SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
|
|
- Ann-Christin Axelsson
- för 8 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A 1. Funktionen f är definierad på området som ges av olikheterna x > 1/ och y > genom f(x, y) ln(x 1) + ln(y) xy x. (a) Förklara vad det innebär att en punkt är en stationär punkt 1 för funktionen f och kontrollera att (1, 1) är en sådan punkt. (1 p) (b) Skriv upp Taylorutvecklingen till f av ordning två i punkten (1, 1). ( p) (c) Avgör vilken typ den stationära punkten (1, 1) har. (1 p) Lösningsförslag. (a) Att en punkt är stationär innebär att gradienten för funktionen är noll i den punkten. I vårt fall är gradienten f(x, y) ( f x f (x, y), (x, y) y ) ( x 1 y 1, 1 ) y x och när vi beräknar det för (x, y) (1, 1) får vi ( f(1, 1) , 1 ) 1 1 ( 1 1, 1 1) (, ). Alltså är (1, 1) en stationär punkt. (b) För Taylorpolynomet av grad två behövs andraderivatorna av f och dessa ges av f x 4 (x 1), f x y 1 och f y 1 y. I punkten (x, y) (1, 1) får vi f x 4, 1 En stationär punkt kallas också för en kritisk punkt. f x y 1 och f y 1.
2 SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Värdet i punkten (1, 1) är f(1, 1) och eftersom det är en stationär punkt är den linjära termen noll. Därmed ges Taylorpolynomet kring punkten (1, 1) av (x 1) (y 1) p(x, y) + ( 4) (x 1)(y 1) (c) Typen för den stationära punkten bestäms av andragradstermen som kan skrivas som 1 ( 4h hk k ) 1 ( h + (h + k) ) som är negativt definit. Därmed är (1, 1) ett lokalt maximum. Vi kan också se detta genom att se på egenvärdena till matrisen ] f f ] 4 1 x f x y x y f y 1 I och med att determinanten är 4 1 som är positiv har båda egenvärdena samma tecken och i och med att spåret är negativt måste de båda vara negativa och vi drar åter igen slutsatsen att formen är negativt definit och (1, 1) en lokal maxpunkt. Svar. (b) Taylorpolynomet är p(x, y) + ( 4) (x 1) (x 1)(y 1) (y 1) (c) Punkten (1, 1) är ett lokalt maximum. 1..
3 SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Låt r(t) beskriva en partikels position i xy-planet där den rör sig moturs med en konstant vinkelhastighet om ω radianer per sekund i en cirkel med radie R kring origo. (a) Skriv upp uttrycket för r(t) om partikeln vid tiden t s befinner sig i punkten (R, ). (1 p) (b) Beräkna derivatan r (t) med hjälp av uttrycket från del (a). (1 p) (c) Arbetet som utförs av en kraft F(t) under rörelsen ges av F(t) dr. Newtons andra lag säger att den kraft som verkar på partikeln är mr (t), där m är partikelns massa. Vilket arbete utför denna kraft medan partikeln färdas ett halvt varv kring origo? ( p) Lösningsförslag. (a) Om vi använder polära koordinater har vi r R och θ ωt och när vi skriver det i rektangulära koordinater får vi r(t) (R cos(ωt), R sin(ωt)). (b) Vi deriverar r(t) med avseende på t och får r (t) ( Rω sin(ωt), Rω cos(ωt)). (c) Arbetet ges av F(t) dr t1 F(r(t)) r (t) dt t1 mr (t) r (t) dt t t eftersom r (t) ( Rω cos(ωt), Rω sin(ωt) ) som är vinkelrät mot r (t) för alla t. Svar. (a) r(t) (R cos(ωt), R sin(ωt)). (b) r (t) ( Rω sin(ωt), Rω cos(ωt)). (c) Arbetet är noll.
4 4 SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Betrakta den kropp i rummet som ges av olikheterna z x + 4y och x + y 1. Volymen av kroppen kan beräknas med trippelintegralen 1 dv 1 dxdydz. (a) Ställ upp den trippelintegral som ger volymen av med upprepad integration i de rätvinkliga koordinaterna x, y och z. (1 p) (b) Utför det variabelbyte som krävs för att beräkna trippelintegralen från del (a) med hjälp av cylinderkoordinater. (1 p) (c) Beräkna volymen av, exempelvis genom att beräkna trippelintegralen från del (b). ( p) Lösningsförslag. (a) Vi kan beskriva cirkeln med olikheterna 1 x 1, 1 x y 1 x och därmed kan trippelintegralen skriva som 1 x x +4y 1 1 x 1 dzdydx. (b) Vid variabelbytet till cylinderkoordinater r, θ, z] fås dxdydz r drdθdz och kroppen ges av olikheterna θ π, r 1 och z r (cos θ +4 sin θ). Därmed blir integralen π r (cos θ+4 sin θ) (c) Vi beräknar integralen från del (b) som π r π π r dzdrdθ. r dzdrdθ r z] r (cos θ+4 sin θ) drdθ ] r r (cos θ + 4 sin 4 1 π θ) drdθ (cos θ + 4 sin θ) dθ π 5π 4. Svar. (a) 1 x 1 x +4y 1 dzdydx. 1 x (b) π r (cos θ+4 sin θ) r dzdrdθ. (c) Volymen är 5π/4.
5 SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL B 4. Beräkna flödet av vektorfältet F(x, y, z) (xy, yz, y + x z) ut genom begränsningsytan till den cylinderformade kropp som ges av olikheterna x + y 1 och z 1 antingen genom att parametrisera ytans olika delar eller genom att använda divergenssatsen. (4 p) Lösningsförslag. Om vi väljer att använda divergenssatsen ser vi först att div F y + z + x. och eftersom F är kontinuerligt deriverbart och begränsningsytan till är styckvis slät får vi F N ds div F dxdydz (x + y + z) dxdydz. Vi kan sedan byta till cylinderkoordinater och får π (x + y + z) dxdydz (r cos θ + r sin θ + z)r drdθdz Varje term kan beräknas som en produkt. π π och π r cos θ drdθdz r sin θr drdθdz Sammantaget får vi zr drdθdz π π π π cos θ dθ cos θ dθ 1 dθ r dr r dr r dr r 4 1 dz π 4 ] 1 1 dz cos θ] π r z dz π ] 1 z (r cos θ + r sin θ + z)r drdθdz π π π 4. 1 π 4, r ] 1 ] 1 π. 1 Väljer vi istället att parametrisera ytans delar får vi tre olika delar. Vi börjar med mantelytan som kan parametriseras med r(θ, z) (cos θ, sin θ, z). En utåtriktad normerad
6 6 SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen normalvektor ges av (cos θ, sin θ, ) och därför ges flödet av integralen π (cos θ sin θ, z sin θ, sin θ + z cos θ) (cos θ, sin θ, ) dzdθ π cos θ sin θ + z sin θ dzdθ π cos θ sin θ dz + π sin θ 1 ] π ] z 1 cos θ 1 + π + π π Bottenytan är en cirkelskiva som parametriseras av r(r, θ) (r cos θ, r sin θ, ) och en utåtriktad normerad normalvektor är (,, 1). Därmed blir flödet genom denna del π (r cos θ sin θ,, r sin θ) (,, 1) rdrdθ π r sin θ rdrdθ π r 4 dr sin θ(1 cos θ) dθ 1 5 cos θ + 1 ] π cos θ. Slutligen ges den övre begränsningsytan av r(r, θ) (r cos θ, r sin θ, 1). En utåtriktad normerad normalvektor ges av (,, 1) och därför ges flödet av integralen π (r cos θ sin θ, r sin θ, r sin θ + r cos θ) (,, 1) rdrdθ π Den första termen är noll enligt den förra beräkningen och den andra ger π r cos θ rdrdθ r cos θ + 1 dr dθ 1 sin θ 4 + θ 4 π Sammataget blir flödet π + + π 4 π 4. z dz r sin θ + r cos θ rdrdθ ] π π 4. Svar. Flödet genom ytan är π/4.
7 SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen För att flyga med flygbolaget Lagrangian Airlines krävs att det incheckade bagagets yttermått skall uppfylla att summan av dess höjd, bredd och djup inte överskrider 15 cm. Bestäm den maximala volym som en rätvinklig parallellepiped kan ha för att få tas med som incheckat bagage. (4 p) Lösningsförslag. Vi behöver maximera volymen V (x, y, z) xyz av ett rätblock med höjd x, bredd y och längd z givet att x, y, z cm och x + y + z 15 cm. Detta måste finnas ett maximum för funktionen eftersom den är deriverbar och definierad på en kompakt mängd. Vi börjar med att leta efter maximum bland stationära punkter till V (x, y, z). Dessa ges av lösningar till grad V (x, y, z) (,, ), dvs yz, xz, xy, vilket ger att V (x, y, z) xyz x(yz) x. Detta kan inte vara maximum eftersom V kan anta positiva värden. Vi ser sedan på randen som ges av tre delar där en av variablerna är noll och en triangel där x+y+z 15 cm. På delarna där en variabel är noll är också volymen noll, vilket återigen inte kan vara maximum. Vi ser till slut på den del av randen där x+y +z 15 cm. Enligt Lagranges metod ska gradienten till V vara parallell med gradienten till bivillkoret vid ett optimum. I det här fallet ska alltså (yz, xz, xy) vara parallell med (1, 1, 1), vilket ger x y z som med bivillkoret x + y + z 15 cm ger x y z 5 cm. Då blir volymen (5 cm) 15 cm 15 dm. Detta måste vara det eftersökta maximala värdet för volymen. Svar. Den maximala volymen är 15 dm, dvs 15 liter.
8 8 SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen I en enkel modell av ett gasmoln antas det utanför klotet x +y +z 1 ha en masstäthet som i lämpliga enheter ges av f(x, y, z) e (x +y +z ) x + y + z. Beräkna gasmolnets totala massa. (4 p) Lösningsförslag. Beteckna området klotet för Ω. Vi behöver beräkna integralen e (x +y +z ) f(x, y, z) dxdydz x + y + z dxdydz. Ω Vi går över till sfäriska koordinater r, φ, θ] och får Integrationsgränserna är x + y + z r och dxdydz r sin φ drdφdθ. 1 r, φ π och θ π. Integralen är generaliserad eftersom området inte är begränsat. Eftersom integranden är positiv räcker det att låta den övre integrationsgränsen för r gå mot oändligheten och ta gränsvärde. Alltså blir massan m π lim R lim R π π R e r 1 dθ 1 π π cos φ] π lim R π (1 ( 1)) lim R där vi har använt att lim t e t. Svar. lotets massa är π/e. r Ω r sin φ drdφdθ R sin φ dφ 1 1 ] R e r 1 ( 1 e R re r dr ( e 1 )) π e,
9 SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL 7. Låt vara den homogena kropp som beskrivs av olikheterna z, x + y + z 4 och z x + y. Beräkna z-komponenten av masscentrum för kroppen. (4 p) Lösningsförslag. För att beräkna z-komponenten för masscentrum behöver vi beräkna kvoten z dxdydz 1 dxdydz. För båda integralerna är det lämpligt att använda cylinderkoordinater och gränserna för ges då av r z 4 r och θ π. För att r 4 r måste r. Den första integralen blir därmed π 4 r ] rz 4 r z dxdydz zr dzdrdθ π dr π ( ) r(4 r ) r dr π Den andra integralen blir π 1 dxdydz π r 4 r (r ) 4 r r dr π r ( r r ) dr π r dzdrdθ π π Därmed blir z-komponenten av masscentrum z dxdydz 1 dxdydz π π 8 4 ( r r ) dr π ( r r r4 4 rz] 4 r r 8 4 (8 + 4 ) 64 dr ] ( π 4 ) π 4 1 ] (4 r ) / r ) π 8 4. ( + ) 8 I den ursprungliga tentamenslydelsen fattades olikheten z och då blir kroppen symmetrisk kring z vilket gör att kroppens masscentrum hamnar vid z av symmetriskäl. Svar. z-komponenten av kroppens masscentrum är ( + )/8.
10 1 SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Betraka den vektorvärda funktionen f som ges av ) f(x, y) (xy, x y för alla (x, y) i R. Punkten (x, y) (, 1) är en fixpunkt till f, vilket betyder att f(, 1) (, 1). För varje positivt heltal n kan vi bilda funktionen f n genom att sätta samman f med sig själv n gånger, dvs f f f, f f f f, etc. (a) Bestäm Jacobimatrisen Df i fixpunkten (, 1). (1 p) (b) Visa att (, 1) är en fixpunkt för alla funktionerna f n, för n 1. (1 p) (c) Bestäm ett uttryck för Jacobimatrisen Df n i fixpunkten (, 1) som gäller för alla n 1. ( p) Lösningsförslag. (a) Jacobimatrisen ges av Df(x, y) f1 x f x f 1 y f y ] ] y x x y och när vi sätter in (x, y) (, 1) får vi Df( ] 1, 1). 1 (b) Eftersom vi har att f(, 1) ( 1, (( ) 1)/) (, 1) har vi att f n+1 (, 1) f n (f(, 1)) f n (, 1) för alla n 1. Därmed får vi f n (, 1) f n 1 (, 1) f 1 (, 1) (, 1). (c) edjeregeln säger att Jacobimatrisen för en sammansättning är matrisprodukten av Jacobimatriserna. Eftersom (, 1) är en fixpunkt beräknas alla Jacobimatriserna i samma punkt och vi får Df n (, 1) (Df( ] n 1, 1)) n. 1 Vi har att och därmed har vi Df n (, 1) 1 1 ] n n ] ] 4 4 n 1 n 1 n 1 n 1 ] om n är jämnt om n är udda
11 SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Detta kan också skrivas som Df n ( ] ], 1) n 1 + ( ) n 1 n + ( 1) n (1 ( 1) n ) (1 ( 1) n ) 1 + ( 1) n ] Svar. (a) Jacobimatrisen är Df(, 1) 1 1 ]. (c) Jacobimatrisen för sammansättningen f n är Df n ( ] n 1, 1) + ( 1) n n (1 ( 1) n ) ] 1 (1 ( 1) n ) 1 + ( 1) n.
12 1 SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Beräkna kurvintegralen F dr där vektorfältet F ges av F(x, y, z) (y + z, x + z, x + 4y) och är kurvan som ges av r(t) (t cos(1 t ), t, t), t 1. (4 p) Lösningsförslag. Vi kan se att fältet inte är konservativt genom att beräkna rotationen som ger ( F rot F y F z, F 1 z F x, F x F ) 1 (4 1, 1 1, 1 1) (,, ), y men vi kan dela upp fältet i en summa av ett konservativt fält G och ett fält H (,, y). urvintegralen över det först fältet kan beräknas med hjälp av en potiential och den andra kan beräknas direkt eftersom den unviker x-komponenten av kurvan. En potential för G(x, y, z) (y + z, x + z, x + y) ges av Φ(x, y, z) xy + yz + zx och eftersom kurvan går från (,, ) till (1, 1, 1) blir kurvintegralen G dr Φ(1, 1, 1) Φ(,, ). Den andra kurvitgralen ges av H dr y dz Sammantaget får vi kurvintegralen F dr G dr + Det går också att beräkna integralen direkt som t dt t ] 1 1. H dr (t + t)(cos(1 t ) + t sin(1 t ) + (t cos(1 t ) + t) t + t cos(1 t ) + 4t dt (t + t) cos(1 t ) + (t 4 + t ) sin(1 t ) + 6t dt (t + t) cos(1 t ) + (t + t )t sin(1 t ) + 6t dt (t + t ) cos(1 t ) + t ] där vi använt att derivatan av cos(1 t ) är t sin(1 t ). Svar. urvintegralen är F dr 4.
SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 15-6-4 DEL A 1. Funktionen f är definierad på området som ges av olikheterna x > 1/ och y > genom fx, y) lnx 1) + lny) xy x. a) Förklara
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015
SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-8- EL A 1. Betrakta funktionen f som är definierad i området där x + y genom f(x, y, z) x z x + y. (a) Beräkna gradienten f(x, y, z). (1 p) (b)
Läs mer1 x. SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 26-3-2 DEL A. Låt D vara fyrhörningen med hörn i punkterna, ), 6, ),, 5) och 4, 5). a) Skissera fyrhörningen D och beräkna dess area. p) b) Bestäm
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 20 augusti 2015
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 2 augusti 215 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 21 mars 2016
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 2 mars 26 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1 Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x oc y = x Beräkna x-koordinaten
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-3-16 DEL A 1. Låt f(x, y) = 1 x 2 y 2. (a) Skissa nivåkurvorna f(x, y) = c till f för c =, c = 1 och c = 2. (1 p) (b) Beräkna gradf(x, y) i de
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-7 DEL A 1. Låt S vara ellipsoiden som ges av ekvationen x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 5. (a) Bestäm en normalvektor till S i en punkt (x, y, z ) på S.
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016
Institutionen för matematik SF166 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 16 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna jälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 2 januari 26 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 215 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 216 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-9-6 DEL A. Betrakta följande tre områden i planet: D = {(x, y): x y < 4}, D = {(x, y): x + y }, D 3 = {(x, y): 4x + 3y
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 213-8-22 DEL A 1. Betrakta funktionen f(x, y) ln(x 2 + xy 2 4). a) Bestäm tangentplanet till funktionsytan z f(x, y) i den punkt på ytan där x 1
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 13-3-1 DEL A 1. En svängningsrörelse beskrivs av ( πx ) u(x, t) = A cos λ πft där amplituden A, våglängden λ och frekvensen f är givna konstanter.
Läs merLösningsförslag till tentamen Tisdagen den 10 januari 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den januari 7 DEL A. En partikel rör sig så att positionen efter starten ges av (x, y, z (t cos t, t sin t, t
Läs merSF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag
SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 11, 14. - 19. Svar och lösningsförslag (1) Låt f(x, y) = xy ln(x + y ). I vilken riktning är riktningsderivatan till f i punkten (1, ) som störst, och
Läs merInlämningsuppgift nr 2, lösningar
UPPALA UNIVRITT MATMATIKA INTITUTIONN Bo tyf Flervariabelanalys K, X m.fl. Höstterminen 8 Inlämningsuppgift nr, lösningar. Visa att ekvationen x + x(y ) + (y ) + z + sin(yz) definierar z som en funktion
Läs merLösningsförslag till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Onsdagen den 5 mars 7 DEL A. I nedanstående rätvinkliga koordinatsystem är varje ruta en enhet lång. (a) Bestäm de rymdpolära
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag
SF166 Flervariabelanalys entamen 18 augusti 11, 14. - 19. Svar och lösningsförslag 1) Låt fx, y) = xy lnx + y ). I vilken riktning är riktningsderivatan till f i punkten 1, ) som störst, och hur stor är
Läs merLösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Torsdag augusti 16, 2018 DEL A 1. Givet funktionen f(x, y) = ln(x 2 y 2 ). a) Bestäm definitionsmängden D för f. Rita även en bild av D. (2 p) b) Bestäm
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 10 januari 2017
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den januari 27 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt
Läs mer= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen torsdag 19 augusti 21, 14. - 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Svar och
Läs merInstitutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys. Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 7 DEL A. En kulles höjd ges av z 6,x,y där enheten är meter på alla tre koordinataxlar. (a) I vilken
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.
1. Beräkna integralen medelpunkt i origo. SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 218-3-14 D DEL A (x + x 2 + y 2 ) dx dy där D är en cirkelskiva med radie a och Lösningsförslag.
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 15 mars 2017
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 mars 7 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt
Läs merTentamen: Lösningsförslag
Tentamen: Lösningsförslag Onsdag 5 mars 7 8:-3: SF674 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Max: 4 poäng. 4 poäng Avgör om följande gränsvärde existerar och beräkna gränsvärdet om det existerar:
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 24-8-2 DEL A. Bestäm och skissera definitionsmängden till funktionen fx, y) = x 2 + y 2 + 2x 4y + + x. Är definitionsmängden kompakt? 4 p) Lösning.
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1. Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x och y =
Läs merSF1626 Flervariabelanalys
1 / 28 SF1626 Flervariabelanalys Föreläsning 2 Hans Thunberg Institutionen för matematik, KTH VT 2018, Period 4 2 / 28 SF1626 Flervariabelanalys Dagens lektion: avsnitt 11.1 11.3 Funktioner från R till
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud 5B 7, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F. Tentamen fredag 25 maj 27, 8.-3. Förslag till lösningar (ändrat 28/5-7, 29/5-7).
Läs merTentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.
Institutionen för matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola Niklas Eriksen Tentamen i tmv6c och tmv5c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt Lösningar 9--6. Lös initialvärdesproblemet x
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-- DEL A. Bestäm en ekvation för tangentplanet i punkten (,, 2 till ellipsoiden 2x 2 +3y 2 +z 2 = 9. (4 p Lösning. Vi uppfattar ytan som nivåytan
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF66 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen --9 EL A. En kulle beskrivs approximativt av funktionen 5 hx, ) + 3x + i lämpliga enheter där hx, ) är höjden. Om du befinner dig i punkten,, ) på kullen,
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-5-27 DEL A. Bestäm alla punkter på ytan z = x 2 + 4y 2 i vilka tangentplanet är parallellt med planet x + y + z =. 4 p) Lösning. Tangentplanet
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud B 7, ifferential- och integralkalkyl II, del, flervariabel, för F. Tentamen tisdag 8 augusti 7, 4.-9. Förslag till lösningar.. Om F (x, y, z) x y + y z
Läs merx ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF160, Differential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 0 maj 2012, 8.00-1.00 Förslag till lösningar 1. Bestäm tangentplanet
Läs merTentamen SF1626, Analys i flera variabler, Svar och lösningsförslag. 2. en punkt på randkurvan förutom hörnen, eller
Tentamen SF66, Analys i flera variabler, --8 Svar och lösningsförslag. Låt fx, y) = ye x y. Bestäm största och minsta värde till f på den slutna kvadraten med hörn i, ),, ),, ) och, ). Lösning. f är kontinuerlig
Läs merhar ekvation (2, 3, 4) (x 1, y 1, z 1) = 0, eller 2x + 3y + 4z = 9. b) Vi söker P 1 = F (1, 1, 1) + F (1, 1, 1) (x 1, y 1, z 1) = 2x + 3y + 4z.
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 7 maj 9, 1.-19. 1. Låt F (x, y, z) sin(x + y z) + x + y + 6z. a)
Läs merLösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2
Lösningsförslag till tentamen TMA4 Flervariabelanalys E2 21-8-1 kl. 8. 12. Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Anders Martinsson, telefon: 7 88 4 Hjälpmedel: bifogat
Läs mer6. Räkna ut integralen. z dx dy dz,
Institutionen för Matematik, TH Flervariabelanalys SF626. Tentamen den 23 november 29 kl. 8-3 Tillåtet hjälpmedel är Beta Mathematics Handbook. Tydliga lösningar med fullständiga meningar och utförliga
Läs merf(x, y) = ln(x 2 + y 2 + 1). 3. Hitta maximala arean för en rektangel inskriven i en ellips på formen x 2 a 2 + y2
TM-Matematik Mikael Forsberg Matematik med datalogi, mfl. Flervariabelanalys mk12b Övningstenta vt213 nr1 Skrivtid: 5 timmar. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-3-7 EL A. Betrakta funktionen f, y y. a Beräkna riktningsderivatan av f i punkten, i den riktning som ges av vektorn 4, 3. p b Finns det någon riktning
Läs mer3. Beräkna riktningsderivatan för funktionen f(x, y, z) = xy sin z, i riktningen v = (1, 2, 1), uträknad i
ATM-Matematik Mikael Forsberg 73-3 3 För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MAB Skrivtid: 9:-:. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler bifogas
Läs merTentan , lösningar
UPPALA UNIVERITET MATEMATIKA INTITUTIONEN Bo tyf Flervariabelanalys K, X m.fl. Höstterminen 2008 Tentan 2008-12-16, lösningar 1. Avgör om det finns någon punkt på ytan (x 1) 2 + 2(y 1) 2 + 2z 8 som är
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 7 juni 2016
SF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 7 juni 2016 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt att följa. Det
Läs merFigur 1: Postföretagets rektangulära låda, definitioner.
ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-41 3 31 För distans och campus Flervariabelanalys ma1b 14 8 13 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel, förutom den bifogade formelsamlingen. Lösningarna skall vara fullständiga
Läs merTentamen i TATA43 Flervariabelanalys
Linköpings universitet Matematiska institutionen Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i TATA4 Flervariabelanalys 5--7 kl 8 Inga hjälpmedel tillåtna inte heller miniräknare 8//6 poäng med minst /4/5 uppgifter
Läs merx f x + y f y x. 2 Funktionen f(x, y) uppfyller alltså given differentialekvation.
SF1626 Flervariabelanalys Svar och lösningsförslag till Tentamen 14 mars 211, 8. - 13. 1) Visa att funktionen f, y) = y4 y ) 2 +2 sin är en lösning till differentialekvationen f + y f y = 2f. Lösning:
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF669 Matematisk och numerisk anals II Lösningsförslag till tentamen 7-3-5 DEL A. I nedanstående rätvinkliga koordinatsstem är varje ruta en enhet lång. (a) Bestäm de rmdpolära (sfäriska) koordinaterna
Läs merf(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) f(x, y, z) = (x 2 + yz, y 2 x ln x) 3. Beräkna en vektor som är tangent med skärningskurvan till de två cylindrarna
ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-41 3 31 För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys mk1b 13 8 Skrivtid: 9:-14:. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler
Läs merBestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (1,1, 2 ) på kurvan och som spänns
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Q Flervariabelanalys 8--1 Skrivtid: 8-1. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer. Tentand
Läs merFör studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MA012B ATM-Matematik Mikael Forsberg
ATM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MAB 8 Skrivtid: 9:-4:. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler bifogas
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till modelltentamen DEL A
Institutionen för matematik SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till modelltentamen DEL A 1. Betrakta funktionen fx, y = x + y och området D som ges av olikheterna x, y och x + y 1.
Läs meru av funktionen u = u(x, y, z) = xyz i punkten M o = (x o, y o, z o ) = (1, 1, 1) i riktningen mot punkten M 1 = (x 1, y 1, z 1 ) = (2, 3, 1)
ATM-Matematik Mikael Forsberg 734 41 3 31 Flervariabelanalys mag31 1669 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel förutom bifogad formelsamling. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje
Läs merProblem inför KS 2. Problem i matematik CDEPR & CDMAT Flervariabelanalys. KTH -matematik
KTH -matematik Problem i matematik EPR & MAT Flervariabelanalys Problem inför KS.. Låt F(, y, z) + y 3z + och G(, y, z) 3 + y 3 4z +. Visa att i en omgivning av punkten (,, ) definieras genom ekvationerna
Läs merTentamen TMA044 Flervariabelanalys E2
Tentamen TMA44 Flervariabelanalys E 4--3 kl. 8.3.3 Examinator: Peter Hegarty, Matematiska vetenskaper, halmers Telefonvakt: Elin Solberg, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad, ordlistan från
Läs merTentamen: Lösningsförslag
Tentamen: Lösningsförslag Fredag 9 juni 7 8:-: SF67 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Ma: poäng. poäng Bestäm samtliga horisontella tangentplan till ytan z y y + y +. Lösning: Tangentplanet
Läs merTMV036 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt, del C
MATEMATIK Hjälpmedel: Inga Chalmers tekniska högskola Datum: -- kl 4 8 Tentamen Telefonvakt: Richard Lärkäng tel 3-8834 TMV36 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt, del C Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen 24-5-26 DEL A. Skissera definitionsmängden till funktionen f (,) 2 ln(2 ). Är definitionsmängden kompakt? (4 p) Lösning. Termen 2 är definierad när
Läs merLösning till kontrollskrivning 1A
KTH Matematik Olle Stormark Lösning till kontrollskrivning 1A i SF1626 Flervariabelanalys för E, vt 28. Varje uppgift ger maximalt 3 poäng. För godkänt krävs minst 5 poäng sammanlagt. 1. Funktionen f(x,
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen 14 mars 2011,
SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 14 mars 2011, 08.00-13.00 Skrivtid: 5 timmar Inga tillåtna hjälpmedel Eaminator: Hans Thunberg Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maimalt fyra poäng. På
Läs merLösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2
Lösningsförslag till tentamen TMA43 Flervariabelanalys E 4-8-3 kl. 8.3.3 Examinator: Peter Hegarty, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Åse Fahlander, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad,
Läs mer(x 3 + y)dxdy. D. x y = x + y. + y2. x 2 z z
UPPAA UNIVERITET Matematiska institutionen Abrahamsson, 4715, 7-57 (tyf, 47119, 77-517) Prov i matematik IT, K, X, W, EI, MI, NVP samt fristående kurs. Flerdimensionell analys och Analys MN 5-1-9 krivtid:
Läs merTentamen MVE085 Flervariabelanalys
Tentamen MVE85 Flervariabelanalys 5--5 kl. 4. - 8. Examinator: Dennis Eriksson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Dawan Mustafa, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad, ordlistan
Läs mer1. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t).
Repetition, analys.. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t). 2. Beräkna längden av kurvan r(t) =
Läs merTentamen i Flervariabelanalys, MVE , π, kl
Tentamen i Flervariabelanalys, MVE35 216-3-14, π, kl. 14.-18. Hjälpmedel: Inga, ej räknedosa. Telefon: anknytning 5325 Telefonvakt: Raad Salman För godkänt krävs minst 2 poäng. Betyg 3: 2-29 poäng, betyg
Läs merTentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE , kl
Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE35 26-4-2, kl. 4-8 Hjälpmedel: Inga, ej räknedosa. Telefon: anknytning 5325 Telefonvakt: Edvin Wedin För godkänt krävs minst 2 poäng. Betyg 3: 2-29.5 poäng, betyg
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015
SF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt att följa. Det
Läs merTMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C
MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen 20-0-, kl. 4.00-8.00 TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C Telefonvakt: Richard Lärkäng, telefon: 0703-088304 Hjälpmedel: Inga, bara papper och penna.
Läs mer( ) = 2x + y + 2 cos( x + 2y) omkring punkten ( 0, 0), och använd sedan detta ( ).
KTH matematik Tentamen i SF66 Flervariabelanalys den 7 juni kl 8.3. Tillåtet hjälpmedel: Endast Beta Mathematics Handbook. Tydliga lösningar med fullständiga meningar och utförliga motiveringar krävs för
Läs merÖvningstenta: Lösningsförslag
Övningstenta: Lösningsförslag Onsdag 5 mars 7 8:-: SF674 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Max: 4 poäng. (4 poäng) Bestäm tangentplanet i punkten (,, ) till ytan z f(x, y) där f(x, y) x 4
Läs merav envariabelfunktionen g(t) och flervariabelfunktionen t = h(x, y) = x 2 + e y.)
Lösningsskisser till TATA69 Flervariabelanalys 16-1- 1 Stationära punkter ges av f (4x 3 + 4x, 3y + 6z, z + 6y (,,, dvs (x, y, z (,, eller (x, y, z (, 6, 18 Ur andraderivatorna fås de kvadratiska formerna
Läs merTentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035
Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE5 kl.. 8.. jälmedel: Inga, ej räknedosa. Telefon: Lennart Falk, 77 56 För godkänt krävs minst oäng. Betyg : -5 oäng, betyg : 6-7 oäng, betyg 5: 8 oäng eller mera.
Läs mer1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende.
Institutionen för matematik KTH MOELLTENTAMEN Tentamensskrivning, år månad dag, kl. x. (x + 5).. 5B33, Analytiska metoder och linjär algebra. Uppgifterna 5 svarar mot varsitt moment i den kontinuerliga
Läs merTentamen TMA043 Flervariabelanalys E2
Tentamen TMA43 Flervariabelanalys E2 22-- kl. 8.3 2.3 Eaminator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, halmers Telefonvakt: Fredrik Lindgren, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad, ordlistan
Läs mer1.1 Stokes sats. Bevis. Ramgard, s.70
1 Föreläsning 7 1.1 tokes sats ats 1 åt vara en yta i R med randen. Vi antar att orienteringen på och är vald på ett sådant sätt att om man går längs i den valda riktningen då ligger till vänster (på vänstersidan).
Läs mer2. Avgör om x och z är implicit definierade som funktion av y via följande ekvationssystem. x 3 + xy + y 2 + z 2 = 0 x + x 3 y + xy 3 + xz 3 = 0
ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-41 3 31 För distans och campus Flervariabelanalys ma1b 14 1 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel, förutom den bifogade formelsamlingen. Lösningarna skall vara fullständiga
Läs mer1. Beräkna och klassificera alla kritiska punkter till funktionen f(x, y) = 6xy 2 2x 3 3y 4 2. Antag att temperaturen T i en punkt (x, y, z) ges av
ATM-Matematik Mikael Forsberg 74-41 1 För ingenjörs- och distansstudenter Flervariabelanalys ma1b 15 1 14 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 2013
SF626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 23 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mattias Dahl Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. De tre
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 26 maj, 2014
SF1626 Flervariabelanals Tentamen Måndagen den 26 maj, 214 Skrivtid: 14:-19: Tillåtna hjälpmedel: inga Eaminator: Mattias Dahl Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maimalt fra poäng. Del A
Läs merLUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK. LÖSNINGAR FLERDIMENSIONELL ANALYS, FMA kl 8 13
LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR FLERIMENSIONELL ANALYS, FMA40 04-0- kl 8. Vi börjar med att rita triangelskivan. Linjen genom, och, har ekvationen y x+, linjen genom, och, har ekvationen y 4
Läs merRepetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T
Repetition, Matematik 2 för lärare Ï -2x + y + 2z = 3 1. Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet Ì ax + 2y + z = 1. Ó x + 3y - z = 4 2. Vad är villkoret på talet a för att ekvationssystemet
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2015-01-12 DEL A 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)
Läs merInstitutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1119, Vektoranalys, för Open.
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 25 6 3, kl 8 3 5B9, Vektoranalys, för Open Uppgifterna 4 5 svarar mot varsitt moment i den kontinuerliga examinationen Av dessa uppgifter skall man bara
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanals Bedömningskriterier till tentamen Onsdagen den 5 mars 207 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad
Läs merLösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2
Lösningsförslag till tentamen TMA3 Flervariabelanalys E2 23--6 kl. 8.3 2.3 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Adam Andersson, telefon: 73 88 3 Hjälpmedel: bifogat
Läs merA = D. r s r t dsdt. [(1 + 4t 2 ) 3/2 1]dt (1) där det sista steget fås genom variabelbytet u = 1 + 4s 2. Integralen. (1 + 4t 2 ) 3/2 dt
TATA44 Lösningar till tentamen 27/8/2..) Arean A av ytstycket ges av formeln A r s r t dsdt där : s t, t. En enkel räkning ger r s r t ( 2s 2 cos t, 2s 2 sin t, s) av vilket det följer att A s2 + 4s 4
Läs merOmtentamen (med lösningar) MVE085 Flervariabelanalys
Omtentamen (med lösningar) MVE85 Flervariabelanalys 26--4 kl. 8.3 2.3 Examinator: Dennis Eriksson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Anna Persson, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: endast bifogat
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015
SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt
Läs merÖvningar till Matematisk analys III Erik Svensson
MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik -8-8 Övningar till Matematisk analys III Erik Svensson. För varje gränsvärde nedan bestäm gränsvärdet eller visa att gränsvärdet inte existerar.
Läs merCampus och distans Flervariabelanalys mag ATM-Matematik Mikael Forsberg och Yury Shestopalov (Mikael Forsberg)
ATM-Matematik Mikael Forsberg och Yury Shestopalov 734-4 3 3 (Mikael Forsberg) Campus och distans Flervariabelanalys mag3 7 6 5 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel förutom bifogad formelsamling. Lösningarna
Läs merTATA44 Lösningar 26/10/2012.
TATA44 Lösningar 6/1/1. 1. Lösning 1: Konen z x + y skär sfären x + y + (z 5 5 då 4z + (z 5 5 och enkla räkningar ger nu z z some ger z(z och vi ser att z eller z. Observera att punkter på sfären med z
Läs merIntegranden blir. Flödet ges alltså av = 3
Lektion 7, Flervariabelanals den 23 februari 2 6.4.2 Använd Gauss sats för att beräkna flödet av ut ur sfären med ekvationen där a >. Flödet ut ur sfären ges av F e e + 2 e e + e 2 + 2 + 2 a 2 F d, som
Läs merMMA127 Differential och integralkalkyl II
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA17 Differential och integralkalkyl II Tentamen Lösningsförslag 9..19 8. 11. Hjälpmedel: Endast skrivmaterial (gradskiva tillåten).
Läs merOmtentamen MVE085 Flervariabelanalys
Omtentamen MVE85 Flervariabelanalys 26-8-26 kl. 8.3 2.3 Examinator: Dennis Eriksson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Adam Malik, telefon: anknytning 5325 Hjälpmedel: endast bifogat formelblad,
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som
Läs mer(x + 1) dxdy där D är det ändliga område som begränsas av kurvorna
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik ES, W Flervariabelanalys 8 1 1 Skrivtid: 9-1. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer. Varje
Läs merTentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 8 13
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Joakim Arnlind Tentamen i Analys B för KB/TB TATA9/TEN1 14--1 kl 8 13 Inga hjälpmedel är tillåtna. Varje uppgift kan ge maximalt 3 poäng. Betygsgränser:
Läs mer