(x 3 + y)dxdy. D. x y = x + y. + y2. x 2 z z

Transkript

1 UPPAA UNIVERITET Matematiska institutionen Abrahamsson, 4715, 7-57 (tyf, 47119, ) Prov i matematik IT, K, X, W, EI, MI, NVP samt fristående kurs. Flerdimensionell analys och Analys MN krivtid: Tillåtna hjälpmedel: Manuella skrivdon. Varje uppgift är värd maximalt 5 poäng. ösningarna skall vara försedda med motiveringar. Påbörja varje uppgift på nytt papper och skriv endast på papperets ena sida. Följande två problem löses om motsvarande duggor ej är godkända. 1. estäm alla punkter (a, b, c) på ytan F (x, y, z) = x +y z = 7 sådana att tangentplanet till ytan i punkten (a, b, c) är parallellt med planet x + y + z =.. åt = {(x, y) : x + y 4, y } och beräkna dubbelintegralen (x + y)dxdy. Följande sex problem löses av alla och envar.. Undersök om ekvationen f(x, y) = y 5 x + y x = definierar y som funktion av x i en omgivning av punkten (x, y) = (1, 1). Om så är fallet, beräkna också y (1). 4. åt F(x, y) = (xy + x, x y + y) och låt γ vara kvartsellipsen x + 9y = 9 i första kvadranten, genomlöpt från punkten (x, y) = (, ) till punkten (x, y) = (, 1). eräkna integralen F ds. γ 5. Transformera differentialekvationen x z z + y x y = x + y genom att införa nya variabler u = 1 x 1, v = xy. ös därefter ekvationen. y 6. åt C vara skärningskurvan mellan sfären x + y + z = 1 och planet x + y + z =, orienterad medurs sett från punkten (,, 1). åt vidare F(x, y, z) = (y, z, x). eräkna linjeintegralen F ds. C VAR GO VÄN!

2 7. åt vara den del av ytan z = x + y som ligger mellan planen z = 1 och z = 4, med normalriktning i negativ z led. åt vidare F(x, y, z) = (xz + x, yz + y, z ). eräkna flödesintegralen F d. 8. åt V vara den del av klotet x + y + z 1 som ligger mellan planen z = 1/ och z = 1/. estäm volymen av V. GO JU OCH GOTT NYTT ÅR!

3 var till tentamen i Flerdimensionell analys och Analys MN Vi måste ha att F (a, b, c) är parallell med normalen till planet, det vill säga med vektorn (1, 1, 1). Alltså skall, för något λ R, F (a, b, c) = (a, 4b, 6c) = λ(1, 1, 1) a = λ b = λ 4 c = λ 6 Insatt i F (a, b, c) = 7 ger detta λ = 4 λ = ± 6. Punkterna där tangentplanet är parallellt med x + y + z = är alltså (x, y, z) = ±( 6, 6/, 6/).. Av symmetriskäl (x är udda och området är symmetriskt med avseende på y axeln) är I = (x + y)dxdy = ydxdy. yt till polära koordinater: x = r cos θ, y = r sin θ, r, θ π, dxdy = rdrdθ. Vi får π [ ] r I = r sin θdθdr = [ cos θ] π = 16.. Vi har att f(x, y) = (y 5 + xy, 5y 4 x + y x ) f(1, 1) = (, 8) som ej är parallell med x axeln. Implicita funktionsatsen ger därför att sambandet f(x, y) = definierar y som funktion av x i en omgivning av (1, 1). Implicit derivering med avseende på x ger: y(x) 5 + 5y(x) 4 xy (x) + xy(x) + y(x) x y (x) =. Insättning av x = 1, y(1) = 1 ger + 8y (1) = y (1) = åt P (x, y) = xy + x och Q(x, y) = x y + y. Vi får att Q x P y = xy xy =. Vidare är F(x, y) av klass C 1 på hela R, som är enkelt sammanhängande, så F(x, y) är därmed konservativt (enligt sats). Vi bestämmer en potential: { φ φ = F x = xy + x φ y = x y + y φ = x y + x + h(y) φ = x y + x + h(y) x y + h (y) = x y + y En potential till F är alltså φ(x, y) = x y + x + y. Vi får F ds = φ(, 1) φ(, ) = 8. γ φ y = x y + y φ = x y + x + h(y) h(y) = y + A, A R

4 5. Kedjeregeln ger ch Alltså blir den transformerade ekvationen Integrera med avseende på v: z x = z u u x + z v v x = 1 z x u + y z v z y = z u u y + z v v y = 1 z y u + x z v. x z z + y x y = x y z z + xy v v = x + y xy(x + y) z v = x + y z v = 1 xy = 1 v. z(u, v) = 1 dv = ln v + h(u), v där h är en godtycklig deriverbar funktion av en variabel. ösningen uttryckt i (x, y) blir ( 1 z(x, y) = ln xy + h x 1 ). y 6. Vi använder tokes sats. Först beräknas F: i j k F = / x / y / z = ( 1, 1, 1). y z x åt beteckna den del av planet x + y + z = som ligger innanför sfären x + y + z = 1, med nedåtriktad normal, det vill säga normalriktningen n = ( 1, 1, 1)/. tokes sats ger F ds = ( F) d =. = ( F) nd = C d = area() = π, där den sista likheten följer av att är en cirkelskiva med radie åt beteckna ytan z = 4, x + y 4 med uppåtriktad normal, det vill säga normalen n = (,, 1). åt vidare beteckna ytan z = 1, x + y 1 med nedåtriktad normal, det vill säga normalen n = (,, 1). Ytan = är sluten och har utåtriktad normal. Vi kan använda Gauss sats (Ω betecknar området innanför ): F d = Fdxdydz = Ω 4 ( ) 4 = dxdydz = dxdy dz = area( z )dz, Ω 1 z 1 där z är cirkelskivan x + y z, som ju har area πz. Vi får alltså 4 ( ) 4 F d = dxdy dz = πzdz = 15π. 1 z 1

5 Men = ger att F d = F d + F d + F d, så vi får att den sökta integralen är F d = F d = Fdxdydz F d F d = 15π Ω F d F d = F d F d. e två sista integralerna beräknas. På (z = 4, x + y 4) är z = 4 och n = (,, 1): F d = (5x, 5y, 16) (,, 1)d = 16 d = 16area() = 64π. På (z = 1, x + y 1) är z = 1 och n = (,, 1): F d = (x, y, 1) (,, 1)d = Alltså blir F d = 15π + 64π π = 78π. d = area() = π. 8. Av symmetri skäl är volymen av V två gånger så stor som den del av klotet som ligger mellan xy planet och planet z = 1/. Kalla denna volym för V. Vi har alltså V dxdydz = dxdydz = V 1/ ( ) dxdy dz = z 1/ där z är cirkelskivan x + y 1 z, som ju har area π(1 z ). Alltså är V dxdydz = 1/ π(1 z )dz = π ] 1/ [z z = 11π 1. area( z )dz,