SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A"

Transkript

1 SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A 1. Funktionen f är definierad på området som ges av olikheterna x > 1/ och y > genom f(x, y) ln(x 1) + ln(y) xy x. (a) Förklara vad det innebär att en punkt är en stationär punkt 1 för funktionen f och kontrollera att (1, 1) är en sådan punkt. (1 p) (b) Skriv upp Taylorutvecklingen till f av ordning två i punkten (1, 1). ( p) (c) Avgör vilken typ den stationära punkten (1, 1) har. (1 p) Lösningsförslag. (a) Att en punkt är stationär innebär att gradienten för funktionen är noll i den punkten. I vårt fall är gradienten f(x, y) ( f x f (x, y), (x, y) y ) ( x 1 y 1, 1 ) y x och när vi beräknar det för (x, y) (1, 1) får vi ( f(1, 1) , 1 ) 1 1 ( 1 1, 1 1) (, ). Alltså är (1, 1) en stationär punkt. (b) För Taylorpolynomet av grad två behövs andraderivatorna av f och dessa ges av f x 4 (x 1), f x y 1 och f y 1 y. I punkten (x, y) (1, 1) får vi f x 4, 1 En stationär punkt kallas också för en kritisk punkt. f x y 1 och f y 1.

2 SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Värdet i punkten (1, 1) är f(1, 1) och eftersom det är en stationär punkt är den linjära termen noll. Därmed ges Taylorpolynomet kring punkten (1, 1) av (x 1) (y 1) p(x, y) + ( 4) (x 1)(y 1) (c) Typen för den stationära punkten bestäms av andragradstermen som kan skrivas som 1 ( 4h hk k ) 1 ( h + (h + k) ) som är negativt definit. Därmed är (1, 1) ett lokalt maximum. Vi kan också se detta genom att se på egenvärdena till matrisen ] f f ] 4 1 x f x y x y f y 1 I och med att determinanten är 4 1 som är positiv har båda egenvärdena samma tecken och i och med att spåret är negativt måste de båda vara negativa och vi drar åter igen slutsatsen att formen är negativt definit och (1, 1) en lokal maxpunkt. Svar. (b) Taylorpolynomet är p(x, y) + ( 4) (x 1) (x 1)(y 1) (y 1) (c) Punkten (1, 1) är ett lokalt maximum. 1..

3 SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Låt r(t) beskriva en partikels position i xy-planet där den rör sig moturs med en konstant vinkelhastighet om ω radianer per sekund i en cirkel med radie R kring origo. (a) Skriv upp uttrycket för r(t) om partikeln vid tiden t s befinner sig i punkten (R, ). (1 p) (b) Beräkna derivatan r (t) med hjälp av uttrycket från del (a). (1 p) (c) Arbetet som utförs av en kraft F(t) under rörelsen ges av F(t) dr. Newtons andra lag säger att den kraft som verkar på partikeln är mr (t), där m är partikelns massa. Vilket arbete utför denna kraft medan partikeln färdas ett halvt varv kring origo? ( p) Lösningsförslag. (a) Om vi använder polära koordinater har vi r R och θ ωt och när vi skriver det i rektangulära koordinater får vi r(t) (R cos(ωt), R sin(ωt)). (b) Vi deriverar r(t) med avseende på t och får r (t) ( Rω sin(ωt), Rω cos(ωt)). (c) Arbetet ges av F(t) dr t1 F(r(t)) r (t) dt t1 mr (t) r (t) dt t t eftersom r (t) ( Rω cos(ωt), Rω sin(ωt) ) som är vinkelrät mot r (t) för alla t. Svar. (a) r(t) (R cos(ωt), R sin(ωt)). (b) r (t) ( Rω sin(ωt), Rω cos(ωt)). (c) Arbetet är noll.

4 4 SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Betrakta den kropp i rummet som ges av olikheterna z x + 4y och x + y 1. Volymen av kroppen kan beräknas med trippelintegralen 1 dv 1 dxdydz. (a) Ställ upp den trippelintegral som ger volymen av med upprepad integration i de rätvinkliga koordinaterna x, y och z. (1 p) (b) Utför det variabelbyte som krävs för att beräkna trippelintegralen från del (a) med hjälp av cylinderkoordinater. (1 p) (c) Beräkna volymen av, exempelvis genom att beräkna trippelintegralen från del (b). ( p) Lösningsförslag. (a) Vi kan beskriva cirkeln med olikheterna 1 x 1, 1 x y 1 x och därmed kan trippelintegralen skriva som 1 x x +4y 1 1 x 1 dzdydx. (b) Vid variabelbytet till cylinderkoordinater r, θ, z] fås dxdydz r drdθdz och kroppen ges av olikheterna θ π, r 1 och z r (cos θ +4 sin θ). Därmed blir integralen π r (cos θ+4 sin θ) (c) Vi beräknar integralen från del (b) som π r π π r dzdrdθ. r dzdrdθ r z] r (cos θ+4 sin θ) drdθ ] r r (cos θ + 4 sin 4 1 π θ) drdθ (cos θ + 4 sin θ) dθ π 5π 4. Svar. (a) 1 x 1 x +4y 1 dzdydx. 1 x (b) π r (cos θ+4 sin θ) r dzdrdθ. (c) Volymen är 5π/4.

5 SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL B 4. Beräkna flödet av vektorfältet F(x, y, z) (xy, yz, y + x z) ut genom begränsningsytan till den cylinderformade kropp som ges av olikheterna x + y 1 och z 1 antingen genom att parametrisera ytans olika delar eller genom att använda divergenssatsen. (4 p) Lösningsförslag. Om vi väljer att använda divergenssatsen ser vi först att div F y + z + x. och eftersom F är kontinuerligt deriverbart och begränsningsytan till är styckvis slät får vi F N ds div F dxdydz (x + y + z) dxdydz. Vi kan sedan byta till cylinderkoordinater och får π (x + y + z) dxdydz (r cos θ + r sin θ + z)r drdθdz Varje term kan beräknas som en produkt. π π och π r cos θ drdθdz r sin θr drdθdz Sammantaget får vi zr drdθdz π π π π cos θ dθ cos θ dθ 1 dθ r dr r dr r dr r 4 1 dz π 4 ] 1 1 dz cos θ] π r z dz π ] 1 z (r cos θ + r sin θ + z)r drdθdz π π π 4. 1 π 4, r ] 1 ] 1 π. 1 Väljer vi istället att parametrisera ytans delar får vi tre olika delar. Vi börjar med mantelytan som kan parametriseras med r(θ, z) (cos θ, sin θ, z). En utåtriktad normerad

6 6 SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen normalvektor ges av (cos θ, sin θ, ) och därför ges flödet av integralen π (cos θ sin θ, z sin θ, sin θ + z cos θ) (cos θ, sin θ, ) dzdθ π cos θ sin θ + z sin θ dzdθ π cos θ sin θ dz + π sin θ 1 ] π ] z 1 cos θ 1 + π + π π Bottenytan är en cirkelskiva som parametriseras av r(r, θ) (r cos θ, r sin θ, ) och en utåtriktad normerad normalvektor är (,, 1). Därmed blir flödet genom denna del π (r cos θ sin θ,, r sin θ) (,, 1) rdrdθ π r sin θ rdrdθ π r 4 dr sin θ(1 cos θ) dθ 1 5 cos θ + 1 ] π cos θ. Slutligen ges den övre begränsningsytan av r(r, θ) (r cos θ, r sin θ, 1). En utåtriktad normerad normalvektor ges av (,, 1) och därför ges flödet av integralen π (r cos θ sin θ, r sin θ, r sin θ + r cos θ) (,, 1) rdrdθ π Den första termen är noll enligt den förra beräkningen och den andra ger π r cos θ rdrdθ r cos θ + 1 dr dθ 1 sin θ 4 + θ 4 π Sammataget blir flödet π + + π 4 π 4. z dz r sin θ + r cos θ rdrdθ ] π π 4. Svar. Flödet genom ytan är π/4.

7 SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen För att flyga med flygbolaget Lagrangian Airlines krävs att det incheckade bagagets yttermått skall uppfylla att summan av dess höjd, bredd och djup inte överskrider 15 cm. Bestäm den maximala volym som en rätvinklig parallellepiped kan ha för att få tas med som incheckat bagage. (4 p) Lösningsförslag. Vi behöver maximera volymen V (x, y, z) xyz av ett rätblock med höjd x, bredd y och längd z givet att x, y, z cm och x + y + z 15 cm. Detta måste finnas ett maximum för funktionen eftersom den är deriverbar och definierad på en kompakt mängd. Vi börjar med att leta efter maximum bland stationära punkter till V (x, y, z). Dessa ges av lösningar till grad V (x, y, z) (,, ), dvs yz, xz, xy, vilket ger att V (x, y, z) xyz x(yz) x. Detta kan inte vara maximum eftersom V kan anta positiva värden. Vi ser sedan på randen som ges av tre delar där en av variablerna är noll och en triangel där x+y+z 15 cm. På delarna där en variabel är noll är också volymen noll, vilket återigen inte kan vara maximum. Vi ser till slut på den del av randen där x+y +z 15 cm. Enligt Lagranges metod ska gradienten till V vara parallell med gradienten till bivillkoret vid ett optimum. I det här fallet ska alltså (yz, xz, xy) vara parallell med (1, 1, 1), vilket ger x y z som med bivillkoret x + y + z 15 cm ger x y z 5 cm. Då blir volymen (5 cm) 15 cm 15 dm. Detta måste vara det eftersökta maximala värdet för volymen. Svar. Den maximala volymen är 15 dm, dvs 15 liter.

8 8 SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen I en enkel modell av ett gasmoln antas det utanför klotet x +y +z 1 ha en masstäthet som i lämpliga enheter ges av f(x, y, z) e (x +y +z ) x + y + z. Beräkna gasmolnets totala massa. (4 p) Lösningsförslag. Beteckna området klotet för Ω. Vi behöver beräkna integralen e (x +y +z ) f(x, y, z) dxdydz x + y + z dxdydz. Ω Vi går över till sfäriska koordinater r, φ, θ] och får Integrationsgränserna är x + y + z r och dxdydz r sin φ drdφdθ. 1 r, φ π och θ π. Integralen är generaliserad eftersom området inte är begränsat. Eftersom integranden är positiv räcker det att låta den övre integrationsgränsen för r gå mot oändligheten och ta gränsvärde. Alltså blir massan m π lim R lim R π π R e r 1 dθ 1 π π cos φ] π lim R π (1 ( 1)) lim R där vi har använt att lim t e t. Svar. lotets massa är π/e. r Ω r sin φ drdφdθ R sin φ dφ 1 1 ] R e r 1 ( 1 e R re r dr ( e 1 )) π e,

9 SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL 7. Låt vara den homogena kropp som beskrivs av olikheterna z, x + y + z 4 och z x + y. Beräkna z-komponenten av masscentrum för kroppen. (4 p) Lösningsförslag. För att beräkna z-komponenten för masscentrum behöver vi beräkna kvoten z dxdydz 1 dxdydz. För båda integralerna är det lämpligt att använda cylinderkoordinater och gränserna för ges då av r z 4 r och θ π. För att r 4 r måste r. Den första integralen blir därmed π 4 r ] rz 4 r z dxdydz zr dzdrdθ π dr π ( ) r(4 r ) r dr π Den andra integralen blir π 1 dxdydz π r 4 r (r ) 4 r r dr π r ( r r ) dr π r dzdrdθ π π Därmed blir z-komponenten av masscentrum z dxdydz 1 dxdydz π π 8 4 ( r r ) dr π ( r r r4 4 rz] 4 r r 8 4 (8 + 4 ) 64 dr ] ( π 4 ) π 4 1 ] (4 r ) / r ) π 8 4. ( + ) 8 I den ursprungliga tentamenslydelsen fattades olikheten z och då blir kroppen symmetrisk kring z vilket gör att kroppens masscentrum hamnar vid z av symmetriskäl. Svar. z-komponenten av kroppens masscentrum är ( + )/8.

10 1 SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Betraka den vektorvärda funktionen f som ges av ) f(x, y) (xy, x y för alla (x, y) i R. Punkten (x, y) (, 1) är en fixpunkt till f, vilket betyder att f(, 1) (, 1). För varje positivt heltal n kan vi bilda funktionen f n genom att sätta samman f med sig själv n gånger, dvs f f f, f f f f, etc. (a) Bestäm Jacobimatrisen Df i fixpunkten (, 1). (1 p) (b) Visa att (, 1) är en fixpunkt för alla funktionerna f n, för n 1. (1 p) (c) Bestäm ett uttryck för Jacobimatrisen Df n i fixpunkten (, 1) som gäller för alla n 1. ( p) Lösningsförslag. (a) Jacobimatrisen ges av Df(x, y) f1 x f x f 1 y f y ] ] y x x y och när vi sätter in (x, y) (, 1) får vi Df( ] 1, 1). 1 (b) Eftersom vi har att f(, 1) ( 1, (( ) 1)/) (, 1) har vi att f n+1 (, 1) f n (f(, 1)) f n (, 1) för alla n 1. Därmed får vi f n (, 1) f n 1 (, 1) f 1 (, 1) (, 1). (c) edjeregeln säger att Jacobimatrisen för en sammansättning är matrisprodukten av Jacobimatriserna. Eftersom (, 1) är en fixpunkt beräknas alla Jacobimatriserna i samma punkt och vi får Df n (, 1) (Df( ] n 1, 1)) n. 1 Vi har att och därmed har vi Df n (, 1) 1 1 ] n n ] ] 4 4 n 1 n 1 n 1 n 1 ] om n är jämnt om n är udda

11 SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Detta kan också skrivas som Df n ( ] ], 1) n 1 + ( ) n 1 n + ( 1) n (1 ( 1) n ) (1 ( 1) n ) 1 + ( 1) n ] Svar. (a) Jacobimatrisen är Df(, 1) 1 1 ]. (c) Jacobimatrisen för sammansättningen f n är Df n ( ] n 1, 1) + ( 1) n n (1 ( 1) n ) ] 1 (1 ( 1) n ) 1 + ( 1) n.

12 1 SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Beräkna kurvintegralen F dr där vektorfältet F ges av F(x, y, z) (y + z, x + z, x + 4y) och är kurvan som ges av r(t) (t cos(1 t ), t, t), t 1. (4 p) Lösningsförslag. Vi kan se att fältet inte är konservativt genom att beräkna rotationen som ger ( F rot F y F z, F 1 z F x, F x F ) 1 (4 1, 1 1, 1 1) (,, ), y men vi kan dela upp fältet i en summa av ett konservativt fält G och ett fält H (,, y). urvintegralen över det först fältet kan beräknas med hjälp av en potiential och den andra kan beräknas direkt eftersom den unviker x-komponenten av kurvan. En potential för G(x, y, z) (y + z, x + z, x + y) ges av Φ(x, y, z) xy + yz + zx och eftersom kurvan går från (,, ) till (1, 1, 1) blir kurvintegralen G dr Φ(1, 1, 1) Φ(,, ). Den andra kurvitgralen ges av H dr y dz Sammantaget får vi kurvintegralen F dr G dr + Det går också att beräkna integralen direkt som t dt t ] 1 1. H dr (t + t)(cos(1 t ) + t sin(1 t ) + (t cos(1 t ) + t) t + t cos(1 t ) + 4t dt (t + t) cos(1 t ) + (t 4 + t ) sin(1 t ) + 6t dt (t + t) cos(1 t ) + (t + t )t sin(1 t ) + 6t dt (t + t ) cos(1 t ) + t ] där vi använt att derivatan av cos(1 t ) är t sin(1 t ). Svar. urvintegralen är F dr 4.

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 15-6-4 DEL A 1. Funktionen f är definierad på området som ges av olikheterna x > 1/ och y > genom fx, y) lnx 1) + lny) xy x. a) Förklara

Läs mer

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015 SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-8- EL A 1. Betrakta funktionen f som är definierad i området där x + y genom f(x, y, z) x z x + y. (a) Beräkna gradienten f(x, y, z). (1 p) (b)

Läs mer

1 x. SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

1 x. SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 26-3-2 DEL A. Låt D vara fyrhörningen med hörn i punkterna, ), 6, ),, 5) och 4, 5). a) Skissera fyrhörningen D och beräkna dess area. p) b) Bestäm

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 20 augusti 2015

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 20 augusti 2015 Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 2 augusti 215 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 21 mars 2016

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 21 mars 2016 Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 2 mars 26 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1 Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x oc y = x Beräkna x-koordinaten

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-3-16 DEL A 1. Låt f(x, y) = 1 x 2 y 2. (a) Skissa nivåkurvorna f(x, y) = c till f för c =, c = 1 och c = 2. (1 p) (b) Beräkna gradf(x, y) i de

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-7 DEL A 1. Låt S vara ellipsoiden som ges av ekvationen x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 5. (a) Bestäm en normalvektor till S i en punkt (x, y, z ) på S.

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016 Institutionen för matematik SF166 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 16 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna jälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016 Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 2 januari 26 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015 Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 215 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016 Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 216 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-9-6 DEL A. Betrakta följande tre områden i planet: D = {(x, y): x y < 4}, D = {(x, y): x + y }, D 3 = {(x, y): 4x + 3y

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 213-8-22 DEL A 1. Betrakta funktionen f(x, y) ln(x 2 + xy 2 4). a) Bestäm tangentplanet till funktionsytan z f(x, y) i den punkt på ytan där x 1

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 13-3-1 DEL A 1. En svängningsrörelse beskrivs av ( πx ) u(x, t) = A cos λ πft där amplituden A, våglängden λ och frekvensen f är givna konstanter.

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 10 januari 2017 DEL A

Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 10 januari 2017 DEL A Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den januari 7 DEL A. En partikel rör sig så att positionen efter starten ges av (x, y, z (t cos t, t sin t, t

Läs mer

SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag

SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 11, 14. - 19. Svar och lösningsförslag (1) Låt f(x, y) = xy ln(x + y ). I vilken riktning är riktningsderivatan till f i punkten (1, ) som störst, och

Läs mer

Inlämningsuppgift nr 2, lösningar

Inlämningsuppgift nr 2, lösningar UPPALA UNIVRITT MATMATIKA INTITUTIONN Bo tyf Flervariabelanalys K, X m.fl. Höstterminen 8 Inlämningsuppgift nr, lösningar. Visa att ekvationen x + x(y ) + (y ) + z + sin(yz) definierar z som en funktion

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017 DEL A

Lösningsförslag till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017 DEL A Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Onsdagen den 5 mars 7 DEL A. I nedanstående rätvinkliga koordinatsystem är varje ruta en enhet lång. (a) Bestäm de rymdpolära

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag SF166 Flervariabelanalys entamen 18 augusti 11, 14. - 19. Svar och lösningsförslag 1) Låt fx, y) = xy lnx + y ). I vilken riktning är riktningsderivatan till f i punkten 1, ) som störst, och hur stor är

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A

Lösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Torsdag augusti 16, 2018 DEL A 1. Givet funktionen f(x, y) = ln(x 2 y 2 ). a) Bestäm definitionsmängden D för f. Rita även en bild av D. (2 p) b) Bestäm

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 10 januari 2017

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 10 januari 2017 Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den januari 27 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt

Läs mer

= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).

= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer). Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen torsdag 19 augusti 21, 14. - 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Svar och

Läs mer

Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys. Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 2017 DEL A

Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys. Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 2017 DEL A Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 7 DEL A. En kulles höjd ges av z 6,x,y där enheten är meter på alla tre koordinataxlar. (a) I vilken

Läs mer

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt. 1. Beräkna integralen medelpunkt i origo. SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 218-3-14 D DEL A (x + x 2 + y 2 ) dx dy där D är en cirkelskiva med radie a och Lösningsförslag.

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 15 mars 2017

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 15 mars 2017 Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 mars 7 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt

Läs mer

Tentamen: Lösningsförslag

Tentamen: Lösningsförslag Tentamen: Lösningsförslag Onsdag 5 mars 7 8:-3: SF674 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Max: 4 poäng. 4 poäng Avgör om följande gränsvärde existerar och beräkna gränsvärdet om det existerar:

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 24-8-2 DEL A. Bestäm och skissera definitionsmängden till funktionen fx, y) = x 2 + y 2 + 2x 4y + + x. Är definitionsmängden kompakt? 4 p) Lösning.

Läs mer

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1. Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x och y =

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys

SF1626 Flervariabelanalys 1 / 28 SF1626 Flervariabelanalys Föreläsning 2 Hans Thunberg Institutionen för matematik, KTH VT 2018, Period 4 2 / 28 SF1626 Flervariabelanalys Dagens lektion: avsnitt 11.1 11.3 Funktioner från R till

Läs mer

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud 5B 7, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F. Tentamen fredag 25 maj 27, 8.-3. Förslag till lösningar (ändrat 28/5-7, 29/5-7).

Läs mer

Tentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.

Tentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1. Institutionen för matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola Niklas Eriksen Tentamen i tmv6c och tmv5c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt Lösningar 9--6. Lös initialvärdesproblemet x

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-- DEL A. Bestäm en ekvation för tangentplanet i punkten (,, 2 till ellipsoiden 2x 2 +3y 2 +z 2 = 9. (4 p Lösning. Vi uppfattar ytan som nivåytan

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF66 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen --9 EL A. En kulle beskrivs approximativt av funktionen 5 hx, ) + 3x + i lämpliga enheter där hx, ) är höjden. Om du befinner dig i punkten,, ) på kullen,

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-5-27 DEL A. Bestäm alla punkter på ytan z = x 2 + 4y 2 i vilka tangentplanet är parallellt med planet x + y + z =. 4 p) Lösning. Tangentplanet

Läs mer

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud B 7, ifferential- och integralkalkyl II, del, flervariabel, för F. Tentamen tisdag 8 augusti 7, 4.-9. Förslag till lösningar.. Om F (x, y, z) x y + y z

Läs mer

x ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f

x ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF160, Differential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 0 maj 2012, 8.00-1.00 Förslag till lösningar 1. Bestäm tangentplanet

Läs mer

Tentamen SF1626, Analys i flera variabler, Svar och lösningsförslag. 2. en punkt på randkurvan förutom hörnen, eller

Tentamen SF1626, Analys i flera variabler, Svar och lösningsförslag. 2. en punkt på randkurvan förutom hörnen, eller Tentamen SF66, Analys i flera variabler, --8 Svar och lösningsförslag. Låt fx, y) = ye x y. Bestäm största och minsta värde till f på den slutna kvadraten med hörn i, ),, ),, ) och, ). Lösning. f är kontinuerlig

Läs mer

har ekvation (2, 3, 4) (x 1, y 1, z 1) = 0, eller 2x + 3y + 4z = 9. b) Vi söker P 1 = F (1, 1, 1) + F (1, 1, 1) (x 1, y 1, z 1) = 2x + 3y + 4z.

har ekvation (2, 3, 4) (x 1, y 1, z 1) = 0, eller 2x + 3y + 4z = 9. b) Vi söker P 1 = F (1, 1, 1) + F (1, 1, 1) (x 1, y 1, z 1) = 2x + 3y + 4z. Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 7 maj 9, 1.-19. 1. Låt F (x, y, z) sin(x + y z) + x + y + 6z. a)

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2 Lösningsförslag till tentamen TMA4 Flervariabelanalys E2 21-8-1 kl. 8. 12. Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Anders Martinsson, telefon: 7 88 4 Hjälpmedel: bifogat

Läs mer

6. Räkna ut integralen. z dx dy dz,

6. Räkna ut integralen. z dx dy dz, Institutionen för Matematik, TH Flervariabelanalys SF626. Tentamen den 23 november 29 kl. 8-3 Tillåtet hjälpmedel är Beta Mathematics Handbook. Tydliga lösningar med fullständiga meningar och utförliga

Läs mer

f(x, y) = ln(x 2 + y 2 + 1). 3. Hitta maximala arean för en rektangel inskriven i en ellips på formen x 2 a 2 + y2

f(x, y) = ln(x 2 + y 2 + 1). 3. Hitta maximala arean för en rektangel inskriven i en ellips på formen x 2 a 2 + y2 TM-Matematik Mikael Forsberg Matematik med datalogi, mfl. Flervariabelanalys mk12b Övningstenta vt213 nr1 Skrivtid: 5 timmar. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-3-7 EL A. Betrakta funktionen f, y y. a Beräkna riktningsderivatan av f i punkten, i den riktning som ges av vektorn 4, 3. p b Finns det någon riktning

Läs mer

3. Beräkna riktningsderivatan för funktionen f(x, y, z) = xy sin z, i riktningen v = (1, 2, 1), uträknad i

3. Beräkna riktningsderivatan för funktionen f(x, y, z) = xy sin z, i riktningen v = (1, 2, 1), uträknad i ATM-Matematik Mikael Forsberg 73-3 3 För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MAB Skrivtid: 9:-:. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler bifogas

Läs mer

Tentan , lösningar

Tentan , lösningar UPPALA UNIVERITET MATEMATIKA INTITUTIONEN Bo tyf Flervariabelanalys K, X m.fl. Höstterminen 2008 Tentan 2008-12-16, lösningar 1. Avgör om det finns någon punkt på ytan (x 1) 2 + 2(y 1) 2 + 2z 8 som är

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 7 juni 2016

SF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 7 juni 2016 SF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 7 juni 2016 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt att följa. Det

Läs mer

Figur 1: Postföretagets rektangulära låda, definitioner.

Figur 1: Postföretagets rektangulära låda, definitioner. ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-41 3 31 För distans och campus Flervariabelanalys ma1b 14 8 13 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel, förutom den bifogade formelsamlingen. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

Tentamen i TATA43 Flervariabelanalys

Tentamen i TATA43 Flervariabelanalys Linköpings universitet Matematiska institutionen Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i TATA4 Flervariabelanalys 5--7 kl 8 Inga hjälpmedel tillåtna inte heller miniräknare 8//6 poäng med minst /4/5 uppgifter

Läs mer

x f x + y f y x. 2 Funktionen f(x, y) uppfyller alltså given differentialekvation.

x f x + y f y x. 2 Funktionen f(x, y) uppfyller alltså given differentialekvation. SF1626 Flervariabelanalys Svar och lösningsförslag till Tentamen 14 mars 211, 8. - 13. 1) Visa att funktionen f, y) = y4 y ) 2 +2 sin är en lösning till differentialekvationen f + y f y = 2f. Lösning:

Läs mer

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A SF669 Matematisk och numerisk anals II Lösningsförslag till tentamen 7-3-5 DEL A. I nedanstående rätvinkliga koordinatsstem är varje ruta en enhet lång. (a) Bestäm de rmdpolära (sfäriska) koordinaterna

Läs mer

f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) f(x, y, z) = (x 2 + yz, y 2 x ln x) 3. Beräkna en vektor som är tangent med skärningskurvan till de två cylindrarna

f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) f(x, y, z) = (x 2 + yz, y 2 x ln x) 3. Beräkna en vektor som är tangent med skärningskurvan till de två cylindrarna ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-41 3 31 För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys mk1b 13 8 Skrivtid: 9:-14:. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler

Läs mer

Bestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (1,1, 2 ) på kurvan och som spänns

Bestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (1,1, 2 ) på kurvan och som spänns UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Q Flervariabelanalys 8--1 Skrivtid: 8-1. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer. Tentand

Läs mer

För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MA012B ATM-Matematik Mikael Forsberg

För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MA012B ATM-Matematik Mikael Forsberg ATM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MAB 8 Skrivtid: 9:-4:. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler bifogas

Läs mer

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till modelltentamen DEL A Institutionen för matematik SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till modelltentamen DEL A 1. Betrakta funktionen fx, y = x + y och området D som ges av olikheterna x, y och x + y 1.

Läs mer

u av funktionen u = u(x, y, z) = xyz i punkten M o = (x o, y o, z o ) = (1, 1, 1) i riktningen mot punkten M 1 = (x 1, y 1, z 1 ) = (2, 3, 1)

u av funktionen u = u(x, y, z) = xyz i punkten M o = (x o, y o, z o ) = (1, 1, 1) i riktningen mot punkten M 1 = (x 1, y 1, z 1 ) = (2, 3, 1) ATM-Matematik Mikael Forsberg 734 41 3 31 Flervariabelanalys mag31 1669 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel förutom bifogad formelsamling. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

Problem inför KS 2. Problem i matematik CDEPR & CDMAT Flervariabelanalys. KTH -matematik

Problem inför KS 2. Problem i matematik CDEPR & CDMAT Flervariabelanalys. KTH -matematik KTH -matematik Problem i matematik EPR & MAT Flervariabelanalys Problem inför KS.. Låt F(, y, z) + y 3z + och G(, y, z) 3 + y 3 4z +. Visa att i en omgivning av punkten (,, ) definieras genom ekvationerna

Läs mer

Tentamen TMA044 Flervariabelanalys E2

Tentamen TMA044 Flervariabelanalys E2 Tentamen TMA44 Flervariabelanalys E 4--3 kl. 8.3.3 Examinator: Peter Hegarty, Matematiska vetenskaper, halmers Telefonvakt: Elin Solberg, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad, ordlistan från

Läs mer

Tentamen: Lösningsförslag

Tentamen: Lösningsförslag Tentamen: Lösningsförslag Fredag 9 juni 7 8:-: SF67 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Ma: poäng. poäng Bestäm samtliga horisontella tangentplan till ytan z y y + y +. Lösning: Tangentplanet

Läs mer

TMV036 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt, del C

TMV036 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt, del C MATEMATIK Hjälpmedel: Inga Chalmers tekniska högskola Datum: -- kl 4 8 Tentamen Telefonvakt: Richard Lärkäng tel 3-8834 TMV36 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt, del C Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF626 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen 24-5-26 DEL A. Skissera definitionsmängden till funktionen f (,) 2 ln(2 ). Är definitionsmängden kompakt? (4 p) Lösning. Termen 2 är definierad när

Läs mer

Lösning till kontrollskrivning 1A

Lösning till kontrollskrivning 1A KTH Matematik Olle Stormark Lösning till kontrollskrivning 1A i SF1626 Flervariabelanalys för E, vt 28. Varje uppgift ger maximalt 3 poäng. För godkänt krävs minst 5 poäng sammanlagt. 1. Funktionen f(x,

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 14 mars 2011,

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 14 mars 2011, SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 14 mars 2011, 08.00-13.00 Skrivtid: 5 timmar Inga tillåtna hjälpmedel Eaminator: Hans Thunberg Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maimalt fyra poäng. På

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2 Lösningsförslag till tentamen TMA43 Flervariabelanalys E 4-8-3 kl. 8.3.3 Examinator: Peter Hegarty, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Åse Fahlander, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad,

Läs mer

(x 3 + y)dxdy. D. x y = x + y. + y2. x 2 z z

(x 3 + y)dxdy. D. x y = x + y. + y2. x 2 z z UPPAA UNIVERITET Matematiska institutionen Abrahamsson, 4715, 7-57 (tyf, 47119, 77-517) Prov i matematik IT, K, X, W, EI, MI, NVP samt fristående kurs. Flerdimensionell analys och Analys MN 5-1-9 krivtid:

Läs mer

Tentamen MVE085 Flervariabelanalys

Tentamen MVE085 Flervariabelanalys Tentamen MVE85 Flervariabelanalys 5--5 kl. 4. - 8. Examinator: Dennis Eriksson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Dawan Mustafa, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad, ordlistan

Läs mer

1. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t).

1. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t). Repetition, analys.. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t). 2. Beräkna längden av kurvan r(t) =

Läs mer

Tentamen i Flervariabelanalys, MVE , π, kl

Tentamen i Flervariabelanalys, MVE , π, kl Tentamen i Flervariabelanalys, MVE35 216-3-14, π, kl. 14.-18. Hjälpmedel: Inga, ej räknedosa. Telefon: anknytning 5325 Telefonvakt: Raad Salman För godkänt krävs minst 2 poäng. Betyg 3: 2-29 poäng, betyg

Läs mer

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE , kl

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE , kl Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE35 26-4-2, kl. 4-8 Hjälpmedel: Inga, ej räknedosa. Telefon: anknytning 5325 Telefonvakt: Edvin Wedin För godkänt krävs minst 2 poäng. Betyg 3: 2-29.5 poäng, betyg

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015

SF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015 SF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt att följa. Det

Läs mer

TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C

TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen 20-0-, kl. 4.00-8.00 TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C Telefonvakt: Richard Lärkäng, telefon: 0703-088304 Hjälpmedel: Inga, bara papper och penna.

Läs mer

( ) = 2x + y + 2 cos( x + 2y) omkring punkten ( 0, 0), och använd sedan detta ( ).

( ) = 2x + y + 2 cos( x + 2y) omkring punkten ( 0, 0), och använd sedan detta ( ). KTH matematik Tentamen i SF66 Flervariabelanalys den 7 juni kl 8.3. Tillåtet hjälpmedel: Endast Beta Mathematics Handbook. Tydliga lösningar med fullständiga meningar och utförliga motiveringar krävs för

Läs mer

Övningstenta: Lösningsförslag

Övningstenta: Lösningsförslag Övningstenta: Lösningsförslag Onsdag 5 mars 7 8:-: SF674 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Max: 4 poäng. (4 poäng) Bestäm tangentplanet i punkten (,, ) till ytan z f(x, y) där f(x, y) x 4

Läs mer

av envariabelfunktionen g(t) och flervariabelfunktionen t = h(x, y) = x 2 + e y.)

av envariabelfunktionen g(t) och flervariabelfunktionen t = h(x, y) = x 2 + e y.) Lösningsskisser till TATA69 Flervariabelanalys 16-1- 1 Stationära punkter ges av f (4x 3 + 4x, 3y + 6z, z + 6y (,,, dvs (x, y, z (,, eller (x, y, z (, 6, 18 Ur andraderivatorna fås de kvadratiska formerna

Läs mer

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035 Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE5 kl.. 8.. jälmedel: Inga, ej räknedosa. Telefon: Lennart Falk, 77 56 För godkänt krävs minst oäng. Betyg : -5 oäng, betyg : 6-7 oäng, betyg 5: 8 oäng eller mera.

Läs mer

1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende.

1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende. Institutionen för matematik KTH MOELLTENTAMEN Tentamensskrivning, år månad dag, kl. x. (x + 5).. 5B33, Analytiska metoder och linjär algebra. Uppgifterna 5 svarar mot varsitt moment i den kontinuerliga

Läs mer

Tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

Tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2 Tentamen TMA43 Flervariabelanalys E2 22-- kl. 8.3 2.3 Eaminator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, halmers Telefonvakt: Fredrik Lindgren, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad, ordlistan

Läs mer

1.1 Stokes sats. Bevis. Ramgard, s.70

1.1 Stokes sats. Bevis. Ramgard, s.70 1 Föreläsning 7 1.1 tokes sats ats 1 åt vara en yta i R med randen. Vi antar att orienteringen på och är vald på ett sådant sätt att om man går längs i den valda riktningen då ligger till vänster (på vänstersidan).

Läs mer

2. Avgör om x och z är implicit definierade som funktion av y via följande ekvationssystem. x 3 + xy + y 2 + z 2 = 0 x + x 3 y + xy 3 + xz 3 = 0

2. Avgör om x och z är implicit definierade som funktion av y via följande ekvationssystem. x 3 + xy + y 2 + z 2 = 0 x + x 3 y + xy 3 + xz 3 = 0 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-41 3 31 För distans och campus Flervariabelanalys ma1b 14 1 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel, förutom den bifogade formelsamlingen. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

1. Beräkna och klassificera alla kritiska punkter till funktionen f(x, y) = 6xy 2 2x 3 3y 4 2. Antag att temperaturen T i en punkt (x, y, z) ges av

1. Beräkna och klassificera alla kritiska punkter till funktionen f(x, y) = 6xy 2 2x 3 3y 4 2. Antag att temperaturen T i en punkt (x, y, z) ges av ATM-Matematik Mikael Forsberg 74-41 1 För ingenjörs- och distansstudenter Flervariabelanalys ma1b 15 1 14 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 2013

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 2013 SF626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 23 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mattias Dahl Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. De tre

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 26 maj, 2014

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 26 maj, 2014 SF1626 Flervariabelanals Tentamen Måndagen den 26 maj, 214 Skrivtid: 14:-19: Tillåtna hjälpmedel: inga Eaminator: Mattias Dahl Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maimalt fra poäng. Del A

Läs mer

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK. LÖSNINGAR FLERDIMENSIONELL ANALYS, FMA kl 8 13

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK. LÖSNINGAR FLERDIMENSIONELL ANALYS, FMA kl 8 13 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR FLERIMENSIONELL ANALYS, FMA40 04-0- kl 8. Vi börjar med att rita triangelskivan. Linjen genom, och, har ekvationen y x+, linjen genom, och, har ekvationen y 4

Läs mer

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T Repetition, Matematik 2 för lärare Ï -2x + y + 2z = 3 1. Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet Ì ax + 2y + z = 1. Ó x + 3y - z = 4 2. Vad är villkoret på talet a för att ekvationssystemet

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2015-01-12 DEL A 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)

Läs mer

Institutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1119, Vektoranalys, för Open.

Institutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1119, Vektoranalys, för Open. Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 25 6 3, kl 8 3 5B9, Vektoranalys, för Open Uppgifterna 4 5 svarar mot varsitt moment i den kontinuerliga examinationen Av dessa uppgifter skall man bara

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017

SF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017 Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanals Bedömningskriterier till tentamen Onsdagen den 5 mars 207 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2 Lösningsförslag till tentamen TMA3 Flervariabelanalys E2 23--6 kl. 8.3 2.3 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Adam Andersson, telefon: 73 88 3 Hjälpmedel: bifogat

Läs mer

A = D. r s r t dsdt. [(1 + 4t 2 ) 3/2 1]dt (1) där det sista steget fås genom variabelbytet u = 1 + 4s 2. Integralen. (1 + 4t 2 ) 3/2 dt

A = D. r s r t dsdt. [(1 + 4t 2 ) 3/2 1]dt (1) där det sista steget fås genom variabelbytet u = 1 + 4s 2. Integralen. (1 + 4t 2 ) 3/2 dt TATA44 Lösningar till tentamen 27/8/2..) Arean A av ytstycket ges av formeln A r s r t dsdt där : s t, t. En enkel räkning ger r s r t ( 2s 2 cos t, 2s 2 sin t, s) av vilket det följer att A s2 + 4s 4

Läs mer

Omtentamen (med lösningar) MVE085 Flervariabelanalys

Omtentamen (med lösningar) MVE085 Flervariabelanalys Omtentamen (med lösningar) MVE85 Flervariabelanalys 26--4 kl. 8.3 2.3 Examinator: Dennis Eriksson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Anna Persson, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: endast bifogat

Läs mer

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015 SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt

Läs mer

Övningar till Matematisk analys III Erik Svensson

Övningar till Matematisk analys III Erik Svensson MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik -8-8 Övningar till Matematisk analys III Erik Svensson. För varje gränsvärde nedan bestäm gränsvärdet eller visa att gränsvärdet inte existerar.

Läs mer

Campus och distans Flervariabelanalys mag ATM-Matematik Mikael Forsberg och Yury Shestopalov (Mikael Forsberg)

Campus och distans Flervariabelanalys mag ATM-Matematik Mikael Forsberg och Yury Shestopalov (Mikael Forsberg) ATM-Matematik Mikael Forsberg och Yury Shestopalov 734-4 3 3 (Mikael Forsberg) Campus och distans Flervariabelanalys mag3 7 6 5 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel förutom bifogad formelsamling. Lösningarna

Läs mer

TATA44 Lösningar 26/10/2012.

TATA44 Lösningar 26/10/2012. TATA44 Lösningar 6/1/1. 1. Lösning 1: Konen z x + y skär sfären x + y + (z 5 5 då 4z + (z 5 5 och enkla räkningar ger nu z z some ger z(z och vi ser att z eller z. Observera att punkter på sfären med z

Läs mer

Integranden blir. Flödet ges alltså av = 3

Integranden blir. Flödet ges alltså av = 3 Lektion 7, Flervariabelanals den 23 februari 2 6.4.2 Använd Gauss sats för att beräkna flödet av ut ur sfären med ekvationen där a >. Flödet ut ur sfären ges av F e e + 2 e e + e 2 + 2 + 2 a 2 F d, som

Läs mer

MMA127 Differential och integralkalkyl II

MMA127 Differential och integralkalkyl II Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA17 Differential och integralkalkyl II Tentamen Lösningsförslag 9..19 8. 11. Hjälpmedel: Endast skrivmaterial (gradskiva tillåten).

Läs mer

Omtentamen MVE085 Flervariabelanalys

Omtentamen MVE085 Flervariabelanalys Omtentamen MVE85 Flervariabelanalys 26-8-26 kl. 8.3 2.3 Examinator: Dennis Eriksson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Adam Malik, telefon: anknytning 5325 Hjälpmedel: endast bifogat formelblad,

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som

Läs mer

(x + 1) dxdy där D är det ändliga område som begränsas av kurvorna

(x + 1) dxdy där D är det ändliga område som begränsas av kurvorna UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik ES, W Flervariabelanalys 8 1 1 Skrivtid: 9-1. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer. Varje

Läs mer

Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 8 13

Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 8 13 LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Joakim Arnlind Tentamen i Analys B för KB/TB TATA9/TEN1 14--1 kl 8 13 Inga hjälpmedel är tillåtna. Varje uppgift kan ge maximalt 3 poäng. Betygsgränser:

Läs mer