15 Multipelintegraler, sfäriska koordinater, volymberäkningar

Transkript

1 Nr 5, 9 april -5, Amelia 5 Multipelintegraler, sfäriska koordinater, volmberäkningar 5. Multipelintegraler et finns många tillämpningar där fler än tre variabler är aktuella. I statistik kan vi vilja undersöka en situation med fra stokastiska variabler. Om då f,, z, u) är frekvensfunktionen, så bör dess integral över alla fra variablerna vara lika med ett. En annan tillämpning är väderlek. En vädersituation kan karaktäriseras av fem variabler, lufttrck, luftfuktighet, temperatur, vindstrka och vindriktning. Variablerna måste inte vara geometriska variabler i det fsiska rummet. Helt i linje med matematikens strävan att generalisera, och att göra det geom att ta fasta på kalklerna snarare än på de ursprungliga applikationerna, kan vi även definiera en kvadruppelintegral: Z f,, z, u)dddzdu över ett område R. Om området är av tp {a A, b) B),c, ) z C, ),g,, z) u G,, z)} så kan den beräknas med itererad integration: Z f,, z, u)dddzdu Z A Z B) Z C,) Z G,,z) a b) c,) g,,z) f,, z, u)du)dz)d)d om f är integrerbar. En multipelintegral av en funktion av n variabler skrivs Z Z f,... n )d...d n. enna integral är intressant i statistik för en frekvensfunktion med n stokastiska variabler. Z Eempel 96l) Beräkna zu dddzdu där ges av,, z och u z.

2 Lösning: e åtta villkoren, två för varje variabel, har den karaktären att de genast kan användas som gränser vid itererad integration: Z Z Z Z Z z zu dddzdu zudu)dz)d)d {u-integration} {insättning av gränser} {z-integration} {insättning av gränser} 8 {-integration} 8 {insättning av gränser} 8 Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z z[ u dz)d)d ]z z 3 dz)d)d [ z ] d)d 5 d)d [ 6 6 ] d 6 6 d Svar: {-integration} 3 [8 8 ] 6. Z zu dddzdu Sfäriska koordinater I clindriska koordinater r cos r sin z z. är avståndet från en punkt,, z) till origo r + z vi bter namn på vinkeln från θ till för att ha samma notation som i boken). etta följer från Pthagoras sats t vi har en rätvinklig triangel med hörn i,, ),,,z) och,, z), och avståndet mellan de två sistnämnda punkterna är r.

3 z I sfäriska koordinater har variabeln r en annan betdelse än i clindriska, nämligen avståndet till origo tunn linje i figuren). Låt oss beteckna detta avstånd med ρ uttal: "rå"), som är den grekiska motsvarigheten till bokstaven "r". Om vinkeln i origo i triangeln beteckas med θ uttal: "fi"), mellan riktningen,, z) och z-aeln som är riktningen,, )). enna triangel är rätvinklig med hpotenusa ρ och katetrar r och z. å har vi tdligen att ρ sin θ r ρ cos θ z Sätter vi in detta i clindriska koordinater får vi sfäriska koordinater: ρ sin θ cos ρ sin θ sin. z ρ cos θ Man använder dock oftare r än ρ. Här använde vi ρ för att göra det klart att r i clindriska och sfäriska koordinater är olika variabler, och för att visa hur sfäriska kan härledas från clindriska vilka är polära koordinater där man hängt på z också). Vi bter till r och har då r sin θ cos r sin θ sin z r cos θ Notera att vinkeln inte finns med i z-koordinaten z ρ cos θ). enna vinkel är samma vinkel som i clindriska koordinater. Vi har följande tolkningar av de tre koordinaterna: r avståndet mellan,, ) och,, z). θ vinkeln mellan riktningen,, z) och positiva z-aeln. Här är θ maimalt π, i vilket fall vi befinner oss på negativa z-aeln. Så θ π.. 3

4 ompunkten,, z) projiceras ner i -planet fås,, ), och vinkeln θ är vinkeln mellan riktningen,, ) och positiva -aeln. enna vinkel samma som polära koordinater) går runt hela varvet, så π. Observera att de två vinklarna inte har samma gränser. Vad är funktionaldeterminanten för sfäriska koordinater? et är bara att derivera koordinatsambanden: det,, z) r, θ, ) r θ det r θ zr zθ z sin θ cos rcos θ cos r sin θ sin sin θ sin rcos θ sin rsin θ cos cos θ r sin θ {utveckla tredje raden} cosθ cos θ cos r sin θ sin r r cos θ sin rsin θ cos r sin θ) θ cos r sin θ sin sin sin θ sin rsin θ cos cosθ r cos cos θ sin θ + r sin cos θ sin θ + r sin θ r cos sin θ + r sin sin θ {två trig. ettor} r cos θ cos θ sin θ)+r sin θsin θ) {ännu en trig. etta} r sin θ. Så funktionaldeterminanten för polära koordinater är r sin θ, där θ är vinkeln till positiva z-aeln. etta kan skrivas som dddz r sin θdrdθd. Vinklarna har gränserna θ π respektive π. Notera att θ respektive motsvarar latituder och longituder på en glob. Vinkeln θ är nordpolen, θ π är sdpolen och θ π är ekvatorn. En vinkel konstant är en "lodrät" linje en longitud, även kallat meridian. Om vi låter Greenwichmeridianen som går genom London svara mot så kan vi definiera östra halvklotet som π och västra halvklotet som π π. å tillhör emellertid Europa väster om Greenwichmeridianen västra halvklotet något mindre än π,alternativt något mindre än. Nedan har vi tan r som är en sfär, vilken bggs upp av kurvor {r,θ a} respektive {r, b} för många olika värden på a och b. Ienkurva{r,θ a} är alltså två parametrar fia här r och θ), så den tredje ) kan variera fritt, och definierar en kurva ges av en parameter).

5 z Kurvor θ konstant och konstant. Observera att eftersom r är avståndet till origo, så det gäller att r p + + z, alltså även r + + z. et är relationer som vi använder ofta. Eempel 9) Beräkna z. + +z dddz där är klotet + + Lösning: Här har området sfärisk smmetri, och vi får i integranden + +z r. Sfäriska koordinater borde vara framgångsrika. Vi får då: + + z dddz E r r sin θdrdθd d sin θdθ Z dr [] π [cos θ] π [r] π )) π. Observera att vi beräknade en generaliserad integral, t integranden + +z är obegränsad i origo. Nivåtor + +z C till denna funktion är + + z C ) R, såpåettklotmedradie runt origo har funktionen värdet C,och på ett klot med radie 3 har funktionen värdet C 9. Vi har givetvis allt större värden ju mindre radier R vi har, enligt C R. Svar: + +z dddz π. 5

6 Eempel 3 Beräkna e z dddz då {z p + + z, }. På konen z p + + z är vinkeln till positiva z-aeln lika med 3π, så vi får får θ gränserna 3π θ π 5 sdlig bredd ), och svarar mot π östra halvklotet). vi har ingen begränsning på r så r har gränserna och. Vi får med sfäriska koordinater genom att använda z r cos θ ieponenten i e z : e z dddz e r cos θ r sin θdrdθd {använd att e a+b är e a e b } {θ-integration} π π E d d dr 3π r dr e r cos θ r sin θdθ 3π e r cos θ sin θdθ r [ r er cos θ ] θπ θ dr 3π r e r cos π + e r cos 3π )dr π r e r + e r )dr {partialintegration} π [r e r e r )] π π π [ e r + e r ] e r e r )dr Svar: e z dddz π 8. π π e e ) π Volmberäkningar Eempel 97b) Beräkna volmen av kroppen K som begränsas av clindern +, paraboloiden z + och planet z. Lösning: Vi har en lodrät clinder med radie runt z-aeln, och en "lodrät" paraboloid vilken som bekant är en skål rotera parabeln runt z-aeln) med minimum i origo. cos, sin, ) 6

7 z z z Kvarvarande volm. Vi använder här clindriska koordinater. å ska vi i z-led gå från z till z r, medan gränserna för r är till respektive till π hela varvet). Vi får då volmen Z Z r ddz d dr rdz K Svar: Volmen är 8π. [] π π Z Z [rz] r dr r 3 dr π[ r ] 8π. Eempel 5 97j) Beräkna volmen av den kropp K som begränsas av clindrarna + a och + z a. 7

8 z - - z - - z Lösning: Med polära koordinater r cos θ r sin θ z z får vi här tan z a att integrera, där området är r a. et ger K ddz {integration av r} {div. förenklingar} 8a3 3 K då Z a dddz p a r cos rdrd [ 3cos [ 3cos a r cos 3 ] a d a a cos 3 + [ a 3cos a cos 3 + sin 3 cos d 6a3 3 a 3 3cos )d a 3 3cos )d sin 3 cos d. etta kan beräknas på följande sätt. t R π Funktionen sin3 cos beräkna de två integralerna separat är problematisk i π, t där har vi. Vi kan inte sin 3 cos d cos d sin 3 cos d t då är de båda divergenta i π. Men vi kan bestämma primitiv funktion till dem separat, Z sin 3 Z cos d Z cos d sin 3 cos d, 8

9 och sedan i summan av de primitiva funktionerna sätta in gränserna. et är lämpligt för de två termerna "behöver" olika substitutioner. Vi får Z Z cos d {t tan} dt t tan + C, medan Z cos )sin cos d {cos t, sin d dt} Z t t dt t + t +cos + C. cos Så en primitiv funktion till sin3 cos är cos cos tan vi tar C ). Vi får då t sin 3 cos d [ cos lim π cos +cos +tan] π lim +tan)+) + +) π cos +sin +tan) lim π cos {sätt π s} +sins + π lim +coss s coss + π ) lim s sin s {l Hospitals regel} sin s lim s cos s. Svar: K ddz 6a3 3. 9