Experimentella metoder 2014, Räkneövning 5

Transkript

1 Expermentella metoder 04, Räkneövnng 5 Problem : Två stokastska varabler, x och y, är defnerade som x = u + z y = v + z, där u, v och z är tre oberoende stokastska varabler med varanserna σ u, σ v och σ z. Bestäm varansmatrsen för x och y. Problem : Enlgt en teor nom samhällsvetenskap råder ett lnjärt samband mellan folkmängden ett land och dess huvudstad. Naturlgtvs är nte sambandet helt exakt, men de som uppfunnt modellen hävdar att den stämmer på to procent när. I tabellen redovsas folkmängden de nordska länderna, samt deras respektve huvudstäder (huvudkommunen. Island Reykjavk Norge Oslo Fnland Helsngfors Danmark Köpenhamn Sverge Stockholm Testa hypotesen att antalet nvånare huvudstaden är en lnjär funkton av antalet nvånare landet. För att uppfylla upphovsmännens krterum på to procent när ansätter v en osäkerhet om folkmängden huvudstäderna om 0%. Tentamensuppgft, Problem 3: I EM-slutspelet fotboll 004 slutade de 4 gruppspelsmatcherna på följande sätt: Grupp A Grupp B Portugal Grekland Schwez Kroaten 0 0 Spanen Ryssland 0 Frankrke England Grekland Spanen England Schwez 3 0 Ryssland Portugal 0 Kroaten Frankrke Spanen Portugal 0 Kroaten England 4 Ryssland Grekland Schwez Frankrke 3 Grupp C Grupp D Danmark Italen 0 0 Tjecken Lettland Sverge Bulgaren 5 0 Tyskland Nederländerna Bulgaren Danmark 0 Lettland Tyskland 0 0 Italen Sverge Nederländerna Tjecken 3 Italen Bulgaren Nederländerna Lettland 3 0 Danmark Sverge Tyskland Tjecken Undersök om antalet mål lagen gjorde en match kan anses vara possonfördelat. Lednng: Varje match bdrar med två värden. Tentamensuppgft,

2 Problem 4: Ett antal mätpunkter y antas kunna beskrvas som en lnjär funkton av x: f(x = A+Bx. Om osäkerheten x är försumbar kan parametrarna A och B bestämmas genom en ovktad anpassnng på normalt sätt även om osäkerheten y är okänd, om v antar att σ y är densamma för alla y. Antag att mätvärdena y är normalfördelade, och vsa att den uppskattnng av σ y som Maxmum Lkelhood metoden ger är σ y = (y A Bx N där A och B betecknar de sanna värdena på parametrarna. Tentamensuppgft, Problem 5: För att bestämma våglängden hos ljuset från en urladdnng konstrueras en spektrometer som avläses genom ett okular. Från precsonen med vlken apparaten konstruerats uppskattas att den ger upphov tll ett systematskt fel på, nm våglängden. Man mäter fyra gånger (avläsnngen är lte besvärlg och får värdena 56,8 nm, 567,4 nm, 55, nm, 555,4 nm. Man vll nu göra flera mätnngar för att öka precsonen. Ange ett lämplgt antal mätnngar, och motvera dtt val. Tentamensuppgft,

3 Problem, lösnng: Vanlg felpropagerng av oberoende fel ger varansen av x som σ x = σ u + σ z, och varansen av y som σ y = σ v + σ z. Kovaransen av x och y ges av förväntansvärdet cov(x, y = E[(x µ x (y µ y ], där medelvärdena är µ x = µ u + µ z och µ y = µ v + µ z. Om v nför δ z = z µ z, och motsvarande för övrga varabler, får v att cov(x, y = E[(u + z µ u µ z (v + z µ v µ z ] = E[(δ u + δ z (δ v + δ z ] = Eftersom u, v och z är oberoende blr alltså E[δ u δ v +δ u δ z +δ z δ v +δ z] = cov(u, v+cov(u, z+cov(z, v+σ z. cov(x, y = σ z Den efterfrågade kovaransmatrsen är alltså ( σ V = u + σz σz σz σv + σz Problem, lösnng: V anpassar data tll en rät lnje för att fnna parametrarna för teorn. Därefter gör v ett χ -test för att kontrollera om teorn verkar stämma. V använder enheten mljoner nvånare landet, och nvånare huvudstaden, vlket ger följande tabell: Land x y σ y w = σ wx wy wxy wx y (nv. (nv. huvudstad Island 0,7,08 0, 85,73 3,5 9,59 5,00 6,5 Norge 4,40 5,0 0,50 3,97 7,46 9,9 87,65 76,8 Fnland 5,0 5,39 0,54 3,44 7,90 8,55 96,47 93,07 Danmark 5,9 6,49 0,65,37,56 5,4 8,5 66,44 Sverge 8,85 7,36 0,74,85 6,34 3,59 0,4 44,59 Summa 94,36 87,40 60,06 40,88 387,7 V använder sedan formlerna (ur formelsamlng för anpassnng tll en rät lnje, a = ( wx wy wx wxy b = vlket ger a = 0,867 och b = 0,866, dvs. ( w wxy wx wy = w wx ( wx, y = 0, ,866x. V kan nu bestämma teorns förutsägelser för folkmängderna huvudstäderna och beräkna bdragen, χ, tll χ -summan: 3

4 Land x y teor y mätt χ Island 0,7,0,08 0,04 Norge 4,40 4,68 5,0 0,47 Fnland 5,0 5,37 5,39 0,00 Danmark 5,9 5,45 6,49,59 Sverge 8,85 8,53 7,36,5 Summa 5,6 V har fem mätnngar, men har bestämt två parametrar ur data, återstår tre effektva frhetsgrader. Den reducerade χ -summan är alltså χ = 5,6 3 =,87. Enlgt appendx D Taylor är p-värdet lka med 4% för χ =,8 och % för χ =,0. V nterpolerar och får p = 0,4 +,87,8 (0, 0,4 = 3%,0,8 Det går knappast att hävda att dessa data motbevsar modellen. Problem 3, lösnng: V gör ett ch-kvadrat test för antagandet att antalet mål är possonfördelat. Först sammnfattar v resultaten en tabell där n ν är antalet gånger ett lag gjort ν mål: ν n ν n ν ν Summa V uppskattar medelvärdet för possonfördelnngen som totala antalet mål dvderat med antalet försök, dvs dubbla antalet matcher: µ 64/48 =,33. Det förväntade antalet gånger ett lag gjort ν mål, om ν är possonfördelat, är f ν = 48 P (ν µ =,33. V bnnar data så att ngen bn har färre än fyra förekomster och beräknar förväntat antal och bdraget tll χ : Bn (k Antal mål (ν Observerat (O k Förväntat (E k χ 0 3,7 0,0 5 6,9 0, 3 4, 0,67 4 > 6 7, 0, Summa 48,0 4

5 Här är χ = (O k E k E k, där O k är är antalet utfall bn k: O = n 0, O = n, O 3 = n, O 4 = n 3 + n 4 + n 5. På lknande sätt är E k det förväntade antalet utfall bn k: E = f 0, E = f, E 3 = f, E 4 = k>3 f k. V betraktar alltså O k som oberoende possonfördelade varabler med medelvärden E k. Ch-kvadratsumman blr,0 för två frhetsgrader (v har beräknat µ och totala antalet försök från data, dvs vårt reducerade ch-kvadratvärde blr χ = 0,55 Enlgt tabell D Taylor är ch-kvadratsannolkheten för detta ca 60%. Fördelnngen är alltså väl förenlg med hypotesen att antalet mål är possonfördelat. Problem 4, lösnng: Inför funktonsvärdena f = A + Bx. Lkelhoodfunktonen blr L = ( ( e y f σ = πσ (π N/ σ N e σ (y f. V derverar med avseende på σ: dl dσ = N σ(π N/ σ N e σ (y f + (π N/ σ N ( σ 3 (y f e σ (y f. Sätter v dervatan tll noll får v N σ(π N/ σ + N (π N/ σ N ( σ 3 (y f = 0 och Nσ + (y f = 0. Alltså blr σ = vlket är det sökta sambandet N (y f, Det är naturlgt att anta att heltalsvarabler är possonfördelade, men detta fall är de faktskt multnomalt fördelade med det totala antalet utfall N = 48. De är alltså nte oberoende. Om antalet försök vore possonfördelat stället för fxerat tll 48 hade v emellertd fått oberoende possonfördelnngar de olka bnnarna. V kan låtsas att v har den stuatonen, det spelar ju ngen roll för vårt test om 48 kom ur en possonfördelnng eller var fxt. Om v skulle utnyttja multnomalstatstk stället skulle v nte förlora någon frhetsgrad på att bestämma totala antalet, men χ -beräknngen blr besvärlg eftersom bnnarna är korrelerade. Om A och B bestäms från mätpunkterna underskattar denna formel systematskt σ. 5

6 Problem 5, lösnng: Om det statstska felet är mndre än det systematska kommer v nte att vnna särsklt mycket på att förbättra den statstska precsonen ytterlgare eftersom det systematska felet kommer att domnera. Standardavvkelsen en mätnng, uppskattad från de fyra värden är σ λ = 7, nm. V tänker oss nu att v gör N stycken mätnngar, så att medelvärdets standardavvkelse, Detta ger att ( 7, N = 36., σ λ N =, nm. Eftersom v redan gjort fyra mätnngar krävs det ytterlgare 3 för att uppnå detta. Krteret är dock nte absolut, v skulle kunna välja att göra 36 mätnngar tll, eller kanske 40. 6