, r S 1 och S ρ s (r, t = ε 0 E 0 sin kz sin ωt, r S E 0 cos ωt ˆx, r S 1 och S η 0 J s (r, t = E 0 cos kz cos ωt ẑ, r S η 0