Experimentella metoder 2013, Räkneövning 3

Transkript

1 Experimentella metoder 2013, Räkneövning 3 Problem 1: Fem studenter mätte längden av ett rum, deras resultat blev 3,30 m, 2,90 m, 3,70 m, 3,50 m, och 3,10 m. Inga uppgifter om mätnoggrannheten är kända. Uppskatta sannolikheten att resultatet skulle bli 4,00 m eller större om vi lät en sjätte student mäta samma rum. Problem 2: När vågor närmar sig stranden är deras hastighet beroende av tyngdaccelerationen, vattendjupet samt en dimensionslös konstant. Bestäm genom dimensionsanalys hur detta samband ser ut.(del av tentamensuppgift, 12 maj 2001) Problem 3: Om parallellt ljus faller in mot en skärm med ett litet cirkulärt hål uppstår ett mönster av omväxlande ljusa och mörka ringar bakom skärmen, ett s.k. diffraktionsmönster (se figur). För den första mörka ringen gäller att λ = b sin θ där λ är ljusets våglängd, b är den cirkulära öppningens diameter och θ är vinkeln mellan normalen till skärmen och riktningen mot den första mörka ringen. För att bestämma våglängden hos en laser lät man ljus från den falla in mot en skärm där man satte in ett antal cirkulära öppningar med olika diameter. Man mätte denna diameter i ett mikroskop, och vinkelavböjningen från normalriktningen mot den första mörka ringen, och fick följande resultat: b(µm) θ(mrad) 5,8 6,0 8,9 11,3 13,1 Hålets diameter är bestämd med en noggrannhet om 5 µm och avböjningsvinkeln är bestämd med en noggrannhet om 1 mrad. Bestäm ljusets våglängd (med osäkerhet). (Tentamensuppgift 12 maj 2006)

2 Problem 4: Världens befolkning sägs ofta öka exponentiellt. En uppskattning från FN av jordens befolkning i miljarder människor vid olika tidpunkter visas i tabellen: År befolkning Vid vilken tidpunkt kan man förvänta sig att jordens befolkning uppgår till 7 miljarder invånare? För denna uppskattning behövs ingen feluppskattning. (Tentamensproblem 17 juni 2003) Problem 5: Vid en laboration i fysik bestämdes tyngdaccelerationen genom ett pendelförsök. Beräkningen av g ur det experimentella resultatet beror på en approximation som är giltig endast för små vinklar. Därför bestämdes g vid ett antal olika utslagsvinklar α. Resultaten redovisas i tabellen nedan. α ( ) g (m/s 2 ) g (m/s 2 ) 5 9,87 0, ,93 0, ,95 0, ,04 0, ,14 0,04 Därefter gjorde man en linjär extrapolation ned till α = 0 genom att anpassa en rät linje, g = g 0 + Kα, till de mätta punkterna. Anpassningen gav ( ) ( ) g0 9,80 m = s 2 K 0,012 m s 2 med variansmatrisen ( 4 m2 5,94 10 s 4 5 m2 3, m2 3,54 10 s 4 s 2,58 10 ( 6 m 4 s 2 ) 2 Ange det uppskattade värdet på g vid vinkelutslag noll grader med en uppskattning av osäkerheten. Använd de anpassade parametrarna för att ge en förutsägelse, med osäkerhet, för vilket värde på g som skulle mätas vid vinkeln 30 grader. Tentamensuppgift, ) 2

3 Problem 1, lösning: Vi antar att mätningarna är normalfördelade, och uppskattar parametrarna hos fördelningen från de givna mätresultaten. Detta ger µ = x = 3,300 m σ = s = 0,316 m Värdet 4,0 m skulle då svara mot 4,00 3,30 0,316 σ = 2,214σ. Interpolation i tabell A i Taylor ger sannolikheten 1,34 % (för en avvikelse uppåt), vilket vi avrundar till 1%. Problem 2, lösning: Om vi kallar djupet för h kan vi ansätta v = Kg α h β där K är dimensionslös. För dimensionen längd får vi och för tid Detta ger ekvationssystemet m 1 = m α m β, s 1 = s 2α. 1 = α + β 1 = 2α med lösningen α = 1 2, β = 1 2. Det sökta uttrycket för våghastigheten är alltså v = K gh. Egentligen är det lite slarvigt att använda enhetsymboler (t.ex. m) för att beteckna dimensioner (t.ex. längd). Vi kunde istället använda hakparenteser för att beteckna dimensionen av en storhet och skriva [m] 1 = [m] α [m] β. (En meter är ju en längd, liksom t.ex. en tum eller en millimeter: [m] = [ ] = [mm].) Eller också kunde vi införa en särskild beteckning för varje dimension, t.ex. L för längd (L = [m]) och skriva L 1 = L α L β. Problem 3, lösning: För vart och ett av de fem försöken beräknar vi våglängden λ. Osäkerheten ( ) 2 ( ) 2 λ ges av σ λ = b σ b + λ θ σ θ = sin 2 θσb 2 + b2 cos 2 θσθ 2. Vi beräknar ett viktat medelvärde för de fem mätningarna λ (m) σ λ (m) w (m 2 ) wλ (m 1 ) 5, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , summa 8, ,

4 Det viktade medelvärdet blir λ wa = wi λ i wi = 5, m, och felet i det blir σ wa = 1 wi = 3, m Slutresultatet för våglängden blir alltså λ = (510 ± 40) nm Problem 4, lösning: Vi logaritmerar så att vi kan anpassa en rät linje till logaritmen av folkmängden som en funktion av tiden. För att undvika onödigt stora tal börjar vi tideräkningen år Tid/år (= x) Folkmängd/10 9 (= F ) ln(f ) = y xy x ,693 18, ,099 65, , , , , , , Summa , , Vi kan nu använda formlerna för en anpassning till en rät linje: a = 1 ( wx 2 wy wx ) wxy b = 1 ( ) w wxy wx wy = w ( ) 2 wx 2 wx Vi ger samma vikt till var och en av punkterna eftersom inga fel var givna eller efterfrågades. Vi väljer lämpligen w = 1, så att w = 5, wx = 347 etc. Detta ger a = 0,2384, b = 0,0155. Löser vi ut x får vi och med y = ln 7 får vi x = 110,0. Svar: År 2010 x = y a b, 4

5 Problem 5, lösning: Det uppskattade värdet vid α = 0 ges av interceptet med y-axeln, dvs 9,80 ms 2. I variansmatrisen ges variansen av denna storhet av V 11, det första elementet på diagonalen. Felet blir alltså σ = 5, = 0,024 m/s 2, och resultatet för tyngdaccelerationen blir g = (9,80 ± 0,02) m/s 2 Mätvärdet vid α = 30 uppskattas som 9,80 + 0, = 10,16 ms 2. För att uppskatta osäkerheten använder vi den kompletta felfortplantningsformeln: ( ) 2 ( ) 2 σ g30 = σa a 2 + σb 2 b + 2 g 30 cov(a, b), a b som i detta fall ger σ g30 = 5, , , = 0,03 m/s 2 Den bästa förutsägelsen för vilket g som skulle mätas vid 30 graders vinkel blir då g 30 = (10,16 ± 0,03) m/s 2 5