undanträngda luften vilket motsvarar Flyft kraft skall först användas för att lyfta samma volym helium samt ballongens tyngd.

Transkript

1 FYSIKTÄVLINGEN Finalen - teori 1 maj 001 LÖSNINGSFÖRSLAG SVENSKA FYSIKERSAMFUNDET 1 Vi beräknar först lyftkraften för en ballong Antag att ballongen är sfärisk med diametern 4πr 4π 0,15 0 cm Den har då volymen V = = 0,014 m Lyftkraften är tyngden av den undanträngda luften vilket motsvarar Flyft = mg = ρ Vg 1,9 0,014 9,8 N 0,18 N Denna kraft skall först användas för att lyfta samma volym helium samt ballongens tyngd Heliumgasen i ballongen har tyngden Fhelium = ρ Vg 0,18 0,014 9,8 N 0,0 N Om vi antar att ballongen väger g och alltså har tyngden 0,0 N blir den återstående lyftkraften 0,14 N Denna lyftkraft kan användas för att lyfta en erson Om vi antar att ersonen väger 70 kg 700 d v s har tyngden 700 N behövs alltså 5000 ballonger 0,14 Svar: Med de angivna villkoren skulle det behövas ballonger för att lyfta en erson som väger 70 kg Aktiviteten för en nuklid ges av sambandet ½ dn dt λt = λn 0 e där sönderfallskonstanten ln λ = och T ½ är halveringstiden Eftersom de aktuella halveringstiderna är långa (λ<<1) T t gäller e λ dn ln 10 1 för korta tider Detta ger λ N 0 = N A (Bq/g) dt T½ A där är den rocentuella förekomsten A är atomvikten och N A är Avogadros tal Tabellen nedan visar resultaten för de ingående nukliderna Naturligt uran Utarmat uran Isoto Procentuell del (%) Aktivitet/(Bq/g) Isoto Procentuell del (%) Aktivitet/(Bq/g) 8 U 99,745 1,4 8 U 99,8000 1,4 5 U 0,700 0,58 5 U 0,000 0,16 4 U 0,0055 1,7 4 U 0,0010, Total aktivitet 5,7 Total aktivitet 14,9 Svar: Aktiviteten från 1 g naturligt uran är 6 Bq/g och från 1 g utarmat uran är den 15 Bq/g Aktiviteten minskar alltså med 4 %

2 Kirchhoffs andra lag ger eu U + 1 I kt s e 1 = V Denna ekvation kan inte lösas algebraiskt Sätt in givna värden å I s och T samt konstanterna e och k Rita vänsterledet och högerledet med hjäl av en grafisk räknare och bestäm det värde å U för vilket likhet inträffar Av diagrammet framgår att lösningen till ekvationen ovan är U = 0,179 V vilket alltså är den sökta sänningen över dioden Svar Sänningen över dioden är 0,179 V 4 Lägesenergin ges av avståndsskillnaden mellan det högsta och lägsta läget i y-t-diagrammet h = ( 0,71 0,48) m = 0, m Det motsvarar en lägesenergi W ot = mgh = 0,48 9,8 0, J = 0,989 J i den högsta unkten Hastigheten i den lägsta unkten ges av v-t-diagrammet till 0,1 m/s 0,48 0,1 Den kinetiska translationsenergin ges av W kin = mv = J 0,00 J Energirincien ger då rotationsenergin W rot = (0,989 0,00) J = 0,986 J v 0,1 Hjulets vinkelhastighet ω ges av sambandet ω = = rad/s = 40 rad/s eftersom r 0,00 axelradien är,0 mm Iω Vi använder sedan det givna sambandet W rot = för att beräkna Wrot 0,986 I = = kg m 1, 10 kg m ω 40 Svar: Hjulets rotationsenergi är 0,99 J och det har vinkelhastigheten 40 rad/s Hjulets tröghetsmoment är 1, 10 - kg m 5 Rörelsen nedför det lutande lanet är likformigt accelererad Det betyder att tiden kan beräknas med hjäl av medelhastigheten Vi bestämmer därför sträckan AB och sluthastigheten i unkten B med hjäl av energirincien Vi använder därvid att vinkeln COB är lika med vinkeln mellan tangenten i unkten B och kordan AB enligt sambandet mellan medelunktsvinklar och bågvinklar

3 mvb Hastigheten i B fås ur sambandet = mgh som ger vb = gh Ur figuren ovan får vi h = AB sinθ = BCsinθ = r sinθ sinθ = r sin θ som ger vb = g r sin θ = sinθ rg och vmedel = sinθ rg Sträckan AB = r sinθ AB r sinθ r Detta ger då t = = = vilket visar att det inte finns någon kortaste tid vmedel rg sinθ g Tiden är oberoende av vinkeln θ Svar: Tiden är oberoende av vinkeln θ 6 Var och en av de tre salterna bidrar med en vektor som är fasförskjuten vinkeln θ i förhållande till grannen De tre vektorerna med den inbördes fasskillnaden θ adderas i koordinatform Den resulterande amlituden i x-led blir då Den resulterande amlituden i y-led blir då R x = A + A cosθ + A cos θ R y = A sinθ + A sin θ Den resulterande intensiteten blir då = A ( 1+ cosθ + cos θ ) + (sinθ + sin θ ) ) I R Grafen till detta uttryck visas också nedan Det ukommer ett så kallat sekundärmaximum mellan de stora toarna De stora toarna har intensiteten ( A ) = 9A medan sekundärmaxima får intensiteten ( A ) = A Under grafen illustreras några intressanta vektorlägen

4 Svar: Intensiteten som funktion av vinkeln ges av uttrycket = A ( 1+ cosθ + cos θ ) + (sinθ + sin θ ) I R ( ) 7 Reaktionskraften som bromsar kulan är resultanten till normalkraften N och friktionskraften f Antag normalkraften N har hävarmen d relativt masscentrum Friktionskraften f har hävarmen R Om s betecknar inbromsningssträckan och t inbromsningstiden å det horisontella lanet fås sambanden f = ma at s s = a = t a Nd fr = Iα = mr = mra 5 R 5 N = mg 14Rs Dessa samband ger d = 5gt Om lanet lutas vinkeln β komenseras inbromsningen Det bromsande kraftmomentet blir noll och accelerationen blir noll (Det betyder att resultanten till N och f är riktad genom kulans medelunkt N och f är ej ritade skalenligt i figuren) Dessa villkor ger sambanden: f mg sin β = 0 Nd fr = 0 mg cos β d fr = 0 d 14Rs 14s 14 0,15 Detta ger tan β = = = = 0, 0067 vilket ger β = 0, 15 R R5gt 5gt 5 9,8 4 Svar: Planets lutningsvinkeln skall vara 0,15

5 8 Jorden och motjorden kommer att ha olika hastigheter eftersom avstånden till centralkroen är olika Enligt Kelers andra lag gäller med figurens beteckningar om tiden t är den sökta tiden t v t va AB CD t v r = t va ra r = ra r = ra α r = β ra r r r r α ra = β 1, 069β r a a Då siktlinjen mellan jorden och motjorden tangerar solskivan blir motjorden synlig från jorden Vinkeln BSD blir då π-α+β SE SE Vinklarna γ och δ beräknas nu ur sambanden γ = resektive δ = där SE är r ra solskivans radie m och r= m och ra= m Detta ger γ=0,0047 rad och δ=0,00458 rad Då kan vinkeln BSD även uttryckas som π- γ - δ Då gäller π-α+β= π-γ -δ dvs α-β= γ+δ =(0,0047+0,00458) rad=0,0091 rad Vi har då ekvationssystemet α β = 0,0091 α = 1,069β som har lösningen α 0,144 rad och β 0,15 rad dvs α β 0,14 rad α π Vi utnyttjar till sist = - likformighet mellan vinkel och tid Detta ger t α 65 0,14 t = 8,1 dygn π π Svar: Det dröjer 8,1 dygn innan motjorden blir synlig