Rotation Rotation 187

Transkript

1 6. Rotation Rotation Vi har tidigare i Exempel 6.5 isat hur man roterar rummets ektorer kring en axel parallell med en a basektorerna. Nu är i redo att besara frågan om hur man rider kring en godtycklig ektor i rummet. Exempel Låt L ara en linje i rummet genom origo och med riktningsektorn, ds L : t. Antag att i ill bestämma matrisen för rotationen R inkeln moturs kring en axel parallell med L. Vi behöer införa en ny ON-bas {f,f,f } lämplig för att reducera problemet till fallet i Exempel 6.5. Eftersom ektorn rids på sig själ, normerar i den och äljer första basektorn f =. Vidare, ridningen sker i det plan som har som normal, därför äljer i en enhetsektor f ortogonal mot. Sista basektorn f äljer i så att basen {f,f,f } bildar ett högerorienterat system genom f = f f. Obserera att a definitionen för ektorprodukt följer att f = f f = f f sin π =, ds f är också en enhetsektor. Situationen är nu densamma som finns i Exempel 6.5 och då ges abildningsmatrisen för rotaionen inkeln moturs kring en axel parallell med förstabasektorn f a A f = cos sin. sin cos Om T är transformationsmatrisen mellan ON-baserna e och f, ds f = et, så gäller enligt (6.) att matrisen i den ursprungliga basen e ges a Figur A e = TA f T. L f = R(f ) R(f ) = sin f + cos f f f R(f ) = cos f + sin f

2 88 6 LINJÄRA AVBILDNINGAR Exempel Bestäm matrisen för en rotation π kring axeln L : t. Figur L f fa f Y = R(u) = ea e X fy = u = ex f R(u // ) u // f = f x f Låt f = e f = f f == e. Då kan i t.ex. älja f = e Bassambandet ges a f = et, där T =. Vidare låter i, så att {f,f,f } är ON-bas i ett högerorienterat system. är ortogonal. Abildningsmatrisen A f i basen e ges som bekant a A f = cos sin = { = π/} =. sin cos Abildningsmatrisen Ae i basen e ges då a Ae = TA f T t = Obserera att A är ortogonal och det Ae =.

3 6. Rotation 89 Exempel (Reflektion a en ljusstråle i ett plan) En ljusstråle faller in mot origo och har riktningen. Den reflekteras mot planet x + y + z =. Bestäm ekationen för den reflekterade strålen. Koordinatsystemet är ortonormerat. Figur 6.6. n R() = ut O Låt {e,e,e } ara en ON-bas i rummet. Vi betraktar problemet som att rida ektorn = e inkeln π kring normalen, ds i söker bilden R() a under rotationen R. Normalen som alltså är rotationsaxel abildas på sig själ. Låt därför f = e ara den första nya basektorn med längd. Vi äljer den andra basektorn f ortogonal mot f och med längd. Vi tar t.ex. f = e. Till sist äljer i den tredje basektorn f ortogonal mot både f och f och med längd. Vi får inte heller glömma att f ska äljas på ett sådant sätt att i får ett positit höger orienterat system. Därför låter f = f f = e e e = e. 6 6 Bassambandet ges alltså a f = e T, där T = 6 är ortogonal. 6

4 9 6 LINJÄRA AVBILDNINGAR Låt nu f, f och f rotera: R(f ) = f = f + f + f = f R(f ) = f = f f + f = f R(f ) = f = f + f f = f Abildningsmatrisen i basen f är alltså A f =. Sambandet mellan abildningsmatriserna ger att abildningsmatrisen i basen e: Ae = TA f T t =. Obserera att Ae i det här fallet inte bara är ortogonal utan också symmetrisk. Detta eftersom problemet kan också ses som en spegling som har en symmetrisk abildningsmatris. Den utreflekterade strålen har riktningen Ae = e = e.. Obserera att abildningsmatrisen är ortogonal med determinant.

5 6. Rotation 9 Anmärkning 6.6. Exemplen oan isar att om abildningsmatrisen A är. symmetrisk och det A =, så är abildningen en projektion. Om dimensionen för nollrummet är (eller ) så är det ortogonal projektion i plan (eller linje).. symmetrisk och deta =, så är abildningen en spegling i ett plan.. symmetrisk och det A =, så är abildningen en spegling i en linje eller en rotation inkel π. 4. ortogonal och därmed deta =, så är abildningen en rotation. Exempel 6.6. Följande matriser sarar mot en projektion, en spegling eller en rotation. Agör ilken som sarar mot ilken abildning om A = , B = 6 6 och C = Eftersom A är ortogonal med det A =, så är A matrisen för en rotation R i rummet.. B är symmetrisk med det B =. Alltså är B matrisen för en spegling S i ett plan.. C är en matris för en projektion P, ty C är symmetrisk med det C =. Vidare gäller att N(P) = [(,,) t ] och dim N(P) =. Alltså är C matrisen för en projektion P på ett plan längs ektorn (,,) t.