ETE115 Ellära och elektronik, tentamen oktober 2007

Transkript

1 (0) 9 oktober 007 Insttutonen för elektro- och nformatonsteknk Danel Sjöberg ETE5 Ellära och elektronk, tentamen oktober 007 Tllåtna hjälpmedel: formelsamlng kretsteor. Observera att uppgfterna nte är sorterade svårghetsordnng. Beräkna strömmen nedanstående krets. v α v I en MOSFET kan mängden av laddnngsbärare under gaten varera med avståndet z mellan dran och source. Detta kan beskrvas med en z-beroende lednngsförmåga, σ(z) = σ 0 ( αz) där σ 0 och α är parametrar som kan styras med hjälp av baserngen av transstorn. Beräkna resstansen mellan dran och source för en transstor där kanalen har bredd W och längd l. Antag att tjockleken på kanalen är d, oberoende av z. Postadress Box 8, 00 LUND Besöksadress Ole ömers väg 3, Lund Leveransadress Ole ömers väg 3, 3 63 LUND Internpost Hämtställe 7 Telefon växel Fax E-post Internet

2 (0) 3 v(t) v (t) Spännngen v(t) ovanstående krets ges av 0 t < 0 v(t) = V 0 0 < t < T 0 t > T a) Beräkna spännngen v (t) för alla t. b) Skssa spännngarna v(t) och v (t) samma dagram det fall att T. 4 En antenn kan modelleras med en sereresonanskrets, med kretsparametrar, och L. Antennen fungerar som bäst vd sn resonansfrekvens, dvs då dess mpedans är rent resstv. En sgnal vd denna frekvens genereras av en generator med nre resstans, men eftersom denna vanlgtvs nte är lka med antennens mpedans fås nte maxmal effektöverförng. För att råda bot på detta, kan man koppla hop generator och antenn va en transmssonslednng enlgt nedan: V n z = 0 Z 0 z = l L generator transmssonslednng antenn Transmssonslednngen har karakterstsk mpedans Z 0 och vågutbrednngshastghet c. Dess längd ska vara en kvarts våglängd vd arbetsfrekvensen, dvs l = λ/4, där λ bestäms av antennens resonansfrekvens. a) Hur lång är lednngen uttryckt parametrar som,, L, Z 0 och c (nte nödvändgtvs alla)? b) Vlken karakterstsk mpedans bör transmssonslednngen ha för att uppnå maxmal effektöverförng?

3 3(0) 5 Nedanstående krets är ett sätt att realsera ett andra ordnngens flter. V n V ut In- och utsgnaler är tdsharmonska med komplexa ampltuder V n och V ut. Du kan förutsätta att den negatva återkopplngen är tllräcklg för att operatonsförstärkaren ska hålla sg nom stt lnjära område, och den kan där anses vara deal. a) Är detta ett låg- eller högpassflter? Motvera utan att genomföra några räknngar. b) Beräkna överförngsfunktonen H(jω) = Vut V n. 6 V DD D v n S L v ut Antag att ovanstående kopplng är desgnad så att transstorns småsgnalparametrar uppfyller r d = och g m D = B, där B är ett gvet reellt tal storleksordnng. a) Bestäm L så att småsgnalförstärknngen blr A (defnerad enlgt v ut = Av n ). b) Vlket förhållande måste råda mellan A och B för att v ska ha L > 0? Du kan förutsätta att g m > 0.

4 4(0) Lösnngsförslag Problemet kan lösas med nodanalys. Inför referenspotental den nedersta noden, samt en nodpotental v enlgt nedan. v v α v Krchhoffs strömlag ger vlket medför Strömmen kan också skrvas vlket slutlgen ger = v v α v v = 0 v = v v Geometr och fältbld är enlgt nedan. α = v v = v v α v v α/ = v v ( α) d W z = 0 z = l Lednngsförmågan varerar med koordnaten z enlgt σ(z) = σ 0 ( αz)

5 5(0) V löser problemet på två sätt, dels med fältuttryck och dels med elementära resstansblock. Fältblden ger att det elektrska fältet är på formen E = E(z)e z Den totala strömmen är (där S är en yta vnkelrät mot z för godtycklgt z nut kanalen) = J e n ds = σ(z)e(z)e z e z ds = σ(z)e(z) ds = σ(z)e(z)w d S S }{{} S = Detta ger = σ(z)e(z)wd för alla z, dvs Spännngen är då v a v b = Pb P a E dr = esstansen är slutlgen l z=0 E(z) = σ(z)w d E(z)e z e z dz = = σ 0 Wd l 0 [ ln( αz) α σ(z)wd dz = ] l 0 = l σ 0 Wd 0 ln( αl) σ 0 Wdα dz αz = v a v b = ln( αl) σ 0 αwd Enheterna stämmer eftersom α har enheten [α] = m. Ett alternatvt sätt att lösa uppgften är att betrakta kanalen som en serekopplng av rätblocksresstanser med längd dz och tvärsnttsyta Wd, dvs resstans d = dz σ(z)w d Eftersom serekopplade resstanser adderas, erhåller v = d = l z=0 dz σ(z)wd = = ln( αl) σ 0 αwd där ntegralen är precs densamma som räknngarna ovan.

6 6(0) 3 Problemet kan lösas på många sätt, tll exempel med Laplacetransformen genom att nse att spännngen v(t) kan skrvas v(t) = V 0 (H(t) H(t T)), där H(t) är stegfunktonen. V löser nedan problemet genom att lösa motsvarande dfferentalekvaton. Inför strömmen enlgt nedan. v(t) v (t) Krchhoffs spännngslag och sambandet = dv dt ger nu 0 = v v = v dv dt v Detta kan stuvas om tll en dfferentalekvaton på standardform dv dt v = v Multplkaton med ntegrerande faktor e t/ ger nu Integraton från tll t ger vlket ger d ( ) e t/ v = e t/ v dt t e t/ v (t) e τ/ v(τ) v ( ) = e }{{} dτ =0 v (t) = e t/ t τ/ v(τ) e dτ Fram tll t = 0 är uppenbarlgen både v(t) och v (t) lka med noll. För 0 < t < T har v t τ/ v(τ) t e dτ = e τ/ V 0 dτ = V 0(e t/ ) och för t > T har v t τ/ v(τ) e dτ = 0 T 0 e τ/ V 0 dτ = V 0(e T/ )

7 7(0) Sammanlagt har v alltså spännngen 0 t < 0 v (t) = V 0 ( e t/ ) 0 < t < T V 0 (e T/ ) e t/ t > T b) Spännngarna kan skssas utan att genomföra de fulla beräknngarna föregående deluppgft, tll exempel genom följande resonemang. Fram tll t = 0 är spännngen över kapactansen noll. Sedan laddas den upp med tdskonstant, men eftersom denna är storleksordnng av T så har nte kapactansen blvt fullt uppladdad vd tdpunkten t = T. Därefter laddas kapactansen ur exponentellt med samma tdskonstant. Sammanlagt blr tdsförloppet enlgt nedan, där v rtat spännngarna v(t)/v 0 respektve v (t)/v 0 för = T/: t/t Särsklt noteras att spännngen över kapactansen nte har några hopp som funkton av tden. 4 a) Impedansen för antennen är Z = jω jωl Denna är helt reell vd den frekvens ω 0 då jω 0 jω 0L = 0 ω 0 = L Sambandet mellan våglängd och frekvens är λ = c f = πc ω 0 = πc L

8 8(0) vlket ger att längden på lednngen är l = λ 4 = πc L 4 = πc L b) Impedansens värde vd resonansfrekvensen är Z =. Då den kopplas n tll en transmssonslednng med längd l upplevs den som en ekvvalent mpedans (från formelsamlngen) Z n = Z 0 Z L cosβl jz 0 sn βl Z 0 cos βl jz L sn βl vd andra änden av transmssonslednngen. Då längden är en kvarts våglängd har v βl = π/, dvs cos βl = 0 och sn βl =. Detta ger jz 0 Z n = Z 0 = Z 0 jz L För att maxmal effekt ska överföras från generatorn tll antennen bör lasten vara anpassad tll generatorn, dvs Z n = Z 0 = 5 a) Kretsen är ett lågpassflter. Detta nses genom att studera dess beteende för låga och höga frekvenser, genom att ersätta kapactanserna med avbrott respektve kortslutnngar svarande mot beteendet av mpedansen /(jω) för låga och höga frekvenser. För låga frekvenser kan ngen ström gå genom resstanserna, vlket leder tll att potentalen på plusngången svarar mot V n, och eftersom spännngen mellan operatonsförstärkarens ngångar är noll svarar detta också mot V ut = V n, dvs överförngsfunktonen är. För höga frekvenser är den undre kapactansen en kortslutnng, dvs potentalen vd plusngången är noll. Detta ger också att V ut = 0 och därmed är överförngsfunktonen 0. b) Inför en nodpotental V enlgt nedan.

9 9(0) V V n V ut Nodpotentalen vd de båda ngångarna är V ut. Krchhoffs strömlag ger V V n (V V ut)jω V V ut = 0 (jω)v = V n (jω)v ut Ett ytterlgare samband mellan denna nodpotental och utspännngen ges av Krchhoffs strömlag noden vd plusngången, V ut V V ut jω = 0 V = ( jω)v ut Sätter v n detta det föregående sambandet, erhåller v vlket ger ( jω)( jω)v ut = V n ( jω)v ut ( jω) V ut = V n V ut V n = ( jω) Från detta uttryck ser v drekt dels att det handlar om ett lågpassflter, och dels att det är av andra ordnngen (ampltuden avtar som ett genom kvadraten på frekvensen). 6 Småsgnalschemat är G D v n v gs r d D L v ut g m v gs S

10 0(0) De tre resstanserna tll höger om strömkällan är parallellkopplade och kan ersättas av en resstans L = /r d / D / L = där v utnyttjade att r d kan sättas tll. Utspännngen är g m / D / L v ut = Lg m v gs = v n = / D / L /(g m D ) /(g m L ) v n = /B /(g m L ) v n Faktorn framför v n är uppenbarlgen förstärknngen A (förutom mnustecknet), varför v får vlket ger A = /B /(g m L ) g m L = A B L = /g m A B För att L ska vara en postv storhet, L > 0, krävs tydlgen att A < B (förutsatt att g m > 0). Med hjälp av sambandet g m D = B kan faktorn /g m också ersättas med /g m = D /B.