6.2 Implicit derivering

Transkript

1 6. Implicit derivering 6 ANALYS 6. Implicit derivering Gränsvärden, som vi just tittat på, är ju en fundamental del av begreppet derivata, och i mattekurserna i gymnasiet har vi roat oss med att hitta derivator till enklare funktioner, men också lite mer komplicerade genom användning av kedjeregeln, eller produkt/kvotregeln. Vissa funktioner är dock inte så enkla att derivera med hjälp av derivatans definition, hur ska vi t.e. göra med derivatan till den inversa sinusfunktionen? Vi vet ju att om f() = sin så är f () = cos, men det innebär ju inte att om f() = arcsin så är f () = arccos. Vi har då en metod att tillgå som kallas implicit derivering. Vi kan börja med att derivera en relativt enkel funktion med denna nya metod, för att se hur det fungerar. Låt y =, dvs [genom att använda den inversa funktionen till ] y =. Vänsterledet y är ju en sammansatt funktion, som egentligen borde skrivas (y()). Om vi skulle derivera denna likhet med avseende på, skulle kedjeregeln ge oss yy =, dvs y = y = vilket inte ger oss någon större överraskning. Men denna teknik kan hjälpa oss att hitta mer bångstyriga derivator. Eempel 33. Hitta derivatan till arcsin. Låt y = sin, [dvs vi använder den inversa funktionen 4 till den vi söker derivatan till] så att = arcsin(sin) = arcsiny. Derivera med avseende på, varvid vi enligt kedjeregeln erhåller = d dy arcsin(y) dy = d arcsin(y) cos. dy Vi har nu att d dy arcsiny = cos = sin =, y och givetvis är även d arcsin =, då ju variabelns namn är irrelevant. 4 i ett givet intervall, se övningen på sid 3 5

2 6 ANALYS 6. Implicit derivering Vi kan med hjälp av implicit derivering enkelt lösa problem som vi inte tidigare ens haft en aning om att de eisterade. Eempel 34. Visa att familjerna av kurvor y = a och y = b, där a och b är reella konstanter, alltid skär varandra i rät vinkel. Figur : Några eempel ur familjen av kurvor y = a [heldragna] och y = b [streckade]. Tangenterna ska alltså vara vinkelräta i varje skärningspunkt. Från B-kursen minns vi att två räta linjer är vinkelräta om produkten av deras k-värden är -. Vi deriverar funktionerna implicit för att hitta lutningen: yy = 0, dvs y = y. y + y = 0, dvs y = y. Produkten av dessa två lutningskoefficienter är bevisligen -, och kurvorna skär alltså varandra vinkelrätt oavsett värdet på a och b. Genom implicit derivering;. hitta derivatan till f() = 3.. hitta derivatan till f() = arccos. 3. hitta derivatan till f() = arctan. 4. hitta derivatan till ln. 5. Utgå från deriveringsregeln d n = n n, n heltal, och visa att d n m = n m n m genom implicit derivering. 6. Hitta derivatan till y = (sin t) ln t (Tips: Logaritmera först, implicitderivera sedan) 53

3 6.3 Integrationsmetoder 6 ANALYS 6.3 Integrationsmetoder Till vissa funktioner kan det vara svårt att finna en primitiv funktion, vad är t.e. ln, (6.4) arcsin, (6.5) eller e? (6.6) Det är oftast lättare att hitta en funktions derivata än dess primitiva funktion, men det finns en hel del knep att ta till Variabelsubstitution En integral av typen kan lösas på flera sätt. De två enklaste är. Genom att se att den primitiva funktionen är ln( + 43 ).. Genom variabelsubstitution. Det första sättet kräver en del träning, och den träningen får man genom det andra sättet. Slutsats: vi lär oss det andra sättet. Variabelsubstitution bygger till stor del [som så många andra knep] på kedjeregeln. I eemplet ovan ser vi att täljaren är nästan derivatan av nämnaren, sånär som på en konstant. Gör då följande substitution: u = du = du = Vi ser nu att vår integral kan skrivas med u som variabel istället, där byts mot du och ser då ut som 09 u du, vilken har lösningen ln(u) 09 = ln(09). Notera att integrationsgränserna ändras när vi byter variabel! Substitutionen u = g() är ypperlig om g () är en faktor i integranden, ty då är du = g () lätt att substituera, såsom i eemplet ovan. 54

4 6 ANALYS 6.3 Integrationsmetoder Eempel 35. Beräkna 8 0 cos( + ). + Låt u = +, så att du = +. Vår integral blir då 3 cos(u)du = sin(u) 3 = (sin 3 sin ) Lite knepigare integraler kan kräva omskrivningar innan man ser vad man bör substituera. Eempel 36. Beräkna e. Bryt ut e ur rotuttrycket, varvid vi erhåller e e = e (e ). Substituera u = e, du = e, så att integralen blir (se 6.) du u = arcsin(u) + C = arcsin(e ) + C.. Beräkna arean som innesluts av grafen till funktionen f() = (+sin( )) cos( ), -aeln, = 0 och = π. Beräkna +4+5 (Tips: kvadratkomplettera) 3. Beräkna tan (Tips: skriv om med andra trigonometriska funktioner) 4. Beräkna sin(3ln ) Den trigonometriska ettan kan vara mycket användbar i substitutionssituationer, och fungerar ypperligt om integranden innehåller en term på formen (a ) ±n/, där a är ett reellt tal och n ett positivt heltal. En triangel är till stor hjälp. Eempel 37. Beräkna (5 ) 3/. Vi jämför med vårt uttryck ovan och ser att a = 5. Rita upp en triangel, vars hypotenusa är a, och ena katet är. Vi har nu att = 5sin θ, dvs 5 = sin θ, 55

5 6.3 Integrationsmetoder 6 ANALYS 5 ϕ θ 5 Figur 3: Hjälptriangel vid substitution med sinus och cosinus. och att = 5cosθdθ. Eftersom (a ) ±n/ = ( a ) ±n och 5 = 5 5 = 5 sin θ = 5cosθ, har vi att vår integral nu ser ut som (5 ) = 3/ 5cosθ ( 5) 3 cos 3 θ dθ = dθ 5 cos θ = tanθ + C. 5 Ur figuren ser vi att tan θ = 5, så vår lösning ser ut som vilket enkelt verifieras genom derivering. (5 ) 3/ = C,. Gör substitutionen = 5cosϕ och beräkna integralen ovan. (Tips: Primitiv funktion till sin ϕ är tan ϕ ). Beräkna arean av det skuggade området i figuren. y = a för den övre halvan av cirkeln. Utnyttja symmetrin. (Tips: cos θ = ( + cosθ), sin θ = sinθ cosθ. Nyttja en triangel för att hitta θ uttryckt i arcsin och arccos) y b a 56

6 6 ANALYS 6.3 Integrationsmetoder Om integranden istället innehåller en term av typen (a + ) ±n/ kan man substituera med tangens istället, och vi utnyttjar förhållandet + tan cos θ = θ cos θ + sin θ cos θ = cos θ = cosθ. En triangel liknande den ovan men något modifierad, kan vara till hjälp. a + ϕ θ a Figur 4: Hjälptriangel vid substitution med tangens. Eempel 38. Beräkna 4 +. I detta fall är a =, och vi kan substituera = tanθ och = vi får att [se ovan] = 4 + cos θ cos θ dθ = cosθ dθ. Denna integral har lösningen cosθ dθ = ln tanθ + C = ln cosθ cos θ + + C. dθ, varvid. Visa, genom att förlänga med och substituera u = ( cos θ dθ = ln cos θ + tanθ + C. Beräkna (+9 ) (Tips: cos θ = ( + cos)) cos θ + tanθ), att Ett eempel till, som involverar två substitutioner, och lite andra tri. Eempel 39. indevariabelsubstitution!uberäkna +. 57