Lektion 6, Envariabelanalys den 14 oktober Låt oss krympa f:s definitionsmängd till en liten omgivning av x = x 2.

Transkript

1 Lektion 6, Envariabelanals den 4 oktober 999 Låt f vara en kontinuerligt deriverbar funktion vars graf är återgiven i figuren till höger. Besvara följande frågor. Låt oss krmpa f:s definitionsmängd till en liten omgivning av =.. Har f en invers?. I vilka punkter har f en lokal invers?. Vilka är intervallen där f är en-entdig? 4. Vilka grenar finns det till f?. Säg att vi tar en punkt = b, i f:s värdemängd, som i figuren nedan. b I denna omgivning råder ett : förhållande mellan punkter i definitionsmängden och värdemängden. Vi säger att f är lokalt en-entdig i punkten = och att den där har en lokal invers. Det är inte i alla punkter vi kan få funktionen lokalt en-entdig. Betrakta t.e. punkten = 4. b I f:s definitionsmängd finns nu tre punkter, och som alla har funktionsvärdet b, f( ) = f( ) = f( ) = b. För att en invers ska finnas måste det råda ett : förhållande mellan punkter i definitionsmängden och värdemängden. Till varje -värde i värdemängden ska det finnas eakt ett -värde i definitionsmängden. Med andra ord krävs det att funktionen är en-entdig. För vår funktion råder inget sådant : förhållande, varför f inte har en invers. 4 5 Hur liten vi än väljer omgivningen till = 4 kommer det alltid att finnas två punkter på varsin sida om 4 med samma funktionsvärde. I punkten = 4 är alltså f inte lokalt en-entdig och har ingen lokal invers där. Den andra undantagspunkten är = 5, där det råder motsvarande situation. Funktionen f har en lokal invers i alla punkter utom i = 4 och = 5.

2 . Eftersom f är lokalt en-entdig i hela intervallet ( 4, 5 ) följer det att f är en-entdig i samma intervall. Med detta menar vi att om vi inskränker f:s definitionsmängd till ( 4, 5 ) så får vi en en-entdig funktion; den funktionen brukar man beteckna med f (4, 5). På samma sätt kan vi visa att f är en-entdig i intervallen (, 4 ) och ( 5, )..5. Bestäm arccos( ). Vi ska finna ett tal vars cosinus-värde är. Eftersom funktionen arccos har värdemängden [0, π] så ska det sökta talet ligga i detta intervall Inlärda cosinus-värden ger oss att arccos( ) = π. f (,4) f (4, 5) f (5, ) 4. Till funktionerna f (,4), f (4, 5) och f (5, ) kan vi definiera inverser. Var och en av dessa inverser kallas för en gren av f..5.6 Bestäm cos(arcsin 0,7). 5 5 Vi ska lösa uppgiften på två olika sätt. Vilken metod som är bäst beror på situationen. 4 4 Metod Inversen till f (,4) Inversen till f (4, 5) Inversen till f (5, ) Sätt θ = arcsin 0,7. Eftersom värdemängden till arcsin är [ π, π ] ligger θ i detta intervall, och vi kan illustrera vinkeln θ med den rätvinkliga triangeln nedan. 0,7 θ

3 Med Pthagoras sats får vi att den bredvidliggande kateten är 0,5. Med definitionen av cosinus ser vi att komplementvinkeln till θ är 40. θ 0,5 0,7 40 cos 40 Från triangeln är det nu enkelt att räkna ut cos θ, θ Eftersom triangelns vinkelsumma är 80 får vi att θ =. Metod 0,5 cos θ = = 0,5. Metod Vi använder att summan av arcsin och arccos är 90, Vi använder den trigonometriska ettan cos(arcsin 0,7) = cos(arcsin 0,7) = = 0,7 = 0,5. sin (arcsin 0,7) = {0,7 V sin } arcsin(cos 40 ) = 90 arccos(cos 40 ) = {40 [0, 80 ]} = =..5.4 Förenkla cos(arcsin )..5.8 Bestäm arcsin(cos 40 ). Metod Vi söker den vinkel som vi betecknat med θ i triangeln nedan. Vi använder den trigonometriska ettan. För 0 är cos(arcsin ) = cos(arcsin ) = sin (arcsin ) = { [0, ]} =. θ cos 40 Eftersom arcsin är en udda funktion och cos är en jämn funktion är cos(arcsin ) jämn. Högerledet ovan är också en jämn funktion, så formeln ovan gäller även för < 0.

4 .5.6 Förenkla sin(arctan )..5. Derivera f() = arcsin. Låt oss första anta att > 0. Vi ritar upp en hjälptriangel. Produktregeln ger att f () = () arcsin + (arcsin ) = arcsin +. arctan Med Pthagoras sats får vi att hpotenusan är +. arctan Finn ekvationer för de två linjer som är tangenter till = arcsin och har lutning. Definitionen av sinus ger att Om < 0 så är sin(arctan ) = +. sin(arctan ) = sin ( arctan( ) ) = =. + ( ) Derivera = arctan(a + b). En linje med lutning har en ekvation i formen = + m. En sådan linje kan endast tangera grafen till = arcsin i punkter där derivatan är, () Linjerna ska alltså gå genom punkterna (, arcsin ) ( =, ) π respektive Vi får två fall = = ±.. m anpassas så att linjen går genom (, π ), (, arcsin ) ( =, ) π. π = + m m = π. Kedjeregeln ger att = (a + b) + a.. m anpassas så att linjen går genom (, π ), π = ( ) + mm = π +.

5 De två linjernas ekvationer är alltså Denna ekvation har lösningarna = + π, = π 4 + nπ och = π 4 + nπ för alla heltal n. ( ) = π +. Om vi åter tittar på ( ) är det uppenbart att det finns eakt en lösning och inte oändligt många som i ( ). Eftersom vi tog sinus av båda led i ( ) och sinusfunktionen inte är en-entdig var det i detta steg vi introducerade alla falska rötter. Vi måste bestämma vilket av alla tal i ( ) som är den riktiga roten. Om vi betraktar värdemängden för arcsin och arctan är de [ π, π ] respektive ( π, π ). Summan = arcsin 5 + arctan 7 måste alltså ligga i intervallet ( π, π). Detta utesluter alla punkter i ( ) utom = π 4 och = π 4. Förenkla arcsin 5 + arctan 7 så långt som möjligt. En av dessa två punkter är fortfarande en falsk rot. Om vi är lite noggrannare ser vi att Sätt = arcsin 5 + arctan 7. Tag sinus av båda led och använd additionsformeln för sinus, sin = sin ( arcsin 5 + arctan ) 7 = sin arcsin 5 cos arctan 7 + cos arcsin 5 sin arctan 7. För att beräkna dessa uttrck ritar vi upp hjälptrianglar. ( ) 0 < 5 < och 0 < 7 <. Eftersom både arcsin och arctan är strängt väande är 0 < arcsin 5 < arcsin = π och 0 < arctan 7 < arctan = π 4. Detta betder att 0 < < π + π 4 = π 4. Detta visar att = π 4 är en falsk rot. Svaret är alltså = π 4. arctan 7 cos arctan 7 = 7 sin arctan 7 = 7 5 cos arcsin 5 = 4 5 Alltså är arcsin 5 4 sin = =.

6 KTH 7 aug 87 Visa att för alla. arctan = arcsin Sätt f() = arctan arcsin. Vi ska visa att f() = 0 för. Vi ser att funktionen f är kontinuerlig och deriverbar för >. Dess derivata är f () = + ( ) ( ) ( ) 4 = = + = 0. Alltså är f () = 0 för och detta ger att f är konstant för. Eftersom f() = arctan 0 arcsin 0 = 0 har vi visat att f() = 0 för alla. Anm. Om en funktion f har derivatan f = 0 i ett intervall [a, b] då kan vi använda medelvärdessatsen på f i delintervallet (a, ) och få att f() f(a) = f (ξ)( a) = 0 f() = f(a). där a < ξ < varför vi kan vara säkra på att f (ξ) = 0.