NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN Tidsbunden del

Transkript

1 Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med utgången av april 999. NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN 997 Tidsbunden del Anvisningar Provperiod 4 december - 8 december 997 Provtid Hjälpmedel Provmaterialet 80 minuter utan rast. Miniräknare (grafritande men ej smbolhanterande) och formelsamling. Provmaterialet inlämnas tillsammans med dina lösningar. Skriv ditt namn, komvu/gmnasieprogram och födelsedatum på de papper du lämnar in. Provet Provet består av 5 uppgifter. De flesta uppgifterna är av långsvarstp där det inte räcker med bara ett kort svar utan där det krävs att du skriver ned vad du gör att du förklarar dina tankegångar, att du ritar figurer vid behov att du vid numerisk/grafisk problemlösning visar hur du använder ditt hjälpmedel Till några uppgifter (där det står Endast svar fordras ) behöver bara svaret anges. Pröva på alla uppgifterna. Det kan vara relativt lätt att även i slutet av provet få någon poäng för en påbörjad lösning eller redovisning. Betgsgränser Ansvarig lärare meddelar de gränser som gäller för betgen Godkänd och Väl Godkänd. Provet ger maimalt 45 poäng.

2 . Bestäm f ( ) om a) f ( ) = 5 sin b) f ( ) = 4cos5 Endast svar fordras (p). ABC är en triangel som figuren visar. Beräkna längden av sträckan AC. C 8 cm A 5 cm 5 B (p). Beräkna med hjälp av primitiv funktion ett eakt värde på integralen d (p) 4. I en triangel ABC är vinkel A 64,4 och vinkel B 4,4. Sidan AC är 7 cm. Hur lång är sidan BC? (p) 5. Ställ upp ett uttrck för eakt beräkning av det skuggade områdets area. Arean behöver inte beräknas. (p) = =

3 6. Figuren visar grafen till funktionen = f ( ). Beräkna värdet av integralen 0 f ( ) d (p) 7. Lös ekvationen + cos =. (p) 8. Undersök grafiskt och visa med en enkel skiss om det finns några v så att sin v+ o = cos v+ o för 0 < v <80. ( ) ( ) Ange i så fall detta/dessa värden. (p) 9. Ett fartg rör sig enligt figuren från A mot B. F är en fr och vinklarna och 5 är de vinklar som uppmätts mellan fartgets rörelseriktning och fren i punkterna A respektive C. Avståndet mellan A och C är 4 sjömil. Utefter FD som är vinkelrät mot AB ligger ett grund 8 sjömil från F. Kommer fartget att gå på grundet? (p) B F D 5 C 4 sjömil A OBS! Figuren är inte skalenlig.

4 0. En skridskoåkare hamnade i en vak och kroppstemperaturen sjönk då snabbt. Vi antar att den hastighet med vilken temperaturen, C, ändrades var proportionell mot kroppstemperaturen, enligt d dt = 0, 0 där t är tiden i minuter som personen varit i vattnet. a) Visa att = 7 e 0, 0t är en lösning till d dt = 0, 0 (p) b) Efter hur lång tid har åkarens kroppstemperatur sjunkit från 7 C till C? c) Med vilken hastighet ändras kroppstemperaturen 5 minuter efter det att en person med temperaturen 7 C fallit i vaken? (p) (p). Visa att = cos sin satisfierar tan = 0. (p). Figuren visar grafen till funktionen = f () t 0 t 9 Låt g( ) = f () t dt (se figur) 0 Endast svar fordras på nedanstående fra uppgifter. a) Bestäm ( ) g. b) Bestäm största värdet av g. ( ) c) Har funktionen g ( ) några nollställen i intervallet 0 9? I så fall vilket/vilka? d) För vilka är g ( ) negativ? t (4p)

5 . Trafikflödet in till en tätort kan approimativt beskrivas med följande matematiska modell = 08 sin π + 0 där är antalet bilar/timme och är antalet timmar efter klockan Hur många bilar passerar in till tätorten mellan klockan 7.00 och 7.00? (p) 4. Funktionen = cos approimeras med = k så att areorna enligt nedanstående figur blir lika. Bestäm konstanten k. (4p) =cos =-k

6 5. I figurerna återges graferna till = f ( ) och = g( ) samt derivatorna till dessa. Man bildar en n funktion h ( ) = f( g ( )). Använd figurerna för att bestämma a) h( ) ( p) b) h ( ) ( p) = f () = g() = f ' () = g' ()

7 Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med utgången april 999. NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN 997 Breddningsdel Anvisningar Provperiod Vecka Provtid Hjälpmedel Provmaterialet Enligt beslut vid skolan men minst 60 minuter (under normal lektionstid). Enligt lokalt beslut vid skolan. Provmaterialet inlämnas tillsammans med dina lösningar. Skriv ditt namn, komvu/gmnasieprogram och födelsedatum på de papper du lämnar in. Provet Breddningsdelen innehåller två alternativa uppgifter varav du väljer en uppgift. Frågorna i uppgiften kan vara sådana att du själv måste ta ställning till de möjliga tolkningarna. Du skall redovisa de utgångspunkter som ligger till grund för dina beräkningar och slutsatser. Även en påbörjad icke slutförd redovisning kan ge underlag för positiv bedömning. Till varje uppgift finns en beskrivning av vad läraren kan ta hänsn till vid bedömning av ditt arbete. Om något är oklart fråga din lärare. Arbetsformer Ansvarig lärare informerar om de arbetsformer som gäller för breddningsdelen i provet. Redovisning av uppgifterna sker individuellt.

8 . VÄGSKYLTEN m θ 4 m Nedre delen av en,0 m hög vägsklt befinner sig 4,0 m ovanför bilistens ögonhöjd (Se figuren ovan). Sklten är svår att läsa på stort avstånd, liksom om avståndet är alltför litet. Undersök hur snvinkeln! varierar när bilen närmar sig sklten på en rak motorväg. Vid vilket avstånd blir snvinkeln så stor som möjligt? Sklten är läsbar om snvinkeln är större än. Undersök under hur lång tid sklten är läsbar. Vid bedömningen av ditt arbete kommer läraren att ta hänsn till: om du valt en rimlig metod om du gjort korrekta beräkningar vilka slutsatser du dragit av din undersökning hur klar din redovisning är vilka matematiska kunskaper du visat

9 . KRISTALLGLASET En formgivare har designat kristallglas med de former som figurerna visar. Glasen består av en kupa och en fot. Du skall hjälpa formgivaren med att beräkna lämpliga mått på glasen. r r h h Figur Figur Se figur. Kupan för glaset har den form som uppkommer om parabeln = k roterar kring - aeln. Bestäm konstanten k då h = 0,0 cm och r = 4,0 cm. Beräkna sedan glasets volm. Ute i handeln är 75, 00 respektive 00 cm vanliga värden för kupornas volm. Beräkna lämpliga dimensioner (h och r) för att ett glas (figur ) skall få en volm som stämmer med en av de angivna volmerna. Formgivaren vill också göra glas av den tp som avbildas i figur. Kupan ska ha harmo-niska proportioner som bgger på det så kallade gllene snittet och han vill därför att h r = 6 5. = k p, där p är ett positivt reellt tal, för att beskriva en kupa av den form som avbildas i figur. Bestäm dimensioner (h och r) för ett sådant glas med harmoniska proportioner och med volmen 75 cm. Välj en n potensfunktion Vid bedömningen av ditt arbete kommer läraren att ta hänsn till: om du valt en rimlig metod om du gjort korrekta beräkningar hur klar din redovisning är vilka matematiska kunskaper du visat

10 Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med utgången av april 999. Bedömningsanvisningar - tidsbunden del (MaD ht 997) Provet ger maimalt 45 poäng. Förslag till undre gräns för Godkänd är 4 poäng respektive 8 poäng för Väl Godkänd. Eempel på godtagbara svar anges inom parentes. Uppg. Bedömningsanvisningar Poäng. Ma p a) Korrekt svar (5cos) +p b) Korrekt svar (-0sin5) +p. Ma p Redovisat korrekt metod +p med godtagbar beräkning av AC (5 cm) +p. Ma p Redovisat korrekt primitiv funktion +p med godtagbar beräkning av eakt värde 6 9 +p 4. Ma p Redovisat korrekt metod +-p med godtagbar beräkning av BC (87 cm) +p 5. Ma p Redovisat korrekt(a) integrand(er) +p med korrekta gränser ( ( + 6 ) d 0 ) +p 6. Ma p Redovisat korrekt metod +p med godtagbar beräkning av integralens värde (,5) +p 7. Ma p Redovisat godtagbar lösning med en vinkel korrekt +p med korrekt period ( = + n 0 π ) +p Uppg. Bedömningsanvisningar Poäng 8. Ma p Redovisat godtagbar skiss +p Insett att grafernas skärningspunkter ger antalet lösningar +p Angett godtagbart värde på vinkeln ( o ) +p

11 9. Ma p Redovisat godtagbar metod +p med godtagbara beräkningar +p med korrekt slutsats (Nej, fartget passerar,6 sjömil från grundet) +p 0. Ma 6p a) Redovisat godtagbar metod +p med godtagbart genomförande +p b) Redovisat godtagbar metod +p med godtagbara beräkningar (6 minuter) +p c) Redovisat godtagbar metod +p med godtagbara beräkningar (-0,4 o C/minut) +p. Ma p Redovisat korrekt derivata +p Verifierat att funktionen satisfierar differentialekvationen +-p. Ma 4p a) Godtagbart svar (0) +p b) Godtagbart svar (,5) +p c) Godtagbart svar ( = 6 ) +p d) Godtagbart svar ( > 6, även om det korrekta intervallet är 6< 9) +p. Ma p Redovisat godtagbar metod +-p med godtagbart svar (4000 bilar) +p 4. Ma 4p Godtagbart redovisad ansats som visar förståelse för problemet +p (t e att uttrck för areorna, begränsade av kurvorna i de angivna intervallen, skall sättas lika) med redovisad godtagbar metod +-p (t e med bestämning av integrationsgränser och beräkning av integraler som ger en ekvation för k) med korrekt svar k = 4 9 +p

12 5. Ma 4p a) Redovisat godtagbar metod +p med godtagbart svar () +p b) Redovisat godtagbar metod +p 05, +p med godtagbart svar ( ) Bedömningsanvisningar - breddningsdel Uppgift Vägsklten Vid bedömning av elevarbetet ska du ta hänsn till följande: val, användning och värdering av bearbetningsstrategi (metod) hur korrekta beräkningarna är vilka slutsatser som dras och hur de motiveras hur klar och lätt att följa redovisningen är vilka matematiska kunskaper eleven visar Ett godkänt elevarbete bör innehålla: Eleven visar att hon har förstått problemet med hur snvinkeln varierar och anger en möjlig metod för dess lösning. Eleven beräknar på ett godtagbart sätt snvinklar för några avstånd till sklten. Eleven bestämmer ett godtagbart värde på avståndet där snvinkeln är störst och/eller motiverar sitt svar med ett godtagbart resonemang. Elevens redovisning och tankegång kan följas. Ett väl godkänt elevarbete bör innehålla: Eleven beskriver på ett sstematiskt sätt hur snvinkeln varierar med avståndet till sklten. Eleven bestämmer ett godtagbart värde på avståndet där snvinkeln är störst och motiverar sitt svar med en klar tankegång. Eleven visar att hon har förstått problemet med hur lång tid sklten är läsbar och att det beror på farten. Eleven bestämmer ett godtagbart värde på tiden för läsbarhet utifrån minst ett antagande om bilens fart och ger någon kommentar om modellens rimlighet. Elevens redovisning är strukturerad och lätt att följa.

13 Uppgift Kristallglaset Vid bedömningen av elevarbetet ska du ta hänsn till följande: val, användning och värdering av bearbetningsstrategi (metod) hur korrekta beräkningarna är hur klar och lätt att följa redovisningen är vilka matematiska kunskaper eleven visar Ett godkänt elevarbete bör innehålla: Eleven bestämmer k och tecknar en integral som beskriver glasets volm då h = 0,0 cm och r = 4,0 cm samt beräknar godtagbart värde på volmen (5 cm ). Eleven gör ett försök till bestämning av h och r för en glasvolm. Elevens redovisning kan följas men formella brister återfinns på mer än ett ställe. Ett väl godkänt elevarbete bör förutom ovanstående innehålla: Eleven beräknar h och r för en glasvolm på ett godtagbart sätt. Eleven väljer en n potensfunktion där 0<p<, tar hänsn till det givna förhållandet mellan h och r och gör en i övrigt korrekt ansats. Elevens redovisning är strukturerad och lätt att följa.