1. Lös ut p som funktion av de andra variablerna ur sambandet

Transkript

1 Matematiska institutionen Stockholms universitet Avd matematik Eaminator: Torbjörn Tambour Tentamensskrivning i Matematik för kemister K den 0 december 2003 kl LÖSNINGAR. Lös ut p som funktion av de andra variablerna ur sambandet µ = µ 0 + RT ln γp. (Formeln uttrycker den kemiska potentialen µ för en gas som funktion av trycket p och temperaturen T. De andra parametrarna är konstanter.) Lösning: µ = µ 0 + RT ln γp ln γp = µ µ 0 RT γp = e µ µ0 RT p = γ e µ µ0 RT Kommentar: För principfel i användning av potens- och logaritmlagar drog jag 4 p. 2. Derivera funktionen Lösning: Kedjeregeln ger f() = sin 2. f () = 2 sin 2 D( sin 2) = 2 ( 2 cos 2) sin 2 = cos 2. sin 2 Kommentar: För principfel i användning av kedjeregeln drog jag 4 p. 3. Bestäm alla egenvärden och egenvektorer till matrisen ( ) 3.

2 Lösning: Kalla matrisen A; då skall vi bestämma alla kolonnmatriser sådana att ( ) ( ) A = λ () y y för något tal λ. Om E 2 betecknar enhetsmatrisen av storlek 2 2 så kan ekvationen skrivas ( ) (A λe 2 ) = 0. y För att det skall finnas en icke-trivial lösning (dvs en lösning i vilken inte både och y är 0) måste determinanten det(a λe 2 ) = 0, dvs λ 3 λ = 0. Utveckling av determinanten ger ( λ)( λ) 3 = λ 2 4 = 0, så egenvärdena är λ = ±2. Vi bestämmer egenvektorerna: λ = 2: Systemet () blir { + 3y = 2 + y = 2y y = 0. Egenvektorerna är tydligen t(, ). λ = 2: Vi får på samma sätt + 3y = 0, så att egenvektorerna är t(3, ). Kommentar: Flera hade angett t(, 3) som egenvektorer till egenvärdet 2 och för det drog jag p. 4. Beräkna den generaliserade integralen ln 2 d. 2

3 Lösning: Vi bestämmer först en primitiv funktion till ln / 2. Substitutionen = e t ger d = e t dt, så att ln t d = 2 e 2t et dt = te t dt = te t + e t dt Integralen är alltså lika med lim ln a = te t e t + C = ln Det går även bra att partialintegrera direkt: ln d = ln ] + 2 ] a + C ( = lim ln a a a ) a + =. 2 d = ] = 5. I en kemisk reaktion omvandlas ämnet A till andra ämnen. Koncentrationen av A vid tiden t betecknas c(t) och man har funnit att reaktionen är av andra ordningen, dvs att c(t) uppfyller en differentialekvation c (t) = kc(t) 2 där k är en konstant (hastighetskonstanten). a) Härled den allmänna lösningen till differentialekvationen. (2p) b) I ett eperiment var koncentrationen vid tiden t = 0 lika med 0, mol/dm 3 och man fann att koncentrationen av A sjönk till hälften av den ursprungliga efter 30 minuter. Bestäm hastighetskonstanten k. (Etra fråga: Vad har k för enhet?) (p) c) Efter hur lång tid har koncentrationen sjunkit till 0,0 mol/dm 3? (p) Lösning: Separation av variablerna ger dc c 2 = k dt varav /c = kt + C. Den allmänna lösningen är således c(t) = kt + C = 3 C kt,

4 där C är en konstant (liksom C = C). Sätter vi t = 0 så får vi c(0) = /C och insättning ger c(t) = I det aktuella fallet får vi (/c(0)) kt = c(30) = 0, 05 = c(0) c(0)kt. 0, 0, k 30, vilket ger k = 3 0, 33 M min. (Enheten för k får man lättast ur differentialekvationen. Derivatan c (t) har enheten M/min, så enheten för k är (M/min)/M 2.) Den sista frågan ger ekvationen 0, 0 = 0,, varav t = 270 min. + 0, t/3 Kommentar: Det här visade sig vara en svår uppgift, bara några få hade hittat rätt lösning på differentialekvationen. De som hade fått fel lösning, men räknat rätt med hjälp av denna i del b och c fick + p. 6. En metallplatta täcker området 0, 0 y i planet. Temperaturen T (i grader C) i en punkt (, y) ges av formeln T (, y) = 200y( )( y). a) Vad är den högsta respektive den lägsta temperaturen i plattan? I vilka punkter antas de? (2p) Lösning: Funktionen T (, y) är 0 längs hela randen på kvadraten. De partiella derivatorna är T = 200( 2)y( y), T y = 200( )( 2y). Om T = 0 så måste = /2, y = 0 eller y = och om T y = 0 så måste = 0, = eller y = /2. Vi ser att det finns en enda stationär punkt som inte ligger på randen, nämligen (/2, /2). Temperaturen där är T (/2, /2) = 200(/2) 4 = 2, 5 grader. Eftersom T = 0 på randen, så är den högsta temperaturen 2,5 grader. Ett annat sätt att hitta den högsta temperaturen är så här: Kvadratkomplettering ger ( ) = 2 = /4 ( /2) 2, som har det största värdet /4. Alltså är T (, y) = 200 ( 2 ) (y y 2 ) 200 (/4) 2 = 2, 5 grader. 4

5 b) En insekt sitter i punkten (/4, /3) och fryser. I vilken riktning skall den krypa för att bli varm så fort som möjligt? (2p) Lösning: Insekten skall krypa i gradientens riktning, som är grad T (/4, /3) = (T (/4, /3), T y (/4, /3)) = (200/9, 25/2). Kommentar: Här sitter nog en skolrefle kvar hos många: så fort man ser en produkt, så skall man multiplicera ihop! I den här uppgiften leder emellertid det till ganska trassliga uttryck för de partiella derivatorna och det blir svårt att hitta de stationära punkterna. Lärdomen är alltså att man måste hejda sig när man ser en produkt!! 7. Uttryck + y i / u och / v om = u + v och v = u v. Lösning: Vi har u = ( + y)/2 och v = ( y)/2. Sätt g(u, v) = z(, y) = z(u + v, u v). Det uppgiften går ut på är att beräkna / + / y i punkten = u + v, y = u v uttryckt i derivator av g med avseende på u och v. Kedjeregeln ger = g u u + g v v = g 2 u + g 2 v = g u y u y + g v v y = g 2 u g 2 v. Adderar vi de här två sambanden så får vi + y = g u. Lite slarvigt skriver man ofta g(u, v) = z(u, v) och g/ u = / u. 5