14. Potentialer och fält

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "14. Potentialer och fält"

Transkript

1 4. Potentialer och fält [Griffiths,RMC] För att beräkna strålningen från kontinuerliga laddningsfördelningar och punktladdningar måste deras el- och magnetfält vara kända. Dessa är i de flesta fall enklast att beräkna efter att de retarderade skalär- och vektorpotentialerna bestämts. I det följande tar vi en närmare titt på potentialerna, och beräknar fälten för punktladdningar i godtycklig (icke-relativistisk) rörelse. De senare kräver en hel del mera matematik än fälten från enkla laddningsfördelningar. Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson Repetition av potentialerna Vi visade tidigare att vi kan definiera en magnetisk vektorpotential A och en skalär potential ϕ så att B = A (4.) E = ϕ t A (4.2) Maxwells I och IV lag i vakuum blir för dessa 2 ϕ + t A = ρ ε 0 (4.3) 2 A ( A) µ 0 ε 0 t ϕ µ 0 ε 0 2 t A = µ 0J (4.4) Enligt tidigare kan vi addera gradienten av en godtycklig skalärfunktion Ψ till A utan att det ändrar på B = A. Denna egenskap hos A kallades måttinvarians. I Lorentz-måttet väljs Ψ så att A = 2 Ψ = µ 0 ε 0 t ϕ (4.5) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.2

2 Vågekvationerna för potentialerna reduceras nu till 2 ϕ µ 0 ε 0 2 t ϕ = ρ ε 0 (4.6) 2 A µ 0 ε 0 2 t A = µ 0J (4.7) som är av utseendet 2 ϕ = ρ ε 0 (4.8) 2 A = µ 0 J (4.9) där kallas d Alemberts operator. 2 2 µ 0 ε 0 (4.0) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson Kontinuerliga laddningsfördelningar [Griffiths] Vi argumenterade tidigare oss fram till följande uttryck för de retarderade potentialerna för kontinuerliga laddningsfördelningar: ϕ(r, t) = Z A(r, t) = µ Z 0 4π V V dv ρ(r, t r ) r r dv J(r, t r ) r r (4.) (4.2) där den retarderade tiden är t r = t r r c Riktigheten i dessa uttryck kan verifieras genom att sätta in dem i vågekvationerna. (4.3) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.4

3 Exempel : Låt strömmen I i en oändligt lång rak ledning längs med z- axeln vara 0 då t < 0 och I 0 då t 0. Bestäm E och B. Eftersom ledningen är neutral så gäller ρ = 0 och därför ϕ = 0. Vektorpotentialen är A(r, t) = µ 0bz 4π = µ 0bz 4π = µ 0bz 4π Z Z Z dz I(t r) r r dz I(t r r /c) r r dz I(t s 2 + z 2 /c) s2 + z 2 (4.4) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.5 Endast för tiden t r = t s 2 + z 2 /c 0 gäller I 0. Tidigare än detta är strömmen noll. Detta ger så att z q (ct) 2 s 2 (4.5) A(s, t) = µ 0I 0 bz 4π Z (ct) 2 s 2 dz (ct) 2 s 2 s2 + z 2 = µ Z (ct) 0I 0 bz 2 s 2 dz 2π 0 s2 + z 2 = µ r 0I 0 bz q q ln( s 2 + ( (ct) 2 s 2 ) 2 + ( (ct) 2 s 2 )) 2π q «ln( s 2 + (0) 2 + 0) = µ 0I 0 bz 2π = µ 0I 0 bz 2π q «ln(ct + (ct) 2 s 2 ) ln(s) p ct + (ct)2 s 2 ln s (4.6) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.6

4 Elfältet är nu µ 0 ci 0 bz E(s, t) = t A = 2π p (4.7) (ct) 2 s 2 Magnetfältet är B(s, t) = A = s A z b ψ = µ 0 I 0 2π ctψ b s p (4.8) (ct) 2 s 2 Check: Då t är situationen den att en konstant ström flyter i en lång rak ledning. Vi ska då få tillbaka det tidigare resultatet för B. µ 0 ci 0 bz lim E(s, t) = lim t t 2π p (ct) 2 s = 0 (4.9) 2 Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.7 µ 0 I 0 ctψ lim B(s, t) = lim b t t 2π s p (4.20) (ct) 2 s 2 µ 0 I 0 cψ = lim b t 2π s p (4.2) c 2 (s/t) 2 = µ 0I 0 2π Ampères lag ger 2πsB/µ 0 = I 0 så att B = µ 0 I 0 /(2πs), och riktningen är b ψ. OK! bψ s (4.22) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.8

5 Exempel 2: Som föregående exempel, men för strömmen I gäller I = 0 då t < 0 och I = kt då t 0. A(r, t) = µ 0bz 4π = µ 0bz 4π Z Z dz kt r r r dz k(t r r /c) r r (4.23) (4.24) För t r = t r r = t s 2 + z 2 /c 0 gäller k 0. detta ger att så z q (ct) 2 s 2 (4.25) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.9 A(s, t) = µ Z (ct) 0kbz s 2 4π 2 dz t s 2 + z 2 /c 0 s2 + z 2 (4.26) Z (ct) 2 s 2 = µ 0kbz 2πc = µ 0kbz 2πc 0 dz ct s 2 + z 2 s2 + z 2 (4.27) Z (ct) 2 s 2 «ct dz s2 + z 2 0 = µ q 0kbz 2πc ( (ct) 2 s 2 ) + µ 0kbz 2πc = µ 0kbz 2πc q (ct) 2 s 2 + µ 0ktbz ct + ln 2π Vi har inga externa laddningar, så ρ(r, t r ) = 0 och ϕ(s, t) = 0 p ct + (ct)2 s 2 ct ln s p (ct)2 s 2 s (4.28) (4.29) (4.30) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.0

6 4.3. Punktladdningar Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson Liénard-Wiechert-potentialerna [RMC, Griffiths] Vi ska nu bestämma de retarderade potentialerna för en punktladdning q. Laddningarna antas nu ha stora (icke-relativistiska) hastigheter, vilket komplicerar proceduren att ta reda på den retarderade tiden. Låt laddningens position vara beskriven av kurvan w = w(t), och låt observationspunkten där potentialerna och fälten ska bestämmas vara r(t). Den retarderade tiden t r fås från insikten att en förändring i w vid den retarderade tiden t r når observatören i punkten i r vid tiden t med ljusets hastighet: r(t) w(t r ) = c(t t r ) (4.3) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.2

7 Detta är i princip samma relation som tidigare, men nu kan vi inte längre approximera w(t r ) w(t) för att laddningarna i det allmänna fallet kan röra sig godtyckligt snabbt (men så att hastigheterna är icke-relativistiska). Detta ger t r = t r(t) w(t r ) /c (4.32) Skalärpotentialen är nu ϕ(r, t) = Z dv ρ(r r, t r) r r r (t r ) (4.33) där r löper över punktladdningen, som nu tänkes ha en liten utsträckning. Detta gör att följande behandling också är giltig för laddningsfördelningar som är mycket små. Observera, att laddningstätheten nu beror på laddningselementens olika positioner r funktioner av olika retarderade tider. Inte bra! som är Vi går nu vidare så att vi väljer en fixerad retarderad tid t r och evaluerar positionerna r för denna tid. Dessa blir då r (t r ). Poängen med detta är att en integral över laddningstätheten för en och samma fixerade retarderade tid för alla laddningar ger oss den korrekta laddningen. Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.3 Laddningstätheten blir ρ(r (t r ), t r ) = ρ(r (t r ), t r ) (4.34) Positionerna vid den nya tiden t r expanderar vi nu i den gamla tiden t r : r (t r ) = r (t r ) + v(t r )(t r t r ) + dv dt tr(t r t r ) (4.35) Volymelementet dv r bör nu ändras till dv r. För detta behövs Jakobianen (funktionaldeterminanten) J(x r, y r, z r ; x r, y r, z r ): dv r = J(x r, y r, z r ; x r, y r, z r )dv r (4.36) x rx r y rx r z rx r = x ry r y ry r z ry r x rz r y rz r z rz r dv r (4.37) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.4

8 En räkning ger slutsvaret dv r = dv r v(t r) br(t, t r ) dv c c dt tr br(t, t r )(t r t r ) +...! (4.38) där R = r(t) r (t r ) (4.39) br = R R (4.40) Man kan argumentera att dv c dt tr br(t r t r ) dv c 2 dt trd (4.4) där d är den punktformade laddningens storlek. På motsvarande sätt ska högre ordningens termer försvinna. Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.5 Detta ger dv r dv r v(t r) br! c (4.42) Vi får slutligen ϕ(r, t) = = Z dv r ρ(r (t r ), t r ) v(t r ) br/c R Z R( v(t r ) br/c) qc Rc v(t r ) R dv r ρ(r (t r ), t r ) (4.43) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.6

9 Man kan visa att vektorpotentialen är A(r, t) = µ 0 4π qcv(t r ) Rc v(t r ) R (4.44) = µ 0 ε 0 v(t r )ϕ(r, t) (4.45) = v(t r) c 2 ϕ(r, t) (4.46) Sammanfattningsvis: ϕ(r, t) = qc Rc v R (4.47) A(r, t) = v c2ϕ(r, t) (4.48) R = r(t) w(t r ) (4.49) v(t r ) = dw(t) dt t=t r (4.50) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.7 Arbetsschema: (i) Bestäm den retarderade tiden t r från givet uttryck för w = w(t). (ii) Bestäm R = c(t t r ). (iii) Bestäm R = r(t) w(t r ). (iv) Bestäm Rc v(t) R. (v) Skriv ner potentialerna. Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.8

10 Exempel : Bestäm potentialerna för en punktladdning som rör sig genom origo då t = 0. Nu gäller w(t) = vt där v är en konstant. (i) Bestäm den retarderade tiden. ger r(t) w(t r ) = c(t t r ) (4.5) som ger r(t) vt r = c(t t r ) (4.52) eller r 2 + v 2 t 2 r 2r vt r = c 2 t 2 + c 2 t 2 r 2ctt r (4.53) Lösningen är (v 2 c 2 )t 2 r + 2(ct r v)t r + r 2 c 2 t 2 = 0 (4.54) t r = (c2 t r v) ± p (c 2 t r v) 2 + (c 2 v 2 )(r 2 c 2 t 2 ) c 2 v 2 (4.55) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.9 Vilket tecken bör vi använda? Då v = 0 reduceras uttrycket till t r = c2 t ± p c 4 t 2 + c 2 r 2 c 4 t 2 ) c 2 = t ± r/c (4.56) Vi vet ju från tidigare att den retarderade tiden ser ut som t r = t r w /c, så vi måste välja minustecknet: t r = (c2 t r v) p (c 2 t r v) 2 + (c 2 v 2 )(r 2 c 2 t 2 ) c 2 v 2 (4.57) (ii) och (iii): Bestäm R(t r ) och R(t r ). R = c(t t r ) (4.58) R = r w(t r ) (4.59) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.20

11 (iv) Bestäm Rc v(t r ) R. Eftersom hastigheten är konstant har vi v(t r ) = v. Rc v R(t r ) = c 2 (t t r ) v r + v (vt r ) (4.60) = c 2 (t t r ) v r + v 2 t r (4.6) = c 2 t v r (c 2 v 2 )t r (4.62) Insättning av uttrycket för t r ger nu Rc v R(t r ) = q (c 2 t v r) 2 + (c 2 v 2 )(r 2 c 2 t 2 ) (4.63) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.2 (v) Skriv ner potentialerna. ϕ(r, t) = qc p (c2 t v r) 2 + (c 2 v 2 )(r 2 c 2 t 2 ) A(r, t) = v q p c (c2 t v r) 2 + (c 2 v 2 )(r 2 c 2 t 2 ) = µ 0qvc 4π p (c2 t v r) 2 + (c 2 v 2 )(r 2 c 2 t 2 ) (4.64) (4.65) (4.66) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.22

12 Exempel 2: Bestäm potentialerna längs med z-axeln för en punktladdning som rör sig med likformig vinkelhastighet i en cirkel i xy-planet. Cirkelns radie är a. Låt laddningen vara i (x, y) = (a, 0) vid tiden t = 0. Nu gäller w(t) = bxa cos(ωt) + bya sin(ωt) och r = zbz. (i) Bestäm den retarderade tiden. ger oss r(t) w(t r ) = c(t t r ) (4.67) t r = t p a 2 + z 2 /c (4.68) (ii) Bestäm R(t r ) och R(t r ). R = c(t t r ) (4.69) R = r w(t r ) = zbz a(bx cos(ωt r ) + by sin(ωt r )) (4.70) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.23 (iii) Bestäm Rc v(t r ) R. Hastigheten är så att v(t) = dw dt = aωbx sin(ωt) + aωby cos(ωt) (4.7) Rc v(t r ) R = Rc a 2 ω cos(ωt r ) sin(ωt r ) + a 2 ω cos(ωt r ) sin(ωt r ) = Rc = c 2 (t t r ) = c p a 2 + z 2 (4.72) (iv) Skriv ner potentialerna. Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.24

13 ϕ(r, t) = = qc c a 2 + z 2 (4.73) q a2 + z 2 (4.74) A(r, t) = v c2ϕ(r, t) (4.75) = qaω bx sin(ωt) by cos(ωt) c 2 a2 + z 2 (4.76) (4.77) Check: Då a 0 skall vi få tillbaka situationen för en statisk punktladdning i origo. Gränsvärdena ger ϕ(r, t) = q z (4.78) A(r, t) = 0 (4.79) OK! Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson El- och magnetfälten för punktladdningar i godtycklig rörelse [Griffiths] Ända tills nu nöjde vi oss med att bestämma potentialerna, och då endast för laddningar i likformig rörelse. Vi ska nu se hur fälten blir att se ut, speciellt för laddningar i godtycklig (icke-relativistisk) rörelse. Potentialerna är ju där ϕ(r, t) = qc Rc v(t r ) R (4.80) A(r, t) = v(t r) c 2 ϕ(r, t) (4.8) R = r(t) w(t r ) (4.82) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.26

14 Fälten är som bekant E(r, t) = ϕ(r, t) t A(r, t) (4.83) B(r, t) = A(r, t) (4.84) Gradienten av skalärpotentialen är ϕ(r, t) = qc (Rc v(t r ) R) (Rc v(t r) R) (4.85) 2 Vi får två termer T, T 2 som kräver närmare behandling. T : c R(t, t r ) = c (c(t t r )) = c 2 t r (4.86) T 2 : (v(t r ) R(t, t r )) = (R )v + (v )R +R ( v) + v ( R) (4.87) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.27 Detta ger fyra termer t, t 2, t 3, t 4 som måste granskas. Term t : (R )v = (R x x + R y y + R z z )v (4.88) = R x x v + R y y v + R z z v (4.89) t r dv = R x x dt r + R y t r y dv t r + R z dt r z dv (4.90) dt r = a(r t r ) (4.9) där accelerationen är Term t 2 : a(t r ) dv(t r) dt r (4.92) (v )R = (v )(r(t) r (t r )) (4.93) = (v x x + v y y + v z z )(xbx + yby + zbz) (v )r (t r ) (4.94) = v x bx + v y by + v z bz (v )r (t r ) (4.95) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.28

15 = v (v )r (t r ) (4.96) = v X i v xi r (t r ) x i (4.97) = v X i v xi t r x i dr (t r ) dt r (4.98) = v (v t r )v(t r ) (4.99) Term t 3 : R ( v) = 0 X ijk 0 = X ijk ε ijk bx i v k A (4.00) x j t r d ε ijk bx i v k A (4.0) x j dt r = R ( t r a) (4.02) = R (a t r ) (4.03) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.29 Term t 4 : v ( R) = v ( r r ) (4.04) = v ( r ) (4.05) = v ( t r v) (4.06) = v (v t r ) (4.07) Här tog vi modell av vad vi gjorde för term t 3. Term T 2 blir nu (v(t r ) R) = a(r t r ) + v v(v t r ) R (a t r ) + v (v t r ) (4.08) Med BAC-CAB-regeln fås nu Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.30

16 (v(t r ) R) = a(r t r ) + v v(v t r ) (a(r t r ) t r (R a)) +(v(v t r ) t r (v v)) (4.09) = v + (R a v 2 ) t r (4.0) Gradienten av potentialen blir slutligen ϕ(r, t) = qc (Rc v(t r ) R) 2 c 2 t r (v + (R a v 2 ) t r ) (4.) = qc v + (c2 v 2 + R a) t r (Rc v(t r ) R) 2 (4.2) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.3 t r fås med följande resonemang. c t r = R(t r ) = R R = 2 (R R) R R (4.3) = 2(R ( R) + (R )R) 2R (4.4) = R (R ( R) + R v(r t r)) (4.5) = R (R (v t r) + R v(r t r )) (4.6) = R (R (R v(t r)) t r ) (4.7) så att R t r = Rc v(t r ) R (4.8) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.32

17 Detta ger ϕ(r, t) = = qc v (c2 v 2 + R a)r/(rc v(t r ) R) (Rc v(t r ) R) 2 (4.9) qc (Rc v(t r) R)v (c 2 v 2 + R a)r (Rc v(t r ) R) 3 (4.20) En motsvarande räkning ger också att t A(r, t) = qc (Rc v(t r ) R) [(Rc v(t r) R)( v(t 3 r ) + Ra/c) i +R(c 2 v 2 + R a)v(t r )/c (4.2) Introducera hjälpvektorn u = b Rc v(t r ) (4.22) så att vi får Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.33 E(r, t) = = q R h (R u) 3 q R h (R u) 3 i (c 2 v 2 )u + R (u a) i (c 2 v 2 )u + (R a)u (R u)a (4.23) (4.24) För magnetfältet behövs rotorn av A: B(r, t) = A(r, t) = c 2 (v(t r)ϕ(r, t)) (4.25) = c 2 (ϕ v(t r) v ( ϕ)) (4.26) = q h i c (R u) 3R (c 2 v 2 )v + (R a)v + (R u)a (4.27) Genom att jämföra med tidigare kan vi omvandla detta till B(r, t) = b R E(r, t) = R E(r, t) (4.28) c Rc Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.34

18 Allmänna slutsatser: () Magnetfältet är vinkelrätt mot elfältet. (2) Magnetfältet är vinkelrätt mot vektorn som sammanbinder laddningens retarderade position med observationspunkten. Vi ser att första termen i elfältsuttrycket är inverst proportionell mot kvadraten av avståndet mellan laddning och observationspunkt, och påminner därför om Coulombs lag. Därför kan denna term kallas det generaliserade Coulomb-fältet. Eftersom denna term inte heller beror på laddningens acceleration kallas den för hastighetsfältet. Andra och tredje termerna är inverst proportionella mot avståndet, så att dessa dominerar över första termen vid stora avstånd. Dessa termer ger i själva verket upphov till strålning, som vi ska se senare. Därför kallas dessa termer också strålningsfältet. Eftersom endast de två sista termerna innehåller accelerationen kallas denna del av fältet för accelerationsfältet. Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.35 Låt oss ännu skriva ner Lorentz-kraften F = q(e + v B) för laddningar i godtycklig rörelse. F(r, t) = qq R h (c 2 v 2 )u + R (u a) (R u) 3 + V c br h(c 2 v 2 )u + R (u a)i (4.29) där Q är den andra laddningens storlek, V dess hastighet, och r dess position. Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.36

19 Arbetsschema: (i) Bestäm den retarderade tiden t r med hjälp av relationen c(t t r ) = r w(t r ), där laddningens position är w = w(t). (ii) Bestäm R = c(t t r ). (iii) Bestäm R = r(t) w(t r ). (iv) Bestäm u = cr/r v(t r ), där v = dw/dt är laddningens hastighet vid den retarderade tiden. (v) Bestäm R u = Rc v(t r ) R. (vi) Bestäm a = dv/dt = d 2 w/dt 2. (vii) Bestäm R (u a). (viii) Skriv ner elfältet och förenkla. (ix) Bestäm magnetfältet från E och b R. Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.37

14. Potentialer och fält

14. Potentialer och fält 14. Potentialer och fält [Griffiths,RMC] För att beräkna strålningen från kontinuerliga laddningsfördelningar och punktladdningar måste deras el- och magnetfält vara kända. Dessa är i de flesta fall enklast

Läs mer

14. Potentialer och fält

14. Potentialer och fält 4. Potentialer och fält [Griffiths,RMC] För att beräkna strålningen från kontinuerliga laddningsfördelningar och punktladdningar måste deras el- och magnetfält vara kända. Dessa är i de flesta fall enklast

Läs mer

14. Potentialer och fält

14. Potentialer och fält 4. Potentiale och fält Vågekvationena fö potentialena educeas nu till [Giffiths,RMC] Fö att beäkna stålningen fån kontinueliga laddningsfödelninga och punktladdninga måste deas el- och magnetfält vaa kända.

Läs mer

Elektromagnetiska fält och Maxwells ekavtioner. Mats Persson

Elektromagnetiska fält och Maxwells ekavtioner. Mats Persson Föreläsning 26/9 Elektromagnetiska fält och Maxwells ekavtioner 1 Maxwells ekvationer Mats Persson Maxwell satte 1864 upp fyra stycken ekvationer som gav en fullständig beskrivning av ett elektromagnetiskt

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 2013

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 2013 SF626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 23 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mattias Dahl Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. De tre

Läs mer

Lennart Carleson. KTH och Uppsala universitet

Lennart Carleson. KTH och Uppsala universitet 46 Om +x Lennart Carleson KTH och Uppsala universitet Vi börjar med att försöka uppskatta ovanstående integral, som vi kallar I, numeriskt. Vi delar in intervallet (, ) i n lika delar med delningspunkterna

Läs mer

15. Strålande system. Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 15.1

15. Strålande system. Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 15.1 15. Strålande system [Griffiths,RMC] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 15.1 15.1. Introduktion Laddningar i vila eller i likformig rörelse skapar inte elektromagnetiska vågor för detta krävs att laddningarna

Läs mer

Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta

Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta 325 Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta Peter Sjögren Göteborgs Universitet 1. Inledning. Geometrin på en sfärisk yta liknar planets geometri, med flera intressanta skillnader. Som vi skall se nedan,

Läs mer

9. Magnetisk energi Magnetisk energi för en isolerad krets

9. Magnetisk energi Magnetisk energi för en isolerad krets 9. Magnetisk energi [RMC] Elektrodynamik, ht 005, Krister Henriksson 9.1 9.1. Magnetisk energi för en isolerad krets Arbetet som ett batteri utför då det för en laddning dq runt en krets, från batteriets

Läs mer

15. Strålande system

15. Strålande system 15. Strålande system [Griffiths,RMC] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 15.1 15.1. Introduktion Laddningar i vila eller i likformig rörelse skapar inte elektromagnetiska vågor för detta krävs att laddningarna

Läs mer

6.2 Partikelns kinetik - Tillämpningar Ledningar

6.2 Partikelns kinetik - Tillämpningar Ledningar 6.2 Partikelns kinetik - Tillämpningar Ledningar 6.13 Det som känns som barnets tyngd är den uppåtriktade kraft F som mannen påverkar barnet med. Denna fås ur Newton 2 för barnet. Svar i kilogram måste

Läs mer

Appendix A: Differentialoperatorer i olika koordinatsystem

Appendix A: Differentialoperatorer i olika koordinatsystem Appendix A: Differentialoperatorer i olika koordinatsystem [Arfken,BETA,Lahtinen] A. 1. Kurvilineära koordinatsystem Antag att i ett Cartesiskt (x, y, z) koordinatsystem med basvektorerna bx, by, bz existerar

Läs mer

MATEMATIK 5 veckotimmar

MATEMATIK 5 veckotimmar EUROPEISK STUDENTEXAMEN 007 MATEMATIK 5 veckotimmar DATUM : 11 Juni 007 (förmiddag) SKRIVNINGSTID : 4 timmar (40 minuter) TILLÅTNA HJÄLPMEDEL : Europaskolornas formelsamling En icke-programmerbar, icke-grafritande

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.

Läs mer

Svaren på förståelsedelen skall ges direkt på tesen som ska lämnas in

Svaren på förståelsedelen skall ges direkt på tesen som ska lämnas in Dugga i Elektromagnetisk fältteori för F2. EEF031 20121124 kl. 8.3012.30 Tillåtna hjälpmedel: BETA, Physics Handbook, Formelsamling i Elektromagnetisk fältteori, Valfri kalkylator men inga egna anteckningar

Läs mer

9. Magnetisk energi [RMC 12] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.1

9. Magnetisk energi [RMC 12] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.1 9. Magnetisk energi [RMC 12] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.1 9.1. Magnetisk energi för en isolerad krets Arbetet som ett batteri utför då det för en laddning dq runt en krets, från batteriets

Läs mer

Matematikuppgifter del II, FYTA11

Matematikuppgifter del II, FYTA11 Matematikuppgifter del II, FYTA11 51. Lös uppgift 10.1 i boken. 52. Lös uppgift 10.2 i boken. 53. Lös uppgift 10.3 i boken. 54. Lös uppgift 10.4 i boken. 55. Låt en kurva i rummet vara given i parametrisk

Läs mer

a), c), e) och g) är olikheter. Av dem har c) och g) sanningsvärdet 1.

a), c), e) och g) är olikheter. Av dem har c) och g) sanningsvärdet 1. PASS 9. OLIKHETER 9. Grundbegrepp om olikheter Vi får olikheter av ekvationer om vi byter ut likhetstecknet mot något av tecknen > (större än), (större än eller lika med), < (mindre än) eller (mindre än

Läs mer

Elektromagnetiska falt och Maxwells ekavtioner

Elektromagnetiska falt och Maxwells ekavtioner Forelasning /1 Elektromagnetiska falt och Maxwells ekavtioner 1 Maxwells ekvationer Maxwell satte 1864 upp fyra stycken ekvationer som gav en fullstandig beskrivning av ett elektromagnetiskt falt. Dock,

Läs mer

Matematik för sjöingenjörsprogrammet

Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematiska Vetenskaper 9 augusti 01 Innehåll 5 komplexa tal 150 5.1 Inledning................................ 150 5. Geometrisk definition av de komplexa talen..............

Läs mer

9. Magnetisk energi Magnetisk energi för en isolerad krets

9. Magnetisk energi Magnetisk energi för en isolerad krets 9. Magnetisk energi [RM] Elektrodynamik, vt 013, Kai Nordlund 9.1 9.1. Magnetisk energi för en isolerad krets Arbetet som ett batteri utför då det för en laddning dq runt en krets, från batteriets anod

Läs mer

Partiklars rörelser i elektromagnetiska fält

Partiklars rörelser i elektromagnetiska fält Partiklars rörelser i elektromagnetiska fält Handledning till datorövning AST213 Solär-terrest fysik Handledare: Magnus Wik (2862125) magnus@lund.irf.se Institutet för rymdfysik, Lund Oktober 2003 1 Inledning

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 213-8-22 DEL A 1. Betrakta funktionen f(x, y) ln(x 2 + xy 2 4). a) Bestäm tangentplanet till funktionsytan z f(x, y) i den punkt på ytan där x 1

Läs mer

Matematik och modeller Övningsuppgifter

Matematik och modeller Övningsuppgifter Matematik och modeller Övningsuppgifter Beräkna a) d) + 6 b) 7 (+) + ( 9 + ) + 9 e) 8 c) ( + (5 6)) f) + Förenkla följande uttryck så långt som möjligt a) ( ) 5 b) 5 y 6 5y c) y 5 y + y y d) +y y e) (

Läs mer

Matematik E (MA1205)

Matematik E (MA1205) Matematik E (MA105) 50 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Mål och betygskriterier Ma E (MA105) Matematik Läsåret 003-004 Betygskriterier enligt Skolverket KRITERIER FÖR BETYGET GODKÄND

Läs mer

En trafikmodell. Leif Arkeryd. Göteborgs Universitet. 0 x 1 x 2 x 3 x 4. Fig.1

En trafikmodell. Leif Arkeryd. Göteborgs Universitet. 0 x 1 x 2 x 3 x 4. Fig.1 10 En trafikmodell Leif Arkeryd Göteborgs Universitet Tänk dig en körfil på en landsväg eller motorväg, modellerad som x axeln i positiv riktning (fig.1), och med krysset x j som mittpunkten för bil nummer

Läs mer

Omtentamen i DV & TDV

Omtentamen i DV & TDV Umeå Universitet Institutionen för Datavetenskap Gunilla Wikström (e-post wikstrom) Omtentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar för DV & TDV Tentamensdatum: 2005-06-07 Skrivtid: 9-15 Hjälpmedel: inga

Läs mer

Övningar för finalister i Wallenbergs fysikpris

Övningar för finalister i Wallenbergs fysikpris Övningar för finalister i Wallenbergs fysikpris 0 mars 05 Läsa tegelstensböcker i all ära, men inlärning sker som mest effektivt genom att själv öva på att lösa problem. Du kanske har upplevt under gymnasiet

Läs mer

En ideal op-förstärkare har oändlig inimedans, noll utimpedans och oändlig förstärkning.

En ideal op-förstärkare har oändlig inimedans, noll utimpedans och oändlig förstärkning. F5 LE1460 Analog elektronik 2005-11-23 kl 08.15 12.00 Alfa En ideal op-förstärkare har oändlig inimedans, noll utimpedans och oändlig förstärkning. ( Impedans är inte samma sak som resistans. Impedans

Läs mer

14. Elektriska fält (sähkökenttä)

14. Elektriska fält (sähkökenttä) 14. Elektriska fält (sähkökenttä) För tillfället vet vi av bara fyra olika fundamentala krafter i universum: Gravitationskraften Elektromagnetiska kraften, detta kapitels ämne Orsaken till att elektronerna

Läs mer

Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs. x 2 x 3 1 2.

Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs. x 2 x 3 1 2. KTH Matematik Lars Filipsson Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs 1. Låt f(x) = ln 2x + 4x 2 + 9 + ln 2x 4x 2 + 9. Bestäm definitionsmängd och värdemängd till f och rita kurvan

Läs mer

TATA42: Föreläsning 10 Serier ( generaliserade summor )

TATA42: Föreläsning 10 Serier ( generaliserade summor ) TATA42: Föreläsning 0 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 5 maj 205 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje heltal

Läs mer

insignal H = V ut V in

insignal H = V ut V in 1 Föreläsning 8 och 9 Hambley avsnitt 5.56.1 Tvåport En tvåport är en krets som har en ingångsport och en gångsport. Den brukar ritas som en låda med ingångsporten till vänster och gångsporten till höger.

Läs mer

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520)

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520) Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520) Tid och plats: Lördagen den 1 september 2012 klockan 08.30-12.30 i M. Hjälpmedel: Physics Handbook, Beta, Typgodkänd miniräknare samt en egenhändigt skriven A4 med valfritt

Läs mer

OBS! Svaren på förståelsedelen skall ges direkt på tesen som skall lämnas in.

OBS! Svaren på förståelsedelen skall ges direkt på tesen som skall lämnas in. Dugga i Elektromagnetisk fältteori för F2. EEF031 2011-11-19 kl. 8.30-12.30 Tillåtna hjälpmedel: BETA, Physics Handbook, Formelsamling i Elektromagnetisk fältteori, Valfri kalkylator men inga egna anteckningar

Läs mer

PASS 4. POLYNOM, MINNESREGLERNA. 4.1 Kvadreringsreglerna. Kvadraten på en summa

PASS 4. POLYNOM, MINNESREGLERNA. 4.1 Kvadreringsreglerna. Kvadraten på en summa PASS 4. POLYNOM, MINNESREGLERNA 4.1 Kvadreringsreglerna Kvadraten på en summa Den finländska modellfamiljen med mamma, pappa och två barn äger ett kvadratformat hus. Här nedan i figur 4 har vi en planritning

Läs mer

Föreläsning 8. Ohms lag (Kap. 7.1) 7.1 i Griffiths

Föreläsning 8. Ohms lag (Kap. 7.1) 7.1 i Griffiths 1 Föreläsning 8 7.1 i Griffiths Ohms lag (Kap. 7.1) i är bekanta med Ohms lag i kretsteori som = RI. En mer generell framställning är vårt mål här. Sambandet mellan strömtätheten J och den elektriska fältstyrkan

Läs mer

Magnetism. Beskriver hur magneter med konstanta magnetfält, t.ex. permanentmagneter, växelverkar med varandra och med externa magnetfält.

Magnetism. Beskriver hur magneter med konstanta magnetfält, t.ex. permanentmagneter, växelverkar med varandra och med externa magnetfält. Magnetism Magnetostatik eskriver hur magneter med konstanta magnetfält, t.ex. permanentmagneter, växelverkar med varandra och med externa magnetfält. Vi känner till följande effekter: 1. En fritt upphängd

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA4 Grundläggande kalkl ÖVN Lösningsförslag 0.04.0 4.0 6.0 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna

Läs mer

Formelsamling. Elektromagnetisk fältteori för F och Pi ETE055 & ETEF01

Formelsamling. Elektromagnetisk fältteori för F och Pi ETE055 & ETEF01 Formelsamling Elektromagnetisk fältteori för F och Pi ETE055 & ETEF01 Institutionen för elektro- och informationsteknik Lunds tekniska högskola Juni 014 Innehåll 1 Elstatik 1 Likström 4 3 Magnetostatik

Läs mer

R AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002

R AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002 RÄKNEÖVNING VECKA David Heintz, 3 oktober 22 Innehåll Uppgift 27. 2 Uppgift 27.8 4 3 Uppgift 27.9 6 4 Uppgift 27. 9 5 Uppgift 28. 5 6 Uppgift 28.2 8 7 Uppgift 28.4 2 Uppgift 27. Determine primitive functions

Läs mer

ANDREAS REJBRAND 2014-04-25 Matematik http://www.rejbrand.se. Numeriska serier. Andreas Rejbrand, april 2014 1/29

ANDREAS REJBRAND 2014-04-25 Matematik http://www.rejbrand.se. Numeriska serier. Andreas Rejbrand, april 2014 1/29 Numeriska serier Andreas Rejbrand, april 2014 1/29 1 Inledning Författarens erfarenhet säger att momentet med numeriska serier är ganska svårt för många studenter i inledande matematikkurser på högskolenivå.

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A

Lösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Torsdag augusti 16, 2018 DEL A 1. Givet funktionen f(x, y) = ln(x 2 y 2 ). a) Bestäm definitionsmängden D för f. Rita även en bild av D. (2 p) b) Bestäm

Läs mer

Krafter i Lisebergbanan och Kaffekoppen

Krafter i Lisebergbanan och Kaffekoppen Krafter i Lisebergbanan och Kaffekoppen Kristoffer Carlsson Martin Gren Viktor Hallman Joni Karlsson Jonatan Olsson David Saletti Grupp: Alfvén 3 Datum: 2008 09 25 Figur 1: Lisebergbanan :http://www.scharzkopf.coaster.net/eslisebergbanangf.htm

Läs mer

1 Cirkulation och vorticitet

1 Cirkulation och vorticitet Föreläsning 7. 1 Cirkulation och vorticitet Ett mycket viktigt teorem i klassisk strömningsmekanik är Kelvins cirkulationsteorem, som man kan härleda från Eulers ekvationer. Teoremet gäller för en inviskös

Läs mer

NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS E HÖSTEN 1996

NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS E HÖSTEN 1996 Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med utgången av mars 1997. NATIONELLT PROV

Läs mer

Matematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler

Matematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler Matematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler Inledning I kap 4 Differentialekvationer behövs derivator (och integraler) och i kap 5 Omfångsrika problemsituationer finns intressanta problem med användning

Läs mer

Föreläsning 4 1. Den andra av Maxwells ekvationer i elektrostatiken

Föreläsning 4 1. Den andra av Maxwells ekvationer i elektrostatiken Föreläsning 4 1 Potential Den andra av Maxwells ekvationer i elektrostatiken!" C E!dl = 0 eller # E = 0 innebär att E-fältet är konservativt. Det finns inga fältlinjer som bildar loopar. Alla fältlinjer

Läs mer

Lite fakta om proteinmodeller, som deltar mycket i den här tentamen

Lite fakta om proteinmodeller, som deltar mycket i den här tentamen Skriftlig deltentamen, FYTA12 Statistisk fysik, 6hp, 28 Februari 2012, kl 10.15 15.15. Tillåtna hjälpmedel: Ett a4 anteckningsblad, skrivdon. Totalt 30 poäng. För godkänt: 15 poäng. För väl godkänt: 24

Läs mer

REGLERTEKNIK KTH. REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL1120 Kortfattade lösningsförslag till tentamen 2015 04 08, kl. 8.00 13.00

REGLERTEKNIK KTH. REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL1120 Kortfattade lösningsförslag till tentamen 2015 04 08, kl. 8.00 13.00 REGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL000/EL0/EL0 Kortfattade lösningsförslag till tentamen 05 04 08, kl. 8.00 3.00. (a) Signalen u har vinkelfrekvens ω = 0. rad/s, och vi läser av G(i0.) 35 och arg G(i0.)

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys

SF1626 Flervariabelanalys 1 / 28 SF1626 Flervariabelanalys Föreläsning 2 Hans Thunberg Institutionen för matematik, KTH VT 2018, Period 4 2 / 28 SF1626 Flervariabelanalys Dagens lektion: avsnitt 11.1 11.3 Funktioner från R till

Läs mer

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)), Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver

Läs mer

1. Skriv = eller i den tomma rutan, så att det stämmer. Motivera ditt val av tecken.

1. Skriv = eller i den tomma rutan, så att det stämmer. Motivera ditt val av tecken. Modul: Taluppfattning och tals användning. Del 3: Det didaktiska kontraktet Likhetstecknet Ingrid Olsson, fd lärarutbildare Mitthögskolan Läraraktivitet. 1. Skriv = eller i den tomma rutan, så att det

Läs mer

Modul 6: Integraler och tillämpningar

Modul 6: Integraler och tillämpningar Institutionen för Matematik SF65 Envariabelanalys Läsåret 5/6 Modul 6: Integraler och tillämpningar Denna modul omfattar kapitel 6. och 6.5 samt kapitel 7 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas

Läs mer

Lösningsförslag, Tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 2, för CTFYS2 och CMEDT3, SF1629, den 9 juni 2011, kl.

Lösningsförslag, Tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 2, för CTFYS2 och CMEDT3, SF1629, den 9 juni 2011, kl. Lösningsförslag, Tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 2, för CTFYS2 och CMEDT3, SF629, den 9 juni 2, kl. 8: 3: Uppgift (av 8 (5 poäng. i. sant, ii. falskt, iii. falskt, iv. sant, v.

Läs mer

Svar och arbeta vidare med Student 2008

Svar och arbeta vidare med Student 2008 Student 008 Svar och arbeta vidare med Student 008 Det finns många intressanta idéer i årets Känguruaktiviteter. Problemen kan inspirera undervisningen under flera lektioner. Här ger vi några förslag att

Läs mer

3. Lösning av elektrostatiska problem för dielektrika

3. Lösning av elektrostatiska problem för dielektrika [RMC] 3. Lösning av elektrostatiska problem för dielektrika Eftersom de minsta beståndsdelarna i ett dielektrikum är molekyler kan man definiera ett molekylärt dipolmoment Nu gäller p m = mol dqr (3.3)

Läs mer

1.1 Mätning av permittiviteten i vakuum med en skivkondensator

1.1 Mätning av permittiviteten i vakuum med en skivkondensator PERMITTIVITET Inledning Låt oss betrakta en skivkondensator som består av två parallella metalskivor. Då en laddad partikel förflyttas från den ena till den andra skivan får skivorna laddningen +Q och

Läs mer

Problemet löd: Är det möjligt att på en sfär färga varje punkt på ett sådant sätt att:

Problemet löd: Är det möjligt att på en sfär färga varje punkt på ett sådant sätt att: Problemet löd: Är det möjligt att på en sfär färga varje punkt på ett sådant sätt att: 1. Om två punkter befinner sig på avståndet pi/2 från varandra så skall de ha olika färg. 2. Endast tre färger används.

Läs mer

Betygskriterier Matematik E MA1205 50p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna

Betygskriterier Matematik E MA1205 50p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna Betygskriterier Matematik E MA105 50p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA105 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är

Läs mer

Information Coding / Computer Graphics, ISY, LiTH. Integrationsmetoder

Information Coding / Computer Graphics, ISY, LiTH. Integrationsmetoder Integrationsmetoder Datorspel är tidsdiskreta Explicita analytiska funktioner för hastighet och acceleration saknas Position är integral av hastighet Hastighet är integral av acceleration Eulerintegrering

Läs mer

Tenta Elektrisk mätteknik och vågfysik (FFY616) 2013-12-19

Tenta Elektrisk mätteknik och vågfysik (FFY616) 2013-12-19 Tenta Elektrisk mätteknik och vågfysik (FFY616) 013-1-19 Tid och lokal: Torsdag 19 december kl. 14:00-18:00 i byggnad V. Examinator: Elsebeth Schröder (tel 031 77 844). Hjälpmedel: Chalmers-godkänd räknare,

Läs mer

8-1 Formler och uttryck. Namn:.

8-1 Formler och uttryck. Namn:. 8-1 Formler och uttryck. Namn:. Inledning Ibland vill du lösa lite mer komplexa problem. Till exempel: Kalle är dubbelt så gammal som Stina, och tillsammans är de 33 år. Hur gammal är Kalle och Stina?

Läs mer

AB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys

AB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys AB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys En vektor är en storhet som dels har icke-negativ storlek dels har riktning i rummet. Två vektorer a och b är lika, a = b, om de har samma storlek och samma

Läs mer

Sammanfattningar Matematikboken Z

Sammanfattningar Matematikboken Z Sammanfattningar Matematikboken Z KAPitel procent och statistik Procent Ordet procent betyder hundradel och anger hur stor del av det hela som något är. Procentform och 45 % = 0,45 6,5 % = 0,065 decimalform

Läs mer

Gemensam presentation av matematiskt område: Geometri Åldersgrupp: år 5

Gemensam presentation av matematiskt område: Geometri Åldersgrupp: år 5 Gemensam presentation av matematiskt område: Geometri Åldersgrupp: år 5 Mål för lektionen: Eleverna skall kunna skilja på begreppen area och omkrets. Koppling till strävansmål: - Att eleven utvecklar intresse

Läs mer

Tentamen i FysikB IF0402 TEN2:3 2010-08-12

Tentamen i FysikB IF0402 TEN2:3 2010-08-12 Tentamen i FysikB IF040 TEN: 00-0-. Ett ekolod kan användas för att bestämma havsdjupet. Man sänder ultraljud med frekvensen 5 khz från en båt. Ultraljudet reflekteras mot havets botten. Tiden det tar

Läs mer

3. Lösning av elektrostatiska problem för dielektrika

3. Lösning av elektrostatiska problem för dielektrika 3. Lösning av elektrostatiska problem för dielektrika [RMC] Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 3.1 3.1. Dielektrika Ett perfekt dielektrikum (isolator) är ett material som inte innehåller några

Läs mer

Basbyte (variabelbyte)

Basbyte (variabelbyte) Basbyte (variabelbyte) En vektors koordinater beror på valet av bas! Tänk på geometriska vektorer här. v har längden 2 och pekar rakt uppåt i papprets plan. Kan vi då skriva v (, 2)? Om vi valt basvektorer

Läs mer

ALTERNATIVA KOORDINATSYSTEM -Cylindriska koordinatsystem. De polära koordinaterna r och " kan beskriva rörelsen i ett xyplan,

ALTERNATIVA KOORDINATSYSTEM -Cylindriska koordinatsystem. De polära koordinaterna r och  kan beskriva rörelsen i ett xyplan, KOMIHÅG 8: --------------------------------- Rörelsemängd: p = mv, Kinematiska storheter: r ( t), v ( t), a ( t) Kinematiska samband med begynnelsevillkor 1 Föreläsning 9: ALTERNATIVA KOORDINATSYSTEM -Cylindriska

Läs mer

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt. 1. Beräkna integralen medelpunkt i origo. SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 218-3-14 D DEL A (x + x 2 + y 2 ) dx dy där D är en cirkelskiva med radie a och Lösningsförslag.

Läs mer

SF1620 Matematik och modeller

SF1620 Matematik och modeller KTH Teknikvetenskap, Institutionen för matematik 1 SF160 Matematik och modeller 007-09-10 Andra veckan Trigonometri De trigonometriska funktionerna och enhetscirkeln Redan vid förra veckans avsnitt var

Läs mer

Den matematiska analysens grunder

Den matematiska analysens grunder KTH:s Matematiska Cirkel Den matematiska analysens grunder Katharina Heinrich Dan Petersen Institutionen för matematik, 2012 2013 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse Innehåll 1 Grundläggande

Läs mer

Begrepp :: Determinanten

Begrepp :: Determinanten c Mikael Forsberg 2008 1 Begrepp :: Determinanten Rekursiv definition :: Kofaktorutveckling Låt oss börja definiera determinanten för en 1 1 matris A = (a). En sådan matris är naturligtvis bara ett vanligt

Läs mer

Version 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg

Version 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg Version.8 Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium Mikael Forsberg 8 Den här boken är typsatt av författaren med hjälp av L A TEX. Alla illustrationer är utförda av Mikael Forsberg med hjälp av

Läs mer

Inlämningsuppgift: Introduktionskurs

Inlämningsuppgift: Introduktionskurs Inlämningsuppgift: Introduktionskurs Förnamn Efternamn Grupp 1, kandfys Uppsala Universitet 23 september 213 Sammanfattning Målet med rapporten är att visa att jag behärskar något ordbehandlingsprogram.

Läs mer

FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar

FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar hristian Forssén, Institutionen för fysik, halmers, Göteborg, verige ep 6, 217 3. Integraler Det mesta av detta material förutsätts vara

Läs mer

Reglerteknik M3, 5p. Tentamen 2008-08-27

Reglerteknik M3, 5p. Tentamen 2008-08-27 Reglerteknik M3, 5p Tentamen 2008-08-27 Tid: 08:30 12:30 Lokal: M-huset Kurskod: ERE031/ERE032/ERE033 Lärare: Knut Åkesson, tel 0701-749525 Läraren besöker tentamenssalen vid två tillfällen för att svara

Läs mer

r 2 C Arbetet är alltså endast beroende av start- och slutpunkt. Det följer av att det elektriska fältet är konservativt ( E = 0).

r 2 C Arbetet är alltså endast beroende av start- och slutpunkt. Det följer av att det elektriska fältet är konservativt ( E = 0). 1 Föreläsning 2 Motsvarar avsnitten 2.4 2.5 i Griffiths. Arbete och potentiell energi (Kap. 2.4) r 1 r 2 C Låt W vara det arbete som måste utföras mot ett givet elektriskt fält E, då en laddning Q flyttas

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016 Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 216 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

Kapitel IV. Partikeltalet som termodynamisk variabel & faser

Kapitel IV. Partikeltalet som termodynamisk variabel & faser Kapitel IV Partikeltalet som termodynamisk variabel & faser Kemiska potentialen Kemiska potentialen I många system kan inte partikelantalet antas vara konstant så som vi hittills antagit Ett exempel är

Läs mer

STYRNING AV PORTFÖLJER MED FLERA TILLGÅNGAR

STYRNING AV PORTFÖLJER MED FLERA TILLGÅNGAR 1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. KOMPLEMENT DAG 13. STYRNING AV PORTFÖLJER MED FLERA TILLGÅNGAR Hittills har vi betraktat

Läs mer

Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt

Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt KTHs Sommarmatematik 2003 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 5.1 Introduktion Introduktion Exponentialfunktionen e x och logaritmfunktionen ln x är bland de viktigaste och vanligast förekommande

Läs mer

Konsten att bestämma arean

Konsten att bestämma arean Konsten att bestämma arean Lektion Ett (Matematiskt område - Talmängder) Vad är viktigast? Introducera tanken om att felet skulle kunna vara viktigare än svaret. Vad väger äpplet? Gissa. Jämför med mätvärdet

Läs mer

Föreläsning , , i Griffiths Vi kommer nu till hur elektromagnetiska vågor genereras!

Föreläsning , , i Griffiths Vi kommer nu till hur elektromagnetiska vågor genereras! 1 Föreläsning 13 12.2.1, 10.1.1 10.1.2, 10.1.4 i Griffiths Vi kommer nu till hur elektromagnetiska vågor genereras! Fält från strömmar i tidsdomänen (kursivt) V Lorentzgaugen A+µ 0 ε 0 = 0 för vektorpotentialen

Läs mer

Mekaniska vågor. Emma Björk

Mekaniska vågor. Emma Björk Mekaniska vågor Emma Björk Olika typer av vågfenomen finns överallt! Mekaniska vågor Ljudvågor Havsvågor Seismiska vågor Vågor på sträng Elektromagnetiska vågor Ljus Radiovågor Mikrovågor IR UV Röntgenstrålning

Läs mer

Reglerteori, TSRT09. Föreläsning 4: Kalmanfiltret & det slutna systemet. Torkel Glad. Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet

Reglerteori, TSRT09. Föreläsning 4: Kalmanfiltret & det slutna systemet. Torkel Glad. Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet Reglerteori, TSRT09 Föreläsning 4: Kalmanfiltret & det slutna systemet Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet Sammanfattning av Föreläsning 3 2(19) Kovariansfunktion: Spektrum: R u (τ) = Eu(t)u(t τ)

Läs mer

9. Beräkna volymen av det område som begränsas av planet z = 1 och paraboloiden z = 5 x 2 y 2.

9. Beräkna volymen av det område som begränsas av planet z = 1 och paraboloiden z = 5 x 2 y 2. Tentamenskrivning för TMS63, Matematisk Statistik. Onsdag fm den 3 juni, 15, V-huset. Examinator: Marina Axelson-Fisk. Tel: 7-88113 Tillåtna hjälpmedel: typgodkänd miniräknare, tabell- och formelhäfte

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-6-4 DEL A 1. Funktionen f är definierad på området som ges av olikheterna x > 1/ och y > genom f(x, y) ln(x 1) + ln(y) xy x. (a) Förklara vad det

Läs mer

http://www.leidenhed.se Senaste revideringen av kapitlet gjordes 2014-05-08, efter att ett fel upptäckts.

http://www.leidenhed.se Senaste revideringen av kapitlet gjordes 2014-05-08, efter att ett fel upptäckts. Dokumentet är från sajtsidan Matematik: som ingår i min sajt: http://www.leidenhed.se/matte.html http://www.leidenhed.se Minst och störst Senaste revideringen av kapitlet gjordes 2014-05-08, efter att

Läs mer

Tentamen'i'TMA321'Matematisk'Statistik,'Chalmers'Tekniska'Högskola.''

Tentamen'i'TMA321'Matematisk'Statistik,'Chalmers'Tekniska'Högskola.'' Tentamen'i'TMA321'Matematisk'Statistik,'Chalmers'Tekniska'Högskola.'' Hjälpmedel:'Valfri'räknare,'egenhändigt'handskriven'formelsamling'(4''A4Esidor'på'2'blad)' och'till'skrivningen'medhörande'tabeller.''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''

Läs mer

Aerodynamik - Prestanda

Aerodynamik - Prestanda Aerodynamik - Prestanda Syfte/mål med föreläsningarna: Förståelse för digram och ekvationer Förståelse för vad som styr design 1 Innehåll Vad ska vi gå igenom? C L /C D -polarkurva Rörelseekvationer Flygning

Läs mer

Kap Generaliserade multipelintegraler.

Kap Generaliserade multipelintegraler. Kap 4.3. Generaliserade multipelintegraler. 50. Beräkna följande generaliserade multipelintegraler: A a. dxdy, ges av x, 0 xy x A b. A c. A d. A e. K x ( + x 2 )( + x 2 y 2 ) dxdy, ges av x > 0, xy x dxdy,

Läs mer

1. Lös ut p som funktion av de andra variablerna ur sambandet

1. Lös ut p som funktion av de andra variablerna ur sambandet Matematiska institutionen Stockholms universitet Avd matematik Eaminator: Torbjörn Tambour Tentamensskrivning i Matematik för kemister K den 0 december 2003 kl 9.00-4.00 LÖSNINGAR. Lös ut p som funktion

Läs mer

TSRT09 Reglerteori. Sammanfattning av Föreläsning 3. Sammanfattning av Föreläsning 3, forts. Sammanfattning av Föreläsning 3, forts.

TSRT09 Reglerteori. Sammanfattning av Föreläsning 3. Sammanfattning av Föreläsning 3, forts. Sammanfattning av Föreläsning 3, forts. Reglerteori 2016, Föreläsning 4 Daniel Axehill 1 / 18 Sammanfattning av Föreläsning 3 Kovariansfunktion: TSRT09 Reglerteori Föreläsning 4: Kalmanfiltret & det slutna systemet Daniel Axehill Reglerteknik,

Läs mer

Tentamen i Sannolikhetslära och statistik (lärarprogrammet) 12 februari 2011

Tentamen i Sannolikhetslära och statistik (lärarprogrammet) 12 februari 2011 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Louise af Klintberg Lösningar Tentamen i Sannolikhetslära och statistik (lärarprogrammet) 12 februari 2011 Uppgift 1 a) För att få hög validitet borde mätningarna

Läs mer