Tentamen i Tillämpad matematisk statistik för MI3 och EPI2 den 15 december 2010

Transkript

1 Tentamen Tllämpad matematsk statstk för MI och EPI den december Uppgft : Ett företag som tllverkar batterer av en vss typ har tllverknng förlagd tll två olka fabrker. Fabrk A står för 7% av tllverknngen och fabrk B för %. Man vet att ett batter från fabrk A har % sannolkhet att räcka längre än drftstmmar. Motsvarande sannolkhet för batterer från fabrk B är 8%. a) Fyll ovanstående värden en fyrfältstabell. b) Vad är sannolkheten att ett batter som tas på måfå ur lagret skall räcka längre än drftstmmar? c) Man tar ett batter ur lagret på måfå. Man fnner att det räcker längre än drftstmmar. Vad är sannolkheten att det är tllverkat fabrk A? Uppgft : Antal brandlarm under ett dygn vd en vss brandstaton kan antas vara Possonfördelat med parametern =.. a) Hur stor är sannolkheten att det blr fler än larm på ett dygn? b) Hur stor är sannolkheten att det under en dygns perod skulle komma fler än larm? Uppgft : Vd en kvaltetskontroll av säkrngar upptäcker man att antal säkrngar som går sönder nom en vss tdsperod kan beskrvas av en Possonprocess med genomsntt trasg säkrng på tmmar. a) Vad är sannolkheten att en sådan säkrng har en lvslängd som överstger tmmar? b) Anta att man kontrollerar stycken sådana säkrngar. Vad är sannolkheten att exakt av dem har en lvslängd som överstger tmmar? Uppgft : Man gjorde mätnngar på en lösnngs fryspunkt och fck följande resultat: Bestäm ett %-gt konfdensntervall för fryspunkten om mätnngarna är normalfördelade och om a) b) =.7 är känd förväg. är okänd och uppskattas med s.

2 Uppgft : Temperatur, fuktghet och belysnngens våglängd är faktorer som påverkar en vss lvsmedelsprodukts hållbarhet. Vd ett tllfälle genomfördes ett -faktor försök för att ta reda på hur påverkan såg ut. De faktorer respektve nvåer som användes var: + T: temperatur - o C 6 o C F: fuktghet % 8% V: belysnngens våglängd nm 6nm Resultatvarabeln, y, valdes som antal veckor. Resultatet av försöken blev enlgt följande: Följande effekter beräknades: T F V Resultat, y T =.7 F =.7 V =. TF =. a) Den ansvarge personen för söken blev uppmanad att beskrva för en kund hur belysnngens våglängd påverkade hållbarheten. Hur bör han förklara V för en kund som nte kan någontng om försöksplanerng? Observera att kunden är stort behov av att förstå detta för att kunna lagra sna produkter på ett optmalt sätt. b) Beräkna de resterande huvud- och samspelseffekterna. c) Rta n ett av de största samspelen en samspelsgraf. d) Rta n resultaten, y, en kub. (8 poäng) Uppgft 6: Man planerar att göra ett 6- reducerat faktorförsök. Föreslå vlka generatorer man bör använda. a) Ange defnerande relatonerna och upplösnngen som du får när du använder de generatorer som du har föreslagt. b) Ange vlka alas som faktor B kommer att få.

3 Uppgft 7: Bearbetnngen av ett vsst mått studerades med hjälp av x -dagram och R-dagram. Resultatet av provgrupper om vardera enheter anges nedan den ordnng enheterna tllverkades: Tllfälle 6 7 x R Tllfälle 8 x R Tllfälle x R Beräkna kontrollgränser ett x -dagram och ett R-dagram och avgör om processen är under statstsk kontroll eller ej. Uppgft 8: Vd studet av antalet, N, belastnngscykler före utmattnngsbrott hos en maskndetalj fck man följande resultat för lg N vd gven påkännng. lg N Frekvens. < x.. < x.. < x.. < x. 8. < x.. < x < x < x < x < x 8. a) Anta att toleransen är ±. Använd blanketten för duglghetstest som bfogas tentamenstesen för att beräkna duglghetsndex, C p, och korrgerat duglghetsndex, C pk. b) Är detta en bra tllverknngsprocess? Använd värdena på C p och C pk för att motvera dtt svar.

4 Lösnngar tll Tllämpad matematsk statstk den dec Uppgft : A = batter är tllverkat fabrk A A C = batter är tllverkat fabrk B C = ett batter räcker längre än drftstmmar. P(A) =.7 P(A C ) =. P(C A) =. P(C A C ) =.8 a) P(A C) = P(C A) P(A) =..7 =.66 A A C C.66.. C C b) P(C) =. P(A C C) = P(C A C ) P(A C ) =.8. =. c) P(A C) = P(A C) P(C) Uppgft : = antal larm/ dygn = Po ( =.) a) P( > ) = P( ) = e -.. (!.8 =..!.! ) b) = antal larm/ dygn = Po ( =. =.6) Eftersom =.6 > kan v använda normalapproxmaton dvs är ungefär N(, ) = N(.6,. 6 ) P( ) = P( ) = P(Z <. = ) = P(Z <.8) Uppgft : = lvslängden hos en vss typ av säkrng f(x) =.e.x för x för x d.v.s. är Exponentalfördelad med =. uppgft fortsätter på nästa sda

5 Fortsättnng uppgft : a) P( > ) = P( < ) = ( e -. ) = e -. b) = antal säkrngar vars lvslängd överstger tmmar = Bn(n, p) = Bn(,.) P( = ) =. (.).8 Uppgft : x = 6. x =. n = df = x. s =. 7 a) b) x z n x t s n [.68,. ] [.,. ] Uppgft : a) Om man lagrar lvsmedlet belysnng med våglängden 6nm så ökar man lvsmedlets hållbarhet med. veckor jämför med om man lagrar lvsmedlet belysnng med våglängden nm. b) TV = 8 =. FV = 8 =. TFV = 8 =. c) Samspelsgrafen för samspelet TF rtas n punkterna T - F - = T + F - = = T - F + = =. T + F + = 8 = 8. =

6 d) Resultaten av försöken skrvs n kubens hörncrklar. + F B - 8 V - C - T A + + Uppgft 6: Man skall alltså genomföra ett 6- försök generatorer: D = AB E = AC F = BC a) defnerande relatoner: I = ABD I = ACE I = BCF I = I I = ABD ACE = BCDE I = I I = ABD BCF = ACDF I 6 = I I = ACE BCF = ABEF I 7 = I I I = ABD ACE BCF = DEF Upplösnngen = III b) faktorn B får följande alas: B I = B ABD = AD B I = B ACE = ABCE B I = B BCF = CF B I = B BCDE = CDE B I = B ACDF = ABCDF B I 6 = B ABEF = AEF B I 7 = B DEF = BDEF B B + AD + CF + CDE + AEF + ABCD + BDEF + ABCDF

7 Uppgft 7: x ( ) =.8867 R ( ) =. n = A =.77, D = och D =. Kontrollgränser för x -dagrammet: K ö = x + A R = =.88 CL = x K u = x A R = =.86 Kontrollgränser för R-dagrammet: K ö = D R =.. =.6 CL = R =. K u = D R = Processen är under statstsk kontroll eftersom alla punkter lgger mellan kontrollgränserna båda dagrammen Uppgft 8: blanketten får man att. och 6 Detta ger värdena C p =.67 och C pk =.. Processen är mycket bra. C p =.67 vsar att måttet på de enheter som tllverkas har lten sprdnng. C pk =. lgger ganska nära värdet på C p vlket betyder att processen är ganska bra centrerad.