14. Potentialer och fält

Transkript

1 4. Potentialer och fält [Griffiths,RMC] För att beräkna strålningen från kontinuerliga laddningsfördelningar och punktladdningar måste deras el- och magnetfält vara kända. Dessa är i de flesta fall enklast att beräkna efter att de retarderade skalär- och vektorpotentialerna bestämts. I det följande tar vi en närmare titt på potentialerna, och beräknar fälten för punktladdningar i godtycklig (icke-relativistisk) rörelse. De senare kräver en hel del mera matematik än fälten från enkla laddningsfördelningar. Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund Repetition av potentialerna Vi visade tidigare att vi kan definiera en magnetisk vektorpotential A och en skalär potential ϕ så att B = A (4.) E = ϕ t A (4.2) Maxwells I och IV lag i vakuum blir för dessa 2 ϕ + t A = ρ ε 0 (4.3) 2 A ( A) µ 0 ε 0 t ϕ µ 0 ε 0 2 t A = µ 0J (4.4) Enligt tidigare kan vi addera gradienten av en godtycklig skalärfunktion Ψ till A utan att det ändrar på B = A. Denna egenskap hos A kallades måttinvarians. I Lorentz-måttet väljs Ψ så att A = 2 Ψ = µ 0 ε 0 t ϕ (4.5) Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 4.2

2 Vågekvationerna för potentialerna reduceras nu till 2 ϕ µ 0 ε 0 2 t ϕ = ρ ε 0 (4.6) 2 A µ 0 ε 0 2 t A = µ 0J (4.7) som är av utseendet 2 ϕ = ρ ε 0 (4.8) 2 A = µ 0 J (4.9) där kallas d Alemberts operator. 2 2 µ 0 ε 0 2 t (4.0) Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund Kontinuerliga laddningsfördelningar [Griffiths] Vi argumenterade tidigare oss fram till följande uttryck för de retarderade potentialerna för kontinuerliga laddningsfördelningar: ϕ(r, t) = 4πε 0 A(r, t) = µ 0 4π V V dv ρ(r, t r ) r r dv J(r, t r ) r r (4.) (4.2) där den retarderade tiden är t r = t r r c Riktigheten i dessa uttryck kan verifieras genom att sätta in dem i vågekvationerna. (4.3) Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 4.4

3 Exempel : Låt strömmen I i en oändligt lång rak ledning längs med z- axeln vara 0 då t < 0 och I 0 då t 0. Bestäm E och B. Eftersom ledningen är neutral så gäller ρ = 0 och därför ϕ = 0. Vektorpotentialen är A(r, t) = µ 0ẑ 4π = µ 0ẑ 4π = µ 0ẑ 4π dz I(t r) r r dz I(t r r /c) r r dz I(t s 2 + z 2 /c) s2 + z 2 (4.4) Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 4.5 Endast för tiden t r = t s 2 + z 2 /c 0 gäller I 0. Tidigare än detta är strömmen noll. Detta ger så att z (ct) 2 s 2 (4.5) A(s, t) = µ 0I 0 ẑ 4π (ct) 2 s 2 dz (ct) 2 s 2 s2 + z 2 = µ (ct) 0I 0 ẑ 2 s 2 dz 2π 0 s2 + z 2 = µ ( 0I 0 ẑ ln( s 2 + ( (ct) 2 s 2 ) 2 + ( (ct) 2 s 2 )) 2π ) ln( s 2 + (0) 2 + 0) = µ 0I 0 ẑ 2π = µ 0I 0 ẑ 2π ( ) ln(ct + (ct) 2 s 2 ) ln(s) ct + (ct)2 s 2 ln s (4.6) Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 4.6

4 Elfältet är nu µ 0 ci 0 ẑ E(s, t) = t A = 2π (4.7) (ct) 2 s 2 Magnetfältet är B(s, t) = A = s A z ψ = µ 0 I 0 2π ct ψ s (4.8) (ct) 2 s 2 Check: Då t är situationen den att en konstant ström flyter i en lång rak ledning. Vi ska då få tillbaka det tidigare resultatet för B. µ 0 ci 0 ẑ lim E(s, t) = lim t t 2π (ct) 2 s = 0 (4.9) 2 Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 4.7 µ 0 I 0 ct lim B(s, t) = lim ψ t t 2π s (4.20) (ct) 2 s 2 µ 0 I 0 c = lim ψ t 2π s (4.2) c 2 (s/t) 2 = µ 0I 0 2π ψ s (4.22) Ampères lag ger 2πsB/µ 0 = I 0 så att B = µ 0 I 0 /(2πs), och riktningen är ψ. OK! Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 4.8

5 Exempel 2: Som föregående exempel, men för strömmen I gäller I = 0 då t < 0 och I = kt då t 0. A(r, t) = µ 0ẑ 4π = µ 0ẑ 4π dz kt r r r dz k(t r r /c) r r (4.23) (4.24) För t r = t r r = t s 2 + z 2 /c 0 gäller k 0. detta ger att så z (ct) 2 s 2 (4.25) Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 4.9 A(s, t) = µ (ct) 0kẑ 2 s 2 4π 2 dz t s 2 + z 2 /c (4.26) 0 s2 + z 2 (ct) 2 s 2 = µ 0kẑ 2πc = µ 0kẑ 2πc 0 dz ct s 2 + z 2 s2 + z 2 (4.27) (ct) 2 s 2 ( ) ct dz s2 + z 2 0 = µ 0kẑ 2πc ( (ct) 2 s 2 ) + µ 0kẑ 2πc = µ 0kẑ 2πc (ct) 2 s 2 + µ 0ktẑ ct + ln 2π Vi har inga externa laddningar, så ρ(r, t r ) = 0 och ϕ(s, t) = 0 ct + (ct)2 s 2 ct ln s (ct)2 s 2 s (4.28) (4.29) (4.30) Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 4.0

6 4.3. Punktladdningar Liénard-Wiechert-potentialerna [RMC, Griffiths] Vi ska nu bestämma de retarderade potentialerna för en punktladdning q. Laddningarna antas nu ha stora (icke-relativistiska) hastigheter, vilket komplicerar proceduren att ta reda på den retarderade tiden. Låt laddningens position vara beskriven av kurvan w = w(t), och låt observationspunkten där potentialerna och fälten ska bestämmas vara r(t). Den retarderade tiden t r fås från insikten att en förändring i w vid den retarderade tiden t r når observatören i punkten i r vid tiden t med ljusets hastighet: Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 4. r(t) w(t r ) = c(t t r ) (4.3) Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 4.2

7 Detta är i princip samma relation som tidigare, men nu kan vi inte längre approximera w(t r ) w(t) för att laddningarna i det allmänna fallet kan röra sig godtyckligt snabbt (men så att hastigheterna är icke-relativistiska). Detta ger t r = t r(t) w(t r ) /c (4.32) Skalärpotentialen är nu ϕ(r, t) = 4πε 0 dv ρ(r r, t r) r r r (t r ) (4.33) där r löper över punktladdningen, som nu tänkes ha en liten utsträckning. Detta gör att följande behandling också är giltig för laddningsfördelningar som är mycket små. Observera, att laddningstätheten nu beror på laddningselementens olika positioner r funktioner av olika retarderade tider. Inte bra! som är Vi går nu vidare så att vi väljer en fixerad retarderad tid t r och evaluerar positionerna r för denna tid. Dessa blir då r (t r ). Poängen med detta är att en integral över laddningstätheten för en och samma fixerade retarderade tid för alla laddningar ger oss den korrekta laddningen. Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 4.3 Laddningstätheten blir ρ(r (t r ), t r ) = ρ(r (t r ), t r ) (4.34) Positionerna vid den nya tiden t r expanderar vi nu i den gamla tiden t r : r (t r ) = r (t r ) + v(t r )(t r t r ) + dv dt r t r ) t r(t (4.35) Volymelementet dv r bör nu ändras till dv r. För detta behövs Jakobianen (funktionaldeterminanten) J(x r, y r, z r ; x r, y r, z r ): dv r = J(x r, y r, z r ; x r, y r, z r )dv r (4.36) x rx r y rx r z rx r = x ry r y ry r z ry r x rz r y rz r z rz r dv r (4.37) Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 4.4

8 En räkning ger slutsvaret dv r = dv r ( v(t r) R(t, t r ) c dv c dt t r R(t, t r )(t r t r ) +... ) (4.38) där R = r(t) r (t r ) (4.39) R = R R (4.40) Man kan argumentera att dv c dt t r R(t r t r ) dv c 2 dt (4.4) t rd där d är den punktformade laddningens storlek. På motsvarande sätt ska högre ordningens termer försvinna. Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 4.5 Detta ger dv r dv r ( v(t r) R c ) (4.42) Vi får slutligen ϕ(r, t) = = 4πε 0 dv r ρ(r (t r ), t r ) v(t r ) R/c R 4πε 0 R( v(t r ) R/c) 4πε 0 qc Rc v(t r ) R dv r ρ(r (t r ), t r ) (4.43) Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 4.6

9 Man kan visa att vektorpotentialen är A(r, t) = µ 0 4π qcv(t r ) Rc v(t r ) R (4.44) = µ 0 ε 0 v(t r )ϕ(r, t) (4.45) = v(t r) c 2 ϕ(r, t) (4.46) Sammanfattningsvis: ϕ(r, t) = 4πε 0 qc Rc v R (4.47) A(r, t) = v c2ϕ(r, t) (4.48) R = r(t) w(t r ) (4.49) v(t r ) = dw(t) dt t=t r (4.50) Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 4.7 Arbetsschema: (i) Bestäm den retarderade tiden t r från givet uttryck för w = w(t). (ii) Bestäm R = c(t t r ). (iii) Bestäm R = r(t) w(t r ). (iv) Bestäm Rc v(t) R. (v) Skriv ner potentialerna. Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 4.8

10 Exempel : Bestäm potentialerna för en punktladdning som rör sig genom origo då t = 0. Nu gäller w(t) = vt där v är en konstant. (i) Bestäm den retarderade tiden. ger r(t) w(t r ) = c(t t r ) (4.5) som ger r(t) vt r = c(t t r ) (4.52) eller r 2 + v 2 t 2 r 2r vt r = c 2 t 2 + c 2 t 2 r 2ctt r (4.53) Lösningen är (v 2 c 2 )t 2 r + 2(ct r v)t r + r 2 c 2 t 2 = 0 (4.54) t r = (c2 t r v) ± (c 2 t r v) 2 + (c 2 v 2 )(r 2 c 2 t 2 ) c 2 v 2 (4.55) Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 4.9 Vilket tecken bör vi använda? Då v = 0 reduceras uttrycket till t r = c2 t ± c 4 t 2 + c 2 r 2 c 4 t 2 ) c 2 = t ± r/c (4.56) Vi vet ju från tidigare att den retarderade tiden ser ut som t r = t r w /c, så vi måste välja minustecknet: t r = (c2 t r v) (c 2 t r v) 2 + (c 2 v 2 )(r 2 c 2 t 2 ) c 2 v 2 (4.57) (ii) och (iii): Bestäm R(t r ) och R(t r ). R = c(t t r ) (4.58) R = r w(t r ) (4.59) Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 4.20

11 (iv) Bestäm Rc v(t r ) R. Eftersom hastigheten är konstant har vi v(t r ) = v. Rc v R(t r ) = c 2 (t t r ) v r + v (vt r ) (4.60) = c 2 (t t r ) v r + v 2 t r (4.6) = c 2 t v r (c 2 v 2 )t r (4.62) Insättning av uttrycket för t r ger nu Rc v R(t r ) = (c 2 t v r) 2 + (c 2 v 2 )(r 2 c 2 t 2 ) (4.63) Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 4.2 (v) Skriv ner potentialerna. ϕ(r, t) = qc 4πε 0 (c2 t v r) 2 + (c 2 v 2 )(r 2 c 2 t 2 ) A(r, t) = v q c 4πε 0 (c2 t v r) 2 + (c 2 v 2 )(r 2 c 2 t 2 ) = µ 0qvc 4π (c2 t v r) 2 + (c 2 v 2 )(r 2 c 2 t 2 ) (4.64) (4.65) (4.66) Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 4.22

12 Exempel 2: Bestäm potentialerna längs med z-axeln för en punktladdning som rör sig med likformig vinkelhastighet i en cirkel i xy-planet. Cirkelns radie är a. Låt laddningen vara i (x, y) = (a, 0) vid tiden t = 0. Nu gäller w(t) = xa cos(ωt) + ŷa sin(ωt) och r = zẑ. (i) Bestäm den retarderade tiden. ger oss r(t) w(t r ) = c(t t r ) (4.67) t r = t a 2 + z 2 /c (4.68) (ii) Bestäm R(t r ) och R(t r ). R = c(t t r ) (4.69) R = r w(t r ) = zẑ a( x cos(ωt r ) + ŷ sin(ωt r )) (4.70) Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 4.23 (iii) Bestäm Rc v(t r ) R. Hastigheten är så att v(t) = dw dt = aω x sin(ωt) + aωŷ cos(ωt) (4.7) Rc v(t r ) R = Rc a 2 ω cos(ωt r ) sin(ωt r ) + a 2 ω cos(ωt r ) sin(ωt r ) = Rc = c 2 (t t r ) = c a 2 + z 2 (4.72) (iv) Skriv ner potentialerna. Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 4.24

13 ϕ(r, t) = = qc 4πε 0 c a 2 + z 2 (4.73) q 4πε 0 a2 + z 2 (4.74) A(r, t) = v c2ϕ(r, t) (4.75) = qaω x sin(ωt) ŷ cos(ωt) 4πε 0 c 2 a2 + z 2 (4.76) (4.77) Check: Då a 0 skall vi få tillbaka situationen för en statisk punktladdning i origo. Gränsvärdena ger OK! ϕ(r, t) = q 4πε 0 z (4.78) A(r, t) = 0 (4.79) Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 4.25 [Griffiths] El- och magnetfälten för punktladdningar i godtycklig rörelse Ända tills nu nöjde vi oss med att bestämma potentialerna, och då endast för laddningar i likformig rörelse. Vi ska nu se hur fälten blir att se ut, speciellt för laddningar i godtycklig (icke-relativistisk) rörelse. Potentialerna är ju där ϕ(r, t) = qc 4πε 0 Rc v(t r ) R (4.80) A(r, t) = v(t r) c 2 ϕ(r, t) (4.8) R = r(t) w(t r ) (4.82) Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 4.26

14 Fälten är som bekant E(r, t) = ϕ(r, t) t A(r, t) (4.83) B(r, t) = A(r, t) (4.84) Gradienten av skalärpotentialen är ϕ(r, t) = qc 4πε 0 (Rc v(t r ) R) (Rc v(t r) R) (4.85) 2 Vi får två termer T, T 2 som kräver närmare behandling. T : c R(t, t r ) = c (c(t t r )) = c 2 t r (4.86) T 2 : (v(t r ) R(t, t r )) = (R )v + (v )R +R ( v) + v ( R) (4.87) Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 4.27 Detta ger fyra termer t, t 2, t 3, t 4 som måste granskas. Term t : (R )v = (R x x + R y y + R z z )v (4.88) = R x x v + R y y v + R z z v (4.89) t r dv = R x x dt r + R y t r y dv t r + R z dt r z dv (4.90) dt r = a(r t r ) (4.9) där accelerationen är Term t 2 : a(t r ) dv(t r) dt r (4.92) (v )R = (v )(r(t) r (t r )) (4.93) = (v x x + v y y + v z z )(x x + yŷ + zẑ) (v )r (t r ) (4.94) = v x x + v y ŷ + v z ẑ (v )r (t r ) (4.95) Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 4.28

15 = v (v )r (t r ) (4.96) = v i v xi r (t r ) x i (4.97) = v i v xi t r x i dr (t r ) dt r (4.98) = v (v t r )v(t r ) (4.99) Term t 3 : R ( v) = R ijk = R ijk ε ijk x i v k (4.00) x j t r d ε ijk x i v k (4.0) x j dt r = R ( t r a) (4.02) = R (a t r ) (4.03) Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 4.29 Term t 4 : v ( R) = v ( r r ) (4.04) = v ( r ) (4.05) = v ( t r v) (4.06) = v (v t r ) (4.07) Här tog vi modell av vad vi gjorde för term t 3. Term T 2 blir nu (v(t r ) R) = a(r t r ) + v v(v t r ) R (a t r ) + v (v t r ) (4.08) Med BAC-CAB-regeln fås nu Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 4.30

16 (v(t r ) R) = a(r t r ) + v v(v t r ) (a(r t r ) t r (R a)) +(v(v t r ) t r (v v)) (4.09) = v + (R a v 2 ) t r (4.0) Gradienten av potentialen blir slutligen ϕ(r, t) = qc 4πε 0 (Rc v(t r ) R) 2 ( ) c 2 t r (v + (R a v 2 ) t r ) (4.) = qc 4πε 0 v + (c2 v 2 + R a) t r (Rc v(t r ) R) 2 (4.2) Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 4.3 t r fås med följande resonemang. c t r = R(t r ) = R R = 2 (R R) R R (4.3) = 2(R ( R) + (R )R) 2R (4.4) = R (R ( R) + R v(r t r)) (4.5) = R (R (v t r) + R v(r t r )) (4.6) = R (R (R v(t r)) t r ) (4.7) så att R t r = Rc v(t r ) R (4.8) Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 4.32

17 Detta ger ϕ(r, t) = = qc v (c2 v 2 + R a)r/(rc v(t r ) R) (4.9) 4πε 0 (Rc v(t r ) R) 2 qc 4πε 0 (Rc v(t r) R)v (c 2 v 2 + R a)r (Rc v(t r ) R) 3 (4.20) En motsvarande räkning ger också att t A(r, t) = qc 4πε 0 (Rc v(t r ) R) [(Rc v(t r) R)( v(t 3 r ) + Ra/c) ] +R(c 2 v 2 + R a)v(t r )/c (4.2) Introducera hjälpvektorn u = Rc v(t r ) (4.22) så att vi får Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 4.33 E(r, t) = = q R [ 4πε 0 (R u) 3 q R [ 4πε 0 (R u) 3 ] (c 2 v 2 )u + R (u a) ] (c 2 v 2 )u + (R a)u (R u)a (4.23) (4.24) För magnetfältet behövs rotorn av A: B(r, t) = A(r, t) = c 2 (v(t r)ϕ(r, t)) (4.25) = c 2 (ϕ v(t r) v ( ϕ)) (4.26) = q [ ] c 4πε 0 (R u) 3R (c 2 v 2 )v + (R a)v + (R u)a (4.27) Genom att jämföra med tidigare kan vi omvandla detta till B(r, t) = R E(r, t) = R E(r, t) (4.28) c Rc Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 4.34

18 Allmänna slutsatser: () Magnetfältet är vinkelrätt mot elfältet. (2) Magnetfältet är vinkelrätt mot vektorn som sammanbinder laddningens retarderade position med observationspunkten. Vi ser att första termen i elfältsuttrycket är inverst proportionell mot kvadraten av avståndet mellan laddning och observationspunkt, och påminner därför om Coulombs lag. Därför kan denna term kallas det generaliserade Coulomb-fältet. Eftersom denna term inte heller beror på laddningens acceleration kallas den för hastighetsfältet. Andra och tredje termerna är inverst proportionella mot avståndet, så att dessa dominerar över första termen vid stora avstånd. Dessa termer ger i själva verket upphov till strålning, som vi ska se senare. Därför kallas dessa termer också strålningsfältet. Eftersom endast de två sista termerna innehåller accelerationen kallas denna del av fältet för accelerationsfältet. Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 4.35 Låt oss ännu skriva ner Lorentz-kraften F = q(e + v B) för laddningar i godtycklig rörelse. F(r, t) = qq R [ (c 2 v 2 )u + R (u a) 4πε 0 (R u) 3 + V ( R c [(c 2 v 2 )u + R (u a)]) ] (4.29) där Q är den andra laddningens storlek, V dess hastighet, och r dess position. Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 4.36

19 Arbetsschema: (i) Bestäm den retarderade tiden t r laddningens position är w = w(t). (ii) Bestäm R = c(t t r ). (iii) Bestäm R = r(t) w(t r ). med hjälp av relationen c(t t r ) = r w(t r ), där (iv) Bestäm u = cr/r v(t r ), där v = dw/dt är laddningens hastighet vid den retarderade tiden. (v) Bestäm R u = Rc v(t r ) R. (vi) Bestäm a = dv/dt = d 2 w/dt 2. (vii) Bestäm R (u a). (viii) Skriv ner elfältet och förenkla. (ix) Bestäm magnetfältet från E och R. Elektrodynamik, vt 203, Kai Nordlund 4.37