e = (e 1, e 2, e 3 ), kan en godtycklig linjär

Transkript

1 Linjära avbildningar II Förra gången visade vi att givet en bas i rummet, e = (e 1, e 2, e 3 ), kan en godtycklig linjär avbildning F : R 3 R 3 representeras av en matris: Om vi betecknar en vektor u:s koordinatvektor m a p basen e med [u] e, så finns en matris A med egenskapen att [F (u)] e = A[u] e för alla u R 3. Detta faktum är mycket användbart vid räkning med linjära avbildningar. T ex gäller följande SATS. Om F, G är två linjära avbildningar som representeras av matriserna A resp. B, så är sammansättningen F G linjär och representeras av matrisprodukten AB. Bevis: [F G(u)] e = [F (G(u))] e = A[G(u)] e = AB[u] e. Ex 1. Beskriv vad som händer med punkten (x, y, z) om vi först vrider den ett kvarts varv

2 moturs runt z-axeln (sett från spetsen på basvektorn e 3, därefter på motsvarande vis ett kvarts varv moturs runt y-axeln och x-axeln (ON-bas). Avbildningen kan ses som en sammansättning av tre rotationer med matriser A 1 = 0 1 0, A 2 = A 3 = Sammansättningen representeras då av A 3 A 2 A 1 = = , dvs (x, y, z) avbildas på (z, y, x). En ytterligare konsekvens är att om vi upprepar proceduren

3 en gång till så kommer vi tillbaka till (x, y, z). Försök att tänka igenom detta rent geometriskt! Ex 2. Beskriv vad som händer med med punkten (x, y, z) om vi först speglar i planet x+2y z = 0, därefter vrider ett kvarts varv moturs runt z-axeln, och till sist projicerar ner på planet x + y + z = 0. Ibland kan det vara lättare att hitta matrisen för en avbildning F : R 3 R 3 i en annan bas än den på förhand givna. Vi behöver då veta sambandet mellan de matriser som representerar F i de båda baserna. Låt A = [F ] e, A = [F ] e vara matriserna m a p e och e, och låt e = et. Låt X, X resp Y, Y vara koordinaterna för u resp F (u). Då Y = AX T Y = AT X Y = T 1 AT X dvs. A = T 1 AT. Ex 3. Härled matrisen för rotation ett kvarts varv runt axeln med riktning e = 1 3 (1, 1, 1).

4 Det finns ytterligare ett sätt att beräkna rotationsmatrisen i ex 3. Vi kan först dela upp en godtycklig vektor u = u 1 + u 2 = (u (u e)e) + (u e)e där u 1 är ortogonal mot e och därför kan roteras m h a vektorprodukt, medan u 2 är parallell med e och därför inte ändras. Vi får R(u) = R(u 1 + u 2 ) = R(u 1 ) + R(u 2 ) = = e (u (u e)e) + (u e)e. Denna formel kan nu användas för att beräkna R(e 1 ), R(e 2 ), R(e 3 ) vilket direkt ger kolonnerna i rotationsmatrisen. Metoden ger betydligt enklare räkningar än de två andra metoderna. Haken är att den bara fungerar för rotationer ett kvarts varv. Om vi roterar med andra vinklar är basbytesmetoden ovan normalt sett den bästa. Om A, A representerar en avbildning F i olika baser så är enl ovan A = T 1 AT. Detta ger det(a ) = det(t 1 AT ) = det(t 1 ) det(a) det(t ) = det(a).

5 Vi kan därför tala om determinanten till F själv, eftersom värdet inte beror av basen. Detta tal har en viktig geometrisk betydelse: SATS. Om Ω R 3 har volym V (Ω) och bildmängden F (Ω) har volym V (F (Ω)) så gäller det(f ) = V (F (Ω))/V (Ω). En linjär avbildning förstorar eller förminskar alltså alla mängder med samma faktor. Satsen ger också en förklaring till produktlagen: Om T A (X) = AX och T B (X) = BX så får vi (Ω godtycklig) det(ab) = ± V (T AB(Ω)) V (Ω) = = ± V (T A(T B (Ω))) V (T B (Ω)) V (T B(Ω)) V (Ω) = det A det B. (Jrf med kedjeregeln i en variabel.) Till sist ska vi undersöka när en linjär avbildning är injektiv, surjektiv och bijektiv:

6 SATS. För F : R 3 R 3 eller F : R 2 R 2 gäller injektiv surjektiv bijektiv det(f ) 0. I själva verket kan alla fyra villkoren tolkas som att baser avbildas på baser. Om F uppfyller något av dessa villkor kan vi alltså definiera en invers avbildning F 1. Ex 4. Speglingar och rotationer har inverser.