eller uttryckt med funktionerna Lektion 5, Flervariabelanalys den 26 januari 2000 t + f t = f

Transkript

1 Lektion 5, Flervariabelanals den 26 januari Beäm om f,,, där gs, hs, t och kt. eller uttrckt med funktionerna f h + f dk dt. Vi ska för bena ut hur variablerna beror av varandra genom att rita upp variablerna i ett träd där en variabel i en högre nivå beror av de variabler som den är förbunden med i den lägre nivån. s s t t När vi ska beräkna ska vi förbinda med alla t i trädet. Varje ig från till t ger upphov till en term i uttrcket för. Varje sådan term är i sin tur en produkt av partialderivator av de variabler som ingår i igen. I detta fall finns två t:n i trädet och två igar som sammanbinder respektive t med. s s t t t s s t t t Den föra igen går via, så motsvarande term blir. Den andra igen går via och ger termen d dt. Notera att vi skriver d dt iället för. Detta brukar man göra när funktionen enda beror av en variabel. Vår sökta partialderivata är alltså + d dt, Om f,,, där g, och h, beräkna d d, och., Vi börjar med att rita upp variabelträdet. Den föra nivån är f,, och ger oss föra delen av trädet Sambandet g, ger i sin tur Notera här att och nu förekommer i två olika nivåer i trädet. Vi ska återkomma till vilka problem detta leder till. Sambandet h ger oss det slutgiltiga trädet

2 Ett uttrck för d d får vi genom att förbinda alla i trädet med. Var och en av dessa igar ger upphov till en term i uttrcket för d d. Stigen läng till väner ger termen f 1 g 1 h 1, där f 1 betder att vi partialderiverar f med avseende på den föra variabeln. Stigen nä läng till väner ger termen De två följande igarna ger termerna Alltså är f 1 g 2. f 2 h och f 3. d d f 1g 1 h 1 + f 1 g 2 + f 2 h + f 3. Det traditionella sättet att skriva denna formel är d d Notera skillnaden mellan d d d och. Med d menar vi att enbart är en funktion av, d.v.s. att vi deriverar funktionen f gh,, h,. Beteckningen betder å andra sidan att vi, i vårt fall, betraktar och som konanter och partialderiverar,, f,, med avseende på, d.v.s. f 3. Ett mer tdligt sätt att skriva detta på är,, där vi indikerar att förutom betraktar vi och som variabler som vi håller konanta under partialderiveringen. Med kan man nämligen också mena att man bara håller fi men låter h och partialderiverar, f, h, med avseende på, d.v.s. att vi beräknar. Med kedjeregeln får vi denna derivata till f 2 h + f 3 fi Ett tredje sätt att tolka är att vi håller fi men låter g, och partialderiverar, f g,,, med avseende på, m.a.o. beräknar I detta fall ger kedjeregeln att. f 1 g 2 + f 3. fi Beteckningen är alltså otdlig eftersom vi inte riktigt säkert vet vilka orheter som vi betraktar som variabler. När uttrcket dker upp i en formel, som den gjorde i, måe vi utifrån sammanhanget avgöra hur vi ska tolka fi.

3 Använd två olika metoder för att beräkna om u där e och 1 + s 2 cos t. Sammanlagt får vi e s 2 cos t s 2 e s 2 cos t s 2 cos t 2 s2 sin t s e2 s 2 sin t s 4 cos t sin t s 2 cos t 2. Variabelträdet har i detta fall utseendet Derivatan där vi har att u s t s t tolkar vi som. Med kedjeregeln får vi att s +, e s 2 cos t 2 e s e s 2 cos t s 2 cos t s 2 cos t s 2 sin t Det andra sättet är att direkt oppa in och uttrckta i s och t, i u, och derivera u s 2 cos t s 2 cos t e s 2 cos t 2s e s 2 cos t s 2 sin t 2 s e2 s 2 sin t s 4 cos t sin t s 2 cos t 2 Anm. Notera att egentligen råder inga tveksamheter om att tolka som. Andra s tolkningar såsom och är mer långsökta. Hade emellertid variabelträdet haft utseendet u t s t s t så hade det varit svårare att avgöra om, eller betdde. s

4 Beräkna f2, 3 om funktionen f, har kontinuerliga föra ordningens partialderivator Beräkna f f, t, f, t om funktionen f, har kontinuerliga föra ordningens partialderivator. Det korrekta sättet att tolka formeln i uppgifteten är att för införa namn på de två argumenten till f. Om vi döper dessa till u och v, så ska vi alltså beräkna fu, v där u 2 och v 3. Variabelträdet är därmed f Vi döper de två argumenten till det ttre f:et till u f, t, v f, t. Argumentet u kan dessutom skrivas u om vi sätter f, t. u v Ritar vi upp variabelträdet får vi f Kedjeregeln ger f fu, v v dv d f 2u, v 3 f 2 2, 3 3. Anm. Uppgifteten försöker faktiskt blanda bort korten genom att kalla funktionen för f, och på så sätt antda att möjligen skulle kunna vara en partialderivering med avseende på den föra variabeln. Hade formeln varit f 2, 3 så hade detta också varit vad som avsetts. För att öka tdligheten skulle man iället kunnat skriva [ ] f2, 3. Kedjeregeln ger att f f + f v v u v t f 1 u, v + f 2 u, v f 1, t t f 1 f, t, f, t f, t + f2 f, t, f, t f1, t.

5 Antag att f har kontinuerliga partiella derivator av alla ordningar. Om f,, där 2s + 3t och 3s 2t, beräkna a b c 2 s, 2 2 s, 2. 2 Dessa andra ordningens partialderivator kan skrivas som Vi börjar därför med att beämma s Variabelträdet blir i detta fall Kedjeregeln ger att 2 s 2 s s, 2 s s, 2 2. och. s t s t s s + s f 1, 2 + f 2, 3, + f 1, 3 + f 2, 2. a Linjariteten gör att vi kan dela upp den sökta derivatan i två termer 2 s 2 f 1, 2 + f 2, 3 s 2 s f 1, + 3 s f 2,. Båda termerna har samma variabelberoende som, så kedjeregeln ger s f 1 f 1 s + f 1 s f 11, 2 + f 12, 3 s f 2 f 2 s + f 2 s f 21, 2 + f 22, 3 Eftersom andra ordningens partialderivator är kontinuerliga är f 12 f 21 och vi får att b Vi får 2 s 2 4 f 11, + 12f 12, + 9f 12,. 2 s s f 1, 3 + f 2, 2 s f1 3 s + f 1 f2 2 s s + f 2 s 3 f 11, 2 + f 12, 3 2 f 21, 2 + f 22, 3 { f 12 f 21 } 6f11, + 5f 12, 6f 22, Som en etra kontroll kan man också räkna ut som ska vara lika med ovanående. s c Den sia derivatan får vi på motsvarande sätt 2 2 f 1, 3 + f 2, 2 f1 3 + f 1 f2 2 + f 2 3 f 11, 3 + f 12, 2 2 f 21, 3 + f 22, 2 { f 12 f 21 } 9f11, 12f 12, + 4f 22,.

6 Om f, är harmonisk, visa att även är harmonisk. Att f är harmonisk betder att Om vi sätter så ska vi alltså visa att f 2 + 2, Om vi ritar upp variabelträdet så får vi Kedjeregeln ger att f f + f v v f 1 u, v f, + f, u 2 + 2, v 2 + 2, 2 2 fu, v + fu, v u f v f 2u, v f 1 u, v f 2 u, v f 1 u, v f 2 2u, v f f + f v v f 1 u, v f 2u, v f 1 u, v f 1 u, v Ytterligare en derivering ger 2 2 f f 1 u, v f u, v f 2u, v + f 2 u, v f f u, v f f 2 2u, v f1 + f 1 v v f 1 u, v f2 + + f 2 v 2 v f 2 u, v f 11 u, v f u, v f 1 u, v f 21 u, v + f 2 u, v f 22u, v

7 f 11 u, v f 12u, v f 21 u, v f 22 u, v f 1 u, v f 2u, v f f 1 u, v f f u, v f 1u, v + f f 2u, v f1 + f 1 v 2 v f 1 u, v f2 + + f 2 v v f 2 u, v f 11 u, v f u, v f 1 u, v f 21 u, v + f 2 u, v f 11 u, v f 22u, v f 12u, v f 21 u, v f 22 u, v f 1 u, v f 2 u, v Sammanlagt har vi 2 2 fu, v fu, v f u, v + f 22 u, v vilket betder att vi visat Uttrck { f harmonisk f 11 + f 22 0 } 0, 3 f2 + 3, 2 i termer av f:s partialderivator som alla är kontinuerliga. Om vi döper f:s två argument till så har f variabelträdet Med kedjeregeln får vi f f + f v v f 1 u, v 3 + f 2 u, v u v u f v

8 2 f 2 3f 1 u, v + f 2 u, v f1 3 + f 1 v f2 + v + f 2 v v 3 f 11 u, v 3 + f 12 u, v + f 21 u, v 3 + f 22 u, v { f 12, f 21 kontinuerliga f 12 f 21 } 9f 11 u, v + 6f 12 u, v + 2 f 22 u, v 3 f 2 9f 11 u, v + 6f 12 u, v + 2 f 22 u, v f f 11 v v f12 + 6f 12 u, v f 12 v v + 2f 22 u, v + 2 f 22 + f 22 v v 9 f 111 u, v 2 + f f 12 u, v + 6 f 121 u, v 2 + f 122 u, v + 2f 22 u, v + 2 f 221 u, v 2 + f 222 u, v { f 112 f 121 ; f 122 f 221 } 18f 111 u, v f 112 u, v + 6f 12 u, v f 122 u, v + 2f 22 u, v + 2 f 222 u, v Använd en lämplig linjarisering av funktionen f, arctan för att beräkna ett approimativt värde av funktionen i punkten 3,01; 2,99. Eftersom punkten befinner sig nära 3, 3 och f och dess derivator är enkla att räkna ut i 3, 3 så väljer vi att linjarisera f i punkten 3, 3. Talors formel ger att f f 3 f, f3, 3 + 3, 3 3, 3 + R 3 2 3, 3 där Alltså är f3, 3 arctan π, f 3, /6, f /6. f, 1 4 π + 1/6 1/6 3 + R 3 2 3, π R 2 3, 3. Ett approimativt värde av f3,01; 2,99 får vi om vi bortser från retermen som förhoppningsvis är liten f3,01; 2, π 1 6 0, ,01 0, Notera att vi inte har någon skattning av retermen R 2, så vår approimation är osäker.

9 Använd en lämplig linjarisering av funktionen f, e +2 för att beräkna ett approimativt värde av funktionen i punkten 2,05; 3, Beäm Jacobimatrisen Dg1, 3, 3 till transformationen från R 3 till R 3 som ges av gr, s, t r 2 s, r 2 t, s 2 t 2 och använd resultatet för att beräkna ett approimativt värde av g0,99; 3,02; 2,97. Eftersom punkten befinner sig nära 2, 4 där f är enkel att räkna ut så väljer vi att linjarisera f i punkten 2, 4. Talors formel ger att f f 2 f, f2, 4 + 2, 4 2, 4 + R , + 4, där Alltså är f2, 4 2 e , f e , 4 f 2 e f, R , R 2 2, + 4. Ett approimativt värde av f2,05; 3,92 får vi om vi bortser från retermen som förhoppningsvis är liten f2,05; 3, , ,08 2,61. Vi måe göra samma anmärkning som efter förra uppgiften. Eftersom vi inte har någon skattning av retermen så är approimationen osäker. Jacobimatrisen till ges av formeln där I punkten r, s, t 1, 3, 3 är Alltså är g 1 r, s, t r 2 s gr, s, t g 2 r, s, t r 2 t g 3 r, s, t s 2 t 2 Dg g 1 r g 2 r g 3 r g 1 s g 2 s g 3 s g 1 g 2 g 3 g 1 r 2rs g 1 s g 1 r2 0 g 2 r 2rt g 2 s 0 g 2 r2 g 3 r 0 g 3 s 2s g 3 2t. g 1 r 1, 3, 3 6 g 1 s 1, 3, 3 1 g 1 1, 3, 3 0 g 2 r 1, 3, 3 6 g 2 s 1, 3, 3 0 g 2 1, 3, 3 1 g 3 r 1, 3, 3 0 g 3 s 1, 3, 3 6 g 3 1, 3, 3 6. Dg1, 3,

10 För att beräkna ett approimativt värde av g0,99; 3,02; 2,97 linjariserar vi g i den närbelägna punkten 1, 3, 3 och approimerar g:s värde i 0,99; 3,02; 2,97 med linjariseringens värde i samma punkt. Talors formel ger att r 1 gr, s, t g1, 3, 3 + Dg1, 3, 3 s 3 + R 2 r 1, s 3, t 3 t r 1 s 3 + R 2 r 1, s 3, t t r s t r s t 3 + R r s 3 6 t r 1 + s r 1 + t 3 + R 2 6s 3 6t 3 Linjariseringens värde får vi genom att bortse från retermen ,01 + 0,02 g0,99; 3,02; 2, ,01 + 0,03 2,96 2, ,02 6 0,03 0,30 E u 2 P Q u 1 v Q Fortsättning av datorgrafikeemplet Ofta när man ritar i rummet vill man inte bara projicera punkter på skärmen utan också riktningar. Antag att vi har en riktning v utgående från punkten Q, vilken blir motsvarande riktningen utgående från Q på skärmen. Problemet är: Givet Q, E, P och u 1, u 2 samt v. Beäm riktningen i planets koordinatsem. Avbildningen från rummet till skärmens plan ges av uttrcket F1 Q 1 EQ P E u2 F : Q F 2 Q EQ u 1 u 2 EQ P E u 1 Den transformation som avbildar riktningar från rummet till riktningar i planet ges av differentialen df. Differentialen har matrisen F1 F 2. För att beräkna matrisen behöver vi följande räkneregler 1. EQ a b a b. 2. f g f g f g g 2

11 Vi får EQ P E u2 [ EQ P E u2 ] EQ u1 u 2 EQ P E u2 [ EQ u1 u 2 ] EQ u 1 u 2 EQ u1 u 2 2 P E u 2 EQ u1 u 2 u 1 u 2 EQ P E u2 EQ u1 u 2 2 EQ P E u1 [ EQ P E u1 ] EQ u1 u 2 EQ P E u1 [ EQ u1 u 2 ] EQ u 1 u 2 EQ u1 u 2 2 P E u 1 EQ u1 u 2 + u 1 u 2 EQ P E u1 EQ u1 u 2 2 Alltså har df 2 3-matrisen [ ] 1 EQ, u1 EQ u1 u 2, u 2 P E u2 [ ] EQ, P E, u2 u1 u 2 2 [ ] EQ, u1, u 2 P E u1 + [ ], EQ, P E, u1 u1 u 2 där vi använt oss av trippelproduktbeteckningen [ a, b, c ] a b c.