Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 10 januari 2017 DEL A

Transkript

1 Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den januari 7 DEL A. En partikel rör sig så att positionen efter starten ges av (x, y, z (t cos t, t sin t, t där enheten på axlarna är meter och där t är tiden mätt i sekunder. (a Vilken hastighet har partikeln efter sekund? ( p (b Vilken fart har partikeln efter sekund? ( p (c Hur lång är den kurva partikeln har följt under den första sekunden? ( p Lösningsförslag. (a Hastigheten är tidsderivatan av positionen, dvs (x (t, y (t, z (t (cos t t sin t, sin t + t cos t, m/s och vid tidpunkten t får vi (x (, y (, z ( (cos sin, sin + cos, m/s (b Farten är längden på hastighetsvektorn, dvs farten efter s är (x (, y (, z ( (cos sin, sin + cos, (cos sin + (sin + cos + m/s (c Längden av den kurva som partikeln har följt ges av (x (t, y (t, z (t dt (cos t t sin t + (sin t + t cos t + dt Svar. (a (cos sin, sin + cos, m/s (b m/s (c + ln( + ln m. + t dt + ln( + ln

2 SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 7--. Undersök om fältet F(x, y (sin x sin y, cos x cos y är konservativt och beräkna sedan integralen sin x sin y dx cos x cos y dy C längs kurvan C som ges av y x från (, till (,. (4 p Lösningsförslag. Vi undersöker om fältet är konservativt genom att se om det går att hitta en potentialfunktion φ. Kraven som φ måste uppfylla är att φ x sin x sin y och φ cos x cos y. y Vi ser att om vi tar φ(x, y cos x sin y så är båda villkoren uppfyllda i hela planet. Det finns alltså en potentialfunktion och fältet är därmed konservativt. Vi beräknar kurvintegralen med hjälp av den potentialfunktion vi har hittat: C sin x sin y dx cos x cos y dy φ(, φ(, cos sin ( cos sin cos sin. Svar. Fältet är konservativt och kurvintegrals värde är cos sin.

3 SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 7--. Betrakta funktionen f(x, y x 6xy + y 4. (a Visa att (,, (, och (, är de enda kritiska punkterna. ( p (b Bestäm Taylorutvecklingen till andra ordningen kring den kritiska punkten (, och använd detta för att avgöra om den utgör ett lokalt minimum, ett lokalt maximum eller om den är en sadelpunkt. ( p (c Förklara varför det inte går att använda Taylorutvecklingen av andra ordningen kring origo för att avgöra om origo är en lokal extrempunkt eller en sadelpunkt. ( p Lösningsförslag. (a Funktionen f är ett polynom och alltså deriverbar hur många gånger som helst i hela planet. Vi har att f x 6x 6y och f y xy + 4y. Kritiska punkter är lösningar till f/ x f y. Den första ekvationen, f/ x ger att y ±x vilket insatt i den andra ger att x 4x med lösningar x och x. Då y ±x ger detta att de enda kritiska punkterna är (,, (, och (,. (b För att bestämma de sökta Taylorpolynomen behöver vi andraderivatorna till f. Vi har f x x, f x y y, f y x + y. Vi använder detta tillsammans med informationen från del (a och får först Taylorpolynomet av grad kring punkten (, till p, (x, y 7 + ( 6(x + 6(x (y + + 7(y + vilket vi med x + h och y + k kan skriva p, ( + h, + k 7 + ( 6h + 6hk + 7k Vi kvadratkompletterar den kvadratiska formen och får att ( 6h + 6hk + 7k 8((h + k + k som är positivt definit. Vi drar slutsatsen att den kritiska punkten (, är ett lokalt minimum. (c Taylorpolynomet av grad kring origo är bara p,. Den kvadratiska formen är här semidefinit och ger ingen information i och med att alla andraderivator är noll i origo. Svar. (a Se lösningen ovan. (b Punkten är ett lokalt minima. (c Taylorpolynomet är noll så den kvadratiska formen är semidefinit.

4 SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 7-- DEL B 4. Låt D vara området i planet som beskrivs av olikheterna x + y och x y. Bestäm masscentrum av området D. (4 p Lösningsförslag. I polära koordinater beskrivs D av π 4 θ 7π 4, r. Av symmetriskäl är masscentrums y-koordinat lika med noll. Området D är tre fjärdedelar av enhetscirkelskivan, så dess area är π. Masscentrums x-koordinat är 4 x da D da 4 π D 4 π 4 π 4 π 7π/4 π/4 8 9π. ( r cos θ dr dθ ( 7π/4 ( cos θ dθ π/4 ( sin 7π 4 sin π 4 ( Masscentrum för D är alltså punkten ( 9/9π,. Svar. Masscentrum för D är punkten ( 8/9π,. r dr 4

5 SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen De hyperboliska koordinaterna i planet är definierade genom ( x (u, v φ(x, y ln y, xy för x, y >. (a Beräkna Jacobimatrisen till φ. ( p (b Använd linjär approximation för att hitta det ungefärliga värdet av φ(,,,99. ( p Lösningsförslag. (a Jacobimatrisen ges av J φ (x, y ( u x v x u y v y ( x y y x xy xy (b Vi har att φ(, (,. Vidare gäller att i punkten (, blir Jacobimatrisen till φ: ( J φ (, så den linjära approximationen kring punkten (, blir ( ( ( u ( + v x. y Speciellt får vi om vi i den linjära approximationen väljer x, och y,99 att φ(,,,99 (,,, Svar. (a Se lösningen. (b φ(,,,99 (,,, 5

6 SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen I en del av ett visst fiskevatten visar det sig att fiskarna alltid simmar enligt ett bestämt flöde, som kan beskrivas av vektorfältet F(x, y, z (, xy, xz [kilogram fisk per minut och areaenhet], där x och y är geografiska koordinater och z djupet. (a Ange de ekvationer med vilka flödeslinjerna till fältet kan bestämmas. ( p (b Ett plant kvadratiskt nät kan antingen sättas upp mellan punkterna eller A : B : (,,, (,,, (,,, (,,, (,,, (,,, (,,, (,,. Vilket alternativ bör väljas för maximal fångst och hur mycket fisk fångas då i nätet om det får hänga uppe i 5 timmar? ( p Lösningsförslag. (a Flödeslinjerna bestämms från ekvationerna dx dy xy dz xz. (b En fisk fastnar i ett av näten oavsett från vilket håll den simmar in i nätet. För att beräkna den totalal mängd fisk som fastnar i ett nät per tidsenhet skall vi darför inte beräkna F:s (nettoflöde genom nätet, dvs det är inte F ˆN utan istället F ˆN vi ska integrera över nätet. Här är ˆN som vanligt ett enhetsnormalfält till ytan (nätet. (Under lösningnens gång kommer vi dock att se att F ˆN inte växlar tecken på något av näten, vilket gör att vi kan få rätt resultat även om vi utelämnar absolutbeloppstecknet. Nätet A ligger i planet x med y och z. Det konstanta vektorfältet ˆNA (,, utgör ett enhetsnormalfält på A. Låt Ψ A vara den mängd fisk som fastnar i nät A per minut. Då gäller att Ψ A F ˆN ds (, xy, xz (,, ds dzdy A A Nätet B ligger i planet y med x och z. Det konstanta vektorfältet ˆN B (,, utgör ett enhetsnormalfält på B. Låt Ψ B vara den mängd fisk som fastnar i nät B per minut. Då gäller att Ψ B F ˆN ds (, xy, xz (,, ds xy y dzdx B x dz dx A x dx x. Alternativen är alltså likvärdiga, bägge ger en fångst om kg fisk per minut, det vill säga kg fisk på fem timmar. 6

7 SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 7-- Svar. (a dx dy dz xy xz kg fisk. (b Alternativen ger lika stor fångst, under fem timmar fångas 7

8 SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 7-- DEL C 7. Låt funktionen f vara given av med definitionsmängd f(x, y, z x + y + z D(f { (x, y, z R : xy och x + y + z 4 }. Bestäm det största och minsta värde som f antar på sin definitionsmängd D(f. (4 p Lösningsförslag. Definitionsmängden D(f består av slutna kurvor som ligger i sfären med radie runt origo. Det är alltså en sluten och begränsad mängd. Eftersom funktionen f dessutom är kontinuerlig så vet vi att den antar största och minsta värden. Vi använder Lagranges metod för att finna dessa. Funktionen f(x, y, z x + y + z har en definitionsmängd som beskrivs av två villkor g(x, y, z xy och h(x, y, z x + y + z 4. Största och minsta värden finns i punkter där grad f är en linjärkombination av grad g och grad h, alltså punkter där för några tal λ och µ. Detta ger eller grad f λ grad g + µ grad h (,, λ(y, x, + µ(x, y, z, λy + µx λx + µy µz som ska vara uppfyllt samtidigt som xy och x + y + z 4. Den första ekvationen minus den andra ger λy + µx λx µy µ(x y λ(x y (µ λ(x y, så antingen är µ λ eller x y. Om µ λ ser vi först att dessa tal inte kan vara noll. Alltså ger den första och den tredje ekvationen att λ(x + y λy + µx µz λz och z x + y. Om vi adderar bivillkoret h 4 och två gånger bivillkoret g får vi x + xy + y + z 4 +, 8

9 SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 7-- eller (x + y + (x + y 6, vilket ger x + y ±. Detta tillsammans med xy ger x ± ( ( x + x ± 4 + x ± + 4, vilket är omöjligt. Det finns alltså inga lösningar om µ λ. Ifall x y har vi från xy att x y ±. Detta insatt i x + y + z 4 ger + z 4 eller z ±. Vi har alltså hittat fyra punkter där största och minsta värde kan antas. Funktionens värde i dessa punkter är f(,, + f(,, f(,, + f(,, och vi ser att största och minsta värden är f(,, + och f(,,. Svar. Det största värdet är + och det minsta värdet är. 9

10 SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Greens formel är ett viktigt verktyg för beräkning av kurvintegraler. (a Formulera Greens formel. Glöm inte att ange alla förutsättningar. ( p (b Bevisa Greens formel för det fall då kurvan är den positivt orienterade randkurvan till enhetskvadraten, dvs till det område som ges av x och y. ( p Lösningsförslag. A. (a Låt E vara ett reguljärt slutet område i xy-planet vars rand γ består av en eller flera styckvis släta enkla slutna kurvor som är positivt orienterade med avseende på E. Om F (P (x, y, Q(x, y är ett glatt vektorfält på E så gäller att ( Q P dx + Q dy x P dxdy. y E γ E (b Kalla enhetskvadraten för E och dess positivt orienterade randkurva för γ. Vi har P ( y dxdy P y dy dx γ [ P (x, y] y y dx P (x, dx P (x, dx + P dx P (x, dx P (x, dx eftersom γ är positivt orienterad och bidraget från de lodräta delarna är noll. På samma sätt får man att Q E x dxdy Q dy. γ Sammantaget har vi då bevisat satsen för detta fall.

11 SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Om två punkter (x, y och (x, y väljs slumpvis med likformig fördelning inuti enhetscirkeln kan vi beräkna den genomsnittliga arean av triangeln som bildas av de två punkterna tillsammans med origo som π π π r r π sin(θ θ r r dr dr dθ dθ. Beräkna denna genomsnittlga area. (4 p Lösningsförslag. π π r r sin(θ θ r r dr dr dθ dθ π ( π π ( ( sin(θ θ dθ dθ r dr r dr För att hantera beloppstecknet kan vi byta variabler så att s θ θ och t θ. Vi får Jocobianen och därmed dsdt dθ dθ. π π sin(θ θ dθ dθ π π π π t t sin(s dsdt π π π [ cos(s] π De båda andra faktorerna är lika och ges av [ r r dr π Sammantaget får vi den genomsnittliga aren till π π sin(s dsdt [sin(s har period π] π sin(s ds + π sin(s ds π + π [cos(s]π π π( ( ( + ( 8π. ]. r r sin(θ θ r r dr dr dθ dθ π 8π ( 4 9π. Svar. Den genomsnittliga arean ges av 4/(9π areaenheter.