SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 14 mars 2011,

Transkript

1 SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 14 mars 2011, Skrivtid: 5 timmar Inga tillåtna hjälpmedel Eaminator: Hans Thunberg Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maimalt fyra poäng. På de tre första uppgifterna, som utgör del A, är det endast möjligt att få 0, 3 eller 4 poäng. essa tre uppgifter kan ersättas med resultat från den löpande eaminationen. e två kontrollskrivningarna svarar mot uppgift 1 och 2 och seminarierna mot uppgift 3. Godkänd kontrollskrivning eller godkänd seminarieserie ger 3 poäng på motsvarande uppgift och väl godkänd kontrollskrivning eller seminarieserie ger 4 poäng. För att höja från den löpande eaminationen från 3 poäng till 4 krävs att hela uppgiften löses. Resultat från den löpande eaminationen kan endast tillgodoräknas vid ordinarie tentamen och ordinarie omtentamen för den aktuella kursomgången. e tre följande uppgifterna utgör del B och de tre sista uppgifterna del C, som är främst till för de högre betygen, A, B och C. Betygsgränserna vid tentamen kommer att ges av Betyg A B C E F Total poäng varav från del C För full poäng på en uppgift krävs att lösningarna är väl presenterade och lätta att följa. et innebär speciellt att införda beteckningar ska definieras, att den logiska strukturen tydligt beskrivs i ord eller symboler och att resonemangen är väl motiverade och tydligt förklarade. Lösningar som allvarligt brister i dessa avseenden bedöms med högst två poäng.

2 2 el A 1) Visa att funktionen f, y) = y4 y ) 2 +2 sin f + y f y = 2f. är en lösning till differentialekvationen 2) Beräkna volymen av det område som ligger mellan ytorna z = y och z = y 2. 3) Vektorfältet F ges av F, y) = 2y + y 3, 2 + 3y 2 ). a) Visa att fältet F är konservativt och bestäm en potentialfunktion till F. b) Beräkna kurvintegralen γ F dr då γ löper längs parabeln y = 2 från punkten 1, 1) till punkten 2, 4). el B 4) Funktionen T, y, z) = 2 + 3y)e z beskriver temperaturen i en viss del av rummet. a) I vilken riktning utgående från punkten 1, 1, 0) är temperaturökningen per längdenhet som störst? 2 p) b) Beräkna med hjälp av linjär approimation ett närmevärde till hur mycket temperaturen ökar om man rör sig en tiondels längdenhet ifrån punkten 1, 1, 0) i riktning mot punkten 3, 3, 1). 2 p) 5) Beräkna trippelintegralen K ddydz då K är det område i rymden som begränsas av de tre koordinatplanen = 0, y = 0 och z = 0 samt planet y z + 1 = 0. 6) Beräkna flödet av fältet F, y, z) = y,, 4) genom den del av ytan z = 1 2 y 2 där 0, y 0 och z 0. Ytstycket är orienterat så att normalvektorfältet har positiv z-komponent.

3 el C 7) En rektangulär låda utan lock skall tillverkas som rymmer 1 kubikmeter. Bottenytan och framsidan tillverkas av ett material som kostar 5 kronor per kvadratmeter, de övriga tre sidorna tillverkas av ett material som som kostar 1 krona per kvadratmeter. Hur skall lådan dimensioneras för att den totala kostnaden för materialet ska bli så liten som möjligt? 8) Bestäm den slutna enkla kurva γ som gör att värdet av kurvintegralen 6 2 y + y 3 20y) d y 2 ) dy γ blir så stort som möjligt när γ genomlöps ett varv moturs. 9) Visa med hjälp av implicita funktionssatsen att lokalt kring punkten, y, z) = 1,, 1) så kan lösningsmängden till ekvationen 2 y + e y+z + z 2 = 1 beskrivas med hjälp av en funktionsyta y = g, z). Beräkna därefter g 1, 1), g z1, 1) och g z1, 1). 3

4 SF1626 Flervariabelanalys Svar och lösningsförslag till Tentamen 14 mars 2011, ) Visa att funktionen f, y) = y4 y ) 2 +2 sin är en lösning till differentialekvationen f + y f y = 2f. Lösning: Vi beräknar de partiella derivatorna f y ) y = 2y4 + 2 sin + 2 cos ) 3 ) y. 2 och f y ) 1 y = 4y cos. Insatt i den givna ekvationen får vi V.L. = 2 y4 y ) y + 2 sin + 2 cos ) 3 ) y ) ) + y 4 y3 y cos ) = 2 y4 y ) sin = 2f, y)h.l. Funktionen f, y) uppfyller alltså given differentialekvation. 2) Beräkna volymen av det område som ligger mellan ytorna z = y och z = y 2. Lösning: Skärningskurvans projektion på y-planet ges av y = y y 2 = y 2 = 4. Alltså ligger området ovanför cirkelskivan = {, y) : 2 + y 2 4.} Anmärkning: Ytorna är rotationsparaboloider.) Vi betecknar f 1, y) = y och f 2, y) = y 2. Substitutionen, y) = 0, 0) i båda funktioner visar att f 2, y) f 1, y) för, y). ärför V = f 2, y) f 1, y))ddy = y 2 )ddy Med hjälp av polära koordinater = r cos ϕ, y = r sin ϕ, ddy = rdrdφ får vi V = Svar: 16π. 8 2r 2 )rdrdϕ = 2π 0 dϕ 2 0 8r 2r 3 )dr = 2π 8 = 16π

5 2 3) Vektorfältet F ges av F, y) = 2y + y 3, 2 + 3y 2 ). a) Visa att fältet F är konservativt och bestäm en potentialfunktion till F. b) Beräkna kurvintegralen γ F dr då γ löper längs parabeln y = 2 från punkten 1, 1) till punkten 2, 4). Lösning: a) Sätt P, y) = 2y + y 3 och Q, y) = 2 + 3y 2, så att F = P, Q). Eftersom Q = 2 + 3y2 = P i hela planet har F en potential U, y) i hela y planet sådan att P = U U och Q =.Vi bestämmer U: y U U = d = P d = 2y + y 3 d = 2 y + y 3 + hy) där hy) är någon tillsvidare obekant funktion. Genom att nu derivera detta utryck för U med avseende på y och kräva att detta är lika med Q får vi 2 +3y 2 +h y) = 2 +3y 2 = h y) = 0 = hy) = C, där C är en godtycklig konstant. Vi väljer C = 0 och får potenialen U, y) = 2 y + y 3. b) Eftersom fältet F är konservativt ges den sökta integralen av skillnaden i potential, dvs γ F dr = U2, 4) U1, 1) = = 142 Integralen kan också lätt beräknas genom parametrisering av kurvan.) Svar: a) T e U, y) = 2 y + y 3 b) 142

6 4) Funktionen T, y, z) = 2 + 3y)e z beskriver temperaturen i en viss del av rummet. a) I vilken riktning utgående från punkten 1, 1, 0) är temperaturökningen per längdenhet som störst? 2 p) b) Beräkna med hjälp av linjär approimation ett närmevärde till hur mycket temperaturen ökar om man rör sig en tiondels längdenhet ifrån punkten 1, 1, 0) i riktning mot punkten 3, 3, 1). 2 p) Lösning: a) Ökningen är som snabbast i gradientens riktning. Vi beräknar gradienten grad T, y, z) = 2e z, 3e z, 2 + 3y)e z ), och i punkten 1, 1, 0) får vi grad T 1, 1, 0) = 2, 3, 5). b) Vektorn v = 3, 3, 1) 1, 1, 0) = 2, 2, 1) pekar i den angivna riktningen. Vi söker nu en vektor h = h, k, l) som pekar i v:s riktning och som har längden 1/10. Eftersom v = = 3 är h = h, k, l) = 1/30v = 2/30, 2/30, 1/30). en linjära approimationen till temperaturökningen T ges av T = grad T 1, 1, 0) h, k, l) = 2, 3, 5) 2/30, 2/30, 1/30) = 1/6. 3 Svar: a) I gradientens riktning, grad T 1, 1, 0) = 2, 3, 5). b) Temperaturen ökar med approimativt 1/6. 5) Beräkna trippelintegralen K ddydz då K är det område i rymden som begränsas av de tre koordinatplanen = 0, y = 0 och z = 0 samt planet y z + 1 = 0. Lösning: Planet y z + 1 = 0 går genom de tre punkterna, 0, 0), 0, 1, 0) och 0, 0, 1). Området K beskrivs av olikheterna rita figur!) 0, 0 y 1 + och 0 z 1 + y. Vi får y 0 1+ ddydz = dz dy d = [z] 1+ y 0 dy d K Svar: -1/24 = = y dy d = 0 3 / /2 d = /24. 0 [y + y y 2 /2] 1+ 0 d

7 4 6) Beräkna flödet av fältet F, y, z) = y,, 4) genom den del av ytan z = 1 2 y 2 där 0, y 0 och z 0. Ytstycket är orienterat så att normalvektorfältet har positiv z-komponent. Lösning: Ytan är en funktionsyta z = f, y). Ytan skär y-planet längs cirkeln 2 + y 2 = 1, och z 0 är ekivalent med att 2 + y 2 1. Låt beteckna mängden = {, y) R 2 : 2 + y 2 1, 0, y 0}. Med normalvektorfältet till ytan med positiv z-komponent) n = f, f y, 1) = 2, 2y, 1) ges flödet av F n ddy = y,, 4) 2, 2y, 1) ddy = 4 ddy = 4Area) = 4 π 4 = π. Svar: π. 7) En rektangulär låda utan lock skall tillverkas som rymmer 1 kubikmeter. Bottenytan och framsidan tillverkas av ett material som kostar 5 kronor per kvadratmeter, de övriga tre sidorna tillverkas av ett material som som kostar 1 krona per kvadratmeter. Hur skall lådan dimensioneras för att den totala kostnaden för materialet ska bli så liten som möjligt? Lösning: Låt > 0 beteckna framsidans och baksidans längd längs bottenytan, y > 0 sidoytornas längd längs botteytan och z > 0 lådans höjd, i meter. Kostnaden i kronor ges då av f, y, z) = 5y + z) + 1z + 2yz) = 5y + 2yz + 6z. enna funktion skall minimeras under bivillkoret att volymen V = yz [m 3 ] uppfyller V = 1. etta är ekvialent med att z = 1 och vi får det ekvivalenta problemet y att minimera ) 1 g, y) = f, y, = 5y + 2 y + 6, > 0, y > 0. y { g, y) = 0 g y, y) = 0 Vi söker först kritiska punkter i g i första kvadranten. { { 5y 2 = 0 5y 2 = = 0 y 2 y = 2y2 6 2 { = l y = 3l där l = Tredje ekvationssystemet fås ur det andra genom att först flytta bråkuttrycken till H.L i andra systemet och sedan dividera ledvis. z ges av z = 1 y = 1 3l = l 2 3l = l = 5 2 l. Vi måste också visa att denna kritsika punkt ger minsta värde för funktionen g definerade på mängden Q = {, y) R 2 ; > 0, y > 0}. Låt Q M = {, y) R 2 1 ; M, y M 2 }. et är en kompakt mängd så g antar säkert största och minsta värde på Q M för varje M > 1, och då g är deriverbar måste detta ske i en inre kritisk punkt eller på randen. För stora värden på M ligger ) 1/

8 den ovan funna kritiska punkten i Q M och vidare ser man g, y) M på randen till Q M. För alla stora värden på M måste alltså minmimivärdet antas i den inre kritiska punkten och eftersom värdet på randen M när M, följer g, y) > M för alla, y) i första kvadranten men utanför Q M. Svar: Fram- och baksidans kant mot bottenytan skall ges längden = l, meter, sidoytornas kant mot botteytan skall ha längd y = 3l meter och höjden skall vara z = 5 2 l meter, där l = 2 15) 1/3. 5 8) Bestäm den slutna enkla kurva γ som gör att värdet av kurvintegralen 6 2 y + y 3 20y) d y 2 ) dy γ blir så stort som möjligt när γ genomlöps ett varv moturs. Lösning: Vi använder först Greens formel. Låt Ω = Ωγ) beteckna det område som innesluts av en enkel sluten kurva γ. Greens formel ger 6 2 y + y 3 20y) d y 2 ) dy γ = Ω y 2 ) y 62 y + y 3 20y) ddy = y y ddy = y 2 ddy Ω Ω =9 4 2 y 2 ddy. Ω enna integral antar sitt största värde när Ω tas som det största område där integranden 4 2 y 2 0, dvs när γ väljs som cirkeln med ekvation 2 + y 2 = 4 Svar: Cirkeln γ = {, y); 2 + y 2 = 4} maimerar den givna kurvintegralen. 9) Visa med hjälp av implicita funktionssatsen att lokalt kring punkten, y, z) = 1,, 1) så kan lösningsmängden till ekvationen 2 y + e y+z + z 2 = 1 beskrivas med hjälp av en funktionsyta y = g, z). Beräkna därefter g 1, 1), g z1, 1) och g z1, 1). Lösning: Låt F, y, z) = 2 y+e y+z +z 2. Vi verifierar först att F 1,, 1) = 1. Vi beräknar sedan F/y1,, 1). F y, y, z) = 2 + e y+z så F 1,, 1) = 2 0. y

9 6 Enligt Implicita funktionssatsen eisterar då en en funktion g, z) defineradei en omgivning till punkten 1, 1) sådan att g1, 1) = och F, g, y), z) = 1, det vill säga att den givna nivåytan 2 y + e y+z + z 2 = 1 beskrivs av funktionsytan y = g, z) i en omgivning till punkten 1,, 1). Vi beräknar nu de partiella derviatorna av g. erivering m a p på ger 2 g, z) + e g,z)+z + z 2) = 1) 2g, z) + 2 g + eg,z)+z g + z2 = 0. I punkten, z) = 1, 1) där g1, 1) = får vi g erivering m a p z ger 1, 1) + 1 = 0 = g 1, 1) = g, z) + e g,z)+z + z 2) = 1) 2 g + eg,z)+z g + 1) + 2z = 0 och i punkten, z) = 1, 1) får vi g g g 1, 1) + 1, 1) = 0 = 1, 1) = 3 2. Slutligen beräknar vi den blandade andraderivatan till g. Vi utnyttjar beräkningen av g ovan. 2 g, z) + e g,z)+z + z 2) = ) 2g, z) + 2 g g + eg,z)+z + z2 = 0 1) 2 g + 2 g 2 + eg,z)+z g g + 1) + 2 g eg,z)+z + 2z = 0 I punkten, z) = 1, 1), och med utnyttjande av g1, 1) =, g 1, 1) = 1 2 och g 1, 1) = 3 får vi ) + 2 g 1, 1) + 1 ) g 1, 1) + 2 = 0. vilket ger att g z1, 1) = 5 8. Svar: g 1, 1) = 1 2, g z1, 1) = 3 2 och g z1, 1) = 5 8.