LEDNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 2 OBS! En fullständig lösning måste innehålla en figur!

Transkript

1 LEDNINGR TILL ROLEM I KITEL OS! En fullständig lösning måste innehålla en figur! L.1 Kroppen har en rotationshastighet. Kulan beskrier en cirkelrörelse. För ren rotation gäller = r = 5be O t Eftersom och r O är inkelräta bestäms storleken a kryssprodukten med belopp gånger belopp. Riktningen bestäms a högerregeln. ccelerationen ges a a = r + r O O a = 5b e + 5b e = 5bαe + 5b e t n t n Den första kryssprodukten bestäms på samma sätt som för hastigheten. Den dubbla kryssprodukten bestäms i tå steg: först parentesen och sedan hela uttrycket. L. Kroppen har en ren rotationshastighet. unkten beskrier en cirkelrörelse. För ren rotation gäller = r = R e O t där inkelfarten fortfarande är okänd. ccelerationen, som är känd, ges a a = r + r O O a = Rαe + R e = 15. e + 4e m/s t n t n Rα = 15. m/s ; R = 4 m/s Eftersom R = 0. 50m fås resultatet α = 6 rad/s ; = 4 rad/s

2 L.3 unkten har en acceleration som ges a a = r + r O O Vi måste alltså ur det gina i princip bestämma inkelaccelerationen och inkelhastigheten. En punkt på den lilla remskians periferi måste ha farten. Vi får då skians inkelhastighet ur = r = r = = rad/s = 0 rad/s r 01. ccelerationen för en punkt på den stora skians periferi ges a a = r+ r a = R e + R e ccelerationen i tangentialriktningen är den gina a. Det betyder att R = a = a α = 34 rad/s R 033. Resultatet blir a = R a R a R et en e e e e R + = + r r = t t n t n n m/s L.4 lla tre kropparna har ren rotationsrörelse. En punkt på en a de oelastiska remmarna har samma fart som alla andra punkter på remmen. En punkt på periferin a en remskia måste ha samma fart som remmens fart. Detta leder till ekationerna 3r = r = 3 r = 4r = 6

3 L.5 unkten har en acceleration som allmänt kan skrias a = r + r där lägeektorn börjar i centrum a skia. Med naturliga basektorer blir det a = rα e + r e (1) t n estäm alltså först α och! Varje del a en rem har lika stor fart, men inte lika hastighet. Varje del a en rem har också lika stor fartökning per tid, ds acceleration i hastighetsriktningen. Den änstra remmens fart kan skrias antingen som periferihastigheten för skian eller periferihastigheten för. Motsarande gäller också för den andra remmen. Låt ara inkelhastigheten för! r = r r = r = 1 4 = 1 αt 4 b) Tidsderiering ger α = 1 α. Insättning i (1) ger 4 α αt a = r e + r e 4 4 t n Storleken blir då a = r α t r t r + α 4 4 = α + α L.6 Stången O har en rotationshastighet. Ändpunkten har en cirkelrörelse. Hastigheten kan skrias = be. Hastighetskomponenten i x-riktningen kan skrias ( ) = bsin och är densamma som hastigheten för stången x. ccelerationen för är a = bαe b e r Stången får då en acceleration i x-riktningen som är = + a bαsin b cos x lternatit tecknas koordinaten för. Tå tidsderieringar ger resultatet

4 L.7 Skians mittpunkt kallas G och sammanfaller med masscentrum för en homogen skia. Hastighetsriktningarna i och är kända. Sambandsformeln för hastigheter = + r kan projiceras på x- och y-axeln: : cos60 = b cos60 (1) : sin60 = 0 b sin60 () Ek () ger = b och (1) ger då = b Mittpunktens hastighet fås enligt sambandsformeln = + r G G b b 3 = b e e e 4 4 G x x y 3 3b = b e e 4 4 G x y L.8 Sambandsformeln för hastigheter för ardera stången är = + r (1) = + r () Hastigheten och inkelhastigheten skall bestämmas. Utnyttja att = och subtrahera ek (1) och ()! r + r = Tag y-komponenten! : = bsin = bsin (3) ddition a ek (1) och () ger + r r + = + 1 = e bcose y x + Insättning a (3) ger = ex + e tan y

5 L.9 Den högra och änstra ajern tangerar trissorna i respektie D. har liksom hastigheten noll och D har liksom hastigheten uppåt. Sambandsformeln för hastigheter = + r D D Men D = och = 0 ger = 0 + rd = 3r medurs O = + ro O = 0 + r e 3r O = ey 3 y = O + ro = e + y r e 3 3r = ex + ey 3 3 x L.10 åde stången O och hjulet id har ren rotationshastighet. och beskrier ar sin cirkelrörelse. ntag att hjulet har en inkelhastighet Ω medurs! = be = bsine + bcose = rωe x y Sambandsformeln för hastigheter = + r x kan projiceras på x- och y-axeln: : bsin = rω + 0 (1) : bcos = 0 + c () Ek () ger b = cos och (1) ger då Ω= b sin c r

6 L.11 Inlämningsuppgift på T just nu L.1 ntag att inkelhastigheterna är och moturs. Sambandsformeln för hastigheter för stången = + r : 0 = c b cos (1) : = 0 b sin () Ek () ger = och ek (1) ger då b sin = c tan

7 L.13 åde stången O och har ren rotationshastighet. och beskrier ar sin cirkelrörelse med hastigheterna = 3b e ; = bωe y x Stången, som tillfälligtis har längden 13 b och bildar inkeln med ertikalen, är inte stel. Sambandsformeln gäller ej för hastighetskomponenter i stångens riktning. Vi kan ändå tillämpa sambandsformeln i en riktning inkelrätt mot stången. lltså, = + r 3bsin = bω cos + 13b = 1 ( sin Ωcos ) Figurens geometri ger sin = 3 / 13 och cos = / 13 = 1 ( Ω ) (moturs) L.14 Eftersom D betraktas som en fix punkt beskrier en cirkelrörelse. unkten har en ertikal hastighet. = ey; = bϕ e = b cos ex + b ϕ ϕ ϕ ϕsinϕey (1) Vinkelhastigheten skall bestämmas. Sambandsformeln för hastigheter för skopan = + r : 0 = bϕ cos ϕ + c sin () : = bϕ sin ϕ c cos (3) sin Ek () ger ϕ = c bcosϕ och ek (1) ger bϕ sinϕ = ccos sin sin = bc ϕ cosϕcos bc ccos cosϕ = ccos ϕ

8 L.15 Sambandsformeln för hastigheter för stången = + r : 0 = + bsin = bsin Sambandsformeln igen: = + r = e bsine + bcos e x x y = + b e + b e bsin sin bsin cos x y = e + e tan x y L.16 Momentancentrums läge bestäms geometriskt a skärningspunkten a de tå räta linjer som går genom hastighetsektorernas fotpunkter respektie spetsar. Momentancentrum ligger alltså någonstans på stången eller dess förlängning. ntag att ligger på stången på aståndet x ifrån den änstra ändpunkten. Då gäller = b x = ( b x) ( b x)= ( b x) x = b För det gina hastighetsförhållandet fås x b = x = 1 m Vinkelhastigheten fås då ur det första sambandet = = = 10 rad/s b x b

9 L.17 Enligt konstruktionsmetoden för momentancentrums läge ligger den punkten på stången eller dess förlängning. ntag att ligger på aståndet x ifrån den änstra ändpunkten. Då gäller ( x b ) x b = + x = b + x = 3 m = Hastigheten i blir då med hjälp a momentancentrum = ( x b ) b = + b = b = 5 m/s L.18

10 L.19 b ϕ Hastighetsriktningarna i och är kända. Drag räta linjer genom och inkelrätt mot hastighetsektorerna. Skärningspunkten är momentancentrum. I det betraktade ögonblicket kan man säga att skian roterar kring momentancentrum. och ser ut att ha en cirkelrörelse kring. Farten är radien gånger inkelhastigheten: = r ; = r stånden r och r motsarar sidorna i triangeln. Hastighetsförhållandet kan bestämmas med hjälp a sinussatsen för triangeln : π sin r r cos = = = = r r π cosϕ sin ϕ Lösningen fås mycket enklare om man inser att projektionen a de tå hastigheterna och på skians riktning måste ara lika om skian är stel: e = e cos = cosϕ L.0 Inlämningsuppgift på T just nu L.1 Lösning finns i boken

11 L. D E Ω D E R O ntag att inkelhastigheten är moturs. unkten har en cirkelrörelse kring O: = ( R+ r) unkten E har också en cirkelrörelse kring O: E = R Ω Eftersom rullning förutsätts är hastigheten i D och E lika: D = E Sambandsformeln för hastigheter = + r kan projiceras på tangentialriktningen snett neråt: D D = + r = D + r D = ( R+ r) + RΩ r R = + + Ω r L.3 Tyngdens hastighet uppåt måste ara lika stor som handens hastighetskomponent i den öre tråddelens riktning. estäm alltså hastigheten i och projicera den på trådens riktning där. Med ett koordinatsystem med x-axeln åt höger och y-axeln uppåt fås = b e y Sambandsformeln för hastigheter = + r ger = b e + c e eller y = b e + c sine + cose y x y rojicera denna hastighet i trådens riktning som kallas e. Då gäller sambanden (Här kräs förstås en tydlig figur.) e x e = cos( π ϕ)= cosϕ e y e = cos π ϕ = sin ϕ e= b e e+ c sine e+ cose e y x y e= b sinϕ + c sincosϕ + cossinϕ Tyngdens fart uppåt är e= b sinϕ + c sin + ϕ

12 L.4 Inlämningsuppgift på T just nu ϕ Ω b unkten har en cirkelrörelse kring O: d bsinϕ csin O c Sambandsformeln för hastigheter = + r b) kan projiceras på den horisontella och ertikala riktningen. ntag att inkelhastigheten för är Ω moturs. c) Drag konstruktionslinjer inkelrätt mot hastighetsektorerna i och genom deras fotpunkter. unkten är d) Hastigheten fås antingen ur (1) eller med hjälp a momentancentrum. ser ju ut att ha en cirkelrörelse kring.

13 L.5 Lägg in ett koordinatsystem med x-axeln åt höger och y-axeln uppåt. unkten har en cirkelrörelse kring O: = b e = b cos e sine O O x y Sambandsformeln för hastigheter = + r kan projiceras på den horisontella och ertikala riktningen. Om hastigheten för är horisontell måste det äen gälla, annars förändras längden a stången. : = b cos + 0 O : 0 = b sin c O b = sin c O Sambandsformeln för hastigheter = + r : = b cos + d O L.6 ntag att bakhjulet har inkelhastigheten och kedjekransen eller pedalarmen inkelhastigheten Ω. entrumpunkten på hjulet har hastigheten. Den punkt på hjulet som råkar ara i kontakt med ägen har hastigheten noll och är momentancentrum. Detta kan utnyttjas för att bestämma inkelhastigheten: = R = R Varje länk på kedjan har samma hastighet i kedjans riktning. Om kuggkransen och kedjekransen har radien r 1 respektie r gäller alltså att periferihastigheterna måste ara lika: r = rω 1 Kuggkransen har ju samma inkelhastighet som bakhjulet. Men antalet kuggar är proportionellt mot omkretsen, ds radien. Ω= r 1 r Ω= N 1 N Ω= N 1 NR

14 L.7 I issa fall kan det ara enklast att ställa upp koordinaten för punkten i fråga och tidsderiera för att få hastigheten. y = b sin + c b sin sin 1 y = b + 1 c b sin b sin cos ( ) cos y = b b + 1 c b sin sin L.8 1 Q O Ω unkten är den yttre lagerringens momentancentrum. ntag att motsarande inkelhastighet är 1 = 5r 1 (1) unkten tillhör samma ring = 9 r 1 () Ek (1) och () ger = 9 5 (3) Sambandsformeln för hastigheter för den inre lagerringen = O +Ω ro : = + rω (4) Sambandsformeln för hastigheter för kulan = + r (5) Q Q Men eftersom kulan rullar mot äggarna i och Q är hastigheterna i och samt och Q lika. Insättning i (5) ger : = r (6) Insättning a (3) och (4) ger då L.9 9 = + rω r = Ω 5 5r Inlämningsuppgift på T just nu

15 L.30 unkten har en cirkelrörelse kring O: b (1) = O b G b/ G Hastigheten i är känd. Konstruera momentancentrum för kroppen med räta linjer inkelräta mot hastighetsektorerna i och. Momentant ser alltså både och ut att ha en cirkelrörelse kring. Vinkelhastigheten för är densamma som för O eftersom de bildar lika stor inkel med ertikalen. = r = r = bcos () Mittpunkten G ser också ut att ha en cirkelrörelse kring. Farten bestäms som G = r G. ståndet bestäms t ex med cosinussatsen för triangeln G G b b = ( b ) + cos b cos cos bcos = 8cos cos L.31 b O b Q unkten har en cirkelrörelse kring O. Hastighetsriktningen är inkelrät mot stången O och = b (1) b Hastighetsriktningen i punkten är känd. kan ju inte ha någon hastighetskomposant in mot hörnet. Konstruera momentancentrum för kroppen med räta linjer inkelräta mot hastighetsektorerna i och. Momentant ser alltså både och ut att ha en cirkelrörelse kring. Geometrin ger att inkeln O är lika med inkeln O. Då är också inklarna O och O lika och lika med. Triangeln O är därför likbent och i får med momentancentrum = b b = b = / = bcos b cos =